Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Стереометрия

Комбинации тел

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 1176

В равносторонний конус (диаметр основания конуса равен длине его образующей) вписан шар. Найдите отношение объема конуса к объему шара.

 

Ответ: 2.25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Объем конуса вычисляется по формуле:

$$V_{1}=\frac{1}{3}S*h=\frac{1}{3}\pi HB^{2}*AH$$

Объем шара вычисляется по формуле:

$$V_{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi OH^{3}$$

Дан равносторонний конус, то есть в осевом сечении будет равносторонний треугольник. Пусть AB = x, тогда HB = 0,5x и по теореме Пифагора из треугольника AHB: $$AH = \frac{\sqrt{3}}{2}x$$. OH - радиус вписанной в правильный треугольник окружности, и он равен 1/3 от высоты: $$OH = \frac{1}{3}AH = \frac{\sqrt{3}}{6}x$$

Значит объем конуса равен:

$$V_{1}=\frac{1}{3}S*h=\frac{1}{3}\pi (0.5x)^{2}* \frac{\sqrt{3}}{2}x$$

Объем шара равен:

$$V_{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{3}}{6}x)^{3}$$

Тогда:

$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3}\pi (0.5x)^{2}* \frac{\sqrt{3}}{2}x}{\frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{3}}{6}x)^{3}}$$

$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{0.25x^{3}* \frac{\sqrt{3}}{2}}{ 4(\frac{\sqrt{3}}{6}x)^{3}}=2.25$$

Задание 3867

Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния и вы­со­та ко­то­ро­го равны 1. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 4

Задание 3868

Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 4. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 16. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ответ: 0,25

Задание 3869

В куб впи­сан шар ра­ди­у­са 1. Най­ди­те объем куба.

Ответ: 8

Задание 3870

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Бо­ко­вые ребра равны $$\frac{5}{\pi}$$. Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

Ответ: 125

Задание 3871

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны $$\frac{2}{\pi}$$. Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

Ответ: 4

Задание 3872

Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 18. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Ответ: 12

Задание 3873

Из еди­нич­но­го куба вы­ре­за­на пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 0,5 и бо­ко­вым реб­ром 1. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти остав­шей­ся части куба.

Ответ: 7,5

Задание 3874

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Объём ко­ну­са равен 25. Най­ди­те объём ци­лин­дра.

Ответ: 75

Задание 3875

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Най­ди­те объем ко­ну­са, если объем ци­лин­дра равен 150.

 

Ответ: 50

Задание 3876

Объём куба, опи­сан­но­го около сферы, равен 216. Най­ди­те ра­ди­ус сферы.

Ответ: 3

Задание 3877

Конус опи­сан около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 4 и вы­со­той 6. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на $$\pi$$.

Ответ: 16

Задание 3878

Во сколь­ко раз объем ко­ну­са, опи­сан­но­го около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, боль­ше объ­е­ма ко­ну­са, впи­сан­но­го в эту пи­ра­ми­ду?

Ответ: 2

Задание 3879

В куб с реб­ром 3 впи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на $$\pi$$.

Ответ: 4,5

Задание 3880

Около куба с реб­ром $$\sqrt{3}$$ опи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на $$\pi$$.

Ответ: 4,5

Задание 3881

Вер­ши­на A куба $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$с реб­ром 1,6 яв­ля­ет­ся цен­тром сферы, про­хо­дя­щей через точку A1. Най­ди­те пло­щадь S части сферы, со­дер­жа­щей­ся внут­ри куба. В от­ве­те за­пи­ши­те ве­ли­чи­ну $$\frac{S}{\pi}$$.

Ответ: 1,28

Задание 3882

Се­ре­ди­на ребра куба со сто­ро­ной 1,9 яв­ля­ет­ся цен­тром шара ра­ди­у­са 0,95. Най­ди­те пло­щадь S части по­верх­но­сти шара, ле­жа­щей внут­ри куба. В от­ве­те за­пи­ши­те $$\frac{S}{\pi}$$.

Ответ: 0,9025

Задание 3883

Объём тет­ра­эд­ра равен 19. Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны рёбер дан­но­го тет­ра­эд­ра.

Ответ: 9,5

Задание 3884

Ци­линдр опи­сан около шара. Объем ци­лин­дра равен 33. Най­ди­те объем шара.

Ответ: 22

Задание 3885

Ци­линдр опи­сан около шара. Объем шара равен 24. Най­ди­те объем ци­лин­дра.

Ответ: 36

Задание 3886

Конус и ци­линдр имеют общее ос­но­ва­ние и общую вы­со­ту (конус впи­сан в ци­линдр). Вы­чис­ли­те объём ци­лин­дра, если объём ко­ну­са равен 5.

Ответ: 15

Задание 3887

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем шара равен 28. Най­ди­те объем ко­ну­са.

Ответ: 7

Задание 3888

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем ко­ну­са равен 6. Най­ди­те объем шара.

Ответ: 24

Задание 3889

Пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма опи­са­на около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 2. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна 48. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ответ: 3

Задание 3890

Куб впи­сан в шар ра­ди­у­са $$\sqrt{3}$$. Най­ди­те объем куба.

Ответ: 8

Задание 3891

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна $$7\sqrt{2}$$. Най­ди­те ра­ди­ус сферы.

Ответ: 7

Задание 3892

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен $$28\sqrt{2}$$. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ответ: 56

Задание 3893

Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 111. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Ответ: 166,5

Задание 3894

Шар, объём ко­то­ро­го равен 6π, впи­сан в куб. Най­ди­те объём куба.

Ответ: 36

Задание 3895

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Вы­со­та ци­лин­дра равна ра­ди­у­су ос­но­ва­ния. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна $$3\sqrt{2}$$. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

Ответ: 3

Задание 3896

Куб опи­сан около сферы ра­ди­у­са 6. Най­ди­те объём куба.

Ответ: 1728

Задание 3897

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен $$\sqrt{3}$$, а вы­со­та равна 2.

Ответ: 36

Задание 3898

Пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма опи­са­на около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния и вы­со­та ко­то­ро­го равны 1. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы.

Ответ: 8

Задание 3899

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, впи­сан­ной в ци­линдр, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен $$2\sqrt{3}$$, а вы­со­та равна 2.

Ответ: 36

Задание 3900

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен $$\sqrt{3}$$, а вы­со­та равна 2.

Ответ: 24
 

Задание 6658

Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Площадь поверхности одного куба, входящего в крест: $$S=1*5=5$$ (учитываем, что одна грань лежит»внутри» креста , потому и берем 5,а не 6)

Площадь всего креста : $$5*6=30$$ (так как в снаружи находится 6 кубов)

 

Задание 7872

Шар, объем которого равен 72, вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.

Ответ: 108
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8692

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 162. Найдите объём конуса.

Ответ: 54
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8712

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$27\sqrt{2}$$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответ: 27
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8735

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 188. Найдите объём конуса.

Ответ: 47
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8754

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 19. Найдите объём шара.

Ответ: 76
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9240

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 26. Найдите площадь полной поверхности цилиндра

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10726

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 500
Скрыть Объем прямоугольного параллелепипеда равен: $$V=a\cdot b\cdot c$$. Так как прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то $$a=b=2R=2\cdot 5=10$$; $$c=h=7\to v=10\cdot 10\cdot 5=500$$
 

Задание 10746

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 7. Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: 1372
Скрыть $$V=abc$$, где $$a=b=7\cdot 2=14$$, $$c=7\to $$ $$V={14}^2\cdot 7=1372$$.
 

Задание 10835

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $$7\sqrt{2}$$. Найдите радиус сферы.

Ответ: 7
Скрыть Так как центр сферы находится в центре конуса, то образующие конуса пересекаются под прямым углом. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого катеты равны образующей, а гипотенуза равна диаметру сферы. По теореме Пифагора имеем: $$d^2=2\cdot 7^2\cdot 2=2^2\cdot 7^2\to d=14$$. Соответственно, радиус равен $$R=\frac{d}{2}=\frac{14}{2}=7$$.
 

Задание 11014

Шар, объём которого равен $$36\pi $$, вписан в куб. Найдите объём куба.

Ответ: 216
Скрыть Объем шара определяется выражением $$V=\frac{4}{3}\pi R^3,$$ следовательно, куб радиуса будет равен $$R^3=\frac{3V}{4\pi }=\frac{3\cdot 36\pi }{4\pi }=3\cdot 9=27.$$ Объем куба, описанного вокруг шара, равен диаметру шара в кубе, т.е. $$V=d^3={\left(2R\right)}^3=8R^3=8\cdot 27=216$$.
 

Задание 12828

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: 500
Скрыть

Так как параллелепипед описан вокруг цилиндра, то в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной равной диаметру цилиндра, т.е. $$d=2R=2\cdot 5=10$$. Тогда площадь квадрата (основания) будет равна 100, а объем $$V=100\cdot 5 =500$$ .

 

Задание 12847

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 7. Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: 1372
Скрыть

Объем прямоугольного параллелепипеда равен: V = a·b·c Так как прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то

a = b = 2R = 2·7 = 14
c = h = 7
V = 14·14·7 = 1372
 

Задание 13364

Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13383

Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Радиус основания цилиндра равен $$\sqrt{3}$$, а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!