ЕГЭ Профиль
Задание 2355
Найдите точку максимума функции: $$y=-\frac{x^{2}+324}{x}$$
$$y=-\frac{x^{2}+324}{x}$$
$$x=\pm 18$$
$$x\neq 0$$
Точка минимума: -18
Точка максимума: 18
 |
Задание 2497
Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-8)^{2}(x-1)+10$$ на отрезке [6; 14].
$$y=(x-8)^{2}(x-1)+10$$ $$y{}'=2(x-8)^{2}(x-1)+(x-8)^{2}=$$ $$=2(x^{2}-9x+8)+x^{2}-16x+64=$$ $$=2x^{2}-18x+16+x^{2}-16x+64=$$ $$=3x^{2}-34x+80=0$$ $$D=1156-960=196=14^{2}$$ $$x_{1}=\frac{34+14}{6}=8$$ $$x_{2}=\frac{34-14}{6}=\frac{10}{3}$$ $$y(8)=(8-8)^{2}(8-1)+10=10$$
Задание 3033
Найдите точку максимума функции $$y=\frac{16}{x}-x^{2}+9$$
$$y=\frac{16}{x}-x^{2}+9$$ $$y'=-\frac{16}{x^{2}}-2x=0$$ $$\frac{-16-2x^{3}}{x^{2}}=0$$ $$x\neq 0$$ $$x=-2$$
Задание 3075
Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=(x+4)^{2}(x+3)$$ на отрезке [‐5; ‐3,5].
$$f'(x)=2(x+4)(x+3)+(x+4)^{2}=$$$$2(x^{2}+7x+12)+x^{2}+8x+16=$$$$3x^{2}+22x+40=0$$
$$D=484-480=4$$
$$x_{1}=\frac{-22+2}{6}=-\frac{20}{6}$$
$$x_{1}=\frac{-22-2}{6}=-4$$
$$f(-4)=(-4+4)^{2}(-4+3)=0$$
Задание 3202
Найдите точку минимума функции: $$y=-\frac{x^{2}+676}{x}$$
$$y'=-(\frac{(x^{2}+676)'\cdot x-x'(x^{2}+676)}{x^{2}})=$$ $$=-(\frac{2x^{2}-x^{2}+676}{x^{2}})=$$ $$=-\frac{x^{2}-676}{x^{2}}=\frac{676-x^{2}}{x^{2}}$$
Задание 3423
Найдите наименьшее значение функции: $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}$$
$$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}=-(1+\frac{4}{4x^{2}+4x+3})$$ $$\Rightarrow 4x^{2}+4x+3\Rightarrow f(x)$$ y будет наименьшим, если $$f(x)$$ будет наименьшим: $$x_{0}=-\frac{4}{4\cdot2}=-0,5$$ $$f(-0,5)=4\cdot\frac{1}{4}-4\cdot\frac{1}{2}+3=1-2+3=2$$ $$y_{min}=-(1+\frac{4}{2})=-3$$
Задание 3859
Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{x^{2}-6x+36}{x}$$ на отрезке $$[3;9]$$
$$y'=\frac{(2x-6)x-x^{2}+6x-36}{x^{2}}=$$
$$=\frac{2x^{2}-6x-x^{2}+6x-36}{x^{2}}=$$
$$=\frac{x^{2}-36}{x^{2}}$$
$$f_{min}=f(6)=\frac{6^{2}-6\cdot6+36}{6}=6$$
Задание 4817
Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{x^{2}+7x+49}{x}$$ на отрезке [-14;-1]
Найдем производную данной функции:$$y'=\frac{(2x+7)*x-(x^{2}+7x+49)}{x^{2}}=$$$$\frac{2x^{2}+7x-x^{2}-7x-49}{x^{2}}=$$$$\frac{x^{2}-49}{x^{2}}=0$$ Начертим координатную прямую, отметим полученные точки, и растравим знаки производной:
Как видим, -7 - точка максимума, следовательно, на заданном по условию промежутке в этой точке и будет максимальное значение функции:
$$y(-7)=\frac{(-7)^{2}+7*(-7)+49}{-7}=-7$$
Задание 5055
Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{x^{3}+x^{2}+9}{x}-x^{2}$$ на отрезке $$[-9;-1$$]
$$y=\frac{x^{3}+x^{2}+9}{x}-x^{2}=$$ $$x^{2}+x+\frac{9}{x}-x^{2}=x+\frac{9}{x}$$; $$y'=1-\frac{9}{x^{x}}=0$$; $$\frac{x^{2}-9}{x^{2}}=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\pm3$$;
$$y(-3)=\frac{(-3)^{3}+(-3)^{2}+9}{-3}-(-3)^{2}=\frac{-27+9+9}{-3}-9=3-9=-6$$
Задание 5192
Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{250+50x-x^{3}}{x}$$ на отрезке $$[-10;-1]$$
$$y=\frac{250+50x-x^{3}}{x}$$; $$y'=\frac{(50-3x^{2})x-(250+50x-x^{3})}{x^{2}}=$$ $$\frac{50x-3x^{3}-250-50x+x^{3}}{x^{2}}=$$ $$\frac{-2x^{3}-250}{x^{2}}=0$$; $$x^{3}=-125$$ $$\Rightarrow$$ $$x=-5$$;
$$y(-5)=\frac{250+50\cdot(-5)-(-5)^{3}}{(-5)}=\frac{125}{-5}=-25$$
Задание 5335
Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{x^{2}-8x+64}{x}$$ на отрезке [4;18].
Найдем производную данной функции и приравняем ее к нулю: $$y'=\frac{(x^{2}-8x+64)'x-x'(x^{2}-8x+64)}{x^{2}}=0$$ $$y'=\frac{2x^{2}-8x-x^{2}+8x-64}{x^{2}}=0$$ $$\frac{x^{2}-64}{x^{2}}=0$$ $$x_{1}=-8 ; x_{2}=8$$ Отметим полученные значения на координатной прямой и расставим знаки производной, получим, что $$x_{2}$$ является точкой минимума. Тогда наименьшее значение функции на заданном отрезке будет именно в этой точке: $$y(8)=\frac{8^{2}-8*8+64}{8}=8$$
Задание 7321
Найдите наименьшее значение функции $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}$$
Преобразуем данную функцию: $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}=$$$$-(1+\frac{4}{4x^{2}+4x+3})=$$$$-1-\frac{4}{4x^{2}+4x+3}$$
Найдем производную: $$y^{'}=-\frac{4^{'}(4x^{2}+4x+3)-(4x^{2}+4x+3)^{'}*4}{(4x^{2}+4x+3)^{2}}=0$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{(8x+4)*4}{4x^{2}+4x+3}=0$$$$\Rightarrow$$ $$8x+4=0\Rightarrow$$ $$x=-\frac{1}{2}$$
$$y(-2)=-\frac{4*\frac{1}{4}+4(-\frac{1}{2})+7}{4*\frac{1}{4}+4(-\frac{1}{2})+3}=$$$$-\frac{6}{2}=-3$$
