Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Наибольшее и наименьшее значение функций

Исследование частных и произведений

 

Задание 2355

Найдите точку максимума функции: $$y=-\frac{x^{2}+324}{x}$$

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=-\frac{x^{2}+324}{x}$$

$${y}'=-\frac{{(x^{2}+324)}'\cdot x-{x}'(x^{2}+324)}{x^{2}}=-\frac{2x\cdot x-x^{2}-324}{x^{2}}=-\frac{x^{2}-324}{x^{2}}=\frac{324-x^{2}}{x^{2}}=0$$

$$x=\pm 18$$

$$x\neq 0$$

Точка минимума: -18

Точка максимума: 18


 

Задание 2497

Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-8)^{2}(x-1)+10$$ на отрезке [6; 14].

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=(x-8)^{2}(x-1)+10$$ $$y{}'=2(x-8)^{2}(x-1)+(x-8)^{2}=$$ $$=2(x^{2}-9x+8)+x^{2}-16x+64=$$ $$=2x^{2}-18x+16+x^{2}-16x+64=$$ $$=3x^{2}-34x+80=0$$ $$D=1156-960=196=14^{2}$$ $$x_{1}=\frac{34+14}{6}=8$$ $$x_{2}=\frac{34-14}{6}=\frac{10}{3}$$ $$y(8)=(8-8)^{2}(8-1)+10=10$$

 

Задание 3033

Найдите точку максимума функции $$y=\frac{16}{x}-x^{2}+9$$

Ответ: -2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=\frac{16}{x}-x^{2}+9$$ $$y'=-\frac{16}{x^{2}}-2x=0$$ $$\frac{-16-2x^{3}}{x^{2}}=0$$ $$x\neq 0$$ $$x=-2$$

 

Задание 3075

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=(x+4)^{2}(x+3)$$ на отрезке [‐5; ‐3,5].

Ответ: 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$f'(x)=2(x+4)(x+3)+(x+4)^{2}=$$$$2(x^{2}+7x+12)+x^{2}+8x+16=$$$$3x^{2}+22x+40=0$$

$$D=484-480=4$$

$$x_{1}=\frac{-22+2}{6}=-\frac{20}{6}$$

$$x_{1}=\frac{-22-2}{6}=-4$$

$$f(-4)=(-4+4)^{2}(-4+3)=0$$

 

Задание 3202

Найдите точку минимума функции: $$y=-\frac{x^{2}+676}{x}$$

Ответ: -26
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=-(\frac{(x^{2}+676)'\cdot x-x'(x^{2}+676)}{x^{2}})=$$ $$=-(\frac{2x^{2}-x^{2}+676}{x^{2}})=$$ $$=-\frac{x^{2}-676}{x^{2}}=\frac{676-x^{2}}{x^{2}}$$

 

Задание 3423

Найдите наименьшее значение функции: $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}$$

Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}=-(1+\frac{4}{4x^{2}+4x+3})$$ $$\Rightarrow 4x^{2}+4x+3\Rightarrow f(x)$$ y будет наименьшим, если $$f(x)$$ будет наименьшим: $$x_{0}=-\frac{4}{4\cdot2}=-0,5$$ $$f(-0,5)=4\cdot\frac{1}{4}-4\cdot\frac{1}{2}+3=1-2+3=2$$ $$y_{min}=-(1+\frac{4}{2})=-3$$

 

Задание 3859

Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{x^{2}-6x+36}{x}$$ на отрезке $$[3;9]$$

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y'=\frac{(2x-6)x-x^{2}+6x-36}{x^{2}}=$$

$$=\frac{2x^{2}-6x-x^{2}+6x-36}{x^{2}}=$$

$$=\frac{x^{2}-36}{x^{2}}$$

$$f_{min}=f(6)=\frac{6^{2}-6\cdot6+36}{6}=6$$

 

Задание 4817

Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{x^{2}+7x+49}{x}$$ на отрезке [-14;-1]

Ответ: -7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную данной функции:$$y'=\frac{(2x+7)*x-(x^{2}+7x+49)}{x^{2}}=$$$$\frac{2x^{2}+7x-x^{2}-7x-49}{x^{2}}=$$$$\frac{x^{2}-49}{x^{2}}=0$$ Начертим координатную прямую, отметим полученные точки, и растравим знаки производной:

Как видим, -7 - точка максимума, следовательно, на заданном по условию промежутке в этой точке и будет максимальное значение функции:

$$y(-7)=\frac{(-7)^{2}+7*(-7)+49}{-7}=-7$$

 

Задание 5055

Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{x^{3}+x^{2}+9}{x}-x^{2}$$ на отрезке $$[-9;-1$$]

Ответ: -6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=\frac{x^{3}+x^{2}+9}{x}-x^{2}=$$ $$x^{2}+x+\frac{9}{x}-x^{2}=x+\frac{9}{x}$$; $$y'=1-\frac{9}{x^{x}}=0$$; $$\frac{x^{2}-9}{x^{2}}=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\pm3$$;

$$y(-3)=\frac{(-3)^{3}+(-3)^{2}+9}{-3}-(-3)^{2}=\frac{-27+9+9}{-3}-9=3-9=-6$$

 

Задание 5192

Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{250+50x-x^{3}}{x}$$ на отрезке $$[-10;-1]$$

Ответ: -25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$y=\frac{250+50x-x^{3}}{x}$$; $$y'=\frac{(50-3x^{2})x-(250+50x-x^{3})}{x^{2}}=$$ $$\frac{50x-3x^{3}-250-50x+x^{3}}{x^{2}}=$$ $$\frac{-2x^{3}-250}{x^{2}}=0$$; $$x^{3}=-125$$ $$\Rightarrow$$ $$x=-5$$;

$$y(-5)=\frac{250+50\cdot(-5)-(-5)^{3}}{(-5)}=\frac{125}{-5}=-25$$

 

Задание 5335

Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{x^{2}-8x+64}{x}$$ на отрезке [4;18].

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем производную данной функции и приравняем ее к нулю: $$y'=\frac{(x^{2}-8x+64)'x-x'(x^{2}-8x+64)}{x^{2}}=0$$ $$y'=\frac{2x^{2}-8x-x^{2}+8x-64}{x^{2}}=0$$ $$\frac{x^{2}-64}{x^{2}}=0$$ $$x_{1}=-8 ; x_{2}=8$$ Отметим полученные значения на координатной прямой и расставим знаки производной, получим, что $$x_{2}$$ является точкой минимума. Тогда наименьшее значение функции на заданном отрезке будет именно в этой точке: $$y(8)=\frac{8^{2}-8*8+64}{8}=8$$

 

Задание 7321

Найдите наименьшее значение функции $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}$$

Ответ: -3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Преобразуем данную функцию: $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}=$$$$-(1+\frac{4}{4x^{2}+4x+3})=$$$$-1-\frac{4}{4x^{2}+4x+3}$$

Найдем производную: $$y^{'}=-\frac{4^{'}(4x^{2}+4x+3)-(4x^{2}+4x+3)^{'}*4}{(4x^{2}+4x+3)^{2}}=0$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{(8x+4)*4}{4x^{2}+4x+3}=0$$$$\Rightarrow$$ $$8x+4=0\Rightarrow$$ $$x=-\frac{1}{2}$$

$$y(-2)=-\frac{4*\frac{1}{4}+4(-\frac{1}{2})+7}{4*\frac{1}{4}+4(-\frac{1}{2})+3}=$$$$-\frac{6}{2}=-3$$

 

Задание 8679

Найдите точку минимума функции $$y=x+\frac{25}{x}$$

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8716

Найдите точку максимума функции $$y=x^{3}+18x^{2}+81x+23$$
Ответ: -9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8777

Найдите точку минимума функции $$y=\frac{162}{x}+2x+7$$
Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8796

Найдите точку минимума функции $$y=-\frac{x}{x^{2}+900}$$
Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9506

Найдите наименьшее значение функции $$y=3x^{2}+\frac{12}{x^{2}+1}+4$$

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9874

Найдите наименьшее значение функции $$y=2(x-20)\sqrt{x+7}+5$$ на отрезке $$[-6;2]$$
Ответ: -103
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9899

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)$$ на отрезке [‐1;2].

Ответ: -2,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9946

Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{x^3+x^2+9}{x}$$ на отрезке [1;10]

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10151

Найдите наибольшее значение функции $$y=x^{3}+8x^{2}+16x+23$$ на отрезке[-13;-3].

Ответ: 23
 

Задание 10495

Найдите точки экстремума функции. Если их несколько, в ответ запишите их сумму. $$f(x)=\frac{6x-x^{3}}{x+1}\cdot 3^{\log_{3}(x+1)}+\frac{(x^{3}+2)(\sqrt{3-x})^{2}}{x-3}$$

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10614

Найдите точку максимума функции $$f\left(x\right)=x^8\cdot e^{5x+6}$$.

Ответ: -1,6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$f'\left(x\right)={(x^8)}'e^{5x+6}+x^8{(e^{5x+6})}'=8x^7\cdot e^{5x+6}+x^8\cdot 5e^{5x+6}=0\to$$ $$\to e^{5x+6}\left(8x^7+5x^8\right)=0\to x^7\left(8+5x\right)=0\to \left[ \begin{array}{c} x=0 \\ x=-1,6 \end{array} \right.$$ Расставим знаки производной: $$x=-1,6$$ - точка максимума.
 

Задание 11103

Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{x^2+400}{x}$$ на отрезке $$\left[-28;-2\right].$$

Ответ: -40
Скрыть Преобразуем выражение функции $$y=x+\frac{400}{x}$$ и вычислим ее производную $$y^'=1-\frac{400}{x^2}.$$ В точках экстремумов функции производная равна нулю, имеем: $$\frac{400}{x^2}=1\to x_1=20\notin \left[-28;-2\right];\ x_2=-20\in \left[-28;-2\right].$$ Для нахождения наибольшего значения функции вычислим ее в граничных точках диапазона и в точке экстремума, получим: $$y\left(-28\right)=\frac{{28}^2+400}{-28}=-28-\frac{400}{28}$$ данное значение не может быть выражено конечной десятичной дробью, а значит не является ответом в ЕГЭ; $$y\left(-20\right)=\frac{800}{-20}=-40;y\left(-2\right)=\frac{404}{-2}=-202.$$ Наибольшее значение равно -40.
 

Задание 11123

Найдите наименьшее значение функции $$y={\left(x-10\right)}^2\left(x+1\right)+3$$ на отрезке [5;14].

Ответ: 3
Скрыть

Преобразуем выражение $$y\left(x^2-20x+100\right)\left(x+1\right)+3$$ и вычислим производную от этой функции $$y'=\left(2x-20\right)\left(x+1\right)+\left(x^2-20x+100\right)\to y'=\left(x-10\right)\left(3x-8\right).$$ В точках экстремума функции производная равна нулю, имеем: $$\left(x-10\right)\left(3x-8\right)=0\to x_1=10;\ x_2=\frac{8}{3}\notin \left[5;14\right].$$

Для нахождения наименьшего значения функции, вычислим ее значения в граничных точках диапазона и в точке экстремума, получим $$y\left(5\right)=25\cdot 6+3=153;y\left(10\right)=3;y\left(14\right)=16\cdot 15+3=243.$$

Наименьшее значение равно 3.

 

Задание 11374

Найдите точку максимума функции $$y=-\frac{x^{2}+196}{x}$$

Ответ: 14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11766

Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{5x^{2}+2}{3x^{2}+20}+\frac{3x^{2}+20}{5x^{2}+2}$$ на отрезке $$[-1;4]$$

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12469

Найдите точку минимума функции $$y=\frac{162}{x}+2x+7$$

Ответ: 9
 

Задание 12491

Найдите точку минимума функции $$y=-\frac{x}{x^2+900}$$

Ответ: 30
 

Задание 12792

Найдите наибольшее значение функции $$y\ =\ {\left(x+\ 20\right)}^2е^{-18-x}$$ на отрезке $$[-19;-17].$$

Ответ: 4
 

Задание 14290

Найдите точку максимума функции $$f(x)=-\frac{x}{x^{2}+196}$$

Ответ: -14
 

Задание 14378

Найдите наименьшее значение функции $$y=x+\frac{25}{x}+2020$$ на отрезке $$[1;25]$$
Ответ: 2030
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!