Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Стереометрия

Шар

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 1237

Площадь поверхности шара равна $$24\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}}$$. Найдите объем шара.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: $$S=4\pi R^{2}$$ Объем шара вычисляется по формуле: $$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$$ Найдем сначала радиус сферы, зная площадь ее поверхности: $$4\pi R^{2} =24\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}} $$ $$R^{2} =6\frac{\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}}}{\pi} $$ $$R=\sqrt[3]{\frac{6}{\pi}} $$ Тогда объем шара будет равен: $$V=\frac{4}{3}\pi (\sqrt[3]{\frac{6}{\pi}})^{3}=8$$

 

Задание 1291

Цилиндр описан около шара. Найдите объем шара, если известно, что объем цилиндра равен 60.

    

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Высота цилиндра у нас равна двум радиусам вписанного шара. Обозначим радиус шара ( в таком случае и радиус основания цилиндра ) за R, объем цилиндра $$V_{1}$$, а объем шара V. Тогда :
$$V_{1}=Sh=\pi R^{2}*2R=2\pi R^{3}=60$$
$$R^{3}=\frac{30}{\pi} $$
Тогда объем шара будет:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi * \frac{30}{\pi}=40$$
 

Задание 3243

Площадь поверхности шара равна 60. Найдите площадь большого круга шара.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Sкруга$$=\pi R^{2}$$

Sшара$$=4\pi R^{2}$$=4Sкруга $$\Rightarrow$$

Sкруга$$=\frac{60}{4}=15$$

Задание 3946

Пло­щадь боль­шо­го круга шара равна 3. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Ответ: 12

Задание 3947

Дано два шара. Ра­ди­ус пер­во­го шара в 2 раза боль­ше ра­ди­у­са вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

Ответ: 4

Задание 3948

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем шара, если его ра­ди­ус уве­ли­чить в три раза?

Ответ: 27

Задание 3949

Ра­ди­у­сы трех шаров равны 6, 8 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

Ответ: 12

Задание 3950

Объем од­но­го шара в 27 раз боль­ше объ­е­ма вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

Ответ: 9

Задание 3951

Ра­ди­у­сы двух шаров равны 6 и 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей по­верх­но­стей двух дан­ных шаров.

Ответ: 10

Задание 3952

Объем шара равен $$288\pi$$. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти, де­лен­ную на $$\pi$$.

Ответ: 144
 

Задание 4012

Радиусы трех шаров равны 3, 4 и 5. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$V=V_{1}+V_{2}+V_{3}$$

$$\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}+\frac{4}{3}\pi R_{2}^{3}+\frac{4}{3}\pi R_{3}^{3}$$

$$R^{3}=R_{1}^{3}+R_{3}^{3}+R_{3}^{3}$$

$$R^{3}=3^{3}+4^{3}+5^{3}=216$$

$$R=6$$

 

Задание 4663

Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 16. Найдите площадь сечения этого шара плоскостью, отстоящей от его центра на расстояние, равное половине радиуса.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Построим чертеж:

Пусть O - центр большего сечения, А - центр меньшего, АС - его радиус, тогда ОС - радиус сферы. Пусть OC = R, тогда AO = 0,5R

Из треугольника AOC по т. Пифагора: $$AC=\sqrt{R^{2}-(0,5R)^{2}}=\frac{\sqrt{3}*R}{2}$$

Тогда площади сечений относятся как квадрта их коэффеициента подобия, или как отношение их радиусов, возведенное в квадрат:

$$(\frac{AC}{OC})^{2}=(\frac{\frac{\sqrt{3}*R}{2}}{R})^{2}=\frac{3}{4}$$

Тогда площадь меньшего составляет 3/4 площади большего, то есть 12

 

Задание 5051

Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около куба, больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб?

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$R=\frac{1}{2}d$$; $$r=\frac{1}{2}a$$; $$R=\frac{1}{2}\sqrt{3}a=\frac{\sqrt{3}a}{2}$$; $$r=\frac{a}{2}$$; $$\frac{S_{1}}{S_{2}}=(\frac{R}{r})^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3$$

 

Задание 9059

Шар, объём которого равен 64, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9105

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 74. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9775

Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11414

Шар пересечён двумя параллельными плоскостями, расположенными по одну сторону от его центра. Радиус первого сечения равен 12, радиус второго сечения равен 9. Расстояние от центра шара до плоскости первого сечения равно 9. Найдите расстояние между плоскостями сечений.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12446

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 19. Найдите объём шара.

Ответ: 76