ЕГЭ Профиль
Задание 10822
Решите неравенство: $$5^{{{\log }^2_3 {\left(x-2\right)}^2\ }}\cdot \frac{1}{125}\ge 5^{{{\log }_3 \left(x-2\right)\ }}$$.
Ответ: $$x\in (2; \frac{1}{\sqrt[4]{27}}+2]\cup [5;+\infty]$$
Скрыть
$$5^{{{\log }^2_3 {\left(x-2\right)}^2\ }}\cdot \frac{1}{125}\ge 5^{{{\log }_3 \left(x-2\right)\ }}\leftrightarrow 5^{{4{\log }^2_3 \left|x-2\right|-3\ }}\ge 5^{{{\log }_3 \left(x-2\right)\ }}.$$
По области определения логарифма: $$x-2>0\to \left|x-2\right|=x-2$$.
$$5^{{{{\rm 4}\log }^2_3 \left(x-2\right)-3\ }}\ge 5^{{{\log }_3 \left(x-2\right)\ }}\leftrightarrow {{{\rm 4}\log }^2_3 \left(x-2\right)-3\ }={{\log }_3 \left(x-2\right)\ }.$$
Пусть $${{\log }_3 \left(x-2\right)\ }=y$$: $$4y^2-y-3\ge 0\leftrightarrow (y-1)(y+\frac{3}{4})\ge 0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
y\le -\frac{3}{4} \\
y\ge 1 \end{array}
\right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
{{\log }_3 \left(x-2\right)\ }\le -\frac{3}{4} \\
{{\log }_3 \left(x-2\right)\ }\ge 1 \end{array}
\right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
x\le \frac{1}{\sqrt[4]{3^3}}+2 \\
x\ge 5 \end{array}
\right.$$ т.е. $$x>2$$, то $$x\in (2; \frac{1}{\sqrt[4]{27}}+2]\cup [5;+\infty]$$