ЕГЭ Профиль
Задание 902
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 6. Найдите объем многогранника с вершинами в точках AB1C1D1E1F1.
Рассмотрим новое основание. Оно представляет из себя пятиугольник. Площадь этого пятиугольника составляет 5/6 от площади шестиугольника, поэтому: площадь основания нового: 12 * 5/6=10
Объем пирамиды вычисляется как одна третья основания на высоту: объем = 1/3 * 6*10 = 20
Задание 938
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно ВС=4, АВ=8, СС1=14. Найдите расстояние между серединами ребер АА1 и С1D1.
|
Для этого рассмотрим треугольник HA1M: HA1=0.5AA1=7 A1M=$$\sqrt{A_{1}D_{1}^{2}+D_{1}M^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}$$ MH=$$\sqrt{A_{1}H^{2}+A_{1}M^{2}}=\sqrt{7^{2}+32}=\sqrt{81}=9$$ |
|
Задание 974
Объем пирамиды SABC равен 54. На ребрах SA, АВ и АС взяты точки М, N и Р соответственно так, что SM:MA= BN:NA=CP:PA=1:2. Найдите объем пирамиды МАNP.
Треугольники AHS и AKM подобны (SH и MK высоты в пирамидах) и коэффициент подобия равен 2/3 (так как AM:MS = 2:1, значит AS составляет 3 (2+1) части)
Аналогично треугольники APN и ACB подобны и коэффициент подобия равен 2/3. Пусть h - высота ABCS (SH), a h1 - высота ANPM (MK), S - площадь ABC, а S1 - площадь ANP.
Тогда, $$\frac{1}{3}Sh=54$$.
$$h_1=\frac{2}{3}h$$
$$S_1=\frac{4}{9}S$$ (так как площади относятся, как квадрат коэффициента подобия)
$$\frac{1}{3}S_1h_1=\frac{1}{3}*\frac{4}{9}S\frac{2}{3}h=\frac{8}{27}*\frac{1}{3}Sh=\frac{8}{27}*54=16$$
Задание 1014
В многограннике, приведенном на рисунке, все двугранные углы прямые. Найдите расстояние между точками А и В.
Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник BHA: BH = 3 + 4 = 7. HA неизвестно, найдем ее из треугольника прямоугольного HMA: $$HA = \sqrt{HM^2+MA^2}$$
$$HA = \sqrt{HM^2+MA^2}=\sqrt{4^2+(7-3)^2}=\sqrt{32}$$
$$AB = \sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{7^2+\sqrt{32}^2}=\sqrt{49+32}=\sqrt{81}=9$$
