Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C6) Задача с параметром

Функции, зависящие от параметра

Задание 1320

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма имеет единственное решение:

$$\left\{\begin{matrix}( x-1 )( x+2 )\leqslant 0,\\ 8x^{2}+8y^{2}-16a ( x-y ) + 15a^{2}-48y-50a+72=0\end{matrix}\right.$$

Ответ: $$-\frac{16}{7};-2;0;2$$

Задание 1321

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых наибольшее значение функции $$f(x)= |x-a|-x^{2}$$ не меньше 1

Ответ: $$(-\infty;-\frac{3}{4} ]\cup [\frac{3}{4};+\infty )$$

Задание 1322

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых наименьшее значение функции $$f(x)=4ax+|x^{2}+6x+5|$$ больше, чем -24

Ответ: $$\left ( \frac{3-\sqrt{29}}{2};\frac{3+\sqrt{29}}{2} \right )$$

Задание 1323

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых наименьшее значение функции $$f(x)=4x^{2}+4ax+a^{2}-2a+2$$ на множестве $$|x|\geqslant 1$$ не менее 6

Ответ: $$a\leq -2 ; a = 0$$

Задание 1324

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых функция $$f(x)=x^{2}-2|x-a^{2}|-8x$$ имеет более двух точек экстремума

Ответ: $$(-\sqrt{5};-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3};\sqrt{5})$$

Задание 1325

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых функция $$f(x)=x^{2}-2|x-a^{2}|-4x$$ имеет хотя бы одну точку максимума

Ответ: $$(-\sqrt{3};-1)\cup (1;\sqrt{3})$$

Задание 1326

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых среди значений функции $$y=\frac{x^{2}-2x+a}{6+x^{2}}$$ есть ровно одно целое число

Ответ: $$(1 ; 11)$$

Задание 1327

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых график функции $$f(x)=x^{2}-3x+2-|x^{2}-5x+4|-a$$

Ответ: $$(-\infty ;-2]\cup [0;+\infty)$$

Задание 1328

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых множество значений функции $$y=\frac{a+3x-ax}{x^{2}+2ax+a^{2}+1}$$ содержит отрезок $$[0;1]$$

Ответ: $$\left(-\infty;\frac{7-2\sqrt{6}}{5}\right]\cup \left[\frac{7+2\sqrt{6}}{5};3\right)\cup \left(3;+\infty\right)$$

Задание 1329

Найдите все такие значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$(4x-x^{2})^{2}-32\sqrt{4x-x^{2}}=a^{2}-14a$$ имеет хотя бы одно решение

Ответ: $$[0;6]\cup [8;14]$$
 

Задание 4965

Найдите все значения параметра , при каждом из которых наименьшее значение функции $$y=4x^{2}-4ax+(a^{2}-2a+2)$$ на отрезке $$0\leq x\leq2$$ равно 3.

Ответ: $$1-\sqrt{2} ;5+\sqrt{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Найдем вершину параболы:$$x_{0}=-\frac{-4a}{4\cdot2}=\frac{a}{2}$$. В таком случае координата y вершины составляет: $$y_{x_{0}}=4\cdot(\frac{a}{2})^{2}-4a\cdot\frac{a}{2}+a^{2}-2a+2=$$ $$\frac{4a^{2}}{4}-\frac{4a^{2}}{2}+a^{2}-2a+2=$$ $$a^{2}-2a^{2}+a^{2}-2a+2=2-2a$$. Далее необходимо рассмотреть три варианта расположения вершины параболы относительно заданного промежутка:
1) Когда вершина параболы левее промежутка: тогда наименьшее значение функция принимает в точке с абсциссой 0:  
$$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{2}<0\\y(0)=3\end{matrix}\right.$$
$$y(0)=4\cdot0-4a\cdot0+a^{2}-2a+2=3$$; $$a^{2}-2a-1=0$$
$$D=4+4=8$$
$$a_{1}=\frac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}\notin\frac{a}{2}<0$$
$$a_{2}=1-\sqrt{2}$$
2) Когда вершина параболы на промежутке: тогда наименьшее значение функция принимает в вершине параболы:
$$\left\{\begin{matrix}0\leq\frac{a}{2}\leq2\\2-2a=3\end{matrix}\right.$$
$$-2a=1$$ $$\Leftrightarrow$$
$$a=-0,5\notin 0\leq\frac{a}{2}\leq2$$
3) Когда вершина правее заданного промежутка, тогда наименьшее значение будет в точке с абсциссой 2:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{2}>2\\y(2)=3\end{matrix}\right.$$
$$y(2)=4\cdot4-4a\cdot2+a^{2}-2a+2=3$$
$$16-8a+a^{2}-2a+2-3=0$$; $$a^{2}-10a+15=0$$
$$D=100-60=40$$
$$a_{1,2}=\frac{1=\pm\sqrt{40}}{2}=5\pm\sqrt{10}$$
$$5-\sqrt{10}\notin \frac{a}{2}>2$$
В итоге получаем два значения: $$1-\sqrt{2} ;5+\sqrt{10}$$
 

Задание 7225

При каких значениях параметра a функция $$f(x)=4^{-x}+(\frac{1}{2})^{x+1}\cdot \frac{5a}{2}+\frac{a^{2}+12}{6}$$ принимает во всех точках отрезка [-1;1] значения больше 2.

Ответ: $$(-\infty ;\frac{-15-\sqrt{129}}{2})\cup (\frac{-15+\sqrt{129}}{2}; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$2^{-x}=t>0\Rightarrow$$ $$4^{-x}=t^{2}$$. Получим $$(\frac{1}{2})^{x+1}=\frac{1}{2}*2^{-x}=\frac{t}{2}$$. При этом $$f(t)=t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}+12}{6}$$; $$x \in [-1 ;1]\Rightarrow$$ $$t \in [\frac{1}{2} ;2]$$

     Рассмотрим систему: $$\left\{\begin{matrix}t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}+12}{6}>2\\t \in [\frac{1}{2}; 2]\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}}{6}>0(1)\\t \in [\frac{1}{2}; 2]\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1) : пусть $$g(t)=t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}}{6}$$, тогда $$g(t)>0$$ при $$t \in [\frac{1}{2} ;2]$$. Есть три случая .

     1) Вершина $$g(t) \in [\frac{1}{2}; 2]$$, тогда для $$g(t)>0$$ на $$[\frac{1}{2}; 2]$$ необходимо, чтобы $$g(t_{0})>0$$:  $$t_{0}=\frac{-\frac{5a}{4}}{2}=-\frac{5a}{8}\Rightarrow$$ $$g(t_{0})=(-\frac{5a}{4})^{2}+\frac{5a}{4}(-\frac{5a}{8})+\frac{a^{2}}{6}=$$$$-\frac{25a^{2}}{64}+\frac{a^{2}}{6}$$

     При любом а $$g(t_{0})<0\Rightarrow$$ не подходит

     2) $$t_{0}\leq \frac{1}{2} \Rightarrow$$ $$g(\frac{1}{2})>0$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{5a}{8}\leq \frac{1}{2}\\(\frac{1}{2})^{2}+\frac{5a}{4}*\frac{1}{2}+\frac{a^{2}}{6}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a\geq -\frac{4}{5}\\4a^{2}+15a+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\geq -\frac{4}{5}\\\left[\begin{matrix}a<\frac{-15-\sqrt{129}}{8}\\a>\frac{-15+\sqrt{129}}{8}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a>\frac{-15+\sqrt{129}}{8}$$

     3) $$t_{0}\geq 2\Rightarrow$$ $$g(2)>0\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{5a}{8}\geq 2\\4+\frac{5a}{2}+\frac{a^{2}}{6}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\leq -\frac{16}{5}\\\left[\begin{matrix}a<\frac{-15-\sqrt{129}}{2}\\a>\frac{-15+\sqrt{129}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$a<\frac{-15-\sqrt{129}}{2}$$

     Тогда $$a \in (-\infty ;\frac{-15-\sqrt{129}}{2})\cup (\frac{-15+\sqrt{129}}{2}; +\infty )$$

 

Задание 7565

Найти все значения параметра a, при каждом из которых ровно одна точка графика функции $$y=2x+(\lg a)\cdot \sqrt{\cos (2\alpha \pi x)+2\cos (\alpha \pi x)-3}+1$$ лежит в области  $$(2x-7)^{2}+4(y-3)^{2}\leq 25$$

Ответ: [1;2),(2;3)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8897

Найдите все значения а, при каждом из которых линии $$y=a|x-2|+|a|-2$$ и $$y=\frac{a}{2}$$ ограничивают многоугольник, площадь которого не более 0,5.

Ответ: $$[-2;\frac{4}{3})\cup [2;4)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8917

Найдите все значения а, при каждом из которых линии $$y=a|3-x|+|a|-3$$ и $$y=\frac{a}{3}$$ ограничивают многоугольник, площадь которого не менее $$\frac{1}{3}$$

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9492

Найдите все значения а, при каждом из которых функция $$f(x)=x^{2}-3|x-a^{2}|-5x$$ имеет более двух точек экстремума.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9532

Найдите все значения а, при каждом из которых функция $$f(x)=x^{2}-4|x-a^{2}|-8x$$ имеет хотя бы одну точку максимума.

Ответ: $$a\in(-\sqrt{6};-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};\sqrt{6})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10119

Найдите все значения a, при которых наименьшее значение функции $$y=|x+4|+|2x-a|$$ меньше 3

Ответ: (-14;-2)
 

Задание 10265

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых функция $$f(x)=x(1-a)+3(1-2a)\sin \frac{x}{3}+\frac{3}{2}\sin \frac{2x}{3}+\pi a$$ имеет не более двух экстремумов на промежутке $$(\pi;5\pi)$$

Ответ: $$(-\infty;-1]\cup {-\frac{1}{2}}\cup [\frac{1}{2};+\infty)$$
 

Задание 10291

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции $$f(x)=-x^{4}+\frac{2ax^{3}}{9}+\frac{a^{2}x^{2}}{3}$$ на отрезке [-1;0] не превышает единицы и достигается на левом конце отрезка.

Ответ: $$[\frac{1-2\sqrt{7}}{3};\frac{1+-2\sqrt{7}}{3}]$$
 

Задание 10845

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых множество значений функции $$y=\frac{\sqrt{a+1}-2{\cos 3x\ }+1}{{{\sin }^{{\rm 2}} 3x\ }+a+2\sqrt{a+1}+2}$$ содержит отрезок $$[2;3]$$.
Ответ: -1
Скрыть

$$a+1\ge 0,\ a\ge -1.$$ Пусть $${\cos 3x\ }=t,t\in \left[-1;1\right],\ b=\sqrt{a+1}+1,\ b\ge 1$$.

Рассмотрим функцию $$f\left(t\right)=\frac{2t-b}{t^2-b^2-1}$$, исследуем ее при помощи производной.

$$f'\left(t\right)=\frac{2\left(t^2-b^2-1\right)-2t\left(2t-b\right)}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}=\frac{-2t^2-2b^2+2bt-2}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}=$$ $$=\frac{-{\left(t-b\right)}^2-t^2-b^2-2}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}<0.$$ Функция $$f(t)$$ убывает на области определения, поэтому множество ее значений содержит отрезок $$[2;3]$$, тогда и только тогда, когда $$\left\{ \begin{array}{c} f(-1)\ge 3 \\ f(1)\le 2 \end{array} \right.$$.

Решим систему неравенств $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{-2-b}{1-b^2-1}\ge 3 \\ \frac{2-b}{1-b^2-1}\le 2 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} \frac{b+2}{b^2}\ge 3 \\ \frac{b-2}{b^2}\le 2 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} 3b^2-b-2\le 0 \\ 2b^2-b+2\ge 0 \end{array} \right.\to -\frac{2}{3}\le b\le 1$$.

Учитывая, что $$b\ge 1$$, получим $$b=1,\ \sqrt{a+1}+1=1,a=-1$$.

 

Задание 11471

Найдите все положительные значения параметра , при которых модуль разности корней уравнения $$ax^{2}-2x-2,25=0$$ не больше расстояния между точками экстремума функции $$f(x)=2x^{3}-9x^{2}-6ax+13a^{2}$$

Ответ: $$[1;+\infty)$$
 

Задание 12316

Найдите, при каких неотрицательных значениях $$a$$ функция $$f\left(x\right)=\ 3ax^4-8x^3+\ 3x^2-7$$ на отрезке $$[-1;\ 1]$$ имеет ровно одну точку минимума.

Ответ: $$[0;1,5); [2;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12336

Найдите, при каких неположительных значениях а функция $$f(x)=\ ax^4+4x^3-3x^2-5$$ на отрезке [-2; 2] имеет две точки максимума.

Ответ: $$(-1,5; -\frac{9}{8}]$$
 

Задание 12517

Найдите все значения а, при каждом из которых линии $$y\ =\ a|x-2|\ +\ |a|-2$$ и $$y=\frac{a}{2}$$ ограничивают многоугольник, площадь которого не более 0,5.

Ответ: $$[-2; -\frac{4}{3}); [2; 4)$$
 

Задание 12536

Найдите все значения а, при каждом из которых линии $$y=a\left|3-x\right|+\left|a\right|-3$$ и $$y=\frac{a}{3}$$ ограничивают многоугольник, площадь которого не менее $$\frac{1}{3}$$.

Ответ: $$(-\infty; -3] \cup (0; 3]$$
 

Задание 12657

Найдите все значения а, при каждом из которых функция $$f\left(x\right)=x^2-4\left|x-a^2\right|-8x$$ имеет хотя бы одну точку максимума.

Ответ: $$-\sqrt{6}<a<-\sqrt{2}; \sqrt{2}<a<\sqrt{6}$$
 

Задание 12717

Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции $$y=\frac{5a+150x-10ax}{100x^2+20ax+a^2+25}$$ содержит отрезок [0; 1]

Ответ: $$(-\infty ; 7-2\sqrt{6}]; [7+2\sqrt{6}; 15); (15; +\infty)$$
 

Задание 14245

Для каждого значения $$a$$ найдите наибольшее значение функции $$y=x\cdot\sqrt{x^2-4ax+4a^2}$$ на отрезке $$[-2;2]$$

Ответ: $$a\leq 2\sqrt{2}-2: y_{max[-2;2]}=4-4a$$;$$2\sqrt{2}<a<2:y_{max[-2;2]}=a^{2}$$;$$a\geq 2:y_{max[-2;2]}=4a-4$$