Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / (C6) Задача с параметром

Задание 1320

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма имеет единственное решение:

$$\left\{\begin{matrix}( x-1 )( x+2 )\leqslant 0,\\ 8x^{2}+8y^{2}-16a ( x-y ) + 15a^{2}-48y-50a+72=0\end{matrix}\right.$$

Ответ: $$-\frac{16}{7};-2;0;2$$

Задание 1321

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых наибольшее значение функции $$f(x)= |x-a|-x^{2}$$ не меньше 1

Ответ: $$(-\infty;-\frac{3}{4} ]\cup [\frac{3}{4};+\infty )$$

Задание 1322

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых наименьшее значение функции $$f(x)=4ax+|x^{2}+6x+5|$$ больше, чем -24

Ответ: $$\left ( \frac{3-\sqrt{29}}{2};\frac{3+\sqrt{29}}{2} \right )$$

Задание 1323

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых наименьшее значение функции $$f(x)=4x^{2}+4ax+a^{2}-2a+2$$ на множестве $$|x|\geqslant 1$$ не менее 6

Ответ: $$a\leq -2 ; a = 0$$

Задание 1324

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых функция $$f(x)=x^{2}-2|x-a^{2}|-8x$$ имеет более двух точек экстремума

Ответ: $$(-\sqrt{5};-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3};\sqrt{5})$$

Задание 1325

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых функция $$f(x)=x^{2}-2|x-a^{2}|-4x$$ имеет хотя бы одну точку максимума

Ответ: $$(-\sqrt{3};-1)\cup (1;\sqrt{3})$$

Задание 1326

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых среди значений функции $$y=\frac{x^{2}-2x+a}{6+x^{2}}$$ есть ровно одно целое число

Ответ: $$(1 ; 11)$$

Задание 1327

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых график функции $$f(x)=x^{2}-3x+2-|x^{2}-5x+4|-a$$

Ответ: $$(-\infty ;-2]\cup [0;+\infty)$$

Задание 1328

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых множество значений функции $$y=\frac{a+3x-ax}{x^{2}+2ax+a^{2}+1}$$ содержит отрезок $$[0;1]$$

Ответ: $$\left(-\infty;\frac{7-2\sqrt{6}}{5}\right]\cup \left[\frac{7+2\sqrt{6}}{5};3\right)\cup \left(3;+\infty\right)$$

Задание 1329

Найдите все такие значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$(4x-x^{2})^{2}-32\sqrt{4x-x^{2}}=a^{2}-14a$$ имеет хотя бы одно решение

Ответ: $$[0;6]\cup [8;14]$$
 

Задание 2503

Найдите все а, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень: $$\left|x-2\right|+\left|x\right|-ax=2(a-1)$$

Ответ: $$(-\infty ;-2)\cup$$ {1}$$\cup [2;\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2949

Найдите все значения параметра b, при которых система $$ \left\{\begin{matrix}x=-|b-y^{2}|\\ y=a(x+b^{2})\end{matrix}\right.$$ имеет решение при любом значении параметра а.

Ответ: $$\left ( -\infty ;-1 \right ]\cup \left [ 0 ; +\infty \right )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3039

При каких значениях параметра a среди решений неравенства $$\log_{2}(x-100)-\log_{\frac{1}{2}}\frac{|x-101|}{105-x}+\log_{2}\frac{|x-103|(105-x)}{x-100}> a$$ содержится единственное целое число?

Ответ: $$[0;log_{2}3)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3163

Найдите все а, при каждом из которых уравнение $$3*2^{x+1}+\frac{3}{2^{x-1}}+a(18-x^{2})=6(a^{2}+2)$$ имеет ровно одно решение 

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3209

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство $$\frac{a^{2}-4x-5}{x^{2}-4x-5}\geq1$$ имеет ровно четыре целочисленных решения. Для каждого такого a укажите эти решения.

Ответ: в видео
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3334

Найдите все значения a, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}x\sin a-y\cos a+3\sin a+\cos a=0\\ 2x+y-1=0\end{matrix}\right.$$ имеет решение (x;y) в квадрате $$-4\leq x\leq -1 , 2\leq y\leq 5$$

Ответ: $$[\frac{\pi }{4}+\pi n;\arctan 4 +\pi n] ,n\in Z$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3381

Найдите все значения параметра a, при которых существует решение уравнения: $$|x|+|ax+2a-8|=4$$

Ответ: $$\alpha \in (-\infty ;-4]\cup [\frac{4}{3};\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3429

Найдите все значения параметра р, при каждом из которых система уравнений имеет два различных решения: $$\left\{\begin{matrix}(y-1)^{2}=x-|x|\\(x-p)^{2}+2p+y=25\end{matrix}\right.$$

Ответ: [4;12)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3666

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение $$\lg(1-x)+\lg(a^{2}-x^{2})=\lg(x-a)^{2}$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$(-\infty ; 0)\cup (0;1]\cup $$ {2}
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3865

Найдите все значение параметра a , при которых система $$\left\{\begin{matrix}9x^{2}-6xy+y^{2}+6x-13y+3=0\\13x^{2}+6xy+10y^{2}+16x+2y-4ax-6ay+a^{2}-2a+3=0\end{matrix}\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$[\frac{2-3\sqrt{2}}{3};\frac{2+3\sqrt{2}}{3}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4022

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-3y^{2}=8\\2x^{2}+4xy+5y^{2}=a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-3y^{2}=8\\2x^{2}+4xy+5y^{2}=a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$

$$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}=b$$

$$\left\{\begin{matrix}-bx^{2}+2bxy+3by^{2}=-8b\\16x^{2}+32xy+40y^{2}=8b\end{matrix}\right.$$

$$x^{2}(16-b)+xy(2b+32)+y^{2}(40+3b)=0$$ $$\div y^{2}$$

$$\frac{x^{2}}{y^{2}}(16-b)+\frac{x}{y}(2b+32)+(40+3b)=0$$

$$D=(2b+32)^{2}-(16-b)(3b+40)\cdot4\geq0$$

$$4b^{2}+128b+1024-4(48b+640-3b^{2}-40b)\geq0$$

$$4b^{2}+128b+1024-32b-2560+12b^{2}\geq0$$

$$16b^{2}+96b-1536\geq0$$

$$b^{2}+6b-96\geq0$$

$$D=36+384=420$$

$$b_{1,2}=\frac{-6\pm2\sqrt{105}}{2}=-3\pm\sqrt{105}$$

$$\left\{\begin{matrix}b\leq-3-\sqrt{105}\\b\geq-3+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\leq-3-\sqrt{105}\\a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\geq-3+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$

2) $$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-19\geq0$$

$$81-4\cdot27+4\cdot9-19\geq0$$

$$(a-3)(a+1)(a^{2}-2a+3)\geq0$$

$$a^{2}-2a+3=0$$

$$D=4-12<0$$

$$(a-3)(a+1)\geq0$$

$$\left\{\begin{matrix}a\geq3\\a\leq-1\end{matrix}\right.$$

1) $$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\leq-3-\sqrt{105}$$

$$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-9+2\sqrt{105}\leq0$$

$$f'(a)=4a^{3}-12a^{2}+8a=0$$

$$a^{3}-3a^{2}+2a=0$$

$$a(a^{2}-3a+2)=0$$

$$a=0;a=2;a=1$$

$$f(0)=2\sqrt{105}-9>0$$

$$f(2)=16-32+16-9+2\sqrt{105}>0$$

Так как обы минимальных значения больше нуля, то сама функция меньше нуля быть не может, отсюда (1) не имеет решений, и ответом будет только промежутки с (2)

$$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$

 

Задание 4192

Найти все значения параметра $$a$$, при каждом из которых существует хотя бы одно $$x$$, удовлетворяющее условию: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+(5a+2)x+4a^{2}+2a<0\\x^{2}+a^{2}=4\end{matrix}\right.$$

Ответ: $$(-\sqrt{2};-\frac{16}{17});(0;\sqrt{2})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4400

Найти все значения параметра a, при каждом из которых существует хотя бы одно x, удовлетворяющее системе уравнений: $$\left\{\begin{matrix}|x^{2}-5x+4|-9x^{2}-5x+4+10x|x|=0\\x^{2}-2(a-1)x+a(a-2)=0\end{matrix}\right.$$

Ответ: $$a\in{-1}\cup[1;6]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$|x^{2}-5x+4|-9x^{2}-5x+4+10x|x|=0$$

a) $$x<0$$

$$x^{2}-5x+4-9x^{2}-5x+4-10x^{2}=0$$; $$-18x^{2}-10x+8=0$$; $$9x^{2}+5x-4=0$$; $$D=25+144=169=13^{2}$$; $$x_{1}=\frac{-5+13}{18}=\frac{4}{9}$$ $$\notin$$ $$x<0$$; $$x_{2}=\frac{-5-13}{18}=-1$$

б) $$x\in[0;1]\cup[4;+\infty)$$

$$x^{2}-5x+4-9x^{2}-5x+4+10x^{2}=0$$; $$2x^{2}-10x+8=0$$; $$x^{2}-5x+4=0$$; $$x=1$$; $$x=4$$

в) $$x\in(1;4)$$

$$-x^{2}+5x-4-9x^{2}-5x+4+10x^{2}=0$$; $$0=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in(1;4)$$

Результат: $$x\in{-1}\cup[1;4]$$

2) $$x^{2}-2(a-1)x+a(a-2)=0$$; $$D=4(a^{2}-2a+1)-4a(a-2)=$$ $$4a^{2}-8a+4-4a^{2}+8a=4$$; $$x_{1}=\frac{2(a-1)+2}{2}=\frac{2a}{2}=a$$; $$x_{2}=\frac{2(a-1)-2}{2}=\frac{2a-4}{2}=a-2$$

1. $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=-1\\x_{2}=-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-1\\a-2=-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-1\\a=1\end{matrix}\right.$$

2. $$\left\{\begin{matrix}1\leq x_{1}\leq4\\1\leq x_{2}\leq4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1\leq a\leq4\\1\leq a-2\leq4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1\leq a\leq4\\3\leq a\leq6\end{matrix}\right.$$

Общим решением будет объединение: $$a\in{-1}\cup[1;6]$$

 

Задание 4577

Найдите все а, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}x+y+9(\sqrt{x}+\sqrt{y})-3\sqrt{xy}=86-a^{a}\\\sqrt{xy}-7(\sqrt{x}+\sqrt{y})=a^{2}+a-45\end{matrix}\right.$$ имеет ровно три решения.

Ответ: $$-\frac{7}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4776

При каких значениях параметра p система $$\left\{\begin{matrix} x^{2}+2px+3p^{2}+3p+3\leq 3\sin y - 4\cos y\\ 0\leq y\leq 2\pi \end{matrix}\right.$$

Ответ: $$-2;\frac{1}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4823

Найдите все значения параметра а при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{7|y|}\\49y^{2}+x^{2}+4a=2x-1\end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ: $$-\frac{1}{4}; -\frac{1}{32}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Перепишем систему в виде $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\left | x-1 \right |}+\sqrt{7\left | y \right |}=1\\\left | x-1 \right |^{2}+(7\left | y \right |)^{2}=-4a\end{matrix}\right.$$

     Пусть $$\sqrt{\left | x-1 \right |}=m\geq 0$$; $$\sqrt{7\left | y \right |}=n\geq 0$$

     Тогда система примет вид : $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=-4a\end{matrix}\right.(*)$$. Если пара чисел $$(m_{0};n_{0})$$ является решением системы (*), то пара $$(n_{0}; m_{0})$$ также её решение :

     1) Пусть $$m_{0}\neq n_{0}, m_{0}, n_{0}>0$$. Тогда $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=m_{0}^{2}\\7\left | y \right |=n_{0}^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=n_{0}^{2}\\7\left | y \right |=m_{0}^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.(**)$$. Каждая система совокупности имеет четыре решения, тогда данная система имеет 8 различных решений , что не удовлетворяют  условию задачи .

     2) Пусть одно из значений $$m_{0}$$ или $$n_{0}$$ равно нулю, тогда пары  (0;1) и (1;0)-решения системы(*), -4a=1, откуда  $$a=-\frac{1}{4}$$ . В этом случае совокупность (**) примет вид :

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=0\\7\left | y \right |=1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=1\\7\left | y \right | =0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$, откуда получим 4 решения данной системы : $$(1; \frac{1}{7})$$, $$(1; -\frac{1}{7})$$, $$(2;0)$$, $$(0;0)$$

     3) Пусть $$m_{1}=n_{0}$$, тогда $$\left\{\begin{matrix}m_{0}+m_{0}=1\\m_{0}^{4}+m_{0}^{4}=-4a\end{matrix}\right.$$., откуда

$$m_{0}=\frac{1}{2}$$, $$a=-\frac{1}{32}$$ и система (*) имеет одно решение $$(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$$. В Этом случае совокупность (**) примет вид :

$$\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=\frac{1}{4}\\7\left | y \right |=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$, откуда получим 4 решения данной системы: $$(1\frac{1}{4} ;\frac{1}{28})$$, $$(1\frac{1}{4}; -\frac{1}{28})$$, $$(\frac{3}{4}; \frac{1}{28})$$, $$(\frac{3}{4};-\frac{1}{28})$$.

     Докажем, что при $$a=-\frac{1}{4}$$ и $$a=-\frac{1}{32}$$ других, кроме найденных решений,  данная система не имеет .

     1. При  $$a=-\frac{1}{4}$$ система (*) имеет вид: $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=1\end{matrix}\right.$$. Если $$m\neq 0$$, $$n\neq 0$$, то $$m,n \in (0;1)$$ и $$\left\{\begin{matrix}m^{4}<m\\n^{4}<n\end{matrix}\right.$$

   Тогда $$m^{4}+n^{4}<m+n$$, т.е. $$m^{4}+n^{4}<1$$, что противоречит  второму уравнению системы . Следовательно, при $$a=-\frac{1}{4}$$ других решений системы нет и $$a=-\frac{1}{4}$$ удовлетворяет условию .

     2. При $$a=-\frac{1}{32}$$ система (*) имеет вид : $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=\frac{1}{8}\end{matrix}\right.$$ . Пусть$$\left\{\begin{matrix}m=\frac{1}{2}+t\\n=\frac{1}{2}-t\end{matrix}\right.$$ , тогда $$\left\{\begin{matrix}m^{4}=(\frac{1}{2}+t)^{2}=\frac{1}{16}+4*\frac{1}{8}t+6*\frac{1}{4}t^{2}+4*\frac{1}{2}t^{3}+t^{4}\\n^{4}=(\frac{1}{2}-t)^{4}=\frac{1}{16}-4*\frac{1}{8}t+6*\frac{1}{4}t^{2}-4*\frac{1}{2}t^{3}+t^{4}\end{matrix}\right.$$. И $$m^{4}+n^{4}=\frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{4}$$. Имеем : $$\frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{2}=\frac{1}{8}$$, откуда $$t=0$$, $$m =n=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ других решений нет и $$a=-\frac{1}{32}$$ удовлетворяет условию .

 

Задание 4867

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$a(2\log_{2} (|x|+2) - a -3)\sqrt{\log_{2} (|x|+2) -a +2}=0$$ имеет ровно два различных корня

Ответ: $$a\in (-1;3) \cup [7;+\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$a\neq 0$$ - иначе получаем 0 = 0, и, следовательно, множество корней

2)Пусть $$\log_{2} (|x|+2) = $$ y при этом будет строго больше 1, так как $$|x|+2 \geq 2 \Rightarrow \log_{2} (|x|+2)\geq 1$$ при всех х, и если y равен единице, то x = 0 и мы получаем всего один корень. Так же получаем ОДЗ с учетом корня четной степени: $$y \geq a-2$$

$$a(2y-a-3)\sqrt{y-a+2}=0\Leftrightarrow $$$$y_{1}=\frac{a+3}{2} ; y_{2} =a-2$$

Если мы имеем какой-либо корень y=m, то, из-за модуля, при обратной замене мы получим два корня по х. Следовательно, чтобы выполнялось условия существования именно двух корней по x, один корень по y не должен входить в ОДЗ. Отсюда 2 случая:

а) $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2}\leq a-2\\ a-2> 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}a\geq 7\\ a> 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ a\geq 7$$

б)$$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2}> a-2\\ \frac{a+3}{2}> 1\\ a-2< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}a< 7\\a> -1 \\ a< 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$a\in (-1;3)$$

В результате получим: $$a\in (-1;3) \cup [7;+\infty )$$

 

Задание 4918

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$x^{2}-4x-12=2|x-a+2|-16$$ имеет ровно три различных решения.  

Ответ: 3,5; 4; 4,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Перенесем -16 влево: $$x^{2}-4x-12+16=2|x-(a-2)|\Leftrightarrow $$ $$(x-2)^{2}=2|x-(a-2)|$$ Рассмотрим графики функций: $$f(x)=(x-2)^{2}$$ и $$g(x)=2|x-(a-2)|$$. В первом случае представлена парабола с вершиной в точке (2;0), во втором случае график модуля (галочка) с вершиной в точке (a-2 ; 0). Данные фукциии имеют в зависимости от параметра а от двух до четырех пересечений. Нам необходимо три. Рассмотрим все возможные случаи:

 

Задание 4965

Найдите все значения параметра , при каждом из которых наименьшее значение функции $$y=4x^{2}-4ax+(a^{2}-2a+2)$$ на отрезке $$0\leq x\leq2$$ равно 3.

Ответ: $$1-\sqrt{2} ;5+\sqrt{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Найдем вершину параболы:$$x_{0}=-\frac{-4a}{4\cdot2}=\frac{a}{2}$$. В таком случае координата y вершины составляет: $$y_{x_{0}}=4\cdot(\frac{a}{2})^{2}-4a\cdot\frac{a}{2}+a^{2}-2a+2=$$ $$\frac{4a^{2}}{4}-\frac{4a^{2}}{2}+a^{2}-2a+2=$$ $$a^{2}-2a^{2}+a^{2}-2a+2=2-2a$$. Далее необходимо рассмотреть три варианта расположения вершины параболы относительно заданного промежутка:
1) Когда вершина параболы левее промежутка: тогда наименьшее значение функция принимает в точке с абсциссой 0:  
$$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{2}<0\\y(0)=3\end{matrix}\right.$$
$$y(0)=4\cdot0-4a\cdot0+a^{2}-2a+2=3$$; $$a^{2}-2a-1=0$$
$$D=4+4=8$$
$$a_{1}=\frac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}\notin\frac{a}{2}<0$$
$$a_{2}=1-\sqrt{2}$$
2) Когда вершина параболы на промежутке: тогда наименьшее значение функция принимает в вершине параболы:
$$\left\{\begin{matrix}0\leq\frac{a}{2}\leq2\\2-2a=3\end{matrix}\right.$$
$$-2a=1$$ $$\Leftrightarrow$$
$$a=-0,5\notin 0\leq\frac{a}{2}\leq2$$
3) Когда вершина правее заданного промежутка, тогда наименьшее значение будет в точке с абсциссой 2:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{2}>2\\y(2)=3\end{matrix}\right.$$
$$y(2)=4\cdot4-4a\cdot2+a^{2}-2a+2=3$$
$$16-8a+a^{2}-2a+2-3=0$$; $$a^{2}-10a+15=0$$
$$D=100-60=40$$
$$a_{1,2}=\frac{1=\pm\sqrt{40}}{2}=5\pm\sqrt{10}$$
$$5-\sqrt{10}\notin \frac{a}{2}>2$$
В итоге получаем два значения: $$1-\sqrt{2} ;5+\sqrt{10}$$
 

Задание 5014

Найдите все $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\log{\frac{1,2x}{\pi}}(2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1)=0$$ имеет не более трёх корней,  входящих в отрезок $$[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: $$(-\infty;-\frac{1}{2}]\cup\frac{1}{4}$$$$\cup(\frac{1}{2};\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1>0\\\frac{1,2x}{\pi}>0\\x\in[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]\\2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1=1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1=0(1)\\x\in(0;\frac{5\pi}{2})\cup{\frac{5\pi}{6}}\end{matrix}\right.$$

1) $$2\sin^{2}x-\sin x(4a+1)+2a=0$$

$$D=16a^{2}+8a+1-16a=(4a-1)^{2}$$; $$\sin x=\frac{4a+1\pm|4a-1|}{2}=2a;\frac{1}{2}$$; $$\sin x=\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in Z$$; $$\sin x=2a$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{n}\arcsin2a+\pi n,n\in Z$$

$$\sin x=\frac{1}{2}$$ дает с учетоа ОДЗ 2 корня: $$(\frac{\pi}{6};\frac{13\pi}{6})$$, значит $$\sin x=2a$$ не более одного отличного решения $$\Rightarrow$$ $$2a\in(-\infty;-1]\cup{\frac{1}{2}}\cup(1;+\infty)$$ $$\Rightarrow$$ $$a\in(-\infty;-\frac{1}{2}]\cup{\frac{1}{4}}\cup(\frac{1}{2};+\infty)$$

 

Задание 5061

 При каких значениях параметра  система уравнений $$\left\{\begin{matrix}(x^{2}+(y-7)^{2}-9)((x-4)^{2}+(y-3)^{2}-1)=0\\ax-y-4a-2=0\end{matrix}\right.$$ имеет четыре решения?

Ответ: $$-\frac{36+6\sqrt{22}}{7};-2\sqrt{6}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}(x^{2}+(y-7)^{2}-9)((x-4)^{2}+(y-3)^{2}-1)=0\\ax-y-4a-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+(y-7)^{2}=9(*) & \\(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=1(**) & \\y=a(x-4)-2\end{matrix}\right.$$

$$(*) x^{2}+(y-7)^{2}=9$$ - окружность с центром $$O_{1}(0;7)$$ и радиусом $$R=3$$

$$(**)(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=1$$ – окружность с центром $$O_{2}(4,3)$$ и радиусом $$R=1$$

$$y=a(x-4)-2$$ - пучок прямых ,проходящих через точку $$A(4,-2)$$

     Пусть $$B_{1}C$$ - точки касания прямой $$y=a(x-4)-2$$ с окружностью (**) с , а, $$D_{1}E$$ - с окружностью (*)

     Система будет иметь 4 решения , если прямая будет пересекать окружности в 4 точках. На рисунках слева оранжевым цветом выделены пограничные случаи расположения прямой в таком случае (4 решения от момента касания в точке D до момента касания в точке  C при повороте прямой против часовой стрелки ,не включая данные значения)

     Найдем соответствующие значения параметра a .Воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки с координатами $$(x_{0},y_{0})$$ до прямой $$ax+by+c=0$$: $$p=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

     Расстояние от точки $$O_{1}$$ до прямой  $$y=a(x-4)-2$$ равно $$\frac{\left | -7-4a-2 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}=\frac{\sqrt{4a+9}}{\sqrt{a^{2}+1}}$$

     С другой стороны , расстояние от точки $$O_{1}$$ до прямой $$y=a(x-4)-2$$ равно радиусу окружности (*) , откуда $$\frac{\left | 4a+9 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}=3\Rightarrow$$ $$(4a+9)^{2}=9(a^{2}+1)\Leftrightarrow$$ $$16a^{2}+72a+81=9a^{2}+9\Leftrightarrow $$$$7a^{2}+72a+72=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}a=-\frac{36+6\sqrt{22}}{7}\\a=-\frac{36-6\sqrt{22}}{7}\end{matrix}\right.$$

     Поскольку касание происходит в точке D, то угловой коэффициент прямой в случае касания в точке D должен быть меньше, чем в случае касания в точке  E, поэтому  $$a=-\frac{36+6\sqrt{22}}{7}$$

    Аналогичным образом находим значения параметра в случае касания с окружностью (**):

$$\frac{\left | 4a-3-4a-2 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{5}{\sqrt{a^{2}+1}}=1\Leftrightarrow$$ $$25=a^{2}+1\Leftrightarrow$$ $$a^{2}=24\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}a=2\sqrt{6}\\a=-2\sqrt{6}\end{matrix}\right.$$

     Касание прямой с окружностью  в точке C соответствует значению $$a=-2\sqrt{6}(a=2\sqrt{6}$$ - касание в точке B). Окончательно получим , что система имеет 4 решения при $$a_{1,2}=-\frac{36+6\sqrt{22}}{7};-2\sqrt{6}.$$

 

Задание 5145

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$|a^{2}+3-x|+|x-a-2|+|x-3a-1|=a^{2}-a+1$$ имеет хотя бы один корень.  

Ответ: $$[0,5; 1]\cup [2;+\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Используем «неравенство треугольника» :$$\left | x+y \right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |$$, где равенство достигается , если x  и y или оба неотрицательны , или оба неположительны.

     Поскольку $$a^{2}-a*1>0$$, будем иметь: $$a^{2}-a*1=\left | a^{2}-a+1 \right |=$$$$\left | (a^{2}+3-x)+(x-a-2) \right |\leq$$ $$\left | a^{2}+3-x \right |+\left | x-a-2 \right |\leq$$ $$\left | a^{2}+3-x \right |+\left | x-a-2 \right |+\left | x-3a-1 \right |=$$$$a^{2}-a+1(1)$$

     Следовательно , в цепочке (1) все неравенства обращаются в равенства. Это возможно лишь в том случае , когда $$a^{2}+3-x$$ и $$x-a-2$$ неотрицательны ( так как их сумма положительна) , а $$x-3a-1=0$$. Получим систему условий: $$\left\{\begin{matrix}x-3a-1=0\\a^{2}+3-x\geq 0\\x-a-2\geq 0\end{matrix}\right.(2)$$

     Подставим значение  $$x=3a+1$$ из первого неравенства системы (2) во второе и третье:

$$\left\{\begin{matrix}a^{2}-3a+2\geq 0\\2a-1\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in (-\infty; 1]\cup [2;+\infty )\\a\geq 0,5\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$a\in [0,5; 1]\cup [2;+\infty )$$

 

Задание 5198

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$(x^{2}-5+\ln(x+a))^{2}=(x^{2}-5)^{2}+\ln^{2}(x+a)$$ имеет единственное решение на отрезке $$[0;3]$$

Ответ: $$(-\sqrt{5};-2)\cup (1-\sqrt{5})\cup (1; +\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(x^{2}-5+\ln(x+a))^{2}=(x^{2}-5)^{2}+\ln^{2}(x+a)$$

ОДЗ: $$x+a>0 \Leftrightarrow x>-a$$

$$(x^{2}-5)^{2}+2(x^{2}-5)\ln^{2}(x+a)=(x^{2}-5)^{2}+\ln^{2}(x-a)$$

$$(x^{2}-5)\ln(x-a)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-5=0 \\\ln(x+a)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pm \sqrt{5} \\x_{2}=1-a \end{matrix}\right.$$

$$\sqrt{5}\in [0; 3]$$, тогда есть три возможных варианта ($$x_{2}\in$$ ОДЗ при всех a)

1) $$x_{1}\notin$$ ОДЗ и $$x_{2}\in [0 ;3]$$

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{5}\leq -a \\0\leq1-a\leq 3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\leq -\sqrt{5} \\-2\leq \leq 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

2) $$x_{1}\in$$ ОДЗ и $$x_{2}\notin [0 ;3]$$

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{5}>- a \\\left\{\begin{matrix}1-a>3 \\1-a<0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}a>-\sqrt{5} \\\left\{\begin{matrix}a<-2 \\a>1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$a\in (-\sqrt{5};-2)\cup (1; +\infty )$$

3) $$x_{1}=x_{2}$$

$$1-a=\sqrt{5}\Leftrightarrow 1-\sqrt{5}$$

Объединим полученные результаты: $$a\in (-\sqrt{5};-2)\cup (1-\sqrt{5})\cup (1; +\infty)$$

 

Задание 5245

Найдите все значения а, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-2ax+2ay\leq0\\x^{2}+y^{2}+6ax+8ay\leq1-10a\end{matrix}\right.$$ имеет ровно одно решение.

Ответ: $$\frac{1}{10-\sqrt{2}} ;\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-2ax+2ay\leq 0 \\x^{2}+y2 +6ax+8ay\leq 1-10a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}+2ay+a^{2}-2a^{2}\leq 0 \\x^{2}+6ax+9a^{2}+y^{2}+8ay+16a^{2}-25a^{}\leq 1-10a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-a)^{2}+(y+a)^{2}\leq 2a^{2}(f(x)) \\(x+3a)^{2}+(y+4a)^{2}\leq 25a^{2}-10a+1(g(x)) \end{matrix}\right.$$

f(x)-окружность с центром (a;-a) и $$r=\sqrt{2}|a|$$

g(x)-окружность с центром (-3a;-4a) и $$r=|5a-1|$$??

Чтобы было одно решение, расстояние между центральным равно сумме радиусов(т.к. окружности касается)

$$\sqrt{(-3a-a)^{2}+(-4a-(-a))^{2}}=\left | 5a-1 \right |+\sqrt{2}\left | a \right |$$

$$\sqrt{25a^{2}}=\left | 5a-1 \right |+\sqrt{2}\left | a \right |$$

$$5|a|-\sqrt{2}|a|=|5a-1|$$

1) $$\left\{\begin{matrix}a\leq 0 \\-5a+\sqrt{2}a=-5a+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\leq 0 \\a=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

2)$$\left\{\begin{matrix}a \in (0;0,2] \\5a-\sqrt{2}a=-5a+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$10a-\sqrt{2}a=1\Leftrightarrow$$$$a=\frac{1}{10-\sqrt{2}}$$

3) $$\left\{\begin{matrix}a>0,2 \\5a-\sqrt{2}a=5a-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{2}a=1\Leftrightarrow$$ $$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Объединим полученные значения: $$\frac{1}{10-\sqrt{2}} ;\frac{\sqrt{2}}{2}$$

 

Задание 5293

Найдите все а, при каждом из которых уравнение $$4^{1-x^{2}}-3a^{2}\cdot2^{1-x^{2}}+3a^{3}-a^{2}=0$$ имеет ровно два корня

Ответ: $$(-\frac{2}{3}; 0)\cup (0 ;\frac{1}{3}]\cup {\frac{2}{3}}\cup (1;2)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

В исходном уравнении $$4^{1-x^{2}}-3a^{2}*2^{1-x^{2}}+3a^{2}-a^{2}=0$$ выполним замену переменной $$t=2^{1-x^{2}}$$. Получим уравнение  $$t^{2}-3a^{2}t+3a^{3}-a^{2}=0$$. В этом уравнении $$t>0$$

Поскольку $$1-x^{2}\leq 1$$ имеем : $$2^{1-x^{2}}\leq 2\Leftrightarrow t\leq 2$$. Если $$x_{0}\neq 0$$ является корнем исходного уравнения, то и $$-x_{0}$$-также является его корнем. Следовательно, преобразовательное уравнение должно иметь ровно один корень в промежутке (0;2]. Более того, если 2- корень преобразованного уравнения , то исходное уравнение имеет нечётное количество корней , т.к. равенство $$2^{1-x^{2}}=2$$ выполняется только при $$x=0$$

1)Преобразованное уравнение имеет единственный корень при $$D=0$$, т.е. $$D=9a^{4}-12a^{3}+4a^{2}=a^{2}(3a-2)^{2}=0$$

При $$a=0$$ получаем $$t=0\notin (0;2)$$ . При $$a=\frac{2}{3}$$ получаем $$(t-\frac{2}{3})^{2}=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}$$-решение задачи

$$a =\frac{2}{3}$$

2) Обозначим $$f(t)=t^{2}-3a^{2}+3a^{3}-a^{2}$$ и рассмотрим теперь промежуток (0;2) для значений корня преобразованного уравнения. Обозначим $$f(t)=t^{2}-3a^{2}t+3a^{3}-a^{2}$$

Для того, чтобы единственный корень этого уравнения попадал в указанный промедуток , досаточно, чтобы a\neq 0

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}f(0)>0\\f(2)<0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}f(0)<0\\f(2)>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}(a-1)(a-2)(a+\frac{2}{3})<0\\a^{2}(a-\frac{1}{3})>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}(a-1)(a-2)(a+\frac{2}{3})>0\\a^{2}(a-\frac{1}{3})<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Остается рассмотреть случай $$a=\frac{1}{3}$$. В этом случае преобразованное уравнение принимает

 Вид $$t(t-\frac{1}{3})=0$$, откуда $$t=\frac{1}{3}$$-единственный корень в промежутке (0;2) , т.е.

$$a=\frac{1}{3}$$-решение задачи

 

Задание 5341

Найдите все значения параметра $$3a(a-7)-8(a-7)(2^{x}+1)\leq (8x^{2}-16x)(2^{x}+1)-3ax^{2}+6ax$$ , при каждом из которых неравенство имеет решения на промежутке $$[-1;0)$$

Ответ: $$a \in \left [ 4 ; 7 \right )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Преобразуем данное неравенство: $$(a-7)(3a-8(2^{x}+1))\leq 8x(x-2)(2^{x}+1)-3ax(x-2) \Leftrightarrow$$$$(a-7)(3a-8(2^{x}+1))\leq x(x-2)(8(2^{x}+1)-3a) \Leftrightarrow$$$$(a-7)(3a-8(2^{x}+1)) + x(x-2)(3a-(2^{x}+1))\leq 0 \Leftrightarrow$$$$(8(2^{x}+1)-3a)(x^{2}-2x+a-7) \geq 0 (1)$$

Рассмотрим по отдельности обе скобки и представим их как функции $$a(x)$$:

$$8(2^{x}+1)-3a = 0\Leftrightarrow$$$$a=\frac{2^{x+3}}{3}+\frac{8}{3}$$ - график степенной функции

$$x^{2}-2x+a-7=0 \Leftrightarrow$$$$a=-x^{2}+2x+7\Leftrightarrow$$$$a=-(x^{2}-2x-7)\Leftrightarrow$$$$a=-(x^{2}-2x+1-1-7)\Leftrightarrow$$$$a=-(x-1)^{2}+8$$ - график квадратичной функции.

По условии задачи необходимо, чтобы решения были на промежутке $$[-1;0)$$, тогда так же построим графики $$x=-1 ; x=0$$ и графики полученных функции в системе координат AoX.

Найдем пересечение степенной функции с прямыми $$x=-1 ; x=0$$:

$$x=-1 ; a(-1)=\frac{2^{-1+3}}{3}+\frac{8}{3}=4$$

$$x=0 ; a(0)=\frac{2^{0+3}}{3}+\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$$

Как видим по графикам мы получили три области, необходимо проверить, точки каких областей удовлетворяют неравенству (1). Для этого будем брать из каждой области точку, и подставлять координаты в наше неравенство:

1) Возьмем точку (0;0) : $$(8(2^{0}+1)-3*0)(0^{2}-2*0+0-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$16*(-7)\geq 0$$ - неравенство неверно, следовательно, первая область не подходит

2) Возьмем точку (0;6): $$(8(2^{0}+1)-3*6)(0^{2}-2*0+6-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$-2*(-1)\geq 0$$ - неравенство верно, следовательно, вторая область подходит и по а она находится в промежутке [4;7) (7 не входит, так как по условию $$x \neq 0$$)

3) Возьмем точку (0;8) : $$(8(2^{0}+1)-3*8)(0^{2}-2*0+8-7) \geq 0 \Leftrightarrow$$$$-8*1 \geq 0$$ - неравенство неверно, следовательно, третья область не подходит

Итоговый ответ: $$a \in \left [ 4 ; 7 \right )$$

 

Задание 5389

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

$$(|2x+1-a|+|2x+1+a|-2a)(|x^{2}-2x+a|+|x^{2}-2x-a|-2a)=0$$

имеет ровно четыре целых решения

Ответ: $$a \in [1 ; 3)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим каждую скобку по отдельности. Так как произведение равно нулю, когда один из множителей равно нулю, то итоговым решением будет совокупность решений каждой скобки:

Пусть : $$|2x+1-a|+|2x+1+a|-2a=0 (A)$$ или $$|x^{2}-2x+a|+|x^{2}-2x-a|-2a=0 (B)$$

A) Раскроем модули. Модули равны 0, если $$2x+1=\pm a$$. Отметим данные значения на координатной прямой, рассмотрим, какие знаки принимают подмодульные выражения:

1)Если $$2x+1 < -a \Leftrightarrow$$$$a < -2x -1$$. Тогда : $$-2x-1+a-2x-1-a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=-2x-1$$. Но данное уравнение не имеет решения в силу строгости условия раскрытия модуля
2)Если $$-a \leq 2x+1 \leq a \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}a \geq -2x-1\\a\geq 2x+1 \end{matrix}\right.$$. Тогда $$-2x-1+a+2x+1+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$0=0$$. Получили верное числовое равенство, следовательно решением будет любая точка, удовлетворяющая условию раскрытия модуля. Найдем область этих точек. Для этого строится график каждой функции поочередно, он разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Берется любая точка из любой полуплоскости и проверяется на выполнение неравенства, если оно выполняется, то полуплоскость является решением, если нет - то решением является другая полуплоскость. Рассмотрим на примере $$a \geq -2x-1$$. Начертим график функции $$a =-2x-1$$. Возьмем точку, не принадлежащую графики, например (0;0) и проверим выполнение неравенства:$$0 \geq -2*0 - 1 \Leftrightarrow$$$$0\geq -1$$ - неравенство верное, следовательно, полуплоскость, где лежит эта точка является решением ( на рисунке бежевым ). Для второго неравенства решение черным. Решением же системы является пересечение областей (темно-бежевый)
3)Если $$a > 2x+1$$. Тогда: $$2x+1-a+2x+1+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=2x+1$$. Данное уравнение не имеет решений в силу строгости условия раскрытия модуля.
 
Б)Раскроем модули. Модули равны 0, если $$x^{2}-2x=\pm a$$. Отметим данные значения на координатной прямой, рассмотрим, какие знаки принимают подмодульные выражения:
 
1)Если $$x^{2}-2x < -a \Leftrightarrow$$$$a < x^{2}-2x$$. Тогда : $$-x^{2}+2x-a-x^{2}+2x+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=-x^{2}+2x$$. Но данное уравнение не имеет решения в силу строгости условия раскрытия модуля
2)Если $$-a \leq x^{2}-2x \leq a \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}a \geq -x^{2}+2x\\ a\geq x^{2}-2x \end{matrix}\right.$$. Тогда $$x^{2}-2x+a-x^{2}+2x+a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$0=0$$. Получили верное числовое равенство, следовательно решением будет любая точка, удовлетворяющая условию раскрытия модуля. Найдем область этих точек. Для первого неравенства область чертного цвета, для второго - бежевого, для системы же - темно-бежевый
3)Если $$a > x^{2}-2x$$. Тогда: $$x^{2}-2x+a+x^{2}-2x-a-2a=0 \Leftrightarrow$$$$a=x^{2}-2x$$. Данное уравнение не имеет решений в силу строгости условия раскрытия модуля.

Итоговой областью решения будет множество точек объединения получившихся промежутков (фиолетовая область):

Наим необходимо, чтобы было ровно 4 целых значения х. Построим прямую $$a=0,5$$ Как видим, целых абсцисс, попавших в пересечение прямой и области решения всего 2 ( 0 и 2). Построим прямую $$a=1$$. Как видим, целых абсцисс получаем 4 (-1 ; 0 ; 1 ; 2). Построим прямую $$a=3$$, там уже будет 6 целых абсцисс (-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3). Следовательно, решением будет $$a \in [1 ; 3)$$

 

Задание 6045

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$x^{4}-2x^{3}-(2a+3)x^{2}+2ax+3a+a^{2}=0$$ имеет решения, и определите то решение, которое получается только при единственном значении параметра a .

Ответ: $$a\geq 0$$; $$x=-1,5$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Преобразуем данное уравнение относительно переменной а (х будет параметром): $$x^{4}-2x^{3}-(2a+3)x^{2}+2ax+3a+a^{2}=0\Leftrightarrow$$$$x^{4}-2x^{3}-2ax^{2}+3x^{2}+2ax+3a+a^{2}=0\Leftrightarrow$$$$a^{2}+a(3+2x-2x^{2})+x^{4}-2x^{3}-3x^{2}$$

Найдем корни данного уравнения:

$$D=(3+2x-2x^{2})^{2}-4(x^{4}-2x^{3}-3x^{2})=4x^{2}+12x+9=(2x+3)^{2}$$

$$a_{1}=\frac{2x^{2}-2x-3+|2x+3|}{2}$$

$$a_{2}=\frac{2x^{2}-2x-3-|2x+3|}{2}$$

Рассмотрим график функции $$a_{1}(x)$$, раскроем модуль:

$$\left\{\begin{matrix}x\geq -1,5\Rightarrow a=x^{2}\\x< -1,5\Rightarrow a=x^{2}-2x-3\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим график функции $$a_{2}(x)$$, раскроем модуль:

$$\left\{\begin{matrix}x\geq -1,5\Rightarrow a=x^{2}-2x-3\\x< -1,5\Rightarrow a=x^{2}\end{matrix}\right.$$

Построим графики функций $$a_{1}(x);a_{1}(x)$$:

Как видим, значения $$a$$ начинаются с -4 (вершина параболы $$a_{2}(x)$$). С учетом свойств квадратичной функции, получаем, что $$a \geq -4$$. При этом значение х, пределяемое единственным значением а равно -1,5 (абсцисса точки пересечение графиков обеих квадратичных фукнций)

 

Задание 6092

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$a^{2}+8|x-5|+2\sqrt{x^{2}-10x+29}=2a+|x-2a-5|$$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$a ^{2}+8\left | x-5 \right |+2\sqrt{x^{2}-10x+29}=2a +\left | x-2a -5 \right |$$

Пусть x-5=y

$$a ^{2}+8\left | y \right |+2\sqrt{y^{2}+4}=2a +\left | y-2a \right |$$

$$2\sqrt{y^{2}+4}= 2a -a ^{2}-8\left | y \right |+\left | y-2a \right |$$

Рассмотрим обе части уравнения как отдельные функции g(y) и f(y):

$$g(y)=2\sqrt{y^{2}+4}$$ - график данной функции - ветви параболы

При этом минимальное значение будет: $$g_{min}=g(0)=2\sqrt{0+4}=4$$

Рассмотрим функцию f(y): так как там есть модуль и параметр, то будет несколько вариантов раскрытия:

$$f(g)=2a -a ^{2}-8\left | y \right |+\left | y-2a \right |$$ - кусочно-линейная функция

а)Пусть $$2a \geq 0$$, тогда

1)$$y\leq 0$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$ - синий цвет

2)$$y\in (0 ; 2a )$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y-y+2a =-9y+4a -a ^{2}$$ - зеленый цвет

3) $$y> 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$ - красный цвет

Схематичное изображение графика:

Как видим максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)=2a =a ^{2}+\left | -2a \right |$$

б)Пусть $$2a < 0$$

1)$$y\leq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$

2)$$y\in (2a; 0)$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y+y-2a =9y-a ^{2}$$

3)$$y\geq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$

Схематичное изображение графика:

И тут максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)$$. То есть, независимо от значения $$a$$ максимальное значение при $$y=0$$.

Тогда , чтобы были решения $$g_{min}\leq f_{max}$$ (графическая интерпритация):

Тогда:

$$4\leq 2a -a ^{2}+\left | -2a \right |\Leftrightarrow$$$$a ^{2}-2a -\left |- 2a \right | +4\leq 0$$

Расскроем модуль:

1)$$-2a \geq 0\Rightarrow a \leq 0$$. Тогда $$a ^{2}-2a +2a +4\leq 0\Rightarrow a ^{2}+4\leq 0\Rightarrow$$ решений нет

2) $$-2a < 0\Rightarrow a > 0$$. Тогда $$a ^{2}-2a -2a +4\leq 0\Rightarrow (a -2)^{2}\leq 0\Rightarrow a =2$$

 

Задание 6139

При каких значениях параметра a система $$\left\{\begin{matrix}y=2ax-2x^{2}+6a-4\\ y=\frac{3*3^{x^{2}}}{27^{a}}-\frac{3^{ax}}{3}\end{matrix}\right.$$ имеет не менее двух решений?

Ответ: $$a\in (-\infty; -6;-\sqrt{11})\cup (-6; +\sqrt{11};+\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}y=2ax-2x^{2}+60-4 & & \\y=\frac{3*3^{x^{2}}}{27^{a}}-\frac{3^{ax}}{3}& &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}y_{1}=2(-x^{2}+ax+3a-2) & & \\y_{2}=3^{x^{2}-3a+1}-3^{2x-1} & &\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим монотонность $$y_{2}$$:

$$3^{x^{2}-3a+1}-3^{ax-1}>0$$

$$3^{x^{2}-3a+1}>3^{ax-1}$$

$$x^{2}-3a+2>0$$

$$x^{2}-ax-3a+2>0$$

Пусть $$x^{2}-ax-3a+2=f$$. Тогда $$y_{1}=-2f$$. Получаем, если $$f>0$$,то $$y_{2}>0$$, но $$y_{1}<0$$ ,и наоборот . Тогда $$y_{1}=y_{2}$$ только при условии , что $$f=0$$.

$$x^{2}-ax-3a+2=0$$

$$D=a^{2}-4(2-3a)=a^{2}+12a-8>0$$

$$D=144+32=176$$

$$a_{1,2}=\frac{-12\pm \sqrt{176}}{2}=-6\pm \sqrt{44}=-6\pm 11$$, тогда

$$a\in (-\infty; -6;-\sqrt{11})\cup (-6; +\sqrt{11};+\infty )$$

 

Задание 6187

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+5x+y^{2}-y-|x-5y+5|=52\\ y-2=a(x-5)\end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения

Ответ: $$(-\frac{7}{4}; 8)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+5x+y^{2}-y-\left | x-5y+5 \right |=52|(f)\\y-2=a(x-5)|(g)\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим варианты раскрытия модуля:

   1) При $$x-5y+5\geq 0\Leftrightarrow y\leq \frac{x}{5}+5$$

$$f_{1}:x^{2}+5x+y^{2}-y-x+5y-5=52$$

$$x^{2}+4x+4-4+y^{2}+4y+4-4-5=52$$

$$(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=65$$-окружность с центром (-2 ;-2) и радиусом $$\sqrt{65}$$

   2) При $$x-5y+5<0\Leftrightarrow y>\frac{x}{5}+5$$

$$f_{2}: x^{2}+5x+y^{2}-y+x-5y+5=52$$

$$x^{2}+6x+9-9+y^{2}-6y+9-9+5=52$$

$$(x+3)^{2}+(y-3)^{2}=65$$ - окружность с центром $$(-3;3)$$ и радиусом $$\sqrt{65}$$

   При этом $$g: y=a(x-5)+2$$-прямая, проходящая через точку

   Построим график обеих функций:

Чтобы прямая y=a(x-5)+2 имела 2 точки, то :

   $$a \in (b_{1}; \frac{1}{5})$$, где $$b_{1}$$-коэффициент касательной $$y=b_{1}x+n_{1}(1)$$k и $$a \in (\frac{1}{5};b_{2})$$, где $$b_{2}$$- коэффициент касательной $$y=b_{2}x+n_{2}(2)$$(в обоих случаях касательная в точке (5;2))

   1) Посмотрим радиус $$O_{2}A$$ . Задаем коэффициент k данной прямой $$f=\frac{4}{7}$$, при этом  $$y=b_{1}x+n_{1}\perp O_{1}A\Rightarrow k*b_{1}=-1\Rightarrow b_{1}=-\frac{7}{4}$$

   2) Аналогично $$O_{2}A$$: $$k=-\frac{1}{8}\Rightarrow b_{2}=8$$

   В итоге получаем: $$a\in (-\frac{7}{4}; 8)$$

 

Задание 6234

Найти все значения параметра $$\alpha$$, $$\pi<\alpha<\pi$$ , $$\left\{\begin{matrix}(4-x^{2}-y^{2})(y^{2}-4x+28)=0 \\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\end{matrix}\right.$$ при которых система уравнений имеет ровно три решения.

Ответ: $$(-\pi +\arccos\frac{1}{4}; -\frac{\pi}{2})\cup (-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3})\cup (\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2})\cup (\frac{\pi}{2} ;\pi-\arccos \frac{1}{4})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}(4-x^{2}-y^{2})(y^{2}-4x+28)=0 \\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=4\\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2 (1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y^{2}-4x+8-0\\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2 (2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим систему (1) :

$$x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\Leftrightarrow y=\frac{-x \cos \alpha +2}{\sin \alpha }=-ctg \alpha *x+\frac{2}{\sin \alpha }$$. Построим данную прямую . Она смешена по Oy на $$\frac{2}{\sin \alpha }$$

Пусть $$\angle OAB=\alpha$$, тогда $$\angle BCO=90-\alpha$$ , и смежный с ним $$\alpha -90$$. Для прямой $$y=kx+b; k=tg \beta$$ ,где $$\beta$$-угол между прямой и Ox: $$tg(\alpha -90)=-ctg \alpha$$

Длина OB из $$\Delta ABO: OA*\sin \alpha =\frac{2}{\sin \alpha }*\sin\alpha =2$$ Т.е. независимо от $$\alpha$$ , длина OB всегда что составляет радиус окружности $$x^{2}+y^{2}=4$$. Т.е. $$y=-ctg \alpha *x+\frac{2}{\sin \alpha }$$ при всех $$\alpha$$ - касательная ,следовательно, одно решения есть.

Рассмотрим систему (2):она должна иметь ровно 2 решения :

$$\left\{\begin{matrix} y^{2}-4x+28=0 & & \\ x \cos \alpha +y \sin \alpha =2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix} y^{2}-4*\frac{2-y \sin \alpha }{\cos ^{2}}+28=0 & & \\ x=\frac{2-y\sin \alpha }{\cos x}& & \end{matrix}\right.$$

Учитываем ,что: $$\cos \alpha \neq 0\Leftrightarrow \alpha \neq \frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z$$

$$y^{2}-*\frac{4*(2-y \sin\alpha )}{\cos \alpha }+28=0$$

$$y^{2}\cos \alpha -8+4y \sin \alpha +28 \cos \alpha =0$$

Чтобы было два решения, дискриминант должен быть строго больше 0:

$$D=(4 \sin \alpha )^{2}-4 \cos \alpha (28 \cos \alpha -8)>0$$

$$16 \sin^{2}\alpha -16 \cos\alpha (7\cos\alpha -2)>0$$

$$\sin^{2}-7\cos^{2}\alpha +2\cos\alpha >0$$

$$1-\cos^{2}\alpha -7 \cos ^{2}\alpha +2 \cos \alpha >0$$

$$8 \cos^{2}-2 \cos \alpha -1<0$$

$$D=4+32=36$$

$$\cos \alpha =\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}$$ и $$\cos \alpha =\frac{2-6}{16}$$

Получаем: $$\left\{\begin{matrix}\cos \alpha >-\frac{1}{4} & & \\\cos \alpha <\frac{1}{2} & &\end{matrix}\right.$$. Учтем ,что $$\alpha \in (-\pi; \pi) \alpha \neq \frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$\alpha \in (-\pi +\arccos\frac{1}{4}; -\frac{\pi}{2})\cup (-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3})\cup (\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2})\cup (\frac{\pi}{2} ;\pi-\arccos \frac{1}{4})$$

 

Задание 6282

При каких значениях параметра a уравнение $$\log_{5} x +4(1-a^{2})\log_{25x} 5 -2=0$$ имеет два корня, расстояние между которыми больше 24/5?

Ответ: $$(-\infty ;-1)\cup (-1; -\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2}; 1)\cup (1 ;+\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$D(f):\left\{\begin{matrix} x>0 \\ 25x\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix} x>0 \\ x\neq \frac{1}{25} \end{matrix}\right.$$

1) Пусть $$a=\pm 1$$,тогда $$\log_{5}x=2\Leftrightarrow x=25$$ - один корень, что не устраивает условие задания

2) Пусть $$a\neq \pm 1$$, тогда: $$\log_{5}x+\frac{4(1-a^{2})}{\log_{5}25x}-2=0\Leftrightarrow$$$$\log_{5}x+\frac{4(1-a^{2})}{\log_{5}x+2}-2=0\Leftrightarrow$$$$\log_{5}^{2}x+2\log_{5}x-2\log_{5}x-4+4-4a^{2}=0\Leftrightarrow$$$$\log_{5}^{2}x=4a^{2}\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix} \log_{5}x=2a\\ \log_{5}x=-2a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix} x_{1}=5^{2a}\\ x_{2}=5^{-2a}\end{matrix}\right.$$

Так как по условию задания $$\left | x_{1}-x_{2} \right |>\frac{24}{5}$$ тогда: $$\left | 5^{2a}-5^{-2a} \right |\Leftrightarrow$$. Пусть $$5^{2a}=y>0$$, тогда:

$$\left | y-\frac{1}{y} \right |>\frac{24}{5}\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} y-\frac{1}{y}>\frac{24}{5}\\ y-\frac{1}{y}<\frac{-24}{5}\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \frac{5y^{2}-24y-5}{y}>0 \\ \frac{5y^{2}+24y-5}{y}<0 \end{matrix}\right.$$

т.к. y>0, то $$\left[\begin{matrix} 5y^{2}-24y-5>0 \\ 5y^{2}+24y-5<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} (y-5)(y+\frac{1}{5})>0 \\ (y+5)(y-\frac{1}{5})<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} y-5>0 \\ y-\frac{1}{5}<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} y>5 \\ y<\frac{1}{5} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} 5^{2a}>5 \\ 5^{2a}<\frac{1}{5} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} a>\frac{1}{2} \\ a<-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$

С учётом , что $$a\neq \pm 1$$, получаем: $$a\in (-\infty ;-1)\cup (-1; -\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2}; 1)\cup (1 ;+\infty )$$

 

Задание 6330

Найдите все значения параметра a, при которых система $$\left\{\begin{matrix}\log_{2} (3-x+y)=\log_{2} (25-6x+7y)\\ y+2=(x-2a)^{2}+a+2x\end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения

Ответ: $$(-1;3)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Рассмотрим область определения данной системы. Так как даны логарифмы, то: $$\left\{\begin{matrix}3-x+y>0\\25-6x+7y>0\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y>x-3\\y>\frac{6x-25}{7}\end{matrix}\right.$$ (желтым выделено решение для первого неравенства, синим - для второго, серым - их пересечение)

     Рассмотрим первое уравнение системы:

$$\log_{2}(8(3-x+y))=\log_{2}(25-6x+7y)\Leftrightarrow$$$$24-8x+8y=25-6x+7y\Leftrightarrow$$$$y=2x+1 (1)$$

     Построим график данной функции с учетом области определения:

     Как видим, чтобы было два пересечения, x должен быть больше 4 (иначе часть прямой лежит вне области определения)

     Подставим  (1) во второе:$$2+2x+1=(x-2a)^{2}+a+2x\Leftrightarrow$$$$(x-2a)^{2}=3-a$$

     Так как число в квадрате, то правая часть уравнения должна быть больше нуля (если равна нулю, то корень всего один): $$3-a>0\Rightarrow a<3$$

     Рассмотрим график второй функции:

$$y+2=x^{2}-4ax+2a^{2}+a+2x\Leftrightarrow$$$$y=x^{2}+x(2-4a)+4a^{2}+a-2$$

     Найдем вершину параболы:

$$x_{0}=-\frac{2(1-2a)}{2}=2a-1$$

$$y_{0}=4a^{2}-4a+1-2(2a-1)^{2}+4a^{2}+a-2=8a^{2}-3a-1-8a^{2}+8a-2=5a-3$$

     Рассмотрим возможное расположение графика с учетом области определения:

     Как видим, координата y вершины параболы должна быть больше -8, а х больше -3 (если будет левее, то отно пересечение точно не попадет в область определения) :

$$\left\{\begin{matrix}2a-1>-3\\5a-3>-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a>-1\\a>-1\end{matrix}\right.$$

     С учетом того, что $$a<3$$, получаем: $$a \in (-1;3)$$

 

Задание 6377

Найдите все значения a, при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}|x|+|y|+|2y-3x|=12\\ x^{2}+y^{2}=a \end{matrix}\right.$$ имеет ровно две действительные пары решений

Ответ: 4,5; 29,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}\left | x \right |+2\left | y \right |+\left | 2y-3x \right | =12=f\\x^{2}+y^{2}=a=g\end{matrix}\right.$$

g - окружность с центром в начале координат и радиуса $$\sqrt{a}\Rightarrow a>0$$

     Рассмотрим график f:

При $$2y-3x\geq 0\Leftrightarrow$$ $$y\geq 1,5 x$$ получили $$\left | x \right |+2\left | y \right |+ 2y-3x =12$$

     В данном случае будет 3 части плоскости:

1)$$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$x+2y+2y-3x=12\Leftrightarrow$$ $$y=3+0,5x$$

2)$$\left\{\begin{matrix}x<0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$-x+2y+2y-3x=12\Leftrightarrow$$ $$y=3+x$$

3)$$\left\{\begin{matrix}x<0\\y<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow -x-2y+2y-3x=12\Rightarrow x=-3$$

     При $$2y-3x<0\Leftrightarrow y<1,5x$$ получим так же 3 части плоскости:

1)$$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x+y-2y+3x=12\Leftrightarrow x=3$$

2)$$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x-y-2y+3x=12\Leftrightarrow y=-3+x$$

3)$$\left\{\begin{matrix}x<0\\y<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$-x-y-2y+3x=12\Leftrightarrow y=x-3$$

     Построим график данной функции .

     Очевидно , что 2 точки будет если пройдет через (C) и если касается в (B)

     Найдем координаты (C) :$$y=3+0,5=4,5$$.

Тогда $$OC=r_{1}^{2}=a=3^{2}+4,5^{2}=29,25$$. Найдем $$OB=r_{2}^{2}=a=1,5^{2}+1,5^{2}=4,5.$$

 

Задание 6424

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$a^{2}|a+\frac{x}{a^{2}}|+|x+1|=1-a^{3}$$ имеет не менее четырех различных решений, являющихся целыми числами?

Ответ: $$(-\infty; \sqrt[3]{-2}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Так как слева сумма модулей, то справа должно быть число неотрицательное :$$1-a^{3}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a^{3}\leq 1\Leftrightarrow$$ $$a\leq 1$$

     Преобразуем уравнение :$$\left | x+1 \right |=-a^{2}\left | a+\frac{x}{a^{2}} \right |+(1-a^{3})$$

$$\left | a \right |^{2}=a^{2} \left | f \right |*\left | g \right |=\left | fg \right |$$

$$\left | x+1 \right |=-\left | a^{3}+x \right |+(1-a^{3})$$

$$f=\left | x+1 \right |$$ - график модуля смещённый на 1 по Ox влево.

$$f=-\left | a^{3}+x \right |+(1-a^{3})$$ - график $$\left | x \right |$$ смещённый на $$a^{3}$$ по Ox влево или право и $$1-a^{3}$$ по Oy вверх или низ и перевернуты (с учетом $$a\leq 1$$, то по Oy вверх и $$a^{3}$$ вправо от $$x=-1$$)

     Начертим график функции:

Есть 2 случая удовлетворения условию задачи :

(1): $$\left\{\begin{matrix}-a^{3}\leq -4\\1-a^{3}\geq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{3}\geq 4\\a^{3}\leq -2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

(2):$$\left\{\begin{matrix}-a^{3}\geq 2\\1-a^{3}\geq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a^{3}\leq -2\\a^{3}\leq -2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a\leq \sqrt[3]{-2}]$$

 

Задание 6472

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}y(ax-1)=2|x+1|+2xy\\ xy+1=x-y\end{matrix}\right.$$ имеет решения

Ответ: $$(-\infty ;-5-4\sqrt{2}]\cup (0; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}y(ax-1)=2\left | x+1 \right |+2xy\\xy+1=x-y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y(ax-1-2x)=2\left | x+1 \right |\\y(x+1)=x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=\frac{2\left | x+1 \right |}{ax-1-2x}\\y=\frac{x-1}{x+1}\end{matrix}\right.$$

Приравняем правые части функций: $$\frac{2\left | x+1 \right |}{ax-1-2x}=\frac{x-1}{x+1}$$. Раскрываем модуль:

     1) $$x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1\Leftrightarrow$$$$2(x+1)^{2}=(ax-1-2x)(x-1)\Leftrightarrow$$$$2x^{2}+4x+2=ax^{2}-ax-x+1-2x^{2}+2x\Leftrightarrow$$$$x^{2}(a-4)+x(-a-3)-1=0$$. Чтобы были корни, дискриминант должен быть неотрицательным: $$D=a^{2}+6a+9+4a-16=a^{2}+10a-7\geq 0$$. Так же корень из дискриминанта должен находится: $$D_{1}=100+28=128$$. Получаем: $$a_{1,2}=\frac{-10\pm \sqrt{128}}{2}=-5\pm 4\sqrt{2}$$

$$a \in (-\infty ; -5-4\sqrt{2}]\cup [-5+4\sqrt{2};+\infty )(*)$$ - условие возможного существованиях корней.

      При этом имеем параболу $$f(x)=x^{2}(a-4)+x(-a-3)-1$$. Рассмотрим случай, когда ни один корень не попадает в $$x\geq -1$$ (противоположный необходимому нам. То есть, найдя решения для данного случая, нам необходимо будет взять оставшийся промежуток. Например: пусть решением получим$$(0;1)$$, тогда для нахождения решений, чтобы хотя бы один корень попадал в промежуток от -1, мы возьмем $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$. Тогда абцисса вершины должна быть меньше -1, т.е. $$\frac{a+3}{2(a-4)}<-1$$ и если ветви вверх, то $$f(-1)>0$$ ветви вниз , то $$f(-1)<0$$

     Обоснование:

     Как видим, если ветви направлены вверх и f(-1)<0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности ($$x_{2}$$)

     Как видим, если ветви направлены вниз и f(-1)>0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности ($$x_{2}$$)

     Т.е. $$\left\{\begin{matrix} a-4>0\\ (a-4)+a+3-1>0\end{matrix}\right.$$ и $$\left\{\begin{matrix}a-4<0 & & \\(a-4)+a+3-1<0& &\end{matrix}\right.$$ или $$(a-4)(2a-2)>0$$

     Получаем : $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2(a+4)}<-1\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3+2a-8}{a-4}<0\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3a-5}{a-4}<0\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.$$

     Пересечений нет, значит случай невозможен и хотя бы один корень $$\geq -1$$. Тогда с учетом (*): $$a\in (-\infty ; -5-4\sqrt{2}]\cup [-5+4\sqrt{2}; +\infty )$$

     2) $$x+1<0\Rightarrow x<-1$$. Аналогично п.1

$$-2(x+1)^{2}=(ax-1-2x)(x-1)\Leftrightarrow$$$$-2x^{2}-4x-2=ax^{2}-ax-x+1-2x^{2}+2x\Leftrightarrow$$$$ax^{2}+x(-a+5)+3=0\Leftrightarrow$$$$D=a^{2}-100+25-12a=a^{2}-22a+25\geq 0\Leftrightarrow$$$$D=484-100=384\Leftrightarrow$$$$a_{1,2}=\frac{22\pm \sqrt{384}}{2}=11\pm 4\sqrt{6}\Leftrightarrow$$$$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt{6}]\cup [11+4\sqrt{6};+\infty )$$

     Имеем параболу: $$f(x)=ax^{2}+x(5-a)+3$$

     Пусть оба корня $$>-1$$, тогда $$x_{0}\geq -1$$. И при ветвях вверх $$f(-1)\geq 0$$, при ветвях вних $$f(-1)\leq 0$$, т.е. $$\left\{\begin{matrix}a> 0\\a-5+a+3\geq 0\end{matrix}\right.$$ и $$\left\{\begin{matrix}a <0\\a-5+a+3\leq 0\end{matrix}\right.$$.Или $$a(2a-2)\geq 0$$. Тогда: $$\left\{\begin{matrix}\frac{a-5}{2a}\geq -1\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a-5+2a}{2a}\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3a-5}{2a}\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.$$

     Т.е. $$a \in (-\infty ; 0]\cup [\frac{5}{3};+\infty )(3)$$ с учетом $$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt{6}]\cup [11+4\sqrt{6};+\infty )$$ и то, что промежуток (3) нас не удовлетворяет (мы должны взять наоборот $$(0;\frac{5}{3})$$ имеем:

     т.е. $$a\in (0; 11-4\sqrt{6}]$$

Сравним $$4\sqrt{2}-5$$ и $$11-4\sqrt{6}$$:

$$(4\sqrt{2}-5)^{2}=32-40\sqrt{2}+25=57-40\sqrt{2}\approx 0,43$$

$$(11-4\sqrt{6})^{2}=121-88\sqrt{6}+96=217-88\sqrt{6}\approx 1,44$$

     Объединим с (*) , тогда

     т.е. $$a \in (-\infty ;-5-4\sqrt{2}]\cup (0; +\infty )$$

 

Задание 6479

Найдите все значения параметра a, при которых неравенство $$x^{2}+4x+6a|x+2|+9a^{2} \leq 0$$ имеет не более одного решения.

Ответ: $$[\frac{2}{3};+\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Прибавим к обеим частям неравенства 4, получим: $$(|x+2|+3a)^{2}\leq 4\Rightarrow -2\leq \left | x+2 \right |+3a\leq 2\Rightarrow -2-3a\leq \left | x+2 \right |\leq 2-3a$$ (1)

     1. Если $$2-3a<0$$ , то есть  $$a>\frac{2}{3}$$, неравенство (1) не имеет решений (подходит под решение).

     2. Если $$2-3a=0$$, $$a=\frac{2}{3}$$ и неравенство (1) имеет одно рещение  x=-2 (подходит под решение)

     3. Если $$2-3a>0$$, неравенство (1) имеет множество рещений; в частности, этому множеству заведомо принадлежат значения $$x=-2\pm (2-3a)$$

 

Задание 6526

Найдите все значения параметра a при которых уравнение $$\sqrt[3]{\frac{1}{2}x^{3}+x+1}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}x^{3}+x-1}=\sqrt[3]{ax}$$ имеет ровно четыре корня

Ответ: $$\frac{(\sqrt[3]{5}-1)^{3}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Вынесем $$\sqrt[3]{x}:$$ $$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2}}+\sqrt[3]{1-\frac{1}{x}-\frac{x^{2}}{2}})=\sqrt[3]{x}*\sqrt[3]{a}$$

     Следовательно, $$\sqrt[3]{x}=0\Leftrightarrow x=0$$ является корнем, значит надо еще три отличных от 0 корня.

     Введем замену : $$\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}=t$$. Тогда: $$\sqrt[3]{1+t}+\sqrt[3]{1-t}=\sqrt[3]{a}$$

     Рассмотрим замену: пусть $$f(x)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}$$ и g(x)=t. g(x)=t – прямая, параллельная Ox. При этом f(x)-совмещенный график параболы и обратной пропорциональности. Исследуем график:

$$f(x)=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}+2}{2x}=0\Leftrightarrow$$ $$x=-\sqrt[3]{2}$$

$$f'(x)=0\Leftrightarrow$$ $$x-\frac{1}{x^{2}}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{3}-1}{x^{2}}=0$$

$$x=1$$  –точка минимума. При x=1: $$f(1)=\frac{1}{2}+1=1,5$$.

$$lim_{x\rightarrow -\infty} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=+\infty$$; $$lim_{x\rightarrow +\infty} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=+\infty$$

$$lim_{x\rightarrow -0} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=-\infty$$; $$lim_{x\rightarrow +0} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=+\infty$$.

     При x=1: $$f(1)=\frac{1}{2}+1=1,5$$. Построим эскиз :

     Видим что при t<1,5-одно решение, при t=1,5-два решения , при t>1,5 – три решения.

     Рассмотрим уравнение: $$\sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{1-t}=\sqrt[3]{a}$$. Пусть $$f(t)=\sqrt[3]{1+t}+\sqrt[3]{1-t}; g(t)=\sqrt[3]{a}$$

     Построим график :

     Каждое пересечение при t<1,5 , дает одно решение, при t>1,5 даёт три решения и т.е. есть всегда 1(при t<0) , то нас не устраивает .

     При t=1,5 будет 2 решения, да еще одно ( область t<0)-следовательно, в общем получим 3, что и нужно .

     Найдем a : $$\sqrt[3]{1+\frac{3}{2}}+\sqrt[3]{1-\frac{3}{2}}=\sqrt[3]{a}$$

$$\sqrt[3]{\frac{5}{2}}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{a}\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt[3]{5}-1}{\sqrt[3]{2}} =\sqrt[3]{a}\Leftrightarrow$$ $$a=\frac{(\sqrt[3]{5}-1)^{3}}{2}$$

 

Задание 6573

При каких значениях $$x\neq 0$$ неравенство $$x^{2}(1-\frac{x^{2}a}{x^{2}+a^{2}})-x(1-\frac{x^{2}a}{x^{2}+a^{2}})\geq 0$$ выполняется при любых значениях a

Ответ: $$[-2;0)\cup [1;2]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$x^{2}(1-\frac{x^{2}a}{x^{2}+a^{2}})-x(1-\frac{x^{2}a}{x^{2}+a^{2}})\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(x^{2}-x)(1-\frac{x^{2}a}{x^{2}+a^{2}})\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x(x-1)(x^{2}+a^{2}-x^{2}a)}{x^{2}+a^{2}}\geq 0$$

$$x^{2}+a^{2}>0$$, при всех x и a ($$x \neq 0$$). Тогда $$x(x-1)(a^{2}-x^{2}a+x^{2})\geq 0$$

Пусть $$f(x)=x(x-1)$$, $$g(x)=(a^{2}-x^{2}a+x^{2})$$

     1) При $$x \in (-\infty ;0)\cup [1; +\infty )(1)$$: $$f(x)>0\Rightarrow$$ $$g(x)>0$$ тоже. Тогда , чтобы выполнилось неравенство для всех a надо, чтобы трехчлен $$a^{2}-x^{2}a+x^{2}$$ (относительно переменной a) был всегда больше или равен $$0\Rightarrow D\leq 0$$:

$$D=x^{4}-4x^{2}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x^{2}(x^{2}-4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x \in [-2,2]$$. С учетом (1): $$x \in [-2;0)\cup [1;2]$$

     2) При $$x \in (0;1), f(x)<0$$.Тогда и $$g(x)<0$$. Но у параболы вида $$f(a)=a^{2}-x^{2}a+x^{2}$$ ветви направлены вверх, то она не может быть меньше 0 при всех x. Следовательно , ответ $$x \in [-2;0)\cup [1;2]$$

 

Задание 6620

Найдите все значения параметра p, при которых уравнение $$3-2 \cos x=p(1+tg^{2}x)$$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: $$(0;5]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     $$3-2 \cos x=p(1+tg^{2}x)\Leftrightarrow$$ $$3-2\cos x=p*\frac{1}{\cos ^{2}x}$$

ОДЗ: $$\cos x\neq 0$$

     $$\frac{p}{\cos ^{2}x}+2 \cos x-3=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos ^{3}x-3 \cos ^{2}x+p=0$$

Замена: $$\cos x=t \in [-1;0)\cup (0;1]$$

$$2 t^{3}-3t^{2}+p=0$$

1 способ:

     Пусть $$f(t)=2t^{3}-3t^{2}+p$$

$${f}'(t)=6t^{2}-6t=0\Leftrightarrow$$ $$6t(t-1)=0\Rightarrow$$ $$t=0-max, t=1-min$$

     С учетом , что $$t \in [-1;0)\cup (0;1](1)$$ имеем следующие возможные расположения графика, при котором будет хотя бы одно решение из (1):

     1) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\geq 0\\f(0)>0\\f(1)\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2(-1)^{3}-3(-1)^{2}+p\geq 0\\p>0\\2(1)^{3}-3*1^{2}+p\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\geq 5\\p>0\\p\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

     2) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\leq 0\\f(0)>0\\f(1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\leq 5\\p>0\\p\geq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$p \in [1;5]$$

     3) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\leq 0\\f(0)>0\\f(1)\leq 1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\leq 5\\p>0\\p\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$p \in (0; 1]$$

     Итог: $$p \in (0;5]$$

2 способ:

     Рассмотрим график функции $$p=3t^{2}-2t^{3}$$. 

     Найдем экстремумы: $${f}'(t)=6t-6t^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$6t(1-t)=0\Rightarrow$$ $$t=0-min, t=1-max$$

     Тогда $$p(0)=0; p(1)=1$$. При этом $$p(-1)=5$$. С учетом, что на промежутке от [-1;0) - убывает, а на (0;1] - возрастает, то $$p \in (0;5]$$

 

Задание 6668

Найдите все значения x , удовлетворяющие уравнению $$\log_{2}(a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x})=\log_{2+a^{2}}(3-\sqrt{x-1})$$ при любом значении параметра a .

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x} >0\\3-\sqrt{x-1}>0\\2+a^{2}>0\\x-1\geq 0\\6-x\geq 0\end{matrix}\right.$$

     Данная система будет иметь решения при следующих условиях: $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x}=1\\3-\sqrt{x-1}=1\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x}= 3-\sqrt{x-1}\\2=2+a^{2}\end{matrix}\right.(2)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1): $$3-\sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow$$ $$2=\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x=5$$. Тогда : $$a^{2}5^{3}-5a^{2}*5^{2}+\sqrt{6-5}=1\Leftrightarrow$$ $$1=1$$ - верное при $$\forall a\Rightarrow x=5$$ - решение (в ОДЗ попадает)

     Рассмотрим (2): $$2=2+a^{2}\Leftrightarrow$$ $$a^{2}=0\Leftrightarrow a=0$$, тогда нет смысла рассматривать , т.е. выполнение не при $$\forall a$$

 

Задание 6703

Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}3(\sqrt{x|x|}+|y|-3)(|x|+3|y|-9)=0\\ (x-a)^{2}+y^{2}=25\end{matrix}\right.$$ имеет ровно три решения.

Ответ: $$\pm 4; 6$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}(3\sqrt{x\left | x \right |}+\left | y \right |-3)(\left | x \right |+3\left | y \right |-9)=0(1)\\(x-a)^{2}+y^{2}=25(2)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1) . Это совокупность графиков : $$3\sqrt{x\left | x \right |}+\left | y \right |-3=0$$ и $$\left | x \right |+3\left | y \right |-9=0$$

Т.к $$x\left | x \right |\geq 0$$, то $$x\geq 0$$, следовательно , получим $$3x+\left | y \right |-3=0$$ и $$x+3\left | y \right |-9=0$$ или $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=\frac{3-\left | y \right |}{3}\\x=9-3\left | y \right |\end{matrix}\right.(1)\\x\geq 0\end{matrix}\right.$$

     (2): окружность радиуса 5 и центром (a;0). Построим график (1)

Тогда есть 3 случая, чтобы было 3 решения.

   1) Проходит через С (1;1) и центр правее этой точки (А;B)$$\Rightarrow a=6$$ (красная окружность) 

   2) Проходит через (1;1) и центр левее (D,C,E- точки пересечения)$$\Rightarrow a=-4$$ (оранжевая)

   3) Проходит через(0;3) ;(0;-3);(9;0) $$\Rightarrow a=4$$ (синяя)

 

Задание 6762

При каких значениях параметра a система $$\left\{\begin{matrix}|x-a|+|y-a|+|a+1-x|+|a+1-y|=2\\ y+2|x-5|=6\end{matrix}\right.$$  имеет единственное решение

Ответ: $$2; \frac{16}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть m=y-a; n=x-a, тогда имеем

$$\left | m \right |+\left | 1-m \right |=2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |(m(n))$$

Рассмотрим раскрытие модулей:

     1) $$n\leq 0$$: $$2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |=1+2n$$. Тогда $$m(n)$$: $$\left | m \right |+\left | 1-m \right |=1+2n$$. Раскроем модули:

  a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$m=-n$$, с учетом, что $$n\leq 0$$ , то $$m=-n$$ при $$n=0$$ и $$m=0$$

  b) $$m \in (0;1]$$: $$1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$n=0$$

  c) $$m \in (1;+\infty )$$: $$2m-1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$m=n+1$$ при $$n\leq 0$$ – решений нет

     2) $$0<n\leq 1$$:$$ 2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |=1$$

   a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=1\Leftrightarrow$$ $$m=0$$

   b) $$0<m\leq 1$$: $$1=1\Rightarrow$$ решение все точки в квадрате

$$\left\{\begin{matrix}0<n\leq 1\\0<m\leq 1\end{matrix}\right.$$

   c) $$m>0$$: $$2m-1=1\Rightarrow$$ $$m=1$$ решений нет

     3) $$n>1$$: $$2-\left | m \right |-\left | 1-n \right |=3-2n$$

   a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=3-2n\Leftrightarrow$$ $$m=n-1$$, с учетом , что $$n>1$$ решений нет

   b) $$a<m\leq 1$$: $$1=3-2n\Rightarrow$$ $$n=1\Rightarrow$$ решений нет

   c) $$m>1$$: $$2m-1=3-2n\Leftrightarrow$$ $$m=2-n$$ решений нет

Построим график m(n). С учетом , что m=y-a и n=y-a , то график y(x) будет строиться смещение вершины (0;0) на (a;a) ( по прямой (y=x)), и построим график $$y=6-2\left | x-5 \right |$$ - cуществует 2 случая с одним решением :

1) При a=2

2) При пересечении вершиной и диагональю y=x части графика $$y=6-2\left | x-5 \right |$$(она задается y=16-2x)

$$\left\{\begin{matrix}y=x\\y=16-2x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=16-2x\Leftrightarrow$$ $$3x=16\Rightarrow$$ $$x=\frac{16}{3}\Rightarrow$$ $$a=\frac{16}{3}$$

 

Задание 6809

Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система $$\left\{\begin{matrix}(4 \sin ^{2}y-a)=16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 ctg ^{2}\frac{2x}{7}\\(\pi ^{2}\cos ^{2}3x-2 \pi ^{2}-72)y^{2}=2\pi ^{2}(1+y^{2})\sin 3x\end{matrix}\right.$$ имеет решения 

Ответ: -14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   Рассмотрим 2 уровнение системы . Т.к. $$\cos^{2}3x=1-\sin ^{2}3x$$ , и пусть $$\sin 3x=t$$ , тогда:

$$(\pi ^{2}(1-t^{2})-2 \pi ^{2}-72) y^{2}=2 \pi ^{2}(1+y^{2})t\Leftrightarrow$$$$(\pi ^{2}-\pi ^{2}t^{2}-2 \pi ^{2}-72-2 \pi ^{2}t ) y^{2}=2 \pi ^{2}t\Leftrightarrow$$$$(-\pi ^{2}(t^{2}+2t+1)-72)y^{2}=2 \pi ^{2}t\Leftrightarrow$$$$y^{2}=-\frac{2 \pi^{2} t}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)}\Rightarrow$$$$t\leq 0\Rightarrow$$ $$t \in [-1; 0]$$

   Рассмотрим $$f(t) =-\frac{2 \pi^{2} t}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)}$$; $$t \in [-1; 0]$$: $${f}' (t)=-2 \pi ^{2}(\frac{\pi^{2}(t+1)^{2}+72-t(2 \pi ^{2}(t+1))}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)^{2}}=$$$$\frac{-2 \pi ^{2}}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)^{2}}*(\pi ^{2}+72-\pi ^{2}t^{2})$$

   На промежутке $$t \in [-1; 0]$$, $${f}'(t) <0$$ $$\Rightarrow f(t)$$-убывает $$\Rightarrow$$ область значения $$E (f)\in [f(0); f(-1)]$$; $$f(0)=0; f(-1)=\frac{2 \pi ^{2}}{72}=\frac{\pi ^{2}}{36}$$; $$y^{2}\leq \frac{\pi ^{2}}{36}\Rightarrow$$ $$y \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]$$

   Рассмотрим первое уравнение системы:

$$4 \sin ^{2}y-a=16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 ctg ^{2}\frac{2x}{7}\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-(16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 (\frac{1 }{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-1))\Leftrightarrow$$$$a=4 \sin ^{2}y-(16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 * \frac{1}{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-9)\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-((4 \sin \frac{2x}{7})^{2}-24 +(\frac{3}{\sin \frac{2x}{7}})^{2}-9+24)\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-\frac{(4 \sin ^{2}\frac{2x}{7}-3)}{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-15$$

Так как $$a\rightarrow max$$, $$\sin ^{2}\frac{2x}{7}=\frac{3}{4}$$. Тогда: $$\sin \frac{2x}{7}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{2x}{7}=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n , n \in Z\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{7 \pi }{6}+\frac{7 \pi n }{2}, n \in Z$$

Т.к. $$\sin 3x=-1\Rightarrow$$ $$3x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k , k \in Z$$, $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi k}{3}, k \in Z$$

   Найдем n и k : $$\pm \frac{7 \pi}{6}+\frac{7 \pi n }{2}=-\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi k}{3}|*6\Leftrightarrow$$ $$\pm 7 \pi +21 \pi n =-\pi +4 \pi k\Leftrightarrow$$ $$6 \pi =21 \pi n -4 \pi k \Leftrightarrow$$ $$21 n -4k=6\Rightarrow$$ $$n=2, k=9$$. Следовательно, существует такой x. Тогда: $$a=4*(\frac{1}{2})^{2}-15 =-14$$

 

Задание 6829

Найдите все значения параметра a , при которых уравнение $$4a^{2}x^{4}+(2a-8)x^{2}+a+|a|=0$$ имеет ровно три корня на промежутке (-1;1]

Ответ: $$(-\infty ; \frac{-1-\sqrt{33}}{4})\cup {1}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

       Если один из корней лежит на промежутке (0;1], то всегда будет ему симметричный относительно О на [-1;0)(например , $$\frac{1}{2}$$ и $$-\frac{1}{2}$$) т.к дано биквадратное уравнение . Чтобы было три корня существует 2 случая :

       1) $$x_{1}=x_{2}=0$$;$$x_{3,4}=\pm b_{m}$$; $$b_{m} \in (0;1)$$

       Если $$x_{1}=x_{2}=0$$, то $$a+\left | a \right |=0$$$$\Rightarrow$$ $$a<0$$. Получим : $$4a^{2}x^{4}+(2a-8)x^{2}+a-a=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}(4a^{2} x^{2}+(2a-8))=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x^{2}=\frac{8-2a}{4a^{2}}\\x^{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm \sqrt{\frac{8-2a}{4a^{2}}}\\x=0\end{matrix}\right.$$

       Учитывая, что $$\sqrt{\frac{8-2a}{4a^{2}}}<1$$ (если будет равен 1 , то ему симметричный =-1, не попадет в (-1; 1]):

       $$\left\{\begin{matrix}\frac{8-2a}{4a^{2}}<1\\\frac{8-2a}{4a^{2}}>0\\a<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4a^{2}+2a-8>0\\8-2a>0\\a<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x<\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\\x>\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\end{matrix}\right.\\a<4\\a<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x<\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$$

       2) Если один из корней равен 1, а симметричный $$\in (-1,1]$$(тогда $$-1 \in (-1;1]$$ и получим 3 корня):

       $$4a^{2}*1^{4}+(2a-8)*1^{2}+a+\left | a \right |=0\Leftrightarrow$$$$4a^{2}+2a-8+a+\left | a \right |=0$$

       Учитываем, что a>0 (смотреть п.1): $$4a^{2}+4a-8=0\Leftrightarrow$$ $$a^{2}+a-2=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}a=1\\a=-2(a<0)\end{matrix}\right.$$

       Сделаем проверку: при a=1: $$4x^{4}-6x^{2}+2=0$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x^{4}-3x^{2}+1=0$$

       $$D=9-8=1$$ 

       $$x_{1,2}^{2}=\frac{3\pm 1}{4}=1, \frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$x=\pm 1$$ и $$x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ - три корня на (-1;1]

       Отдельно рассмотрим a=0

       $$4*0*x^{4}+(2*0-8)x^{2}+0+\left | 0 \right |=0\Leftrightarrow$$$$-8x^{2}=0\Rightarrow$$ $$x=0$$ - один корень

 

Задание 6880

При каких значениях параметра a уравнение $$(a-1)4^{x}+(2a-3)6^{x}=(3a-4)9^{x}$$ имеет единственное решение?

Ответ: $$(-\infty ;1]\cup {\frac{5}{4}}\cup [\frac{4}{5}; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

      $$(a-1)*4^{x}+(2a-3)*6^{x}=(3a-4)*9^{x}|:3^{2x}\Leftrightarrow$$$$(a-1)(\frac{2}{3})^{2x}+(2a-3)(\frac{2}{3})^{x}-(3a-4)=0$$

Пусть: $$(\frac{2}{3})^{x}=y>0$$

      $$(a-1) *y^{2}+(2a-3)y-(3a-4)=0$$

      $$D=(2a-3)^{2}+4(a-1)(3a-4)=16a^{2}-40a+25=(4a-5)^{2}$$

$$y_{1}=\frac{3-2a+\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}$$

$$y_{2}=\frac{3-2a-\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}$$

      Существуют следующие варианты единственного решения :

1) $$y_{1}=y_{2}\Rightarrow$$ $$4a-5=0\Rightarrow$$ $$a=\frac{5}{4}$$. Выполним проверку: $$(\frac{2}{3})^{x}=\frac{3-2,5}{2(1,25-1)}=1\Rightarrow$$ $$x=0$$ - один корень

2) Один из корней меньше или равен 0 , второй больше 0. Сравним корни: $$\frac{3-2a+\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}>\frac{3-2a-\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{2\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}>0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\left | 4a-5 \right |}{a-1}>0$$$$\Rightarrow$$

При $$a>1: y_{1}>y_{2}$$;

При $$a<1 : y_{2}>y_{1}$$,

Тогда решение будет при условии: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>1\\y_{2}\leq 0& &\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}a<1\\y_{1}\leq 0\end{matrix}\right. (2)\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим системы отдельно:

(1):    $$\left\{\begin{matrix}a>1\\\frac{3-2a-\left | 4a-5 \right |}{a-1}\leq 0 & &\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a>1\\\left | 4a-5 \right |\geq 3-2a\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a>1\\\left[\begin{matrix}4a-5\geq 3-2a\\4a-5\leq 2a-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a>1\\\left[\begin{matrix}a\geq \frac{4}{3}\\a\leq 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$a \in [\frac{4}{3}; +\infty )$$

(2):    $$\left\{\begin{matrix}a<1\\\frac{3-2a+\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)} \leq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a<1\\3-2a+\left | 4a-5 \right |\geq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a<1\\\left | 4a-5 \right |\geq 2a-3\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a<1\\\left[\begin{matrix}4a-5\geq 2a-3\\4a-5\leq 3-2a\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a<1\\\left[\begin{matrix}a\geq 1\\a\leq \frac{4}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$a<1$$

      Проверим случай $$a=1$$: $$-6^{x}=-9^{x}\Rightarrow$$ $$x=0$$ - один корень

      Тогда конечный ответ: $$a \in (-\infty ;1]\cup {\frac{5}{4}}\cup [\frac{4}{5}; +\infty )$$

 

Задание 6928

Найдите все значения параметра a, для которых при любом положительном b уравнение $$a \log_{\frac{1}{x}-2}4=\log_{2}(\frac{1}{x}-2)-b$$ имеет хотя бы одно решение, меньшее $$\frac{1}{3}$$

Ответ: $$[0;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

        Так как $$x<\frac{1}{3}$$, то $$\frac{1}{x}-2>1$$. Пусть $$\frac{1}{x}-2=y$$. Тогда получим : $$a \log_{y}4=\log_{2}y-b$$$$\Leftrightarrow$$ $$2a \log_{y}2+b=\log_{2}y$$

        Пусть $$f(y)=2a \log_{y}2+b$$ и $$g(y)=\log_{2}y$$

        Рассмотрим $$f(y)$$: данный график имеет растяжение по Oy и располагается так же как $$m(y)=\log_{y}2+b$$ при $$a>0$$. При a<0 симметрично отобразится относительно Ox .

        Необходимо решение при y>1. На данном промежутке $$m(y)=\log_{y}2+b$$ убывает, при этом $$\lim _{y\rightarrow \infty }m(y)=b$$ и предел достигается сверху. Следовательно, при a>0 и b>0, $$\lim _{y\rightarrow \infty }f(y)=b\Rightarrow$$ будет пересечение с g(y) , т.к. $$\lim_{y\rightarrow \infty }g(y)=\infty$$

        При $$a<0$$ , $$f(y)$$ на $$y>1$$ возрастает и $$\lim _{y\rightarrow \infty } f(y)=b$$. При этом предел достигается снизу, и так как в задании необходимо решение для любого положительного b, а, например, при b=0,1, пересечений графика f(y) и g(y) не будет. Следовательно, данный промежуток мы не учитываем.

        При a=0 имеем $$\log_{2}y=b\Rightarrow y=2^{b}$$. Т.к. $$b>0$$, то $$y>1$$ $$\Rightarrow$$ $$a \in [0;+\infty)$$

 

Задание 6976

Найдите все значения параметра a , при которых неравенство $$4a^{2}\sqrt{2-\frac{6}{\pi}\arcsin(\sqrt{3}-2x)}+\frac{12a}{\pi}\arccos(2x-\sqrt{3})-8a^{2}-3a \leq 1$$ выполняется для любых $$x \in [\frac{2\sqrt{3}-1}{4};\frac{3\sqrt{3}}{4}]$$

Ответ: $$[-1; \frac{1}{4}]\cup [1; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$2x-\sqrt{3}=y$$, тогда с учетом, что $$x \in [\frac{2\sqrt{3}-1}{4}; \frac{3\sqrt{3}}{4}]$$ получим , что $$y \in [-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$$.

     Следовательно, имеем: $$4a^{2}\sqrt{2+\frac{6}{\pi}\arcsin y }\leq 1+8a^{2}+3a-\frac{12a}{\pi}(\frac{\pi}{2}-\arcsin y)$$

     Пусть $$\frac{6}{\pi} \arcsin y=m$$, т.к. $$y \in [-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$$ , то $$m \in [-1; 2]$$, тогда: $$4a^{2}\sqrt{2+m}\leq 1+8a^{2}+3a-6a+2m\Leftrightarrow$$$$4a^{2}\sqrt{2+m}\leq 2am+8a^{2}-3a+1\Leftrightarrow$$$$\sqrt{2+m}\leq \frac{m}{2a}+\frac{8a^{2}-3a+1}{4a^{2}}$$

Пусть $$f(m)=\sqrt{2+m}$$ и $$g(m)=\frac{m}{2a}+\frac{8a^{2}-3a+1}{4a^{2}}=$$$$\frac{m}{2a}+2-\frac{3a-1}{4a^{2}}$$

  • g(m) – прямая, при этом $$g(m)\cap Oy$$ в точке, которая «стремится» к у=2
  • f(m) – ветвь параболы . При этом необходимо , чтобы $$f(m)\geq g(m)$$ для любого $$m \in [-1;2]$$

Рассмотрим 3 случая:

     1) $$a>0$$: тогда g(m) располагается в 1 и 3 четвертях . При этом, чтобы $$f(m)\geq g(m)$$ необходимо, чтобы $$f(-1)\geq g(-1)$$: $$-\frac{1}{2a}+\frac{8a^{2}-3a+1}{4a^{2}}\geq 1\Leftrightarrow$$ $$-2a=8a^{2}-3a+1\geq 4a^{2}\Leftrightarrow$$ $$4a^{2}-5a+1\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a \in (-\infty ; \frac{1}{4}]\cup [1; +\infty)$$

С учетом , что $$a>0$$ : $$a\in (0; \frac{1}{4}]\cup [1; +\infty )$$

  • При $$a\in (0; \frac{1}{4}]$$ получим , что $$\frac{8a^{2}-3a+1}{4a^{2}} >2$$ ( пересечение F(x) с Oy) , при этом $$f(0)=\sqrt{2}\Rightarrow$$ подходит.
  • При $$a\in [1; +\infty )$$ получим , что $$\frac{8a^{2}-3a+1}{4a^{2}}\geq 1,5 \Rightarrow$$ тоже подходит

     2) $$a<0$$. Тогда $$g(2) \geq f(2) \Leftrightarrow$$ $$\frac{2}{2a}+\frac{8a^{2}-3a+1}{4a^{2}}\geq 2\Leftrightarrow$$ $$4a+8a^{2}-3a+1\geq 8a^{2}\Leftrightarrow$$ $$a+1\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a\geq -1$$. Т.к. $$a<0$$, то $$a \in [-1; 0)$$

     3) $$a=0$$: $$0*\sqrt{2+m}\leq 0 *m+8*0-3*0+1\Leftrightarrow$$ $$0\leq 1\Rightarrow$$ подходит

В итого решение: $$a \in [-1; \frac{1}{4}]\cup [1; +\infty )$$

 

Задание 7023

Найдите все значения параметра b, при каждом из которых для любого a неравенство $$(x-a-2b)^{2}+(y-3a-b)^{2}<\frac{1}{2}$$ имеет хотя бы одно целочисленное решение 

Ответ: $$b \notin \frac{k}{5}, k \in Z$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     $$(x-a-2b)^{2}+(y-3a-b)^{2}<\frac{1}{2} \Leftrightarrow$$ $$(x-(a+2b))^{2}+(y-(3a+b))^{2}<(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$$, т.е. имеем множество точек внутри окружности радиуса $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ и центром в $$(a+2b; 3a+b)$$ . При этом $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ - половина диагонали квадрата со стороной 1 . Т.е. в данный круг вписан квадрат со стороной 1 . Рассмотрим пример:

     Видим по радиусу , что целых значений внутри круга не будет. Тогда и только тогда, когда координаты центра одновременно будут иметь вид: $$(\frac{m+m+1}{2}, \frac{n+n+1}{2})$$,где m и n $$\in Z$$

     Если хотя бы одна не имеет вид, то 1 целое точно попадет в круг. Тогда :$$\left[\begin{matrix}a+2b\neq \frac{2m+1}{2}\\3a+b\neq \frac{2n+1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}2a+4b\neq 2m+1\\6a+2b\neq 2n+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}6a+12b\neq 6m+3\\6a+2b\neq 2n+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$10b\neq 6m-2n+2\Leftrightarrow$$$$b\neq \frac{3m-n+1}{5}$$ , где $$m , n \in Z$$

     Т.е. с учетом, что $$3m-n+1 \in Z$$ при $$m , n \in Z$$, то $$b \notin \frac{k}{5}, k \in Z$$

 

Задание 7043

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$\left | \frac{x(3^{x}-1)}{3^{x}+1} -2a\right |=a^{2}+1$$ имеет нечетное число решений.

Ответ: $$\pm 1$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$(x)=\frac{x(3^{x}-1)}{3^{x}+1}$$ и $$g(x)=a^{2}+1$$

     1) $$f(x) \geq 0$$ при любом x. Найдем промежутки возрастания и убывания: $${f}'(x)=\frac{(x{(3^{x}-1)}'(3^{x}+1)-{(3^{x}+1)}'(x(3^{x}-1)))}{(3^{x}+1)^{2}}=0|* (3^{x}+1)^{2}\Leftrightarrow$$$$((3^{x}-1)+x*3^{x}\ln 3)(3^{x}+1)-3 ^{x}\ln 3* x(3^{x}-1)=0\Leftrightarrow$$ $$3 ^{2x}-1+3^{2x}*x\ln 3+x*3^{x}\ln 3-x*3^{2x}\ln 3 +3 ^{x}*x\ln 3=0\Leftrightarrow$$ $$3 ^{2x}-1+2x*3^{2x}\ln 3=0\Leftrightarrow$$ $$3^{2x}+2x*3 ^{x}\ln 3=1\Leftrightarrow$$ $$1-2x\ln3=3^{x}$$

     Пусть $$m(x)=1-2x\ln 3$$ и $$n(x) =3^{x}$$: m(x) - линейная убывающая и n (x)-степенная возрастающая $$\Rightarrow$$ одна точка пересечения x=0

     Для f(x): x=0 - точка минимума $$\Rightarrow$$ $$(-\infty ; 0)$$ – убывает монотонно, $$(0; +\infty )$$ - возрастает . При этом

$$\left | \frac{x(3^{x}-1)}{3^{x}+1}-2a \right |=f_{1}(x)$$ - это график f(x), у которого вся часть графика под Ox отражается симметрично относительно Ox. g(x) –прямая, параллельная Ox ($$a^{2}+1>0$$, при любом a ). Тогда возможен только один вариант нечетного числа корней, когда $$\left | 2a \right |=a^{1}+1\Leftrightarrow$$ $$a^{2}-\left | 2a \right |+1=0\Leftrightarrow$$ $$(\left | a \right |-1)^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$a=\pm 1$$

     2) Возможно решение с использованием инвариантности: доказать четность левой функции (f(-x)=f(x)), тогда нечетное количество решений будет лишь в том случае, когда один из корней равен 1. Подставить вместо х в начальное уравнение 1 и получим сразу уравнение отностильно а

 

Задание 7064

Найти все а, при каждом из которых уравнение $$\lg (2-x)\sqrt{2ax-3a^{2}}=x\cdot \lg x$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$a \in (-2; -1)\cup (-1 ;-\frac{2}{3}]\cup(0 ;\frac{1}{3})\cup [\frac{1}{3}; \frac{2}{3}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}2-x>0\\2ax+3a^{2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<2(1)\\2ax+3a^{2}\geq 0 (2)\end{matrix}\right.$$

   Решение: $$\lg(2-x)(\sqrt{2ax+3a^{2}}-x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\lg(2-x)=0\\\sqrt{2ax+3a^{2}}=x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2-x=1\\\left\{\begin{matrix}2ax+3a^{2}=x^{2}\\x\geq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1\\\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x_{2}=3a\\x_{3}=-a\end{matrix}\right.\\x\geq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

   Т.к. $$x\geq 0$$, то $$x_{2}$$ и $$x_{3}$$ будут одновременно существовать , если $$x_{2}=x_{3}=0\Rightarrow a=0$$, условие двух корней соблюдается. В противном случае решениями будут $$x_{1}$$ и $$x_{2 }$$ или $$x_{1}$$ и $$x_{3}$$. При этом , чтобы было два корня , должно выполняться ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x_{1}\in (2)\\x_{2} \in (1)\\x_{2}\geq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x_{1}\in (2)\\x_{3}\in (1)\\x_{3}\geq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}2a*1+3a^{2}\geq 0\\0\leq 3a<2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}2a*1+3a^{2}\geq 0\\0\leq -a<2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x \in (-\infty -\frac{2}{3}]\cup [0 +\infty )\\a \in [0 \frac{2}{3})\\\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a \in (-\infty -\frac{2}{3}]\cup [0 +\infty )\\-2<a\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a \in (-2; -\frac{2}{3}]\cup [0; \frac{2}{3})$$

   $$x_{1}$$ и так входит в [0 ;2) , потому проверяется только условие (2) для него , $$x_{2}$$ и $$x_{3}$$ и так получились из (2) , потому проверим (1) для них. При этом учитываем, что $$x_{1}\neq x_{2}$$ и $$x_{1}\neq x_{3}$$, иначе получим 1 корень $$\Rightarrow$$ $$3a\neq 1\Rightarrow$$ $$a\neq \frac{1}{3}$$ и $$-a\neq 1\Rightarrow$$ $$a\neq -1$$. Тогда: $$a \in (-2; -1)\cup (-1 ;-\frac{2}{3}]\cup(0 ;\frac{1}{3})\cup [\frac{1}{3}; \frac{2}{3}]$$

 

Задание 7111

При каких значениях параметра a неравенство $$\log_{\frac{-2a-13}{5}} (\frac{\sin x -\sqrt{3}\cos x -a-4}{5})>0$$ выполняется для любых значений x ?

Ответ: $$(-\infty ;-11)\cup (-7;-6,5)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$m(x) =\sin x-\sqrt{3}\cos x$$, тогда $$m^{'}(x)=\cos x+\sqrt{3}\sin x=0\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{3}tg x=-1\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n , n \in Z$$

    $$m(-\frac{\pi}{6})=\sin -\frac{\pi}{6}-\sqrt{3}\cos -\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-2\rightarrow m_{min}$$

    $$m(\frac{5\pi}{6})=\sin \frac{5 \pi}{6}-\sqrt{3} \cos \frac{5 \pi}{6}=2\rightarrow m_{max}$$

     Получим систему:

$$\left\{\begin{matrix}(\frac{-2a-13}{5}-1)(\frac{m-a-4}{5}-1)>0(4)\\\frac{-2a-13}{5}>0(1)\\\frac{m-a-4}{5}>0(3)\\\frac{-2a-13}{5}\neq 1(2)\end{matrix}\right.$$

    $$ (1): -2a-13>0\Leftrightarrow a<-6,5$$

    $$(2): -2a-13\neq 5\Leftrightarrow a\neq -9$$

    $$(3) :a<-6,5 , -a-4>2,5 \Rightarrow \frac{m-a-4}{5}>0$$ при любом m( и ,следовательно, x)

    $$(4) :(-2a-18)(m-a-9)>0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}-2a-18>0\\m-a-9>0\end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}-2a-18<0\\m-a-9<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<-9\\m-a-9>0\end{matrix}\right. (5)\\\left\{\begin{matrix}x>-9\\m-a-9<0\end{matrix}\right.(6)\end{matrix}\right.$$

     $$(5)$$: при $$a<-9$$: $$-a-9>0$$ при любом a , следовательно, чтобы было решение для любого m должно выполняться: $$m_{min}-a-9>0\Leftrightarrow$$ $$-2-a-9>0\Leftrightarrow$$ $$a<-11$$. Получим $$a \in (-\infty ;-11)$$

     $$(6)$$ : аналогично $$m_{max}-a-9<0\Rightarrow$$ $$2-a-9<0\Rightarrow a>-7$$. Получим $$a \in (-7; +\infty )$$

     С учетом (1): $$a \in (-\infty ;-11)\cup (-7;-6,5)$$

 

Задание 7184

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$(\cos x -1)^{2}=a(\cos x+4\sin^{2} x-8)$$ имеет на промежутке $$(0;\frac{\pi}{2}]$$ единственный корень.

Ответ: $$[-\frac{1}{4};0)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(\cos x-1)^{2}=a(3 \cos x+4 \sin ^{2}x-8)\Leftrightarrow$$ $$(\cos x-1)^{2}=a(3 \cos x+4-4\cos^{2}x-8)\Leftrightarrow$$ $$(\cos x-1)^{2}=a(3\cos x-4 \cos ^{2}x-4)$$

     Рассмотрим правую часть : -$$4 \cos^{2}x-4 \in [-8 ;-4]$$ $$(\cos ^{2}x \in [0 ;1] )\Rightarrow$$ $$3 \cos x-4 \cos ^{2}x-4\leq -1$$ при любом x) , при этом $$(\cos x-1)^{2}\geq 0\Rightarrow$$ чтобы выполнялось решение должно быть $$a<0$$ (при a=0 получим, что $$\cos x-1=0 \Rightarrow$$ $$\cos x=1\Rightarrow$$ $$x=2 \pi n \notin (0 \frac{\pi}{2}]$$)

     При этом, чтобы было решение на $$(0 ;\frac{\pi}{2}]$$, то $$\cos x \in [0; 1)$$

     Сделаем замену $$\cos x=t \in [-1; 1]$$: $$(t-1)^{2}=a(3t-4t^{2}-4)\Leftrightarrow$$ $$\frac{(t-1)^{2}}{a}=-4t^{2}+3t-4$$

     Рассмотрим функции : $$f_{1}(t)=\frac{(t-1)^{2}}{a}$$ и $$f_{2}(t)=4t^{2}+3t-4p$$

  • $$f_{2}(t): t_{0}=-\frac{3}{-8}=\frac{3}{8}\Rightarrow$$ $$f_{2}(t_{0})=-\frac{55}{16}$$ - парабола, ветви вниз, вершина $$(\frac{3}{8};-\frac{55}{16})$$, сужение к оси симметрии
  • $$f_{1}(t)$$: парабола, вершина (1; 0) , ветви в зависимости от a ($$a<0 \Rightarrow$$ вниз )

     При этом необходимо единственное решение на $$x \in (0 ;\frac{\pi}{2}]\Rightarrow$$ $$\cos x \in [0; 1) \Rightarrow$$ $$t \in [0; 1)$$ -единственное решение на данном промежутке.

     Решение такое будет при $$f_{1}(0)\leq -4$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{(01)^{2}}{a}\leq -4\Rightarrow$$ $$\frac{1}{a}\leq -4\Leftrightarrow$$ $$\frac{1+4a}{a}\leq 0\Rightarrow$$ $$a\in [-\frac{1}{4};0)$$

 

Задание 7204

При каких значениях параметра a неравенство $$(a^{3}+(1-\sqrt{2})a^{2}-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2})x^{2}+2(a^{2}-2)x+a>-\sqrt{2}$$ выполнено для любого x>0

Ответ: $$[-\sqrt{2}; 1)\cup [\sqrt{2} ;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$f(x) =(a^{3}+(1-\sqrt{2})a^{2}-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2})*x^{2}+2(a^{2}-2)x+(a+\sqrt{2})$$

     Получим , что $$f(x)>0$$. При этом график f(x)-парабола вида $$y=m x^{2}+nx+p$$, где $$m=(a^{3}+(1-\sqrt{2})a^{2}-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2})$$, $$n=2(a^{2}-2)$$, $$p=a+\sqrt{2}$$

     При m<0 ветви параболы направлены вниз, но тогда f(x)>0 не выполнится для любого x>0. Следовательно, m>0. Решим данное неравенство: $$a^{3}+(1-\sqrt{2})a^{2}-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2}>0\Leftrightarrow$$ $$a^{3}+a^{2}-3a-\sqrt{2}a^{2}-\sqrt{2}a+3\sqrt{2}>0\Leftrightarrow$$ $$a(a^{2}+a-3)-\sqrt{2}(a+a-3)>0\Leftrightarrow$$ $$(a-\sqrt{2})(a^{2}+a-3)>0\Leftrightarrow$$ $$(a-\sqrt{2})(a-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})(a-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})$$

     Получим, что $$a \in (\frac{-1-\sqrt{13}}{2}; \frac{-1+\sqrt{13}}{2})\cup (\sqrt{2} ;+\infty )$$. Следует рассмотреть отдельно значения, когда $$m=0$$:

   1) При $$a=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$$ получим : $$2((\frac{-1-\sqrt{13}}{2})^{2}-2)x+\frac{-1-\sqrt{13}}{2}+\sqrt{2}>0\Leftrightarrow$$ $$2(\frac{1+13+2\sqrt{13}-8}{4})x>\frac{1+\sqrt{13}-2\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x>\frac{1+\sqrt{13}-2\sqrt{2}}{6+2\sqrt{13}}>0\Rightarrow$$ не выполняется для любого x>0

   2) При $$a=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$$: $$2(\frac{13+1-2\sqrt{13}-8}{4})x+\frac{\sqrt{13}-1}{2}+\sqrt{2}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{6-2\sqrt{13}}{2}x> \frac{1-\sqrt{13}-2\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x<\frac{1-\sqrt{13}-2\sqrt{2}}{6-2\sqrt{13}}\Rightarrow$$ не выполняется для любого x>0

   3) $$a=\sqrt{2}$$: $$2((\sqrt{2})^{2}-2)x+\sqrt{2}+\sqrt{2}>0\Rightarrow$$ $$2\sqrt{2}>0\Rightarrow$$ $$a=\sqrt{2}$$ является решением.

     При m>0 ветви направлены вверх и существует 3 возможных расположения параболы, при которых f(x)>0:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x_{0}>0\\D<0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x_{0}<0\\f(0)>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x_{0}=0\\f(0)=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$ , где $$x_{0}$$ – абсцисса вершины параболы; D-дискриминант f(x); f(0)-значение функции в x=0.

    При этом $$x_{0}=-\frac{n}{m}$$, а так как m>0 , то $$x_{0}>0\Leftrightarrow$$ $$-n>0\Leftrightarrow n<0$$. Получим :

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}n<0\\D<0\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}n>0\\f(0)>0\end{matrix}\right. (2)\\\left\{\begin{matrix}n=0\\f(0)=0\end{matrix}\right. (3)\end{matrix}\right.$$. Рассмотрим системы по отдельности:

   (1): $$\left\{\begin{matrix}2(a^{2}-2)<0\\(2(a^{2}-2))^{2}-4(a-\sqrt{2})(a^{2}+a-3)(a+\sqrt{2})<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{2}-2<0\\4(a^{2}-2)(a^{2}-2-a^{2}-a+3)<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{2}-2<0\\(1-a)(a^{2}-2)<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a \in (-\sqrt{2};1)$$

   (2): $$\left\{\begin{matrix}a^{2}-2>0\\a+\sqrt{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a \in (\sqrt{2} +\infty )$$

   (3): $$\left\{\begin{matrix}a^{2}-2=0\\a+\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a=-\sqrt{2}$$

     Объединяем все полученные значения : $$a \in [-\sqrt{2}; 1)\cup [\sqrt{2} ;+\infty)$$

 

Задание 7225

При каких значениях параметра a функция $$f(x)=4^{-x}+(\frac{1}{2})^{x+1}\cdot \frac{5a}{2}+\frac{a^{2}+12}{6}$$ принимает во всех точках отрезка [-1;1] значения больше 2.

Ответ: $$(-\infty ;\frac{-15-\sqrt{129}}{2})\cup (\frac{-15+\sqrt{129}}{2}; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$2^{-x}=t>0\Rightarrow$$ $$4^{-x}=t^{2}$$. Получим $$(\frac{1}{2})^{x+1}=\frac{1}{2}*2^{-x}=\frac{t}{2}$$. При этом $$f(t)=t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}+12}{6}$$; $$x \in [-1 ;1]\Rightarrow$$ $$t \in [\frac{1}{2} ;2]$$

     Рассмотрим систему: $$\left\{\begin{matrix}t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}+12}{6}>2\\t \in [\frac{1}{2}; 2]\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}}{6}>0(1)\\t \in [\frac{1}{2}; 2]\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1) : пусть $$g(t)=t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}}{6}$$, тогда $$g(t)>0$$ при $$t \in [\frac{1}{2} ;2]$$. Есть три случая .

     1) Вершина $$g(t) \in [\frac{1}{2}; 2]$$, тогда для $$g(t)>0$$ на $$[\frac{1}{2}; 2]$$ необходимо, чтобы $$g(t_{0})>0$$:  $$t_{0}=\frac{-\frac{5a}{4}}{2}=-\frac{5a}{8}\Rightarrow$$ $$g(t_{0})=(-\frac{5a}{4})^{2}+\frac{5a}{4}(-\frac{5a}{8})+\frac{a^{2}}{6}=$$$$-\frac{25a^{2}}{64}+\frac{a^{2}}{6}$$

     При любом а $$g(t_{0})<0\Rightarrow$$ не подходит

     2) $$t_{0}\leq \frac{1}{2} \Rightarrow$$ $$g(\frac{1}{2})>0$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{5a}{8}\leq \frac{1}{2}\\(\frac{1}{2})^{2}+\frac{5a}{4}*\frac{1}{2}+\frac{a^{2}}{6}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a\geq -\frac{4}{5}\\4a^{2}+15a+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\geq -\frac{4}{5}\\\left[\begin{matrix}a<\frac{-15-\sqrt{129}}{8}\\a>\frac{-15+\sqrt{129}}{8}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a>\frac{-15+\sqrt{129}}{8}$$

     3) $$t_{0}\geq 2\Rightarrow$$ $$g(2)>0\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{5a}{8}\geq 2\\4+\frac{5a}{2}+\frac{a^{2}}{6}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\leq -\frac{16}{5}\\\left[\begin{matrix}a<\frac{-15-\sqrt{129}}{2}\\a>\frac{-15+\sqrt{129}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$a<\frac{-15-\sqrt{129}}{2}$$

     Тогда $$a \in (-\infty ;\frac{-15-\sqrt{129}}{2})\cup (\frac{-15+\sqrt{129}}{2}; +\infty )$$

 

Задание 7327

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}x^{3}-(a+3)x^{2}+(3a+2)x-2a\geq 0\\ x^{3}-(a+3)x^{2}+3ax\leq 0\end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение

Ответ: $$[3; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Рассмотрим $$f(x) =x^{3}-(a+3)x^{2}+3ax$$, тогда в первом неравенстве записано $$f(x) +2x-2a\geq 0\Rightarrow$$ $$f(x)\geq 2a-2x$$. Пусть $$2a-2x=g(x)$$ , тогда имеем $$\left\{\begin{matrix}f(x)\geq g(x)\\g(x)\leq 0\end{matrix}\right.$$ и оно должно иметь единственное решение . При этом g(x) – прямая, функция убывает. Рассмотрим $$f(x)$$:

     $$x^{3}-(a+3)x^{2}+3ax=$$$$x(x^{2}-(a+3)x+3a)=$$$$x(x^{2}-ax-3x+3a)=$$$$x(x(x-a)-3(x-a))=x(x-a)(x-3)$$

     Изобразим схематичное решение системы:

     Очевидно , чтобы выполнялось условие единственного решения при $$f(x) \leq 0$$ необходимо, чтобы $$g(x_{0})=0$$. Если $$g(x_{0})>0$$ - решений нет, если $$g(x_{0})<0$$ решением будет множество точек из $$[g_{0} ;x_{0}]$$. При этом $$f(x)=0$$ при $$x=0 ;3 ;a$$.

     Есть три варианта расположения а:

     1) $$a<0$$: тогда $$g(3)=0\Rightarrow$$ $$2a-2*3=0\Rightarrow$$ $$a=3$$ - не подходит

     2) $$0\leq a\leq 3$$ : $$g(3) =0\Rightarrow$$ $$a=3$$ - решение

     3) $$a>3 \Rightarrow$$ $$g(a)=0\Rightarrow$$ $$2a-2a=0$$ – верное числовое равенство $$\Rightarrow$$ $$a>3$$

     Тогда $$a \in [3; +\infty )$$

 

Задание 7369

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}a(x+2)+y=3a\\ a+2x^{3}=y^{3}+(a+2)x^{3}\end{matrix}\right.$$ имеет не более двух решений

Ответ: {$$\pm 1$$}; $$[-\frac{1}{2};0),(0;\frac{1}{2}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7416

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$a^{2}+5|x|+7\sqrt{2x^{2}+49}=2x+2|x-7a|$$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: $$\pm 7$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$f(x)=7\sqrt{2x^{2}+49}$$ и $$g(x)=2x+x|x-7a|-5|x|-a^{2}$$. Рассмотрим g(x): если $$7a>0$$, то получим следующее раскрытие модулей:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<0\\g(x)=5x+14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq 7a\\g(x)=5x+14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>7a\\g(x)=-x-14a-a^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     Если же $$7a<0$$, то:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<7a\\g(x)=5x+14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}7a\leq x\leq 0\\g(x)=9x-14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>0\\g(x)=-x-14a-a^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     В обоих случаях необходимо, чтобы $$g(0)\geq f(0)$$:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>0\\14a-a^{2}\geq 49\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a<0\\-14a-a^{2}\geq 49\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>0\\a^{2}-14a+49\leq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a<0\\a^{2}+14a+49\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>0\\(a-7)^{2}\leq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a<0\\(a+7)^{2}\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a=\pm 7$$

     При $$a=0$$ получим: $$7\sqrt{2x^{2}+49}=2x+2|x|-5|x|\Leftrightarrow$$$$7\sqrt{2x^{2}+49}=2x-3|x|$$ - решений не имеет, так как левая часть всегда больше нуля, а правая - меньше.

Задание 7426

Найти все значения параметра a , при каждом из которых уравнение $$3\sin x +\cos x=a$$ имеет ровно один корень на отрезке $$[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}]$$

Ответ: $$[\sqrt{2};2\sqrt{2});\sqrt{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7445

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых хотя бы одно решение неравенства $$x^{2}+a+|x-a-3|+6\leq 5x$$ принадлежит отрезку [1;2].

Ответ: $$(-\infty;-\frac{1}{2}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7518

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}y^{2}-(x^{2}+\sqrt{2|x|-x^{2}}-4)y+(x^{2}-4)\sqrt{2|x|-x^{2}}=0\\y=2x+a\end{matrix}\right.$$ имеет ровно 3 решения.

Ответ: 0; $$\sqrt{5}-2$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7565

Найти все значения параметра a, при каждом из которых ровно одна точка графика функции $$y=2x+(\lg a)\cdot \sqrt{\cos (2\alpha \pi x)+2\cos (\alpha \pi x)-3}+1$$ лежит в области  $$(2x-7)^{2}+4(y-3)^{2}\leq 25$$

Ответ: [1;2),(2;3)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7640

При каких значениях a система уравнений $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=4\\ a(x-|x|)=|x-y|+|x+y|\end{matrix}\right.$$ имеет бесконечное число решений?

Ответ: -1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7687

Найдите наименьшее значение параметра a , при котором уравнение $$\frac{4}{\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}=a$$ на интервале $$(0;\frac{\pi}{2})$$ имеет хотя бы одно решение

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7735

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение $$\cos^{2} x-a^{2}\cos x+(a^{2}-a+12)(a-12)=0$$ имеет ровно одно решение на промежутке $$(-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}]$$.

Ответ: $$[12;\frac{25}{2}]$$,{13}
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7786

При каких значениях параметра a система уравнений $$\left\{\begin{matrix}ax^{2}+4ax-y+7a+1=0\\ay^{2}-x-2ay+4a-2=0\end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение?

Ответ: $$\pm \frac{1}{2\sqrt{3}};0$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7865

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$a^{2}\ctg^{2}x-9a+a^{2}=4a\sin x$$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: $$a\in[0;13]$$
Скрыть

$$a^{2}\ctg^{2}x-9a+a^{2}=4a\sin x$$

$$a(a\cdot\ctg^{2}x-9+a-4\sin x)=0$$

1) При $$a=0$$ корни есть

2) При $$a\neq0$$: $$a(ctg^{2}x+1)-9-4\sin x=0$$

$$a(\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+1)-9-4\sin x=0$$

$$a\cdot(\frac{1}{\sin^{2}x})-9-4\sin x=0$$

Пусть $$\sin x=y$$

$$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{y^{2}}-9-4y=0&\\y\neq0&\\y\in[-1;1]&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{y^{2}}=4y+9&\\y\neq0&\\-1\leq y\leq1&\end{matrix}\right.$$

Пусть $$f(y)=\frac{a}{y^{2}}$$; $$g(y)=4y+9$$

При $$f(1)\leq g(1)$$ получим наличие корней. При этом $$a$$ должно быть меньше $$0$$, иначе ветви $$f(y)$$ вниз и $$f(y)<0$$ при всех $$y$$. Т.к. $$f(y)$$ симметричен от оси ординат, то $$f(1)\leq g(1)$$ достаточно $$\frac{a}{1}\leq4\cdot1+9$$ $$\Rightarrow$$ $$a\leq13$$ $$\Rightarrow$$ $$a\in(0;13]$$. С учетом (1) получим $$a\in[0;13]$$

 

Задание 7898

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых неравенство $$a(1+(4-\sin x)^{4})>3-\cos^{2}x$$ выполнено при любом значении x

Ответ: $$a>\frac{3}{82}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$g(x)=3-\cos^{2}x$$. С учетом, что $$\cos^{2}x\in[0;1]$$, то $$g(x)\in[2;3]$$.

Пусть $$f(x)=1+(4+\sin x)^{4}$$. Т.к. $$\sin x\in[-1;1]$$, то $$4-\sin x\in[3;5]$$, тогда $$(4-\sin x)^{4}\in[81;625]$$ и $$f(x)\in[82;626]$$, тогда $$af(x)\in[a\cdot82;a\cdot626]$$

При этом $$af_{min}(x)=82\cdot a$$ при $$\sin x=1$$; $$g_{max}(x)=3$$, при $$\cos x=0$$. Т.е.: $$\left\{\begin{matrix}\sin x=1&\\\cos x=0&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+2\pi k&\\x=\frac{\pi}{2}+\pi n&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in Z$$

Т.е. принимают в одной точке, тогда чтобы решение было для любого $$a$$ необходимо выполнение $$af_{min}(x)>g_{max}(x)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$82a>3$$ $$\Rightarrow$$ $$a>\frac{3}{82}$$

 

Задание 7947

Найдите все значения параметра a , при которых уравнение $$ax=x\sqrt{x-2x^{5}+x^{3}}$$ имеет четное число решений.

Ответ: $$(0;\frac{\sqrt[4]{8}}{2})(\frac{\sqrt[4]{8}}{2};\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8223

При каких значениях параметра a уравнение $$6\cdot (\frac{x}{x^{2}+1})^{2}-\frac{(6a+1)x}{x^{2}+1}-12a^{2}+8a-1=0$$ имеет ровно 4 решения?

Ответ: $$a\in(0;\frac{1}{6})\cup(\frac{1}{6};\frac{5}{18})\cup(\frac{5}{18};\frac{5}{12})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$(\frac{x}{x^{2}+1})=y$$. Получим: $$6y^{2}-(6a+1)\cdot y-(12a^{2}-8a+1)=0$$

Данное уравнение должно иметь 2 различных корня, неравных 0 (иначе при обратной замене, не получим 4 корня):

$$D=(6a+1)^{2}+24(12a^{2}-8a+1)>0$$ $$\Rightarrow$$ $$324a^{2}-180a+25>0$$ $$\Rightarrow$$ $$(18a-5)^{2}>0$$ $$\Rightarrow$$ $$a\neq\frac{5}{18}$$

$$\begin{bmatrix}y_{1}=\frac{6a+1+18a-5}{12}&\\y_{2}=\frac{6a+1-18a+5}{12}&\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}y_{1}=\frac{6a-1}{3}&\\y_{2}=\frac{1-2a}{2}&\end{bmatrix}$$ 

При этом $$\frac{6a-1}{3}\neq0$$ $$\Rightarrow$$ $$a\neq\frac{1}{6}$$ и $$\frac{1-2a}{2}\neq0$$ $$\Rightarrow$$ $$a\neq\frac{1}{2}$$

При этом $$\frac{x}{x^{2}+1}=y$$ так же имеет два различных корня: $$yx^{2}=0$$ $$D=1-4y^{2}>0$$ $$\Rightarrow$$ $$y\in(-\frac{1}{2};\frac{1}{2})$$

То есть: $$\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2}<\frac{6a-1}{3}<\frac{1}{2}|\cdot3|+1|\div6&\\-\frac{1}{2}<\frac{1-2a}{2}<\frac{1}{2}|\cdot2|-1|\div(-2)&\\a\neq\frac{5}{18};\frac{1}{6};\frac{1}{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{12}<a<\frac{5}{12}&\\0<a<1&\\a\neq\frac{5}{18};\frac{1}{6};\frac{1}{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a\in(0;\frac{1}{6})\cup(\frac{1}{6};\frac{5}{18})\cup(\frac{5}{18};\frac{5}{12})$$

 

Задание 8272

При каких значениях параметра уравнение $$x^{4}-8x^{3}-2x^{2}+24x+a=0$$ имеет ровно 3 различных корня?

Ответ: -15; 17
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8291

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$\log_{3x-4}(a+9x+5)=-1$$& имеет единственный корень на промежутке $$(\frac{4}{3};2]$$

Ответ: $$[-22,5; -19), (-19; \infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8310

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых график уравнения $$\frac{ax^{2}+2+xy-2(a+2)x}{1-y-2x}=2$$ имеет ровно 3 общие точки со сторонами квадрата ABCD, где А(4;3) и С(‐2;5)

Ответ: $$(-\infty; -\frac{5}{2})$$, {$$\frac{3}{4}; 1; 3,5$$}
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8328

Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^{3}+7x^{2}+(13-4a)x+4a^{2}-2a+8=0\\ x^{3}+5x^{2}+(4a+13)x-4a^{2}-2a+8=0 \end{matrix}\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: -1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Вычтем из первого второе: $$2x^{2}+x(13-4a-4a-13)+8a^{2}=0$$

$$2x^{2}-8ax+8a^{2}=0$$

$$x^{2}-4ax+4a^{2}=0$$

$$(x-2a)^{2}=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=2a$$

Подставим в первое: $$8a^{3}+28a^{2}+(13-4a)2a+4a^{2}-2a+8=0$$

$$8a^{3}+28a^{2}+26a-8a^{2}+4a^{2}-2a+8=0$$

$$8a^{3}+24a^{2}+24a+8=0$$

$$a^{3}+3a^{2}+3a+1=0$$

$$(a+1)^{3}=0$$ $$\Rightarrow$$ $$a=-1$$

 

Задание 8347

Найдите все значения параметра a, при которых неравенство $$\log_{\frac{1}{a}}(\sqrt{x^{2}+ax+5}+1)\cdot \log_{5}(x^{2}+ax+6)+\log_{a}3\geq 0$$ имеет одно решение.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\log_{\frac{1}{a}}(\sqrt{x^{2}+ax+5}+1)\cdot\log_{5}(x^{2}+ax+6)+\log_{a}3\geq0$$

Пусть $$\sqrt{x^{2}+ax+5}=y>0$$ $$\Rightarrow$$ $$y+1\geq1$$; $$y^{2}+1\geq1$$

$$-\log_{a}(y+1)\cdot\log_{5}(y^{2}+1)\geq-\log_{a}3$$

$$\log_{a}(y+1)\cdot\log_{5}(y^{2}+1)\leq\log_{a}3$$

Если $$a>1$$,то $$\log_{a}(y+1)>0$$ $$\Rightarrow$$ $$\log_{5}(y^{2}+1)\leq\frac{\log_{a}3}{\log_{a}(y+1)}=\log_{y+1}3$$

Если $$a\in(0;1)$$, то $$\log_{5}(y^{2}+1)\geq\log_{y+1}3$$

Необходимо единственное решение $$\Rightarrow$$ $$y=2$$. Т.е. получим $$\sqrt{x^{2}+ax+5}=2$$ тоже должно иметь единственное решение. Т.е. ордината в вершине параболы равна 2. Найдем абсциссу вершины: 

$$x_{0}=-\frac{a}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\sqrt{(-\frac{a}{2})^{2}+a\cdot(-\frac{a}{2})+5}=\sqrt{5-\frac{a^{2}}{4}}=2$$ $$\Rightarrow$$ $$5-\frac{a^{2}}{4}=4$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}=4$$ $$\Rightarrow$$ $$a=\pm2$$, но $$a>0$$ $$\Rightarrow$$ $$a=2$$

 

Задание 8685

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}2axy-2x-2y-2y+3=0\\ x+2y+xy+1=0\end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение

Ответ: $$-0,5; 1; \frac{-7\pm 4\sqrt{2}}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8702

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac{|3x|-2x-2-a}{x^2-2x-a}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$(-2;-1)\cup (-1;0)\cup$$$$(0;3)\cup (3;8)\cup$$$$(8;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8722

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac{|x-6|+a-6}{x^{2}-10x+a^{2}}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$(-\infty;0)\cup (0;3)\cup$$$$(3;4)\cup (4;5)\cup$$$$(5;6)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8745

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}\frac{(\sqrt{12-x^{2}}-y)((x+4)^2+(y+4)^2-8(x+4)+x^2-y^2-24)}{2-x^{2}}=0\\ y=1-2a\end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения.
Ответ: $$(-\frac{2\sqrt{3}-1}{2};-\frac{\sqrt{10}-1}{2})\cup$$$$(-\frac{-\sqrt{10}-1}{2};-1);-\frac{3}{4};\frac{1}{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8764

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $$\frac{(y-\sqrt{10-x^2})((x+5)^2+(y+5)^2-10(x+7,5)+x^2-y^2+5)}{y=ax+a-1}=0$$ имеет одно решение

Ответ: $$-\frac{\sqrt{10}+1}{9};\frac{\sqrt{10}-1}{9};[1,4;2)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8783

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство $$(4|x|-a-3)(x^2-2x-2-a)\leq 0$$ имеет хотя бы одно решение из промежутка [-4; 4].

Ответ: [-3;22]
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8802

Найдите все значения а, при каждом из которых любое значение из промежутка [-1,5; -0,5] является решением неравенства $$(4|x|-a-3)(x^{2}-2x-2-a)\geq 0$$

Ответ: $$(-\infty;-3)\cup(-3;-1]\cup$$$$1\cup [3,25;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8897

Найдите все значения а, при каждом из которых линии $$y=a|x-2|+|a|-2$$ и $$y=\frac{a}{2}$$ ограничивают многоугольник, площадь которого не более 0,5.

Ответ: $$[-2;\frac{4}{3})\cup [2;4)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8917

Найдите все значения а, при каждом из которых линии $$y=a|3-x|+|a|-3$$ и $$y=\frac{a}{3}$$ ограничивают многоугольник, площадь которого не менее $$\frac{1}{3}$$

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9050

Найдите все значения параметра при которых уравнение $$(\sin x-a)(tg x-a)=0$$ имеет единственное решение на интервале $$(-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{4})$$

Ответ: {-1;0},[1;$$\infty$$)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9096

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac{x^{2}+x+a}{x^{2}-2x+a^{2}+6a}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9115

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}y=(a+2)x^{2}+2ax+a-2\\y^2=x^2\end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9166

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$4x+7-4\sqrt{4x-x^2}=x^2+a^2+2a$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$[-2\sqrt{2}-1;-3]\cup [1;2\sqrt{2}-1]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9233

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} (ay-ax+2)(y-x+3a)=0\\ |xy|=a \end{matrix}\right.$$

имеет ровно шесть решений.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9250

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} (ay-ax+2)(y-x+3a)=0\\ |xy|=a \end{matrix}\right.$$

имеет ровно восемь решений.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9347

Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} a=x^2+2x+5\\ a=(2x+8-2y)y-5 \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9367

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} (a+1)(x^2+y^2)+(a+1)x+(a+1)y+2=0\\ xy-1=x-y \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9492

Найдите все значения а, при каждом из которых функция $$f(x)=x^{2}-3|x-a^{2}|-5x$$ имеет более двух точек экстремума.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9512

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$\sqrt{x^{4}+x^{2}-5a^{2}}=\sqrt{x^{4}-4ax}$$ имеет ровно одно решение.

Ответ: (-2;2)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9532

Найдите все значения а, при каждом из которых функция $$f(x)=x^{2}-4|x-a^{2}|-8x$$ имеет хотя бы одну точку максимума.

Ответ: $$a\in(-\sqrt{6};-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};\sqrt{6})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9637

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=a\\\sin(\pi x+\pi y)=0 \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: 0,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9665

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{2}=a^{2}\\x^{2}+y=|a+1| \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: $$(-0,5;1-\sqrt{2})\cup(1+\sqrt{2};+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9685

Найдите значения а, при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} 6x^2-5xy+y^2+x-y-2=0\\ y=ax-5 \end{matrix}\right.$$ имеет ровно одно решение.

Ответ: $$\frac{2}{3};2;3$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9785

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$\cos^{2} x-a^{2}\cos x+(a^{2}-a+\frac{1}{2})(a-\frac{1}{2})=0$$ имеет ровно одно решение на промежутке $$(-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}]$$.

Ответ: [0;0,5), {$$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$;1;1,5}
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9805

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^4+y^2=a^2-1\\x^2-y=|a-1| \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: $$(-\infty;-3)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9880

Найдите все значения параметра a, при которых система $$\left\{\begin{matrix} y-\ln(x-a)-a=x^2-4x+4\\ y=\frac{x+|x|\cdot\ln(ex-ea)}{|x|} \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение.

Ответ: [-4;-2],[1;2)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9932

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} y=a(x-3)\\\frac{1}{\log_{x}2} +\frac{1}{\log_{y}2} =1 \end{matrix}\right.$$ не имеет решений

Ответ: {-1}; $$(-\frac{8}{9};0]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9952

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{3a+\sqrt{3a+2x-x^2}}=2x-x^2$$ имеет решения.

Ответ: $$[-\frac{1}{12};0]$$
 

Задание 10057

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}\frac{x^2+y^2-2x+2y-6}{\sqrt{2-|y-x|}}=0\\ y-ax=3a-3\end{matrix}\right.$$ имеет ровно одно решение.

Ответ: $$(0;\frac{2}{3}]\cup (2);(\frac{2+\sqrt{6}}{2})$$
 

Задание 10077

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{(x^2+|x|)(x^2+5|x|+6)+1}=3|x|-3ax-a^2+1$$ имеет корни как большие -3, так и меньшие -3

Ответ: $$(\frac{9-3\sqrt{5}}{2};\frac{9+3\sqrt{5}}{2})$$
 

Задание 10100

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых число корней уравнения $$|x^2-5x+6|=a$$ равно наименьшему значению выражения $$|x-a|+|2x-a|+4|x-1|+1$$

Ответ: $$[1;2]$$
 

Задание 10119

Найдите все значения a, при которых наименьшее значение функции $$y=|x+4|+|2x-a|$$ меньше 3

Ответ: (-14;-2)
 

Задание 10138

Найдите все значения a , при которых уравнение $$x^{2}+2a=x+|x^2-a|$$ имеет три корня

Ответ: $$(\frac{1}{9};\frac{1}{8})$$
 

Задание 10172

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение $$a+\sqrt{6x-x^2-8}=3+\sqrt{1+2ax-a^2-x^2}$$ имеет единственное решение

Ответ: $$[2;3);(3;4]$$
 

Задание 10177

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} 2^{x}\cdot (y+1)(1-y\cdot 2^{x})=a^3\\(1+2^{x})(1-y\cdot 2^{x})=a \end{matrix}\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$(\frac{-1-\sqrt{5}}{2};-1);0;(\frac{\sqrt{5}-1}{2};1)$$
 

Задание 10197

Найдите все значения параметра $$a\in [-6;6]$$ при которых неравенство $$(a+3)\cdot ((x+1)(a+2)+3x)>0$$ выполняется при любых $$x \geq 0$$.

Ответ: [-6;-5];(-2;6]
 

Задание 10218

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств $$\left\{\begin{matrix} (a-x^{2})(a+x-2)<0\\x^{2}\leq 1 \end{matrix}\right.$$ не имеет решений

Ответ: $$(-\infty;0];[3;+\infty)$$
 

Задание 10265

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых функция $$f(x)=x(1-a)+3(1-2a)\sin \frac{x}{3}+\frac{3}{2}\sin \frac{2x}{3}+\pi a$$ имеет не более двух экстремумов на промежутке $$(\pi;5\pi)$$

Ответ: $$(-\infty;-1]\cup {-\frac{1}{2}}\cup [\frac{1}{2};+\infty)$$
 

Задание 10291

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции $$f(x)=-x^{4}+\frac{2ax^{3}}{9}+\frac{a^{2}x^{2}}{3}$$ на отрезке [-1;0] не превышает единицы и достигается на левом конце отрезка.

Ответ: $$[\frac{1-2\sqrt{7}}{3};\frac{1+-2\sqrt{7}}{3}]$$
 

Задание 10395

Найти все значения параметра a, при которых уравнение $$\frac{(x^{2}-4x+a)^{3}}{2}=(a-4x)(3x^{4}+(a-4x)^{2})$$ имеет единственное решение на промежутке $$(-2-\sqrt{2};0]$$

Ответ: $$-4;[-2;0]$$
 

Задание 10445

При каких значениях b неравенство $$x^{2}+(2a+4b)x+2a^{2}b+4b^{2}-2ab+6b+15\leq 0$$ не имеет решений ни при одном значении a?

Ответ: $$(\frac{5}{7};1)$$
 

Задание 10501

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
$$(1+a^{2})x^{6}+3a^{2}x^{4}+2(1-6a)x^{3}+3a^{2}x^{2}+a^{2}+1=0$$
имеет единственное решение.
Ответ: -1,5;0;0,5;1
 

Задание 10512

Найдите все значения параметра
$$a\neq 0$$, такие что неравенство $$\log^{2}_{2}(x^{2}+2ax+a^{2}-a+1)-\log_{2}\frac{a^{2}}{6}\cdot \log_{2}(x^{2}+2ax+a^{2}-a+1)\leq 0$$
не имеет решений.
Ответ: $$(-3-\sqrt{15};0)$$
 

Задание 10532

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{2-5x}\cdot \ln(36x^{2}-a^{2})=\sqrt{2-5x}\cdot \ln(6x+a)$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$(\frac{-12}{5};-\frac{1}{2}]\cup[\frac{7}{5};\frac{12}{5})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10560

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} a\left(x+2\right)+y=3a \\ a+2x^3=y^3+\left(a+2\right)x^3 \end{array} \right.$$

имеет не более двух решений.

Ответ: $$[-0,5;0),(0;0,5],{-1;1}$$
 

Задание 10580

Найдите все значения параметра $$p$$, при каждом из которых система неравенств

$$\left\{ \begin{array}{c} x^2+18px+77p^2\le 0 \\ {\left(x-324\right)}^2\ge {\left(29p\right)}^2 \end{array} \right.$$

имеет единственное решение.

Ответ: -9;0;18
 

Задание 10600

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение

$$a\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\left|1-\frac{\left|x\right|}{2}\right|=1$$

имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$(-\infty;1),(\frac{2}{\sqrt{3}};+\infty)$$
 

Задание 10620

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$2^{\sqrt{x-0,5}}\cdot \left(\sqrt{a-8x^4}-2x^2\right)=0$$

имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее неравенству $$x(x-1)<0$$

Ответ: $$[\frac{3}{4};12)$$
 

Задание 10640

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+\left(2-5a\right)x+4a^2-2a\le 0 \\ x^2+a^2=4 \end{array} \right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$[-\sqrt{2};0]; [\frac{16}{17};\sqrt{2}]$$
 

Задание 10660

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых неравенство $${{\sin }^{{\rm 4}} x\ }+{{\cos }^{{\rm 4}} x\ }>a\cdot {\sin x\ }\cdot {\cos x\ }$$ выполнено при любом значении $$x$$.

Ответ: (-1;1)
 

Задание 10696

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{4-2x+y}=2 \\ a{\left(x^2+3y+1\right)}^2-\left(a+1\right)\left(x^2+3y+1\right)-2a-1=0 \end{array} \right.$$

имеет не более 3 решений.

Ответ: {$$-\frac{1}{3}$$};[$$-\frac{1}{10};0$$]
 

Задание 10736

Найти все значения $$a$$ при каждом из которых уравнение $$\left(7x-6\right){\ln \left(x+a\right)\ }=(7x-6){\ln \left(4x-a\right)\ }$$ имеет единственный корень на отрезке $$[0;1]$$.

Ответ: одно решение при $$-\frac{6}{7}<a\le 0;a=\frac{9}{7};\frac{3}{2}<a<\frac{24}{7}$$
Скрыть

ОДЗ $$\left\{ \begin{array}{c} x+a>0 \\ 4x-a>0 \end{array} \to \left\{ \begin{array}{c} a>-x \\ a<4x \end{array} \right.\right.$$

$$\left(7x-6\right)\left({\ln \left(x+a\right)\ }-{\ln \left(4x-a\right)\ }\right)=0$$

$$1: 7x-6=0\to x=\frac{6}{7}$$

$$2: {\ln \left(x+a\right)\ }-{\ln \left(4x-a\right)\ }=0\to x+a=4x-a\to x=\frac{2a}{3}$$

3 случая:

1) корни совпадают $$\frac{6}{7}=\frac{2a}{3};a=\frac{9}{7};$$

2) $$x=\frac{2a}{3}\in [0;1]$$ и с учетом ОДЗ $$\to $$ $$0<a\le 1,5$$

3) $$x=\frac{6}{7}$$ удовлетворяет ОДЗ, если $$-\frac{6}{7}<a<\frac{24}{7}$$

 

Задание 10756

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\left(9x-4\right){\ln \left(x+a\right)\ }=(9x-4){\ln \left(2x-a\right)\ }$$ имеет ровно один корень на отрезке $$\left[0;1\right]$$.
Ответ: $$(-\infty;3)$$
Скрыть

Найдем ограничения на переменную и на параметр $$\left\{ \begin{array}{c}x+a>0 \\ 2x-a>0\end{array}\to \left\{ \begin{array}{c}a>-x \\ a<2x \end{array}\right.\right.\to -x<a<2x$$; 
$$\left(9x-4\right){\ln \left(x+a\right)\ }-\left(9x-4\right){\ln \left(2x-a\right)\ }=0; \left(9x-4\right)\left({\ln \left(x+a\right)\ }-{\ln \left(2x-a\right)\ }\right)=0;$$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Перейдем к совокупности. $$\left[ \begin{array}{c}9x-4=0 \\ {\ln \left(\frac{x+a}{2x-a}\right)=0\ } \end{array}\right.\to \left[ \begin{array}{c}9x-4=0 \\ \frac{x+a}{2x-a}=1 \end{array}\right.$$.

С учетом ограничения, получим $$\left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}9x-4=0 \\ a=\frac{1}{2}x\end{array}\right. \\ -x<a<2x \end{array}\right.\to \left\{ \begin{array}{c}\left[ \begin{array}{c}x=\frac{4}{9} \\ a=\frac{1}{2}x \end{array}\right. \\ -x<a<2x \end{array}\right.$$ 

Решим систему координатно-параметрическим методом: 

Для вычисления параметра необходимо знать координаты точек. 

1) В точке $$N\ \left(\frac{4}{9};-\frac{4}{9}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=-x \\ x=\frac{4}{9} \end{array}\right.\to a=-\frac{4}{9}$$ - нет решений.

2) На промежутке от N до B $$\to a\in (-\frac{4}{9};0)$$ - одно решение. 

3) В точке $$B\ \left(1;0\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=0 \\ x=1 \end{array}\right.\to a=0$$ - одно решение.

4) На промежутке от B до A $$\to a\in (0;\frac{2}{9})$$ - два решения.

5) В точке $$A\left(\frac{4}{9};\frac{2}{9}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=\frac{1}{2}x \\ x=\frac{4}{9} \end{array}\right.\to a=\frac{2}{9}$$ - одно решение.

6) На промежутке от A до M $$\to a\in (\frac{2}{9};\frac{1}{2})$$ - два решения. 

7) В точке $$M\left(1;\frac{1}{2}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=\frac{1}{2}x \\ x=1 \end{array}\right.\to a=\frac{1}{2}$$ - два решения. 

8) На промежутке от M до L $$\to a\in (\frac{1}{2};\frac{8}{9})$$ - одно решение. 

9) В точке $$L\ \left(\frac{4}{9};\frac{8}{9}\right)\to \left\{ \begin{array}{c}a=2x \\ x=\frac{4}{9} \end{array}\right.\to a=\frac{8}{9}$$ - нет решений.

 

Задание 10825

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \left|y\right|+\left|2x-x^2\right|=4 \\ y^2+{\left(2x-x^2\right)}^2=a^2 \end{array} \right.$$ будет иметь ровно 8 решений.

Ответ: $$(-\sqrt{10};-2\sqrt{2});(2\sqrt{2};\sqrt{10})$$
 

Задание 10845

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых множество значений функции $$y=\frac{\sqrt{a+1}-2{\cos 3x\ }+1}{{{\sin }^{{\rm 2}} 3x\ }+a+2\sqrt{a+1}+2}$$ содержит отрезок $$[2;3]$$.
Ответ: -1
Скрыть

$$a+1\ge 0,\ a\ge -1.$$ Пусть $${\cos 3x\ }=t,t\in \left[-1;1\right],\ b=\sqrt{a+1}+1,\ b\ge 1$$.

Рассмотрим функцию $$f\left(t\right)=\frac{2t-b}{t^2-b^2-1}$$, исследуем ее при помощи производной.

$$f'\left(t\right)=\frac{2\left(t^2-b^2-1\right)-2t\left(2t-b\right)}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}=\frac{-2t^2-2b^2+2bt-2}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}=$$ $$=\frac{-{\left(t-b\right)}^2-t^2-b^2-2}{{\left(t^2-b^2-1\right)}^2}<0.$$ Функция $$f(t)$$ убывает на области определения, поэтому множество ее значений содержит отрезок $$[2;3]$$, тогда и только тогда, когда $$\left\{ \begin{array}{c} f(-1)\ge 3 \\ f(1)\le 2 \end{array} \right.$$.

Решим систему неравенств $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{-2-b}{1-b^2-1}\ge 3 \\ \frac{2-b}{1-b^2-1}\le 2 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} \frac{b+2}{b^2}\ge 3 \\ \frac{b-2}{b^2}\le 2 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} 3b^2-b-2\le 0 \\ 2b^2-b+2\ge 0 \end{array} \right.\to -\frac{2}{3}\le b\le 1$$.

Учитывая, что $$b\ge 1$$, получим $$b=1,\ \sqrt{a+1}+1=1,a=-1$$.

 

Задание 10864

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} x^2-8x+y^2+4y+15=4\left|2x-y-10\right| \\ x+2y=a \end{array} \right.$$ имеет более двух решений.

Ответ: $$(-5\sqrt{5}];[5;5\sqrt{5})$$
Скрыть

$$\left\{ \begin{array}{c} x^2-8x+y^2+4y+15=4\left|2x-y-10\right|\ (1) \\ x+2y=a\ (2) \end{array} \right.$$

Уравнение (1) равносильно совокупности двух систем $$\left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} 2x-y-10\ge 0 \\ x^2-8x+y^2+4y+15=8x-4y-40 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} 2x-y-10<0 \\ x^2-8x+y^2+4y+15=-8x+4y+40 \end{array} \right. \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} y\le 2x-10 \\ x^2-16x+y^2+8y=-55 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right. \end{array} \right.\right.$$ $$\to \left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} y\le 2x-10 \\ x^2-16x+64+y^2+8y+16=-55+64+16 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right. \end{array} \right.\to$$ $$\to \left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} y\le 2x-10 \\ {\left(x-8\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=25 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} y>2x-10 \\ x^2+y^2=25 \end{array} \right. \end{array} \right.$$

$${\left(x-8\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=25$$ - уравнение окружности с центром (8;-4), $$R_1=5$$, но строить эту окружность будем в области $$y\le 2x-10$$.

$$x^2+y^2=25$$ уравнение окружности с центром (0;0), $$R_2=5$$, но строить эту окружность будем в области $$y>2x-10$$.

(2) $$x+2y=a\to y=-\frac{1}{2}x+\frac{a}{2}$$ - обозначим $$\frac{a}{2}=b\to y=-\frac{1}{2}x+b$$ - это множество прямых, параллельных прямой $$y=-\frac{1}{2}x$$.

Заметим еще, что прямые $$y=2x-10$$ и $$y=-\frac{1}{2}x$$ перпендикулярны, т.к. $$2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1.$$

Найдем те значения b, при которых прямая $$y=-\frac{1}{2}x+b$$ проходит через точки: $$1) A\left(5;0\right)\to 0=-\frac{1}{2}\cdot 5+b,\ b=2,5$$ $$2) B\left(3;-4\right)\to -4=-\frac{1}{2}\cdot 3+b,\ b=-2,5$$ $$3) C(x_0;y_0)\to \left\{ \begin{array}{c} y_0=2x_0 \\ y_0=-0,5x_0+b,\ b=2,5x_0.\ \ CH\bot Ox.\ \ CH=y_0=2x_0,\ OH=x_0 \end{array} \right.$$

$$OC^2=OH^2+CH^2;25=x^2_0+4x^2_0,\ 5x^2_0=25,\ x_0=\pm \sqrt{5}$$

Для точки $$C(\sqrt{5};2\sqrt{5})\to b=2,5\sqrt{5}$$.

Для точки $$D\left(-\sqrt{5};-2\sqrt{5}\right)\to b=-2,5\sqrt{5}$$.

По условию должно быть более двух решений $$\left[ \begin{array}{c} -2\sqrt{5}<\frac{a}{2}\le -2,5\\2,5\le \frac{a}{2}<2\sqrt{5} \end{array} \to \left[ \begin{array}{c} -5\sqrt{5}<a\le -5 \\ 5\le a<5\sqrt{5}\end{array}\right.\right.$$. 

 

Задание 10883

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} 2x-2y-2=\left|x^2+y^2-1\right| \\ y=a(x-1) \end{array} \right.$$ имеет более двух решений.

Ответ: $$a\in (1;2)$$
Скрыть

$$\left\{ \begin{array}{c} 2x-2y-2=\left|x^2+y^2-1\right| \\ y=a(x-1) \end{array} \right.;$$ $$\left[ \begin{array}{c} \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ 2x-2y-2=x^2+y^2-1 \\ y=a(x-1) \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2-1<0 \\ 2x-2y-2={-x}^2-y^2+1 \\ y=a(x-1) \end{array} \right. \end{array} \right.$$

Рассмотрим каждую систему в совокупности отдельно:

$$1) \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ x^2-2x+1+y^2+2y+1=1 \\ y=a(x-1) \end{array} \right.. $$

Выполним преобразования: $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1\ {\rm (1)} \\ y=a(x-1) \end{array} \right.$$

$$2) \left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2-1<0 \\ x^2+2x+1+y^2-2y+1=5 \\ y=a(x-1) \end{array} \right..$$

Выполним преобразования: : $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5\ {\rm (2)} \\ y=a(x-1) \end{array} \right.$$

Геометрическое место точек, представляющих собой решения систем $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2+1\ge 0 \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1 \end{array} \right.$$ и $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+y^2-1<0 \\ {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5 \end{array} \right.$$ - это две дуги, которые имеют две общие точки $$A(1;0)$$ и $$B(0;1)$$ - место стыка графиков. Системы (1) и (2) будут иметь более двух решений, если графики параметрической прямой и дуг будут иметь более двух точек пересечения.

Параметрическая прямая, проходящая через точки $$A(1;0)$$ и $$B(0;1)$$, имеет с графиком дуг две общие точки. Мы это положение рассматриваем как пограничное. При этом параметр равен $$a=1$$. Данное значение параметра включать в ответ не стоит.

Чтобы найти второе пограничное положение графика параметрической прямой и значение параметра при этом рассмотрим касание графика прямой $$y=a(x-1)$$ и графика окружности $${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5$$. Нам известно из условия задачи расстояние от точки $$O_2(-1;1)$$ до параметрической прямой $$y=a(x-1)$$. $$d=\sqrt{5}$$. Воспользуемся этим фактом. (Расстояние от точки до прямой по формуле $$d=\frac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$)

Преобразуем уравнение прямой к виду $$Ax+By+C=0$$. $$y=ax-a\to ax-y-a=0$$. Расстояние от точки $$O_2(-1;1)$$ до касательной $$ax-y-a=0$$ равно $$d=\sqrt{5}$$. Следовательно $$\sqrt{5}=\frac{\left|-a-1-a\right|}{\sqrt{a^2+1}}$$.

Откуда $${\left(a-2\right)}^2=0.$$ Или $$a=2$$. 

 

Задание 10902

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\left|\frac{7}{x}-4\right|=ax-3$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$ имеет более двух корней.

Ответ: $$\frac{12}{7}<a<\frac{7}{4}$$
Скрыть

Рассмотрим функции $$f\left(x\right)=ax-3,\ g\left(x\right)=\left|\frac{7}{x}-4\right|$$. Исследуем уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$. 

При $$a\le 0$$ все значения функции $$f(x)$$ на промежутке $$(0;+\infty )$$ отрицательны, а все значения функции $$g(x)$$ - неотрицательны, поэтому при $$a\le 0$$ уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ не имеет решений на промежутке $$(0;+\infty )$$.

При $$a>0$$ функция $$f(x)$$ возрастает. Функция $$g(x)$$ бывает на промежутке $$(0;\frac{7}{4}]$$, поэтому уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ имеет не более одного решения на промежутке $$(0;\frac{7}{4}]$$, причём решение будет существовать тогда и только тогда, когда $$f(\frac{7}{4})\ge g(\frac{7}{4})$$, откуда получаем $$a\cdot \frac{7}{4}-3\ge 0$$, то есть $$a\ge \frac{12}{7}$$.

На промежутке$$\ (\frac{7}{4};+\infty )$$ уравнение $$f\left(x\right)=g(x)$$ принимает вид $$ax-3=4-\frac{7}{x}$$. Это уравнение сводится к уравнению $$ax^2-7x+7=0$$. Будем считать, что $$a>0$$, поскольку случай $$a\le 0$$ был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения $$D=49-28a$$, поэтому при $$a>\frac{7}{4}$$ это уравнение не имеет корней; при $$a=\frac{7}{4}$$ уравнение имеет единственный корень, равный 2; при $$0<a<\frac{7}{4}$$ уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня $$x_1,\ x_2$$, то есть $$0<a<\frac{7}{4}$$, то больший корень $$x_2=\frac{7+\sqrt{D}}{2a}>\frac{7}{2a}>2>\frac{7}{4}$$, поэтому он принадлежит промежутку $$(\frac{7}{4};+\infty )$$. Меньший корень $$x_1$$ принадлежит промежутку $$(\frac{7}{4};+\infty )$$ тогда и только тогда, когда $$a\left(x_1-\frac{7}{4}\right)\left(x_2-\frac{7}{4}\right)=a{\left(\frac{7}{4}\right)}^2-7\cdot \frac{7}{4}+7=\frac{7\left(7a-12\right)}{16}>0$$ то есть $$a>\frac{12}{7}$$.

Таким образом, уравнение $$\left|\frac{7}{x}-4\right|=ax-3$$имеет следующее количество корней на промежутке $$(0;+\infty )$$:

- нет корней при $$a\le 0$$;

- один корень при $$0<a<\frac{12}{7},\ a>\frac{7}{4}$$;

- два корня при $$a=\frac{12}{7},\ a=\frac{7}{4}$$;

- три корня при $$\frac{12}{7}<a<\frac{7}{4}$$;

 

Задание 10940

Найдите все значения $$а$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.$$ имеет ровно два различных решения.

Ответ: $$\to a\in [1^2;3^2)$$ или $$[1;9)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$\left\{ \begin{array}{c} \sqrt{a-y^2}=\sqrt{a-x^2} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} a-y^2=a-x^2 \\ x^2\le a \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} y=x \\ y=-x \\ -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a} \\ x^2+y^2=2x+4y \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} -\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a} \\ y=x \\ y=-x \\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2 \end{array} \right..$$ $$y=x$$ и $$y=-x$$ - прямые - биссектрисы углов 1-4 четвертей. $${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2$$ - окружность с центром (1;2) и $$r=\sqrt{5}$$. При этом будет 3 точки пересечения (0;0); (-1;1) и (3;3). Чтобы было ровно 2 решения (-1;1) или (3;3) должны не удовлетворять условию $$-\sqrt{a}\le x\le \sqrt{a}\to $$ При $$\sqrt{a}\ge 1$$ точка (-1;1) входит всегда, но пока $$\sqrt{a}<3$$, точка (3;3) не входит $$\to a\in [1^2;3^2)$$ или $$[1;9)$$.
 

Задание 11004

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} 2^{2-2y^2}+{\left(\left|x\right|-2\right)}^2=8 \\ 2^{1-y^2}+x=a \end{array} \right.$$ будет иметь ровно 1 решение.

Ответ: -2;2;6
 

Задание 11024

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$f\left(x\right)=\left|a+2\right|\sqrt[3]{x}$$ имеет четыре решения, где $$f$$ - четная периодическая функция с периодом $$T=\frac{16}{3}$$, определенная на всей числовой прямой, причем $$f\left(x\right)=ax^2,$$ если $$0\le x\le \frac{8}{3}.$$

Ответ: $$-\frac{18}{41}; \frac{18}{23}$$
Скрыть

$$1. a>0;$$ $$ax^2=\left|a+2\right|\sqrt[3]{x}\to \frac{64a}{9}=\left|a+2\right|\sqrt[3]{8}\to a=\frac{18}{23};$$

$$2. a<0;$$ $$\frac{64a}{9}=\left|a+2\right|\sqrt[3]{-8}\to \left|a+2\right|=-\frac{32a}{9}>0\to \left[ \begin{array}{c} a+2=-\frac{32a}{9} \\ a+2=\frac{32a}{9} \end{array} \right.\to \left[ \begin{array}{c} a=-\frac{18}{41} \\ a=\frac{18}{23} \end{array} \right.$$

$$a=\frac{18}{23}$$ - посторонний корень.

 

Задание 11090

Найдите все значения параметра $$a$$ при каждом из которых множество решений неравенства $$2+\sqrt{x^2+ax}>x$$ содержит отрезок $$[4;7]$$

Ответ: (-3;$$\infty $$)
 

Задание 11109

Найдите наименьшее натуральное значение $$a$$, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения $$\left(x-a+4\right)\left(x^2-ax+4a-17\right)=0$$ не меньше 9.
Ответ:
Скрыть

Имеем: $$x_A=\frac{a-\sqrt{a^2-16a+68}}{2};x_B=\frac{a+\sqrt{a^2-16a+68}}{2};x_C=a-4.$$

При всех значениях параметра $$a$$ дискриминант квадратного уравнения положителен.

Покажем, что при всех значениях $$a$$ выполняется неравенство $$x_B\ge x_C:$$ $$\frac{a+\sqrt{a^2-16a+68}}{2}=\frac{a+\sqrt{{\left(a-8\right)}^2+4}}{2}\ge \frac{a+\sqrt{{\left(a-8\right)}^2}}{2}=$$ $$=\frac{a+\left|a-8\right|}{2}\ge \frac{a+\left(a-8\right)}{2}=(a-4)$$ Покажем, что при всех значениях $$a$$ выполняется неравенство $$x_A\le x_C:$$ $$\frac{a-\sqrt{a^2-16a+68}}{2}=\frac{a+\sqrt{{\left(a-8\right)}^2+4}}{2}\le \frac{a-\sqrt{{\left(a-8\right)}^2}}{2}=$$ $$=\frac{a-\left|a-8\right|}{2}\le \frac{a+\left(a-8\right)}{2}=(a-4)$$ Следовательно, при всех значениях параметра $$a$$ выполняется неравенство $$x_A\le x_C\le x_B.$$

По условию, $$x_B-x_A\ge 9\leftrightarrow \sqrt{a^2-16a+68}\ge 9\leftrightarrow a^2-16a+68\ge 81\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow a^2-16a-13\ge 0.$$

Поскольку $$a$$ - натуральное число, $$a\ge 8+\sqrt{77}.$$ Минимальное натуральное значение $$a$$ равно 17. $$\left[ \begin{array}{c} x-a+4=0 \\ x^2-ax+4a-17=0 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} a=x+4 \\ a=x+4-\frac{1}{x-4} \end{array} \right.$$

В параметрической плоскости $$Oxa$$ получим две кривые и одну наклонную линии. При $$a=17$$ расстояние между $$x_B,\ x_A$$ превысит число 9.

 

Задание 11129

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} x^2+5x+y^2-y-\left|x-5y+5\right|=52 \\ y-2=a(x-5) \end{array} \right.$$ имеет ровно два решения.

Ответ: $$a\in [-\frac{7}{4};8]$$
Скрыть

Рассмотрим два случая:

$$1: \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5\ge 0 \\ x^2+5x+y^2-y-\left(x-5y+5\right)=52 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5\ge 0 \\ x^2+4x+y^2+4y=57 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5\ge 0 \\ {\left(x+2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=65 \end{array} \right.$$

Получили дугу окружности с центром $$A(-2;2)$$ радиуса $$\sqrt{65}.$$

$$2: \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5<0 \\ x^2+5x+y^2-y+\left(x-5y+5\right)=52 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5<0 \\ x^2+6x+y^2-6y=47 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x-5y+5<0 \\ {\left(x+3\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=65 \end{array} \right.\ $$

Получили дугу окружности с центром $$A(-3;3)$$ радиуса $$\sqrt{65}.$$

Решив эти системы, получим точки пересечения окружностей $$C(5;2)$$ и $$D\left(-10;-1\right).$$

Второе уравнение исходной системы представляет собой пучок прямых, проходящих через точку $$C.$$

Решениями системы являются фиксированная точка $$C(5;2)$$ и подвижная точка E - пересечения совокупности дуг с прямой пучка. Необходимо два решения. Значит, прямая пучка не должна пересекать дуги в прямых точках, кроме $$C$$ и $$E$$.

Поскольку коэффициент прямой AC равен $$-\frac{1}{8},$$ то касательная, перпендикулярная АС в точке С имеет наклон 8. Поскольку коэффициент прямой ВС равен $$\frac{4}{7},$$ то касательная, перпендикулярная радиусу BC в точке С имеет наклон $$-\frac{7}{4}.$$ При изменении наклона прямой пучка в промежутке $$\left[-\frac{7}{4};8\right]$$ не будет появляться новых точек пересечения (кроме С и Е).

Ответ: $$a\in [-\frac{7}{4};8]$$

 

Задание 11148

Найдите все значения $$a,$$ при каждом из которых неравенство $$2x^3+9x+3\left|x+a-2\right|+2\left|2x-a+2\right|+\sqrt[5]{2x-3}\le 16$$ выполняется для всех значений $$x\in \left[-2;1\right].$$

Ответ:
Скрыть

Поскольку неравенство должно выполняться для всех значений $$x\in \left[-2;1\right]$$, то оно должно выполняться и при $$x=1.$$ Подставим $$x=1$$ в неравенство: $$11+3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|-1\le 16$$ или $$3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|\le 6$$ $$(\cdot )$$.

Рассмотрим функцию $$f\left(a\right)=3\left|a-1\right|+2\left|4-a\right|$$ на трёх промежутках: 
$$1) \left\{ \begin{array}{c}a\ge 4 \\ f\left(a\right)=3\left(a-1\right)+2\left(a-4\right)=5a-11 \end{array}\right.$$ 
$$2) \left\{ \begin{array}{c}1<a<4 \\ f\left(a\right)=3\left(a-1\right)+2\left(4-a\right)=a+5 \end{array}\right.$$ 
$$3) \left\{ \begin{array}{c}a\le 1 \\ f\left(a\right)=3\left(1-a\right)+2\left(4-a\right)=-5a+11 \end{array}\right.$$ 
При $$a>1$$ функция возрастает, а при $$a<1$$ убывает. Следовательно, она принимает наименьшее значение в точке $$a=1.$$ Имеем: $$f_{min}=f\left(1\right)=6.$$ Значит, неравенство $$(\cdot )$$ может быть выполнено только при $$a=1.$$

При $$a=1$$ получим $$2x^3+9x+3\left|x-1\right|+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}\le 16.$$

Поскольку $$x\in \left[-2;1\right],$$ то $$2x^3+9x+3\left(1-x\right)+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}\le 16\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 2x^3+6x+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}-13\le 0\ \left(\cdot \cdot \right).$$

Пусть $$g\left(x\right)=2x^3+6x+2\left|2x+1\right|+\sqrt[5]{2x-3}-13,\ x\in \left[-2;1\right].$$

При $$x\in \left[-2;-\frac{1}{2}\right];g\left(x\right)=2x^3+6x-2\left(2x+1\right)+\sqrt[5]{2x-3}-13=$$ $$=2x^3+2x+\sqrt[5]{2x-3}-15.$$

При $$x\in \left[-\frac{1}{2};1\right];g\left(x\right)=2x^3+6x+2\left(2x+1\right)+\sqrt[5]{2x-3}-13=$$ $$=2x^3+10x+\sqrt[5]{2x-3}-11$$ функция $$g\left(x\right)$$ также возрастающая, как сумма возрастающих функций. И поскольку $$g\left(1\right)=0,$$ то при всех $$x\in \left[-2;1\right]$$ выполняется неравенство $$(\cdot \cdot )$$

 

Задание 11279

Найдите все значения параметра а, при которых неравенство $$|\cos^{2}x+0,5\sin 2x+(1-a)\sin^{2}x|\leq 1,5$$ выполняется для любого действительного числа х.

Ответ: $$[0;2,4]$$
 

Задание 11380

Найдите все значения а, при каждом из которых среди корней уравнения $$3x^{2}-24x+64=a|x-3|$$ будет ровно три положительных.

Ответ: $$6+2\sqrt{57};(21\frac{1}{3};+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11424

Найдите все значения параметра а, при которых система $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2xy+2y^{2}}=\sqrt{x^{2}-y^{2}}\\ \frac{x^{8}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\cdot(a-x)=1 \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: $$(\frac{5\sqrt[5]{4}}{4};\frac{5\sqrt[5]{2028}}{12})$$
 

Задание 11452

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+2y^{2}=|x|+|y|\\ \frac{y-3}{x-3}=a \end{matrix}\right.$$ будет иметь ровно 3 решения

Ответ: $$1; \frac{5}{6}; \frac{6}{5}; \frac{121\pm 4\sqrt{30}}{119}$$
 

Задание 11471

Найдите все положительные значения параметра , при которых модуль разности корней уравнения $$ax^{2}-2x-2,25=0$$ не больше расстояния между точками экстремума функции $$f(x)=2x^{3}-9x^{2}-6ax+13a^{2}$$

Ответ: $$[1;+\infty)$$
 

Задание 11715

Найдите все значения $$\alpha$$, при каждом из которых оба числа $$3\sin \alpha +5$$ и $$9\cos 2\alpha-36\sin \alpha-18$$ являются решениями неравенства $$\frac{(25x-3x^{2}+18)\sqrt{x-1}}{\log_{4}|x-7|-1}\geq 0$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n,n \in Z$$
 

Задание 11734

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} 3^{3}+3a=3x^{3}(x+3)+3x^{2}-3x^{3}+(a+3)(y+3+x)(y+3-x)\\3=y+\sqrt{3(1-3y-x)-3y+x(1-x)} \end{matrix}\right.$$ имеет ровно три решения.

Ответ: -4,5
 

Задание 11753

Найдите все значения параметра параметра а, при которых система уравнений: $$\left\{\begin{matrix} 5|x|+12|y-2|=60\\ y^{2}-a^{2}=4(y-1)-x^{2} \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: $$(-12;-5);4\frac{8}{13};(5;12)$$
 

Задание 11772

Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором уравнение $$|\frac{7-|x|}{|x|-2}|=a$$ имеет ровно четыре корня.

Ответ: 4
 

Задание 11857

Найдите все значения параметра а, при которых неравенство $$\cos x-2\sqrt{x^{2}+9}\leq -\frac{x^{2}+9}{a+\cos x}-a$$ имеет единственное решение.

Ответ: $$2$$
 

Задание 12286

Найдите все значения а, при каждом из которых среди корней уравнения

$$x^2-10x+35=a\left|x-6\right|$$ будет ровно два положительных.

Ответ: $$(2\sqrt{11}-2; 5\frac{5}{6}); 2+2\sqrt{11}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12316

Найдите, при каких неотрицательных значениях $$a$$ функция $$f\left(x\right)=\ 3ax^4-8x^3+\ 3x^2-7$$ на отрезке $$[-1;\ 1]$$ имеет ровно одну точку минимума.

Ответ: $$[0;1,5); [2;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12336

Найдите, при каких неположительных значениях а функция $$f(x)=\ ax^4+4x^3-3x^2-5$$ на отрезке [-2; 2] имеет две точки максимума.

Ответ: $$(-1,5; -\frac{9}{8}]$$
 

Задание 12356

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} {\log}_7\left(36-y^2\right)={\log}_7(36-a^2x^2) \\ x^2+y^2=2x+6y \end{array} \right.$$ имеет ровно два различных решения.

Ответ: $$a\leq -3; a=-\frac{1}{3}; a=0; a=\frac{1}{3}; a\geq 3$$
 

Задание 12377

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} {\log}_{11}\left(a-y^2\right)={\log}_{11}(a-x^2) \\ x^2+y^2=2x+6y \end{array} \right.$$

имеет ровно два различных решения.

Ответ: $$4<a\leq 16$$
 

Задание 12397

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\frac{\left|3x\right|-2x-2-a}{x^2-2x-a}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$-2<a<-1; -1<a<0; 0<a<3; 3<a<8; a>8$$
 

Задание 12417

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$\frac{\left|x-6\right|+a-6}{x^2-10x+a^2}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$a<0; 0<a<3; 3<a<4; 4<a<5; 5<a<6$$
 

Задание 12437

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{(\sqrt{12-x^2}-y)({\left(x+4\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2-8\left(x+4\right)+x^2-y^2-24)}{2-x^2}=0 \\ y=1-2a \end{array} \right.$$ имеет ровно два решения

Ответ: $$(-\frac{2\sqrt{3}-1}{2}; -\frac{\sqrt{10}-1}{2})\cup (-\frac{\sqrt{10}-1}{2}; -1); -\frac{3}{4}; \frac{1}{2}$$
 

Задание 12456

Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{(y-\sqrt{10-x^2})({\left(x+5\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2-10\left(x+7,5\right)+x^2-y^2+5)}{\sqrt{x^2-1}}=0 \\ y=ax+a-1 \end{array} \right.$$ имеет одно решение.

 

Ответ: $$-\frac{\sqrt{10}+1}{9}; \frac{\sqrt{10}-1}{9}; [1,4; 2)$$
 

Задание 12475

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство $$(4\left|x\right|-a-3)(x^2-2x-2-a)\le 0$$ имеет хотя бы одно решение из промежутка [-4; 4].

Ответ: [-3; 22]
 

Задание 12497

Найдите все значения а, при каждом из которых любое значение из промежутка $$[-1,5;\ -0,5]$$ является решением неравенства $$(4\left|x\right|-a-3)(x^2-2x-2-a)\ge 0$$

Ответ: $$(-\infty ; -3); (-3; -1]; 1; [3,25; +\infty )$$
 

Задание 12517

Найдите все значения а, при каждом из которых линии $$y\ =\ a|x-2|\ +\ |a|-2$$ и $$y=\frac{a}{2}$$ ограничивают многоугольник, площадь которого не более 0,5.

Ответ: $$[-2; -\frac{4}{3}); [2; 4)$$
 

Задание 12536

Найдите все значения а, при каждом из которых линии $$y=a\left|3-x\right|+\left|a\right|-3$$ и $$y=\frac{a}{3}$$ ограничивают многоугольник, площадь которого не менее $$\frac{1}{3}$$.

Ответ: $$(-\infty; -3] \cup (0; 3]$$
 

Задание 12555

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$\frac{x^2+x+a}{x^2-2x+a^2+6a}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$a<-6; -6<a<-2; -2<a<0; 0<a<\frac{1}{4} $$
 

Задание 12577

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} y=\left(a+2\right)x^2+2ax+a-2 \\ y^2=x^2 \end{array} \right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ: $$-\frac{17}{4}<a<-2; -2<a<2; 2<a<\frac{17}{4}$$
 

Задание 12597

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \left(ay-ax+2\right)\left(y-x+3a\right)=0 \\ \left|xy\right|=a \end{array} \right.$$

Ответ: $$0<a<\frac{4}{9}, a>1$$
 

Задание 12617

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \left(ay-ax+2\right)\left(y-x+3a\right)=0 \\ \left|xy\right|=a \end{array} \right.$$ имеет ровно восемь решений.

Ответ: $$\frac{4}{9}<a<\sqrt{\frac{2}{3}}; \sqrt{\frac{2}{3}}<a<1$$

Задание 12637

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} \left(a+1\right)\left(x^2+y^2\right)+\left(a-1\right)x+\left(a+1\right)y+2=0 \\ xy-1=x-y \end{array} \right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ: (-3; -1)
 

Задание 12657

Найдите все значения а, при каждом из которых функция $$f\left(x\right)=x^2-4\left|x-a^2\right|-8x$$ имеет хотя бы одну точку максимума.

Ответ: $$-\sqrt{6}<a<-\sqrt{2}; \sqrt{2}<a<\sqrt{6}$$
 

Задание 12676

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} x^4+y^2=a^2 \\ x^2+y=\left|a+1\right| \end{array} \right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: $$(-0,5; 1-\sqrt{2}); (1+\sqrt{2}; +\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12697

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} x^4+y^2=a^2-1 \\ x^2-y=\left|a-1\right| \end{array} \right.$$ имеет ровно четыре решения.

Ответ: $$(-\infty ; -3)$$
 

Задание 12717

Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции $$y=\frac{5a+150x-10ax}{100x^2+20ax+a^2+25}$$ содержит отрезок [0; 1]

Ответ: $$(-\infty ; 7-2\sqrt{6}]; [7+2\sqrt{6}; 15); (15; +\infty)$$
 

Задание 12737

Найдите все значения b, при каждом из которых уравнение $$\frac{\sin x-b \cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{b+2}$$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $$[\frac{\pi }{4};\ \frac{\pi }{2}]$$

Ответ: $$b=-1, b \geq 0$$
 

Задание 12756

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{5-7x}\cdot {\ln \left(9x^2-a^2\right)\ }=\sqrt{5-7x}\cdot {\rm ln}?(3x+a)$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$-\frac{15}{7}<a\leq -\frac{1}{2}; \frac{8}{7}\leq a < \frac{15}{7}$$
 

Задание 12777

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{2-5x}\cdot {\ln \left(36x^2-a^2\right)\ }=\sqrt{2-5x}\cdot {\ln \left(6x+a\right)\ }$$ имеет ровно один корень.

 

Ответ: $$-\frac{12}{5}<a\leq -\frac{1}{2}; \frac{7}{5} \leq a < \frac{12}{5}$$
 

Задание 12798

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$ax+\sqrt{5-4x-x^2}=3a+3$$ имеет единственный корень.

Ответ: $$[-1,5; -0,375); 0$$
 

Задание 12818

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $$10a+\sqrt{-7+8x-x^2}=ax+3$$ имеет единственный корень.

Ответ: $$0; (\frac{1}{3}; 1]$$
 

Задание 12838

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$(7x-6){\ln (x+a)\ }\ =\ (7x-6){\ln (4x+a)\ }$$ имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Ответ: $$-\frac{6}{7}<a\leq 0; a=\frac{9}{7}$$; $$\frac{3}{2}<a<\frac{24}{7}$$
 

Задание 12857

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$(9x-4){\ln (x+a)\ }\ =\ (9x-4){\ln (2x+a)\ }$$ имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

Ответ: $$-\frac{4}{9}<a\leq 0; a=\frac{2}{9}; \frac{1}{2}<a<\frac{8}{9}$$
 

Задание 12879

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{ \begin{array}{c} a\left(x^2+y^2\right)-ax+\left(a-3\right)y+1=0 \\ xy-1=y-x \end{array} \right.$$ имеет ровно четыре различных решения.

Ответ: $$(-\infty ; 0);(16;+\infty )$$
 

Задание 12898

Найдите все значения а, при каждом из которых функция $$f\left(x\right)=x^2-3\left|x-a^2\right|-5x$$ имеет более двух точек экстремума.

Ответ: $$-2<a<-1; 1<a<2$$
 

Задание 12919

Найдите все значения x, при которых равенство: $$2\log_{2+a^{2}}(4-\sqrt{7+2x})=\log_{2+a^{2}x^{2}}(4-3x)$$ выполняется при любом значении параметра a.

Ответ: 1
 

Задание 13376

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$|x^{2}-a^{2}|=|x+a|\cdot \sqrt{x^{2}-4ax+5a}$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$-5;(0;1)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13395

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $$|x^{2}-a^{2}|=|x+a|\sqrt{x^{2}-5ax+4a}$$ имеет ровно два различных корня

Ответ: $$a<-2;-2<a<-\frac{2}{3};a>0$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13547

Найдите все положительные значения а, при каждом из которых корни уравнения $$3a^{2x}-16^{x}+2\cdot(4a)^{x}=0$$ принадлежат отрезку $$[-2; -1]$$.

Ответ: $$[4\sqrt{3};12]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13565

Найдите все положительные значения а, при каждом из которых корни уравнения $$5a^{2x}-2\cdot 4^{x}+9\cdot (2a)^{x}=0$$ принадлежат отрезку [-3; 1].

Ответ: $$(0;0,4];[2\sqrt[3]{5};+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13696

Найдите все такие значения а, при каждом из которых неравенство $$-1\leq |\sin x(a-\cos 2x)|\leq 1$$ верно при всех действительных значениях х.

Ответ: $$[1-1,5\sqrt[3]{4};0]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13779

Найдите все такие значения а, при каждом из которых неравенство $$-1\leq \cos x(\cos 2x -a-1)\leq 1$$ верно при всех действительных значениях х.

Ответ: $$[-1;1,5\sqrt[3]{4}-2]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13801

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} (x-a+3)^2+(y+a-2)^2=a+\frac{7}{2}\\ x-y=a-1 \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение.

Ответ: 1;9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13906

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} (x-2a+2)^2+(y+a-2)^2=a+\frac{5}{2}\\x+y=1-a \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение.

Ответ: $$-\frac{1}{2};2$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14034

Найдите все такие значения а, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{5-7x}\ln (9x^{2}-a^{2})=\sqrt{5-7x}\ln(3x+a)$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$(-\frac{15}{7};-\frac{1}{2}];[\frac{8}{7};\frac{15}{7})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14217

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$$(ax-a-2)((ax-a-2)^2+1)=\frac{(a-10x)((a-10x)^2+(x-1)^2)}{(x-1)^3}$$

имеет ровно два различных действительных корня.

Ответ: $$(-\infty;0);$$$$(0;2);$$$$(8;10);$$$$(10;+\infty)$$
 

Задание 14224

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-4=2|x-2y|\\ x+y=a \end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения.

Ответ: $$(-3\sqrt{2}-1;-3\sqrt{2}+1);$$$$(-\frac{6\sqrt{5}}{5};\frac{6\sqrt{5}}{5});$$$$(3\sqrt{2}-1;3\sqrt{2}+1)$$
 

Задание 14231

Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых уравнение $$4\cos x-a\cdot tg^{2}x=3+a$$ имеет на отрезке $$[0;\pi]$$ ровно один корень.

Ответ: $$[-7;-0,25);[0;1]$$
 

Задание 14238

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$$\lg(x^2(x-2a)+x(2+a)+1-a^2)=\lg(x^2-a^2x+2x-a^2+1)$$

имеет ровно два различных действительных корня.

Ответ: $$(-\infty;-2);$$ $$(-1;\frac{1-\sqrt5}{2}];{0};$$$$[1;\frac{1+\sqrt5}{2})$$.
 

Задание 14245

Для каждого значения $$a$$ найдите наибольшее значение функции $$y=x\cdot\sqrt{x^2-4ax+4a^2}$$ на отрезке $$[-2;2]$$

Ответ: $$a\leq 2\sqrt{2}-2: y_{max[-2;2]}=4-4a$$;$$2\sqrt{2}<a<2:y_{max[-2;2]}=a^{2}$$;$$a\geq 2:y_{max[-2;2]}=4a-4$$
 

Задание 14252

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\log^2_x(2ax+1-a^2)-2\log_x(2ax+1-a^2)=0$$ имеет более двух корней.

Ответ: $${0}\cup (1;2)\cup (2;+\infty)$$.
 

Задание 14259

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{4x-x^2}\cdot \log_2(x^2-2ax+a^2)=0$$ имеет ровно три различных корня.

Ответ:
 

Задание 14266

Найти все $$a$$, при каждом из которых уравнение $$x-2=\frac{(a+1)(a-5)}{x+4}$$ имеет ровно один корень на промежутке $$(-\infty;0)$$.

Ответ: $$(-\infty;-1)\cup (-1;1]\cup{2}$$$$\cup [3;5)\cup (5;+\infty)$$.
 

Задание 14272

Найти все $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} y-ax=a+5,\\ xy^2-x^2y-2xy+4x-4y+8=0; \end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения.

 

Ответ: $${-25;\pm 1;0;1\pm \frac{4}{\sqrt5}}$$.
 

Задание 14279

Найдите все $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} y^2-2x^2+xy+9x-9=0\\ ax^2+2ax-y-3+a=0 \end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре различных решения

Ответ: $$(-\frac{1}{8};0);(0;\frac{2}{9});(\frac{2}{9};\frac{1}{4})$$
 

Задание 14286

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$4^{|x|}+a\cdot 2^{|x|}-2^{|x|+2}=6a^{2}-13a+5$$ имеет ровно два корня.

Ответ: $$(-\infty;1);1;2;(\frac{4}{3};+\infty)$$
 

Задание 14296

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение

$$(16x^2-4(a+1)(x^3+x)+a(x^2+1)^2)\cdot((a-1)x^{2}+2x+a+1)=0$$

имеет ровно четыре корня.

Ответ: $$\frac{1}{2};\frac{2}{3};2;(-2;0]$$
 

Задание 14301

Найти все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$(4^{x}-3\cdot 2^{x}+3a-a^{2})\cdot \sqrt{2-x}=0$$ имеет ровно два различных корня

Ответ: $$(-1;0];1,5;[3;4)$$
 

Задание 14305

Найти все значения $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{a-(a+1)(2x+4)}=x+1$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$ (-\infty;-2)\cup\left \{ \frac{-1-\sqrt5}{2} \right \}$$.
 

Задание 14309

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых уравнение $$a+\sqrt{6x-x^2-8}=3+\sqrt{1+2ax-a^2-x^2}$$ имеет ровно одно решение

Ответ: $$[2;3);(3;4]$$
 

Задание 14318

При каких значениях параметра $$a$$ для всякого $$x$$ из $$[0;7]$$ верно неравенство $$||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|\leq 7x+24$$.

Ответ: $$[-3;4]$$.
Скрыть

Рассмотрим функцию $$f(x)=||x+2a|-3a|+||3x-a|+4a|-7x-24$$.

Как бы мы не раскрывали модули, коэффициент при x после приведения подобных слагаемых будет отрицателен. То есть $$f(x)$$ – убывающая (линейная) функция.

$$f(x)\leq 0$$ на $$[0;7]$$, если мы потребуем $$f(0)\leq 0$$.

Итак, $$||2a|-3a|+||-a|+4a|-24\leq 0$$;

Если $$a\geq 0$$, то $$|2a-3a|+|a+4a|\leq 24$$; $$a+5a\leq 24$$; $$a\leq 4$$.

Если $$a<0$$, то $$|-2a-3a|+|-a+4a|\leq 24$$; $$-5a-3a\leq 24$$; $$a\geq -3$$;

Итак, исходное неравенство верно для всякого $$x$$ из $$[0;7]$$ при $$a\in [-3;4]$$.

 

Задание 14322

При каких значениях параметра $$a$$ система уравнений $$\left\{\begin{matrix} 9y=(a-1)^2+9(x-a)^2,\\ y=log_2(1+\frac{|x|}{x}); \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение?

Ответ: $$(-0,8;1]\cup \left \{ 4 \right \}$$.
 

Задание 14327

Найти все $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\ln (xa^{2}+xa+2x-x^{3})=\ln(2x-x^{2})$$ имеет ровно один корень.

Ответ: $$(-2;-1];-0,5;[0;1)$$
 

Задание 14334

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} x^2+xy-4x-2y+4=0,\\ ax^2-y=4; \end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения?

Ответ: $$-\frac{1}{24};0;1$$.
 

Задание 14339

Найдите все $$a$$, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-2|x-y|=2\\ x^2+y^2-2a(x+y)+2a^2=2 \end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения.

Ответ: $$\pm\sqrt{2+2\sqrt{2}};(-2;2)$$
 

Задание 14346

Найдите наибольшее значение параметра $$a$$, при котором неравенство $$a\sqrt{a}(x^{2}-2x+1)+\frac{\sqrt{a}}{x^{2}-2x+1}\leq \sqrt[4]{a^{3}}|\sin \frac{\pi x}{2}|$$ имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$\frac{1}{16}$$
 

Задание 14365

Найдите все значения параметра $$a$$ , при которых система неравенств $$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}+x-a\leq 0\\3x^2-2x+6a\leq 0 \end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение.

Ответ: $$-\frac{1}{12};0$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14384

Найдите все значения параметра $$a$$ , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}x+3|y|+5=0\\(x-a)^{2}+y^{2}=4 \end{matrix}\right.$$ имеет четыре решения.

Ответ: $$(-5-2\sqrt{10};-7)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!