ЕГЭ Профиль
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1176
В равносторонний конус (диаметр основания конуса равен длине его образующей) вписан шар. Найдите отношение объема конуса к объему шара.
Объем конуса вычисляется по формуле:
$$V_{1}=\frac{1}{3}S*h=\frac{1}{3}\pi HB^{2}*AH$$
Объем шара вычисляется по формуле:
$$V_{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi OH^{3}$$
Дан равносторонний конус, то есть в осевом сечении будет равносторонний треугольник. Пусть AB = x, тогда HB = 0,5x и по теореме Пифагора из треугольника AHB: $$AH = \frac{\sqrt{3}}{2}x$$. OH - радиус вписанной в правильный треугольник окружности, и он равен 1/3 от высоты: $$OH = \frac{1}{3}AH = \frac{\sqrt{3}}{6}x$$
Значит объем конуса равен:
$$V_{1}=\frac{1}{3}S*h=\frac{1}{3}\pi (0.5x)^{2}* \frac{\sqrt{3}}{2}x$$
Объем шара равен:
$$V_{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{3}}{6}x)^{3}$$
Тогда:
$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3}\pi (0.5x)^{2}* \frac{\sqrt{3}}{2}x}{\frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{3}}{6}x)^{3}}$$
$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{0.25x^{3}* \frac{\sqrt{3}}{2}}{ 4(\frac{\sqrt{3}}{6}x)^{3}}=2.25$$
Задание 6658
Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Площадь поверхности одного куба, входящего в крест: $$S=1*5=5$$ (учитываем, что одна грань лежит»внутри» креста , потому и берем 5,а не 6)
Площадь всего креста : $$5*6=30$$ (так как в снаружи находится 6 кубов)
Задание 10726
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объем параллелепипеда.
Задание 10746
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 7. Найдите объём параллелепипеда.
Задание 10835
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $$7\sqrt{2}$$. Найдите радиус сферы.
Задание 11014
Шар, объём которого равен $$36\pi $$, вписан в куб. Найдите объём куба.
Задание 12828
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объём параллелепипеда.
Так как параллелепипед описан вокруг цилиндра, то в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной равной диаметру цилиндра, т.е. $$d=2R=2\cdot 5=10$$. Тогда площадь квадрата (основания) будет равна 100, а объем $$V=100\cdot 5 =500$$ .
Задание 12847
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 7. Найдите объём параллелепипеда.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен: V = a·b·c Так как прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то
