ЕГЭ Профиль
Задание 1018
Найдите критическую (стационарную) точку функции $$y=3x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+1$$ , которая не является точкой экстремума.
Найдем производную данной функции: $$y=3x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+1\Leftrightarrow y^{'}=12x^{3}+24x^{2}+12x\Leftrightarrow$$ Приравняем производную к нулю:
$$12x^{3}+24x^{2}+12x=0 \Leftrightarrow x(12x^{2}+24x+12)=0 \Leftrightarrow $$
$$\left\{\begin{matrix}x = 0\\ 12(x^{2}+2x+1)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$
$$\left\{\begin{matrix}x = 0\\ (x+1)^{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x = 0\\ x=-1\end{matrix}\right.$$
| Начертим координатную прямую и отметим полученные точки на ней. Подставим в производную значения с каждого интервала, чтобы определеить знаки. Как видим, слева и справа от x = -1 одинаковые значения производной, значит это и есть критическая точка не являющаяся экстремумом |
|
Задание 1282
Найдите точку максимума функции $$f(x)=24-3x^{4}-8x{3}$$
Задание 2865
Найдите наименьшее значение функции $$y=\sqrt{x^{2}+8x+25}$$
$$y=\sqrt{x^{2}+8x+25}$$ $$x_{0}=-\frac{8}{2}=-4$$ - вершина $$y_{min}=\sqrt{(-4)^{2}+8(-4)+25}=\sqrt{16-32+25}=\sqrt{9}=3$$
Задание 2943
Найдите наибольшее значение функции $$y=x^{5}+20x^{3}-65x$$ на отрезке [-4; 0].
$$y=x^{5}+20x^{3}-65x$$ [-4; 0] $${y}'=5x^{4}+60x^{2}-65=0$$ $$x^{4}+12x^{2}-13=0$$ пусть $$x^{2}=a$$ $$a^{2}+12a-13=0$$ $$a_{1}=1$$ $$a_{2}=-13$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}=1\\x^{2}=-13\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm 1\\x=\varnothing\end{matrix}\right.$$ $$y(-1)=(-1)^{5}+20\cdot(-1)^{3}-65\cdot(-1)=-1-20+65=44$$
Задание 2990
Найдите точку максимума функции $$y=x^{3}-12x^{2}+36x-30$$
Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю: $$y^{'}=3x^{2}-24x+36=0$$ | : 3 $$x^{2}-8x+12=0$$ $$x_{1}=2 ; x_{2}=6$$ Отметим эти точки на координатной прямой и расставим знаки производной (для этого будем подставлять по числу из каждого промежутка в производную). Получим, что до 2 функция возрастает, от 2 до 8 убывает, и от 8 снова возрастает. Значит 2 - точка максимума