ЕГЭ Профиль
Задание 5010
Решите неравенство $$\frac{7\cdot4^{x}+2^{x^{2}+1}}{3-2^{2x-x^{2}}}\geq2^{2x+3}$$
$$\frac{7\cdot2^{2x}+\cdot2^{x^{2}}}{3-\frac{2^{2x}}{2^{x^{2}}}}\geq2^{2x}\cdot8$$
Пусть $$2^{2x}=a>0$$; $$2^{x^{2}}=b>0$$
$$\frac{7a+2b}{3-\frac{a}{b}}\geq8a$$; $$\frac{(7a+2b)b}{3b-a}\geq\frac{8a(3b-a)}{3b-a}$$; $$3\cdot2^{x^{2}}-2^{2x}=2^{\log_{2}3}\cdot2^{x^{2}}-2^{2x}=2^{x^{2}+\log_{2}3}-2^{2x}$$ $$\Rightarrow$$ всегда$$>0$$
$$x^{2}+\log_{2}3-2x=0$$
$$D=4-4\log_{2}3=\log_{2}16-\log_{2}81<0$$
$$7ab+2b^{2}\geq24ab-8a^{a}$$; $$2b^{2}-17ab+8a^{2}\geq0$$ $$|\div a^{2}$$;
$$2(\frac{b}{a})^{2}-17\frac{b}{a}+8\geq0$$
$$D=289-64=225$$;
$$\frac{b}{a}=\frac{17+15}{4}=8$$; $$\frac{b}{a}=\frac{17-15}{4}=\frac{1}{2}$$;
$$\left\{\begin{matrix}\frac{b}{a}\geq8\\\frac{b}{a}\leq\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{2^{x^{2}}}{2^{2x}}\geq8\\\frac{2^{x^{2}}}{2^{2x}}\leq\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x^{2}-2x}\geq2^{3}\\2^{x^{2}-2x}\leq2^{-1}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2x\geq3\\x^{2}-2x\leq-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2x-3\geq0\\x^{2}-2x+1\leq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-3)(x+1)\geq0\\(x-1)^{2}\leq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq3\\x<-1\\x=1\end{matrix}\right.$$
Задание 5386
Решите неравенство: $$(x^{2}-8x+15)(2^{x-3}+2^{3-x}-2)\sqrt{x-1} \leq 0$$
Расположим на множители выражение в скобках : $$x^{2}-8x+15=(x-3)(x+5),$$ $$x_{1,2}=4\pm 1={3;5}$$
Пусть $$2^{x-3}=t, t>0, 2^{3-x}=2^{-(x-3)}=\frac{1}{2^{x-3}}=\frac{1}{t}$$, тогда :
$$(t+\frac{1}{t}-2)^{-1}=$$$$(\frac{t^{2}-2t+1}{t})=$$$$(\frac{(t-1)^{2}}{t})^{-1}=$$$$\frac{t}{(t-1)^{2}}>0$$ при $$t\neq 1$$(т.к. $$t>0$$)
Таким образом , второй множитель в левой части неравенства при $$2^{x-3}\neq 1\Leftrightarrow$$ $$x-3\neq 0\Leftrightarrow$$ $$x\neq 3$$ всегда положителен и $$\Rightarrow$$ не влияет на знак неравенства , поэтому неравенство равносильно :
$$\left\{\begin{matrix}(x-3)(x-5)\sqrt{x-1}\leq 0\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}(x-3)(x-5)\sqrt{x-1}=0,(1)\\(x-3)(x-5)\sqrt{x-1}<0,(2)\end{matrix}\right.\\x\neq 3\end{matrix}\right.$$
(1): $$\left\{\begin{matrix}(x-3)(x-5)\sqrt{x-1}=0\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x-3=0\\x-5=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\\x-1\geq 0\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=3\\x=5\\x=1\end{matrix}\right.\\x\geq 1\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=5\\x=1\end{matrix}\right.$$
(2): $$\left\{\begin{matrix}(x-3)(x-5)\sqrt{x-1}<0\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-3)(x-5)<0\\x-1>0\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3<x<5\\x>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$3<x<5$$
Объединяя результаты (1) и (2) получим , что неравенство выполняется при $$x \in {1}\cup (3; 5]$$
Задание 6042
Решите неравенство: $$\frac{3^{2x}-54*(\frac{1}{3})^{2(x+1)}-1}{x+3}\leq 0$$
$$\frac{3^{2x}-54*\frac{1}{3}^{2*\left ( x+1 \right )}-1}{x+3}\leq 0$$
ОДЗ: $$x+3\neq 0\Leftrightarrow x\neq -3\Leftrightarrow$$$$ x\in \left ( -\infty ;-3 \right )\bigcup \left ( -3;+\infty \right )$$
$$\frac{3^{2x}-54*\frac{1}{3}^{2x+2}}{x+3}\leq 0$$
$$\frac{3^{2x}-54*\frac{1}{9}*\frac{1}{3}^{2x}-1}{x+3}\leq 0$$
Замена: $$3^{2x} =y\Rightarrow \frac{1}{3}^{2x}=\frac{1}{y}$$
$$y-\frac{6}{y}-1=\frac{y^{2}-y-6}{y}=\frac{\left ( y-3 \right )*\left ( y+2 \right )}{y}$$
Обратная замена:$$y=3^{2x}$$
$$\frac{\left ( 3^{2x}-3 \right )*\left ( 3^{2x}+2 \right )}{3^{2x*\left ( x+3 \right )}}\leq 0|*\frac{3^{2x}}{3^{2x}+2}$$
$$\frac{3^{2x}-3}{x+3}\leq 0\Leftrightarrow \frac{2x-1}{x+3}\leq 0$$
Отметим значения ,когда числитель равен и знаменатель не равен нулю. Расставим знаки значений, которые принимает выражение слева от нуля на полученных промежутках:
Нам необходимы неполжительные значения. Тогда ответом будет $$x \in (-3;0,5]$$
Задание 6184
Решите неравенство $$\frac{4}{(\frac{1}{3})^{x-1}-9}-\frac{1}{(\frac{1}{3})^{x}-1}-3^{x-1}> 0$$
$$\frac{4}{(\frac{1}{3})^{x-1}-9}-\frac{1}{(\frac{1}{3}^{x})-1}-3^{x-1}>0$$
$$\frac{4}{3 (\frac{1}{3})^{x}-9}-\frac{1}{(\frac{1}{3})^{x}-1}-(\frac{1}{3})^{-x}*\frac{1}{3}>0$$
Замена: $$(\frac{1}{3})^{x}=y>0$$
$$\frac{4}{3y-9}-\frac{1}{y-1}-\frac{1}{3y}>0$$
$$\frac{4(3y(y-1))-3y(3y-9)-(3y-9)(y-1)}{3y(y-1)(3y-9)}>0$$
$$\frac{12y^{2}-12y-9y^{2}+27 y-3y^{2}+3y+9y-9}{3y(y-1)(3y-9)}>0$$
$$\frac{27y-9}{3y(y-1)(3y-9)}>0\Leftrightarrow \frac{3y-1}{y(y-1)(y-3)}>0$$
Построим координатную прямую, отметим нули данного выражения, расставим знаки значений, которые принимает данное выражение на полученных промежутках:
С учетом , что $$y>0$$ имеем:
$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y>\frac{1}{3}\\y<1\end{matrix}\right.\\y>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}3^{-x}>3^{-1}\\3^{-x}<3^{0}\end{matrix}\right.\\3^{-x}>3^{1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<1 \\x>0\end{matrix}\right. \\x<-1\end{matrix}\right.$$
Тогда $$x\in (-\infty ;-1)\cup(0;1)$$
Задание 6700
Решите неравенство $$(\sqrt{2}+1)^{\frac{6x-6}{x+1}}\leq (\sqrt{2}-1)^{-x}$$
ОДЗ: $$x+1\neq 0\Leftrightarrow$$ $$x\neq -1$$
Рассмотрим правую часть неравенства : $$(\sqrt{2}-1)^{-x}=(\frac{1}{\sqrt{2}-1})^{x}|:(\sqrt{2}+1)^{x}\Rightarrow$$ $$\frac{(\sqrt{2}+1)^{x}}{((\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1))^{x}}=$$$$\frac{(\sqrt{2}+1)^{x}}{1^{x}}=(\sqrt{2}+1)^{x}$$
Неравенство примет вид: $$(\sqrt{2}+1)^{\frac{6x-6}{x+1}}\leq (\sqrt{2}+1)^{x}\Leftrightarrow$$ $$\frac{6x-6}{x+1}\leq x\Leftrightarrow$$ $$\frac{6x-6-x^{2-x}}{x+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}-5x+6}{x+1}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-2)(x-3)}{x+1}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x>-1\\x\leq 2\end{matrix}\right.\\x\geq 3\end{matrix}\right.$$
Задание 6759
Решите неравенство $$(\sqrt[3]{2})^{x^{2}+4x+1}-(\sqrt{3+\sqrt{8}}-1)^{x}\leq 0$$
$$(\sqrt[3]{2})^{x^{2}+4x+1}-(\sqrt{3+\sqrt{8}}-1)^{x}\leq 0$$
$$\sqrt{3+\sqrt{8}}=\sqrt{2+1+2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^{2}}=\left | \sqrt{2}+1 \right |=\sqrt{2}+1$$
$$\sqrt[3]{2}^{x^{2}+4x+1}-(\sqrt{2}+1-1)^{x}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$2^{\frac{x^{2}+4x+1}{3}}\leq 2^{\frac{x}{2}}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}+4x+1}{3}\leq \frac{x}{2}|*6\Leftrightarrow$$ $$2x^{2}+8x+2\leq 3x\Leftrightarrow$$ $$2x^{2}+5x+2\leq 0$$
$$D=25-16=9$$
$$x_{1}=\frac{-5+3}{4}=-0,5$$
$$x_{2}=\frac{-5-3}{4}=-2$$
$$(x+0,5)(x+2)\leq 0$$
$$x \in [-2, -0,5]$$
Задание 7863
Решите неравенство $$3^{2x^{2}}+3^{x^{2}+2x+5}\geq10\cdot3^{4x+6}$$
$$3^{2x^{2}}+3^{x^{2}+2x+5}\geq10\cdot3^{4x+6}$$ $$\div3^{4x+6}$$
$$3^{2x^{2}-4x-6}+3^{x^{2}-2x-1}\geq10$$
$$3^{2(x^{2}-2x-3)}+3^{x^{2}-2x-3}-10\geq0$$
Замена: $$3^{x^{2}-2x-3}=y>0$$
$$y^{2}+3^{2}\cdot y-10\geq0$$ $$\Rightarrow$$ $$(y+10)(y-1)\geq0$$
$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=-9&\\y_{1}\cdot y_{2}=-10&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=-10&\\y_{2}=1&\end{matrix}\right.$$
Получим: $$\left\{\begin{matrix}y\geq1&\\y\leq-10&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3^{x^{2}2x-3}\geq3^{0}&\\3^{x^{2}-2x-3}\leq-10&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2x-3\geq0&\\\varnothing&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq3&\\x\leq-1&\end{matrix}\right.$$
Задание 8307
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}3^{x}-3\neq0&\\3^{x}-2\neq0&\\9^{x}-5\cdot3^{x}+6\neq0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3^{x}\neq3&\\3^{x}\neq2&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq1&\\x\neq\log_{3}2&\end{matrix}\right.$$
Заметим,что $$9^{x}-5\cdot3^{x}+6=3^{2x}-5\cdot3^{x}+6=(3^{x}-3)(3^{x}-2)$$. Тогда: $$x\in(-\infty;\log_{3}2)\cup(\log_{3}2;1)\cup(1;+\infty)$$
Решение: замена $$3^{x}=y>0$$
$$\frac{y}{y-3}+\frac{y+1}{y-2}+\frac{5}{(y-3)(y-2)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{y(y-2)+(y+1)(y-3)}{(y-3)(y-2)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-2y+y^{2}-3+5}{(y-3)(y-2)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{2y^{2}-4y+2}{(y-3)(y-2)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{2(y-1)^{2}}{(y-3)(y-2)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y\geq2&\\y\leq3&\end{matrix}\right.&\\y=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}3^{x}\geq2&\\3^{x}\leq3&\end{matrix}\right.&\\3^{x}=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq\log_{3}2&\\x\leq1&\end{matrix}\right.&\\x=0&\end{matrix}\right.$$
С учетом ОДЗ: $$x\in{0}\cup(\log_{3}2;1)$$
Задание 10822
Решите неравенство: $$5^{{{\log }^2_3 {\left(x-2\right)}^2\ }}\cdot \frac{1}{125}\ge 5^{{{\log }_3 \left(x-2\right)\ }}$$.
Задание 10861
Решите неравенство $$\frac{13-5\cdot 3^x}{9^x-12\cdot 3^x+27}\ge 0,5$$
1. Преобразуем выражение, получим: $$\frac{13-5\cdot 3^x}{9^x-12\cdot 3^x+27}-\frac{1}{2}\ge 0$$.
2. Делаем замену: $$3^x=t,t>0$$ получаем: $$\frac{13-5t}{t^2-12t+37}-\frac{1}{2}\ge 0\to \frac{26-10t-t^2+12t-27}{2\left(t^2-12t+27\right)}\ge 0\to \frac{t^2-2t+1}{2(t^2-12t+27)}\le 0\to $$ $$\to \frac{{\left(t-1\right)}^2}{t^2-12t+27}\le 0$$.
3. Для решения неравенства находим точки, которые разбивают числовую прямую на интервалы: $$\left\{ \begin{array}{c} {\left(t-1\right)}^2=0 \\ t^2-12t+27\ne 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} t=1 \\ t\ne 3 \\ t\ne 9 \end{array} \right.$$. Для $$t=1$$: $$3^x=3^0\to x=0$$. Для $$3<t<9$$: $$3^1<3^x$$$$<3^2\to 1<x<2$$.
Задание 10880
Решите неравенство $$\frac{2}{{\left(2^{2-x^2}-1\right)}^2}-\frac{4}{2^{2-x^2}-1}+1\ge 0$$.
1. Выполним замену $$2^{2-x^2}-1=t$$, получим: $$\frac{3}{t^2}-\frac{4}{t}+1\ge 0\to \frac{t^2-4t+3}{t^2}\ge 0$$.
2. Для решения неравенства находим точки, которые разбивают числовую прямую: $$\left\{ \begin{array}{c} t^2-4t+3=0 \\ t^2=0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} t=1 \\ t=3 \\ t\ne 0 \end{array} \right.$$. $$1) \left\{ \begin{array}{c} t\le 1 \\ t\ne 0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} 2^{2-x^2}\le 2^1 \\ 2^{2-x^2}\ne 2^0 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} 2-x^2\le 1 \\ x^2-2>0 \end{array} \right.$$ $$2) t\ge 3\to 2^{2-x^2}-1\ge 3\to 2-x^2\ge 2\to x=0.$$ $$x\in \left(-\infty ;-\sqrt{2}\right)\cup \left(-\sqrt{2};-1\right]\cup [1;\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};+\infty ).$$
Задание 10899
Решите неравенство $$\frac{2}{7^x-7}\ge \frac{5}{7^x-4}$$
1. Выполним замену $$7^x=t,t>0$$, получим: $$\frac{2}{t-7}-\frac{5}{t-4}\ge 0\to \frac{2t-8-5t+35}{\left(t-7\right)\left(t-4\right)}\ge 0\to \frac{-3t+27}{(t-7)(t-4)}\ge 0.$$ Разделим последнее выражение на -3: $$\frac{t-9}{\left(t-7\right)\left(t-4\right)}\le 0$$.
2. Получаем следующие точки, делящие числовую прямую: $$\left\{ \begin{array}{c} t=9 \\ t\ne 7 \\ t\ne 4 \end{array} \right.$$.
3. Получаем решения неравенства:
Для $$0<7^x<4\to x\in (-\infty ;{{\log }_7 4\ })$$.
Для $$7^1-<7^x<7^{{{\log }_7 9\ }}$$$$\to x\in (1;{{\log }_7 9\ }]$$.
Задание 11021
Решите неравенство $$5^{x+1}+3\cdot 5^{-x}\le 16.$$
1. Сделаем замену $$5^x=t,t>0$$, получим: $$5t+\frac{3}{t}-16\le 0$$ умножим левую и правую части на $$t$$: $$5t^2-16t+3\le 0.$$
2. Решаем квадратное уравнение относительно $$t$$, имеем два корня $$t_1=\frac{1}{5};\ t_2=3$$ и, следовательно, имеем разбиение числовой прямой то есть $$1/5\le t\le 3$$, откуда получаем: $$5^{-1}\le 5^x\le 5^{{{\log }_5 3\ }}\to -1\le x\le {{\log }_5 3\ }.$$
Ответ: $$x\in [-1;{{\log }_5 3\ }]$$
Задание 11106
Решите неравенство $$\frac{567-9^{-x}}{81-3^{-x}}\ge 7.$$
1. Сделаем следующую замену: $$3^{-x}=t,t>0$$ и $$9^{-x}={\left(3^{-x}\right)}^2=t^2,$$ получим: $$\frac{567-t^2}{81-t}-7\ge 0\to \frac{567-t^2-567+7t}{81-t}\ge 0\to \frac{-t^2+7t}{81-t}\ge 0\to \frac{t\left(t-7\right)}{t-81}\ge 0.$$
2. Получаем следующие точки, разбивающие числовую прямую: $$\left\{ \begin{array}{c} t\ne 0 \\ t=7 \\ t\ne 81 \end{array} \right.$$
3. Имеем следующие решения неравенства:
Для $$0<t\le 7:0<3^{-x}\le 7\to x\ge {{\log }_3 \frac{1}{7}\ }.$$
Для $$t>81:3^{-x}>3^4\to x<-4$$
$$x\in \left(-\infty ;-4\right)\cup [{{\log }_3 \frac{1}{7}\ };+\infty )$$
