Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Стереометрия

Шар

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 1237

Площадь поверхности шара равна $$24\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}}$$. Найдите объем шара.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: $$S=4\pi R^{2}$$ Объем шара вычисляется по формуле: $$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$$ Найдем сначала радиус сферы, зная площадь ее поверхности: $$4\pi R^{2} =24\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}} $$ $$R^{2} =6\frac{\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}}}{\pi} $$ $$R=\sqrt[3]{\frac{6}{\pi}} $$ Тогда объем шара будет равен: $$V=\frac{4}{3}\pi (\sqrt[3]{\frac{6}{\pi}})^{3}=8$$

 

Задание 1291

Цилиндр описан около шара. Найдите объем шара, если известно, что объем цилиндра равен 60.

    

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Высота цилиндра у нас равна двум радиусам вписанного шара. Обозначим радиус шара ( в таком случае и радиус основания цилиндра ) за R, объем цилиндра $$V_{1}$$, а объем шара V. Тогда :
$$V_{1}=Sh=\pi R^{2}*2R=2\pi R^{3}=60$$
$$R^{3}=\frac{30}{\pi} $$
Тогда объем шара будет:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi * \frac{30}{\pi}=40$$
 

Задание 3243

Площадь поверхности шара равна 60. Найдите площадь большого круга шара.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Sкруга$$=\pi R^{2}$$

Sшара$$=4\pi R^{2}$$=4Sкруга $$\Rightarrow$$

Sкруга$$=\frac{60}{4}=15$$

Задание 3946

Пло­щадь боль­шо­го круга шара равна 3. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Ответ: 12

Задание 3947

Дано два шара. Ра­ди­ус пер­во­го шара в 2 раза боль­ше ра­ди­у­са вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

Ответ: 4

Задание 3948

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем шара, если его ра­ди­ус уве­ли­чить в три раза?

Ответ: 27

Задание 3949

Ра­ди­у­сы трех шаров равны 6, 8 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

Ответ: 12

Задание 3950

Объем од­но­го шара в 27 раз боль­ше объ­е­ма вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

Ответ: 9

Задание 3951

Ра­ди­у­сы двух шаров равны 6 и 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей по­верх­но­стей двух дан­ных шаров.

Ответ: 10

Задание 3952

Объем шара равен $$288\pi$$. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти, де­лен­ную на $$\pi$$.

Ответ: 144
 

Задание 4012

Радиусы трех шаров равны 3, 4 и 5. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$V=V_{1}+V_{2}+V_{3}$$

$$\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}+\frac{4}{3}\pi R_{2}^{3}+\frac{4}{3}\pi R_{3}^{3}$$

$$R^{3}=R_{1}^{3}+R_{3}^{3}+R_{3}^{3}$$

$$R^{3}=3^{3}+4^{3}+5^{3}=216$$

$$R=6$$

 

Задание 4663

Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 16. Найдите площадь сечения этого шара плоскостью, отстоящей от его центра на расстояние, равное половине радиуса.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Построим чертеж:

Пусть O - центр большего сечения, А - центр меньшего, АС - его радиус, тогда ОС - радиус сферы. Пусть OC = R, тогда AO = 0,5R

Из треугольника AOC по т. Пифагора: $$AC=\sqrt{R^{2}-(0,5R)^{2}}=\frac{\sqrt{3}*R}{2}$$

Тогда площади сечений относятся как квадрта их коэффеициента подобия, или как отношение их радиусов, возведенное в квадрат:

$$(\frac{AC}{OC})^{2}=(\frac{\frac{\sqrt{3}*R}{2}}{R})^{2}=\frac{3}{4}$$

Тогда площадь меньшего составляет 3/4 площади большего, то есть 12

 

Задание 5051

Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около куба, больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб?

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$R=\frac{1}{2}d$$; $$r=\frac{1}{2}a$$; $$R=\frac{1}{2}\sqrt{3}a=\frac{\sqrt{3}a}{2}$$; $$r=\frac{a}{2}$$; $$\frac{S_{1}}{S_{2}}=(\frac{R}{r})^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3$$

 

Задание 9059

Шар, объём которого равен 64, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Ответ: 96
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9105

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 74. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Ответ: 111
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!