ЕГЭ Профиль
Задание 4965
Найдите все значения параметра , при каждом из которых наименьшее значение функции $$y=4x^{2}-4ax+(a^{2}-2a+2)$$ на отрезке $$0\leq x\leq2$$ равно 3.
Задание 7225
При каких значениях параметра a функция $$f(x)=4^{-x}+(\frac{1}{2})^{x+1}\cdot \frac{5a}{2}+\frac{a^{2}+12}{6}$$ принимает во всех точках отрезка [-1;1] значения больше 2.
Пусть $$2^{-x}=t>0\Rightarrow$$ $$4^{-x}=t^{2}$$. Получим $$(\frac{1}{2})^{x+1}=\frac{1}{2}*2^{-x}=\frac{t}{2}$$. При этом $$f(t)=t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}+12}{6}$$; $$x \in [-1 ;1]\Rightarrow$$ $$t \in [\frac{1}{2} ;2]$$
Рассмотрим систему: $$\left\{\begin{matrix}t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}+12}{6}>2\\t \in [\frac{1}{2}; 2]\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}}{6}>0(1)\\t \in [\frac{1}{2}; 2]\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим (1) : пусть $$g(t)=t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}}{6}$$, тогда $$g(t)>0$$ при $$t \in [\frac{1}{2} ;2]$$. Есть три случая .
1) Вершина $$g(t) \in [\frac{1}{2}; 2]$$, тогда для $$g(t)>0$$ на $$[\frac{1}{2}; 2]$$ необходимо, чтобы $$g(t_{0})>0$$: $$t_{0}=\frac{-\frac{5a}{4}}{2}=-\frac{5a}{8}\Rightarrow$$ $$g(t_{0})=(-\frac{5a}{4})^{2}+\frac{5a}{4}(-\frac{5a}{8})+\frac{a^{2}}{6}=$$$$-\frac{25a^{2}}{64}+\frac{a^{2}}{6}$$
При любом а $$g(t_{0})<0\Rightarrow$$ не подходит
2) $$t_{0}\leq \frac{1}{2} \Rightarrow$$ $$g(\frac{1}{2})>0$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{5a}{8}\leq \frac{1}{2}\\(\frac{1}{2})^{2}+\frac{5a}{4}*\frac{1}{2}+\frac{a^{2}}{6}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a\geq -\frac{4}{5}\\4a^{2}+15a+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\geq -\frac{4}{5}\\\left[\begin{matrix}a<\frac{-15-\sqrt{129}}{8}\\a>\frac{-15+\sqrt{129}}{8}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a>\frac{-15+\sqrt{129}}{8}$$
3) $$t_{0}\geq 2\Rightarrow$$ $$g(2)>0\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{5a}{8}\geq 2\\4+\frac{5a}{2}+\frac{a^{2}}{6}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\leq -\frac{16}{5}\\\left[\begin{matrix}a<\frac{-15-\sqrt{129}}{2}\\a>\frac{-15+\sqrt{129}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$a<\frac{-15-\sqrt{129}}{2}$$
Тогда $$a \in (-\infty ;\frac{-15-\sqrt{129}}{2})\cup (\frac{-15+\sqrt{129}}{2}; +\infty )$$
Задание 10845
$$a+1\ge 0,\ a\ge -1.$$ Пусть $${\cos 3x\ }=t,t\in \left[-1;1\right],\ b=\sqrt{a+1}+1,\ b\ge 1$$.
Рассмотрим функцию $$f\left(t\right)=\frac{2t-b}{t^2-b^2-1}$$, исследуем ее при помощи производной.
$$f'\left(t\right)=\frac{2\left(t^2-b^2-1\right)-2t\left(2t-b\right)}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}=\frac{-2t^2-2b^2+2bt-2}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}=$$ $$=\frac{-{\left(t-b\right)}^2-t^2-b^2-2}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}<0.$$ Функция $$f(t)$$ убывает на области определения, поэтому множество ее значений содержит отрезок $$[2;3]$$, тогда и только тогда, когда $$\left\{ \begin{array}{c} f(-1)\ge 3 \\ f(1)\le 2 \end{array} \right.$$.
Решим систему неравенств $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{-2-b}{1-b^2-1}\ge 3 \\ \frac{2-b}{1-b^2-1}\le 2 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} \frac{b+2}{b^2}\ge 3 \\ \frac{b-2}{b^2}\le 2 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} 3b^2-b-2\le 0 \\ 2b^2-b+2\ge 0 \end{array} \right.\to -\frac{2}{3}\le b\le 1$$.
Учитывая, что $$b\ge 1$$, получим $$b=1,\ \sqrt{a+1}+1=1,a=-1$$.
