Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / Стереометрия

 

Задание 902

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 6. Найдите объем многогранника с вершинами в точках AB1C1D1E1F1.

Ответ: 20
Скрыть

Рассмотрим новое основание. Оно представляет из себя пятиугольник. Площадь этого пятиугольника составляет 5/6 от площади шестиугольника, поэтому: площадь основания нового: 12 * 5/6=10

Объем пирамиды вычисляется как одна третья основания на высоту: объем = 1/3 * 6*10 = 20

 

Задание 938

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно ВС=4, АВ=8, СС1=14. Найдите расстояние между серединами ребер АА1 и С1D1.

 

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для этого рассмотрим треугольник HA1M:

HA1=0.5AA1=7

A1M=$$\sqrt{A_{1}D_{1}^{2}+D_{1}M^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}$$

MH=$$\sqrt{A_{1}H^{2}+A_{1}M^{2}}=\sqrt{7^{2}+32}=\sqrt{81}=9$$

 

Задание 974

Объем пирамиды SABC равен 54. На ребрах SA, АВ и АС взяты точки М, N и Р соответственно так, что SM:MA= BN:NA=CP:PA=1:2. Найдите объем пирамиды МАNP.

Ответ: 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Треугольники AHS и AKM подобны (SH и MK высоты в пирамидах) и коэффициент подобия равен 2/3 (так как AM:MS = 2:1, значит AS составляет 3 (2+1)  части)

Аналогично треугольники APN и ACB подобны и коэффициент подобия равен 2/3. Пусть h - высота ABCS (SH), a h1 - высота ANPM (MK), S - площадь ABC, а S1 - площадь ANP.

Тогда, $$\frac{1}{3}Sh=54$$.

$$h_1=\frac{2}{3}h$$ 

$$S_1=\frac{4}{9}S$$ (так как площади относятся, как квадрат коэффициента подобия)

$$\frac{1}{3}S_1h_1=\frac{1}{3}*\frac{4}{9}S\frac{2}{3}h=\frac{8}{27}*\frac{1}{3}Sh=\frac{8}{27}*54=16$$

 

Задание 1014

В многограннике, приведенном на рисунке, все двугранные углы прямые. Найдите расстояние между точками А и В.

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник BHA: BH = 3 + 4 = 7. HA неизвестно, найдем ее из треугольника прямоугольного HMA: $$HA = \sqrt{HM^2+MA^2}$$

$$HA = \sqrt{HM^2+MA^2}=\sqrt{4^2+(7-3)^2}=\sqrt{32}$$

$$AB = \sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{7^2+\sqrt{32}^2}=\sqrt{49+32}=\sqrt{81}=9$$

Задание 1070

Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 18. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ответ: 3

Задание 1071

Объем куба равен 8. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

Ответ: 24

Задание 1072

Если каж­дое ребро куба уве­ли­чить на 1, то его пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся на 54. Най­ди­те ребро куба.

Ответ: 4

Задание 1073

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем куба, если его ребра уве­ли­чить в три раза?

Ответ: 27

Задание 1074

Диа­го­наль куба равна  $$\sqrt{12}$$. Най­ди­те его объем.

Ответ: 8

Задание 1075

Объем куба равен  $$24\sqrt{3}$$ . Най­ди­те его диа­го­наль.

Ответ: 6

Задание 1076

Если каж­дое ребро куба уве­ли­чить на 1, то его объем уве­ли­чит­ся на 19. Най­ди­те ребро куба.

Ответ: 2

Задание 1077

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти куба, если его ребро уве­ли­чить в три раза?

Ответ: 9

Задание 1078

Диа­го­наль куба равна 1. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

Ответ: 2

Задание 1079

Пло­щадь по­верх­но­сти куба равна 24. Най­ди­те его объем.

Ответ: 8

Задание 1080

Объем од­но­го куба в 8 раз боль­ше объ­е­ма дру­го­го куба. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го куба боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го куба?

Ответ: 4

Задание 1081

В кубе  ABCDA1B1C1D1  точка  K  — се­ре­ди­на ребра  AA1 , точка  L  — се­ре­ди­на ребра  A1B1 , точка  M  — се­ре­ди­на ребра  A1D1 . Най­ди­те угол  MLK . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60
 

Задание 1098

В шар вписан конус так, что центр основания конуса совпадает с центром шара. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если известно, что площадь поверхности шара равна $$10\sqrt{2}$$

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Площадь поверхности шара: $$S_1=4\pi R^{2}$$
Площадь боковой поверхности конуса: $$S=\pi R*l$$, где R - радиус шара, а в нашем случае и основания конуса, а l - образующая конуса
OA=OB=R
Значит $$BA = \sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=R\sqrt{2}$$. То есть $$l=R\sqrt{2}$$.
Значит площадь боковой поверхности конуса:
$$S=\pi R*R\sqrt{2}=\pi R^{2}\sqrt{2}=\frac{S_{1}\sqrt{2}}{4}=$$
$$\frac{S_{1}\sqrt{2}}{4}=\frac{10*\sqrt{2}\sqrt{2}}{4}=5$$

 

Задание 1176

В равносторонний конус (диаметр основания конуса равен длине его образующей) вписан шар. Найдите отношение объема конуса к объему шара.

 

Ответ: 2.25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Объем конуса вычисляется по формуле:

$$V_{1}=\frac{1}{3}S*h=\frac{1}{3}\pi HB^{2}*AH$$

Объем шара вычисляется по формуле:

$$V_{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi OH^{3}$$

Дан равносторонний конус, то есть в осевом сечении будет равносторонний треугольник. Пусть AB = x, тогда HB = 0,5x и по теореме Пифагора из треугольника AHB: $$AH = \frac{\sqrt{3}}{2}x$$. OH - радиус вписанной в правильный треугольник окружности, и он равен 1/3 от высоты: $$OH = \frac{1}{3}AH = \frac{\sqrt{3}}{6}x$$

Значит объем конуса равен:

$$V_{1}=\frac{1}{3}S*h=\frac{1}{3}\pi (0.5x)^{2}* \frac{\sqrt{3}}{2}x$$

Объем шара равен:

$$V_{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{3}}{6}x)^{3}$$

Тогда:

$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{3}\pi (0.5x)^{2}* \frac{\sqrt{3}}{2}x}{\frac{4}{3}\pi (\frac{\sqrt{3}}{6}x)^{3}}$$

$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{0.25x^{3}* \frac{\sqrt{3}}{2}}{ 4(\frac{\sqrt{3}}{6}x)^{3}}=2.25$$

 

Задание 1237

Площадь поверхности шара равна $$24\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}}$$. Найдите объем шара.

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: $$S=4\pi R^{2}$$ Объем шара вычисляется по формуле: $$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$$ Найдем сначала радиус сферы, зная площадь ее поверхности: $$4\pi R^{2} =24\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}} $$ $$R^{2} =6\frac{\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}}}{\pi} $$ $$R=\sqrt[3]{\frac{6}{\pi}} $$ Тогда объем шара будет равен: $$V=\frac{4}{3}\pi (\sqrt[3]{\frac{6}{\pi}})^{3}=8$$

 

Задание 1278

В кубе с ребром, равным 3, сделано сквозное отверстие размером 1 х 1. Найдите площадь полной поверхности полученного многогранника.

 

Ответ: 64
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Площадь поверхности самого куба равна 3*3*6=54. Из него вычитаем два окошка , каждое из которых 1*1 = 1. То есть остается 54 - 2 = 52.
Но так же надо прибавить площади появившихся граней внутри куба. Каждая из них прямоугольник со сторонами 3 и 1 . Значит площадь 3*1=3. Их 4 штуки, а значит 3*1*4=12
В итоге площадь поверхности многогранника будет 52+12=64
 

Задание 1291

Цилиндр описан около шара. Найдите объем шара, если известно, что объем цилиндра равен 60.

    

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Высота цилиндра у нас равна двум радиусам вписанного шара. Обозначим радиус шара ( в таком случае и радиус основания цилиндра ) за R, объем цилиндра $$V_{1}$$, а объем шара V. Тогда :
$$V_{1}=Sh=\pi R^{2}*2R=2\pi R^{3}=60$$
$$R^{3}=\frac{30}{\pi} $$
Тогда объем шара будет:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi * \frac{30}{\pi}=40$$
 

Задание 2351

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Ответ: 0,25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$2r=a$$ - сторона основания $$\Rightarrow a=2\cdot 4=8$$

Площадь основания: $$S=a^{2}=8^{2}=64$$

Объем параллелепипеда: V=Sосн · h

$$16=64\cdot h\Leftrightarrow h=\frac{16}{64}=0,25$$

 

Задание 2364

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен $$\sqrt{3}$$, а высота равна 3.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 2493

Площадь основания конуса равна $$16\pi $$, высота – 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Sосн$$=16\pi=\pi R^{2}\Rightarrow R^{2}=16$$ $$\Rightarrow R=4$$

Sсечен$$=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24$$

 

Задание 2733

Найдите площадь поверхности многогранника (все двугранные углы прямые).

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S=1\cdot3+1\cdot1+1\cdot2+1\cdot1+1\cdot1+1\cdot2+1\cdot2\cdot2+1\cdot2\cdot2=18$$

 

Задание 2785

В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см.
Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

Ответ: 1500
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

V=Sосн·h $$\Rightarrow$$ Sосн=$$\frac{V}{h}=\frac{1000}{12}=\frac{500}{3}$$

Vдет=$$\frac{500}{3}\cdot9=1500$$

 

Задание 2824

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВDА1.

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot h$$ $$S_{ABDA_{1}}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot S_{ABCD}\cdot h=\frac{9}{6}=1,5$$

 

Задание 2861

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть х - третье ребро $$2\cdot3x+2\cdot4x+2\cdot3\cdot4=94$$ $$6x+8x+24=94$$ $$\Leftrightarrow$$ $$14x=70$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=5$$

 

Задание 2900

Найдите расстояние между вершинами B1 и D2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$B_{1}D_{2}=\sqrt{BD^{2}+D_{1}C_{2}^{2}}=$$ $$=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}+D_{1}C_{2}^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{9}=3$$

 

Задание 2939

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ: 156
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S=2\cdot5+2\cdot5+2\cdot2+2\cdot2+5\cdot4+$$ $$+2\cdot6+2\cdot3+2\cdot3\cdot3+5\cdot3+$$ $$+5\cdot3+2\cdot3+5\cdot6=156$$

 

Задание 2986

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

При увеличении ребра в три раза, площадь каждой грани, а соответственно, и октаэдра, увеличится в 9 раз ( так как площади пободных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия)

 

Задание 3029

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 6. Диагональ параллелепипеда равна 9. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Ответ: 144
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$3^{2}+6^{2}+x^{2}=9^{2}$$ $$9+36+x^{2}=81$$ $$x^{2}=36$$ $$x=6$$ $$S=2\cdot3\cdot6+2\cdot3\cdot6+2\cdot6\cdot6=36+36+72=144$$

 

Задание 3071

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с
катетами 6 и 8. Боковые ребра призмы равны $$\frac{6}{\pi}$$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Ответ: 150
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть d - диаметр цилиндра $$d=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$$ $$\Rightarrow$$ $$r=5$$ $$V=S_{osn}\cdot h=\pi\cdot5^{2}\cdot\frac{\pi}{6}=150$$

 

Задание 3112

Площадь боковой поверхности конуса равна 60. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Ответ: 45
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Sверхнего=$$\frac{S}{4}=\frac{60}{4}=15$$ (т.к. $$k=\frac{1}{2}$$; $$\frac{S_{1}}{S_{2}}=k^{2}$$)

$$60-15=45$$

 

Задание 3153

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны $$2\sqrt{3}$$ и наклонены к плоскости основания под углом 30°. 

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Так как боковое ребро наклонено под углом в 30 градусов, то высота длина высоты равна произведению длины боковой стороны на синус 30 градусов: $$2\sqrt{3}*\frac{1}{2}=\sqrt{3}$$ Площадь правильного шестиугольника, сторона которого а, вычисляется по формуле: $$S=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{3*2^{2}\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$$ Объем равен произведению площади основания на высоту: $$V=6\sqrt{3}*\sqrt{3}=18$$

 

Задание 3198

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 60. Точка E – середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$$ $$h_{2}=\frac{1}{2}h_{1}$$ $$V_{ABCDS}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot h_{1}$$ $$V_{ABCS}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot h_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S_{ABCD}=$$ $$=\frac{1}{4}V_{ABCD}=\frac{1}{4}\cdot60=15$$

 

Задание 3243

Площадь поверхности шара равна 60. Найдите площадь большого круга шара.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Sкруга$$=\pi R^{2}$$

Sшара$$=4\pi R^{2}$$=4Sкруга $$\Rightarrow$$

Sкруга$$=\frac{60}{4}=15$$

 

Задание 3284

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равняется 4 и образует с плоскостью основания угол 30 . Найдите объём пирамиды. 

Ответ: 16
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Введем обозначения как показано на рисунке

∠SDH=30 (по условию), значит ∠HSD = 90 - 30 = 60. SH = 2 (катет, лежащий на против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы)
$$HD = SD * \sin HSD = 4 * \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$
$$BD = 2HD = 4\sqrt{3}$$
Из треугольника BAD : пусть BA = AD = x, тогда $$x^{2}+x^{2}=(4\sqrt{3})^{2}$$
Отсюда $$x^{2}=24$$ - площадь основания.
Тогда $$V = \frac{1}{3}S*h=\frac{1}{3}*24*2=16$$
 

Задание 3324

Ребро куба равно $$\sqrt{6}$$. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Введем обозначение, как показано на рисунке

Из прямоугольного треугольника B1C1D1: $$B_{1}D_{1} = \sqrt{B_{1}C_{1}^{2}+C_{1}D_{1}^{2}}=\sqrt{6+6}=\sqrt{12}$$
Из прямогольного треугольника B1D1D: $$B_{1}D=\sqrt{B_{1}D_{1}^{2}+DD_{1}^{2}}=\sqrt{12+6}=\sqrt{18}$$
Высоту в прямоугольном треугольнике можно вычислить как отношение произведения длин катетов и длины гипотенузы:
$$D_{1}H=\frac{D_{1}D*D_{1}B_{1}}{B_{1}D}=\frac{\sqrt{12}\sqrt{6}}{\sqrt{18}}=\sqrt{4}=2$$
 

Задание 3371

Радиус основания конуса равен 3, а высота 4. Центр шара совпадает с центром основания конуса и касается боковой поверхности конуса. Найдите отношение объемов шара и конуса.

Ответ: 1,536
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$OB-R$$ конуса

$$OH-R$$ шара

из $$\bigtriangleup AOB$$: $$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$$

$$OH=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{4\cdot3}{5}=2,4$$

Vконуса$$=\frac{1}{3}\cdot S_{osn}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot3^{2}\cdot4=12\pi$$

Vшара$$=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^{3}=18,432\pi$$

Vшара/Vконуса$$=\frac{18,432\pi}{12\pi}=1,536$$

 

Задание 3419

Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, если её боковая поверхность равна 72, а высота равна 2.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

 

1) $$S_{b}=72$$ $$DH=2$$

$$S_{DCB}=\frac{72}{3}=24$$

2) из $$\bigtriangleup ABC$$: $$HM=\frac{1}{3}AM$$

$$AM=\frac{\sqrt{3}AB}{2}$$

Пусть $$AB=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AM=\frac{\sqrt{3}x}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$HM=\frac{\sqrt{3}x}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$DM=\sqrt{DH^{2}+HM^{2}}=\sqrt{2^{2}+\frac{3X^{2}}{36}}=\sqrt{4+\frac{x^{2}}{12}}$$

$$\Rightarrow$$ $$S_{BDC}=\frac{1}{2}\cdot DM\cdot BC$$ $$\Rightarrow$$ $$24=\frac{1}{2}x\cdot\sqrt{4+\frac{x^{2}}{12}}$$

$$48=x\cdot\sqrt{4+\frac{x^{2}}{12}}$$

$$2304=x^{2}\cdot(4+\frac{x^{2}}{12})$$  $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{x^{4}}{12}+4x^{2}-2304=0$$

$$D=16+768=784$$

$$x^{2}=\frac{-4+28}{\frac{1}{6}}=24\cdot6$$ $$\Leftrightarrow x=12$$

 

Задание 3656

В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат с площадью, равной 18. Найдите диагональ параллелепипеда, если известно, что его боковое ребро равно 8.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$AB=BC=x$$: $$S_{ABCD}=x^{2}=18$$

2) $$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=2x^{2}$$

3) $$B_{1}D=\sqrt{BD^{2}+BB_{1}^{2}}=\sqrt{2\cdot18+64}=\sqrt{100}=10$$

Задание 3668

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 3 и 4. Пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 94. Най­ди­те тре­тье ребро, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

Ответ: 5

Задание 3669

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ответ: 3

Задание 3670

Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

Ответ: 24

Задание 3671

Пло­щадь грани пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 12. Ребро, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани, равно 4. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 48

Задание 3672

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 24. Одно из его ребер равно 3. Най­ди­те пло­щадь грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ной этому ребру.

Ответ: 8

Задание 3673

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 60. Пло­щадь одной его грани равна 12. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани.

Ответ: 5

Задание 3674

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2 и 6. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 48. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

Ответ: 4

Задание 3675

Три ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 4, 6, 9. Най­ди­те ребро рав­но­ве­ли­ко­го ему куба.

Ответ: 6

Задание 3676

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 32

Задание 3677

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 36. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ответ: 7

Задание 3678

Одна из гра­ней пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да — квад­рат. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна $$\sqrt{8}$$ и об­ра­зу­ет с плос­ко­стью этой грани угол 45°. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

 

Ответ: 4

Задание 3679

Ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2, 3. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

 

Ответ: 22

Задание 3680

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 64

Задание 3681

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 6. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

Ответ: 22

Задание 3682

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ равен 4,5. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды $$AD_{1}CB_{1}$$.

Ответ: 1,5

Задание 3683

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,D,A_{1},B,C,B_{1}$$ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$, у ко­то­ро­го $$AB=3$$, $$AD=4$$, $$AA_{1}=5$$.

Ответ: 30

Задание 3684

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,C,D_{1}$$ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$, у ко­то­ро­го $$AB=4$$, $$AD=3$$, $$AA_{1}=4$$.

Ответ: 8

Задание 3685

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A_{1},B,C,B_{1}$$ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$, у ко­то­ро­го $$AB=4$$, $$AD=3$$, $$AA_{1}=4$$.

Ответ: 16

Задание 3686

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,C,B_{1}$$ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$, у ко­то­ро­го $$AB=3$$, $$AD=3$$, $$AA_{1}=4$$.

Ответ: 6

Задание 3687

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,B_{1},C_{1}$$ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$, у ко­то­ро­го $$AB=5$$, $$AD=3$$, $$AA_{1}=4$$.

Ответ: 10

Задание 3688

Най­ди­те угол $$ABD_{1}$$ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го $$AB=3$$, $$AD=4$$, $$AA_{1}=5$$. Дайте ответ в гра­ду­сах.

Ответ: 45

Задание 3689

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ из­вест­но, что $$AB=4$$, $$AD=3$$, $$AA_{1}=5$$. Най­ди­те угол DBD1. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 45

Задание 3690

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ из­вест­но, что $$BD_{1}=3$$, $$CD=2$$, $$AD=2$$. Най­ди­те длину ребра $$AA_{1}$$

Ответ: 1

Задание 3691

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ ребро $$AB=2$$, ребро $$AD=\sqrt{5}$$, ребро $$AA_{1}$$. Точка $$K$$ — се­ре­ди­на ребра $$BB_{1}$$. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки $$A_{1},D_{1}$$ и $$C$$.

Ответ: 5

Задание 3692

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ из­вест­ны длины рёбер: $$AB=24$$, $$AD=10$$, $$AA_{1}=22$$. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны $$A,A_{1}$$ и $$C$$.

Ответ: 572

Задание 3693

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ из­вест­ны длины рёбер $$AB=8$$, $$AD=6$$, $$AA_{1}=21$$. Най­ди­те синус угла между пря­мы­ми $$CD$$ и $$A_{1}C_{1}$$.

Ответ: 0,6

Задание 3694

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ из­вест­ны длины рёбер: $$AB=3$$, $$AD=5$$, $$AA_{1}=12$$ Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки AB и C1.

Ответ: 39

Задание 3695

На ри­сун­ке изоб­ражён мно­го­гран­ник, все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Най­ди­те рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми $$A$$ и $$C_{2}$$.

Ответ: 3

Задание 3696

Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми $$D$$ и $$C_{2}$$ мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые.

Ответ: 5

Задание 3697

На ри­сун­ке изоб­ражён мно­го­гран­ник, все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Най­ди­те рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми $$B_{1}$$ и $$D_{2}$$.

Ответ: 3

Задание 3698

Най­ди­те угол CAD2 мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3699

Най­ди­те угол ABD мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 45

Задание 3700

На ри­сун­ке изоб­ражён мно­го­гран­ник, все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Най­ди­те тан­генс угла B2A2C2.

Ответ: 2

Задание 3701

На ри­сун­ке изоб­ражён мно­го­гран­ник, все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми $$B_{2}$$ и$$D_{3}$$.

Ответ: 11

Задание 3702

На ри­сун­ке изоб­ражён мно­го­гран­ник, все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми B и D2 

Ответ: 14

Задание 3703

На ри­сун­ке изоб­ражён мно­го­гран­ник, все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми $$A$$ и $$C_{3}$$.

Ответ: 17

Задание 3705

На ри­сун­ке изоб­ражён мно­го­гран­ник, все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Най­ди­те тан­генс угла ABB3.

Ответ: 2

Задание 3706

На ри­сун­ке изоб­ражён мно­го­гран­ник, все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Най­ди­те тан­генс угла C3D3B3.

Ответ: 3

Задание 3707

На ри­сун­ке изоб­ражён мно­го­гран­ник, все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми D и C2 

Ответ: 6

Задание 3708

Най­ди­те угол D2EF мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 45

Задание 3709

Най­ди­те угол EAD2 мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3710

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 18

Задание 3711

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 76

Задание 3712

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 92

Задание 3713

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 96

Задание 3715

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые).

Ответ: 8

Задание 3716

Най­ди­те объем про­стран­ствен­но­го кре­ста, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке и со­став­лен­но­го из еди­нич­ных кубов.

Ответ: 7

Задание 3717

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 56

Задание 3718

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 40

Задание 3719

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 34

Задание 3720

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 90

Задание 3721

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 18

Задание 3722

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 45

Задание 3723

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Ответ: 78

Задание 3724

В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли 2300 см3 воды и по­гру­зи­ли в воду де­таль. При этом уро­вень воды под­нял­ся с от­мет­ки 25 см до от­мет­ки 27 см. Най­ди­те объем де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в см3.

Ответ: 184

Задание 3725

В сосуд, име­ю­щий форму пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, на­ли­ли воду. Уро­вень воды до­сти­га­ет 80 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень воды, если ее пе­ре­лить в дру­гой такой же сосуд, у ко­то­ро­го сто­ро­на ос­но­ва­ния в 4 раза боль­ше, чем у пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см.

Ответ: 5

Задание 3726

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 5, а вы­со­та – 10.

Ответ: 300

Задание 3727

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пря­мой приз­мы, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб с диа­го­на­ля­ми, рав­ны­ми 6 и 8, и бо­ко­вым реб­ром, рав­ным 10.

Ответ: 248

Задание 3728

Най­ди­те бо­ко­вое ребро пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­мы, если сто­ро­на ее ос­но­ва­ния равна 20, а пло­щадь по­верх­но­сти равна 1760.

Ответ: 12

Задание 3729

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8, бо­ко­вое ребро равно 5. Най­ди­те объем приз­мы.

Ответ: 120

Задание 3730

Гра­нью па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной 1 и ост­рым углом $$60^{\circ}$$. Одно из ребер па­рал­ле­ле­пи­пе­да со­став­ля­ет с этой гра­нью угол в $$60^{\circ}$$ и равно 2. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 1,5

Задание 3731

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 32, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

Ответ: 8

Задание 3732

От тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 6, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через сто­ро­ну од­но­го ос­но­ва­ния и про­ти­во­по­лож­ную вер­ши­ну дру­го­го ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем остав­шей­ся части.

Ответ: 4

Задание 3733

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8, вы­со­та приз­мы равна 10. Най­ди­те пло­щадь ее по­верх­но­сти.

Ответ: 288

Задание 3734

Объём куба равен 12. Най­ди­те объём тре­уголь­ной приз­мы, от­се­ка­е­мой от куба плос-ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны двух рёбер, вы­хо­дя­щих из одной вер­ши­ны, и парал-лель­ной тре­тье­му ребру, вы­хо­дя­ще­му из этой же вер­ши­ны.

Ответ: 1,5

Задание 3735

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки ABCA1 пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 2, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ответ: 2

Задание 3736

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,C,A_{1},C_{1}$$ пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 3, а бо­ко­вое ребро равно 2.

Ответ: 4

Задание 3737

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A_{1},B_{1},B,C$$пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ответ: 4

Задание 3738

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,C,D,E,F,A_{1}$$ пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ответ: 4

Задание 3739

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,C,A_{1},B_{1},C_{1}$$ пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ответ: 3

Задание 3740

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,D,E,A_{1},B_{1},D_{1},E_{1}$$ пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

Ответ: 8

Задание 3741

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 2.

Ответ: 6

Задание 3742

Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 6. Какой ста­нет площадь по­верх­но­сти приз­мы, если все её рёбра уве­ли­чат­ся в три раза, а форма оста­нет­ся преж­ней?

Ответ: 54

Задание 3743

Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми C и A1 пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA1=3.

Ответ: 50

Задание 3744

Най­ди­те рас­сто­я­ние между вер­ши­на­ми А и D  пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го AB = 5, AD = 4, AA  = 3.

Ответ: 5

Задание 3745

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ все ребра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми $$B$$ и $$E$$.

Ответ: 2

Задание 3746

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ все ребра равны 1. Най­ди­те угол $$DAB$$. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3747

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$, все ребра ко­то­рой равны 8, най­ди­те угол между пря­мы­ми $$FA$$ и $$D_{1}E_{1}$$. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3748

В кубе $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ най­ди­те угол между пря­мы­ми $$AD_{1}$$ и $$B_{1}D_{1}$$. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3749

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$, все ребра ко­то­рой равны 3, най­ди­те угол между пря­мы­ми $$AA_{1}$$ и $$BC_{1}$$. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 45

Задание 3750

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ из­вест­но, что $$AC_{1}=2BC$$. Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми $$BD_{1}$$ и $$CA_{1}$$. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3751

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 сто­ро­ны ос­но­ва­ний равны 2, бо­ко­вые рёбра равны 5. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны рёбер ABACA1B1 и A1C1.

Ответ: 5

Задание 3752

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA1B1C1D1 ребро AA1 равно 15, а диа­го­наль BD1 равна 17. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки AA1 и C.

Ответ: 120

Задание 3753

Объём тре­уголь­ной приз­мы, от­се­ка­е­мой от куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны двух рёбер, вы­хо­дя­щих из одной вер­ши­ны, и па­рал­лель­ной тре­тье­му ребру, вы­хо­дя­ще­му из этой же вер­ши­ны, равен 2. Най­ди­те объём куба.

Ответ: 16

Задание 3754

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA2B1C1D1 из­вест­ны длины рёбер: AB = 9, AD = 12 , AA1 = 18. Най­ди­те синус угла между пря­мы­ми A1D1 и AC.

Ответ: 0,6

Задание 3755

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра ко­то­рой равны 5, най­ди­те угол между пря­мы­ми FA и D1E1. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3756

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ все ребра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми $$A$$ и $$E_{1}$$.

Ответ: 2

Задание 3757

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ все ребра равны $$\sqrt{5}$$. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми $$B$$ и $$E_{1}$$.

Ответ: 5

Задание 3758

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла $$AD_{1}D$$

Ответ: 2

Задание 3759

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме $$ABCDEFA_{1}B_{11}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$ все ребра равны 1. Най­ди­те угол $$AC_{1}C$$ Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3760

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 2; объем пи­ра­ми­ды равен 6. Най­ди­те длину от­рез­ка OS.

Ответ: 9

Задание 3762

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де $$SABCD$$ точка $$O$$ – центр ос­но­ва­ния, $$S$$ – вер­ши­на, $$SO=15,BD=16$$. Най­ди­те бо­ко­вое ребро $$SA$$.

Ответ: 17

Задание 3767

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка M – се­ре­ди­на ребра ABS – вер­ши­на. Из­вест­но, что BC = 3, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 45. Най­ди­те длину от­рез­ка SM.

Ответ: 10

Задание 3768

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка L — се­ре­ди­на ребра ACS — вер­ши­на. Из­вест­но, что BC = 6, а SL = 5. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Ответ: 45

Задание 3769

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка K – се­ре­ди­на ребра BCS – вер­ши­на. Из­вест­но, что SK = 4, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 54. Най­ди­те длину ребра AC.

Ответ: 9

Задание 3771

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де $$SABC$$ Q– се­ре­ди­на ребра $$AB$$, $$S$$ – вер­ши­на. Из­вест­но, что $$BC=7$$, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 42. Най­ди­те длину от­рез­ка $$SQ$$.

Ответ: 4

Задание 3772

Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны 10, бо­ко­вые ребра равны 13. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды.

Ответ: 340

Задание 3773

Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны 10, бо­ко­вые ребра равны 13. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды.

Ответ: 360

Задание 3774

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ равен 9. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды $$ABCA_{1}$$.

Ответ: 1,5

Задание 3775

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в два раза?

Ответ: 8

Задание 3776

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 3 и 4. Ее объем равен 16. Най­ди­те вы­со­ту этой пи­ра­ми­ды.

Ответ: 4

Задание 3777

Най­ди­те объем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 1, а вы­со­та равна $$\sqrt{3}$$

Ответ: 0,25

Задание 3778

Най­ди­те вы­со­ту пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 2, а объем равен $$\sqrt{3}$$

Ответ: 3

Задание 3779

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем пи­ра­ми­ды, если ее вы­со­ту уве­ли­чить в че­ты­ре раза?

Ответ: 4

Задание 3780

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 6, бо­ко­вое ребро равно 10. Най­ди­те ее объем.

Ответ: 256

Задание 3781

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды слу­жит пря­мо­уголь­ник, одна бо­ко­вая грань пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния, а три дру­гие бо­ко­вые грани на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60 °. Вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 6. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ответ: 48

Задание 3782

Бо­ко­вые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, каж­дое из них равно 3. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ответ: 4,5

Задание 3783

Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды $$SABC$$, яв­ля­ю­щей­ся ча­стью пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды $$SABCDEF$$, равен 1. Най­ди­те объем ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Ответ: 6

Задание 3784

Объем пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD равен 12. Точка E — се­ре­ди­на ребра SB. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды EABC.

Ответ: 3

Задание 3785

От тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой равен 12, от­се­че­на тре­уголь­ная пи­ра­ми­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и сред­нюю линию ос­но­ва­ния. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды.

Ответ: 3

Задание 3786

Объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 15. Плос­кость про­хо­дит через сто­ро­ну ос­но­ва­ния этой пи­ра­ми­ды и пе­ре­се­ка­ет про­ти­во­по­лож­ное бо­ко­вое ребро в точке, де­ля­щей его в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды. Най­ди­те боль­ший из объ­е­мов пи­ра­мид, на ко­то­рые плос­кость раз­би­ва­ет ис­ход­ную пи­ра­ми­ду.

Ответ: 10

Задание 3787

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в два раза?

Ответ: 4

Задание 3788

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 6 и вы­со­та равна 4.

Ответ: 96

Задание 3789

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти ок­та­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в 3 раза?

Ответ: 9

Задание 3790

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6 и вы­со­та равна 4.

Ответ: 60

Задание 3791

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если все ее ребра уве­ли­чить в 2 раза?

Ответ: 4

Задание 3792

Ребра тет­ра­эд­ра равны 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через се­ре­ди­ны че­ты­рех его ребер.

 

Ответ: 0,25

Задание 3793

Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вы­со­та ко­то­рой равна 6, а ос­но­ва­ние – пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 3 и 4.

Ответ: 24

Задание 3794

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 12, объем равен 200. Най­ди­те бо­ко­вое ребро этой пи­ра­ми­ды.

Ответ: 13

Задание 3795

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 2, бо­ко­вое ребро равно 4. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ответ: 12

Задание 3796

Объем пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды 6. Сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1. Най­ди­те бо­ко­вое ребро.

Ответ: 7

Задание 3797

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 4, а угол между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем равен 45 °. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ответ: 48

Задание 3798

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ равен 12. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды $$B_{1}ABC$$.

Ответ: 2

Задание 3799

Объем куба равен 12. Най­ди­те объем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся грань куба, а вер­ши­ной — центр куба.

Ответ: 2

Задание 3800

Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$, если объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды $$ABDA_{1}$$ равен 3.

Ответ: 18

Задание 3801

Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. Ее ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся мно­го­уголь­ник, со­сед­ние сто­ро­ны ко­то­ро­го пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а одно из бо­ко­вых ребер пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и равно 3.

Ответ: 27

Задание 3810

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де $$SABC$$ ме­ди­а­ны ос­но­ва­ния пе­ре­се­ка­ют­ся в точке $$P$$. Объем пи­ра­ми­ды равен $$1,PS=1$$. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка $$ABC$$.

Ответ: 3

Задание 3812

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де все рёбра равны 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны бо­ко­вых рёбер.

Ответ: 0,25

Задание 3813

Диа­го­наль $$AC$$ ос­но­ва­ния пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды $$SABCD$$ равна $$6$$. Вы­со­та пи­ра­ми­ды $$SO=4$$. Най­ди­те длину бо­ко­во­го ребра $$SB$$.

Ответ: 5

Задание 3815

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD вы­со­та SO равна 13, диа­го­наль ос­но­ва­ния BD равна 8. Точки К и М- се­ре­ди­ны рёбер CD и ВС со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стью SMK и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABC.

Ответ: 6,5

Задание 3817

Даны две пра­виль­ные четырёхуголь­ные пи­ра­ми­ды. Объём пер­вой пи­ра­ми­ды равен 16. У вто­рой пи­ра­ми­ды вы­со­та в 2 раза боль­ше, а сто­ро­на ос­но­ва­ния в 1,5 раза боль­ше, чем у пер­вой. Най­ди­те объём вто­рой пи­ра­ми­ды.

Ответ: 72

Задание 3818

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де бо­ко­вое ребро равно 22, а тан­генс угла между бо­ко­вой гра­нью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен $$\sqrt{11}$$. Найти сто­ро­ну ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Ответ: 11

Задание 3819

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де бо­ко­вое ребро равно 5, а тан­генс угла между бо­ко­вой гра­нью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен $$0,25\sqrt{11}$$. Найти сто­ро­ну ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Ответ: 8
 

Задание 3855

В правильной треугольной призме $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$, стороны оснований которой равны 2, боковые ребра равны 1, проведите сечение через вершины $$ABC_{1}$$. Найдите его площадь.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) По т. Пифагора: $$AC_{1}=\sqrt{AA_{1}^{2}+A_{1}C_{1}^{2}}=\sqrt{5}$$

$$AC_{1}=BC_{1}$$

2) Построим $$C_{1}H\perp AB$$, $$C_{1}H$$ - медиана, высота $$\Rightarrow$$

$$C_{1}H=\sqrt{C_{1}B^{2}-HB^{2}}=\sqrt{5-1}=2$$

3) $$S_{AC_{1}B}=\frac{1}{2}\cdot C_{1}H\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2$$

Задание 3867

Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния и вы­со­та ко­то­ро­го равны 1. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 4

Задание 3868

Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 4. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 16. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ответ: 0,25

Задание 3869

В куб впи­сан шар ра­ди­у­са 1. Най­ди­те объем куба.

Ответ: 8

Задание 3870

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Бо­ко­вые ребра равны $$\frac{5}{\pi}$$. Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

Ответ: 125

Задание 3871

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны $$\frac{2}{\pi}$$. Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

Ответ: 4

Задание 3872

Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 18. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Ответ: 12

Задание 3873

Из еди­нич­но­го куба вы­ре­за­на пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 0,5 и бо­ко­вым реб­ром 1. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти остав­шей­ся части куба.

Ответ: 7,5

Задание 3874

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Объём ко­ну­са равен 25. Най­ди­те объём ци­лин­дра.

Ответ: 75

Задание 3875

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Най­ди­те объем ко­ну­са, если объем ци­лин­дра равен 150.

 

Ответ: 50

Задание 3876

Объём куба, опи­сан­но­го около сферы, равен 216. Най­ди­те ра­ди­ус сферы.

Ответ: 3

Задание 3877

Конус опи­сан около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 4 и вы­со­той 6. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на $$\pi$$.

Ответ: 16

Задание 3878

Во сколь­ко раз объем ко­ну­са, опи­сан­но­го около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, боль­ше объ­е­ма ко­ну­са, впи­сан­но­го в эту пи­ра­ми­ду?

Ответ: 2

Задание 3879

В куб с реб­ром 3 впи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на $$\pi$$.

Ответ: 4,5

Задание 3880

Около куба с реб­ром $$\sqrt{3}$$ опи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на $$\pi$$.

Ответ: 4,5

Задание 3881

Вер­ши­на A куба $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$с реб­ром 1,6 яв­ля­ет­ся цен­тром сферы, про­хо­дя­щей через точку A1. Най­ди­те пло­щадь S части сферы, со­дер­жа­щей­ся внут­ри куба. В от­ве­те за­пи­ши­те ве­ли­чи­ну $$\frac{S}{\pi}$$.

Ответ: 1,28

Задание 3882

Се­ре­ди­на ребра куба со сто­ро­ной 1,9 яв­ля­ет­ся цен­тром шара ра­ди­у­са 0,95. Най­ди­те пло­щадь S части по­верх­но­сти шара, ле­жа­щей внут­ри куба. В от­ве­те за­пи­ши­те $$\frac{S}{\pi}$$.

Ответ: 0,9025

Задание 3883

Объём тет­ра­эд­ра равен 19. Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны рёбер дан­но­го тет­ра­эд­ра.

Ответ: 9,5

Задание 3884

Ци­линдр опи­сан около шара. Объем ци­лин­дра равен 33. Най­ди­те объем шара.

Ответ: 22

Задание 3885

Ци­линдр опи­сан около шара. Объем шара равен 24. Най­ди­те объем ци­лин­дра.

Ответ: 36

Задание 3886

Конус и ци­линдр имеют общее ос­но­ва­ние и общую вы­со­ту (конус впи­сан в ци­линдр). Вы­чис­ли­те объём ци­лин­дра, если объём ко­ну­са равен 5.

Ответ: 15

Задание 3887

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем шара равен 28. Най­ди­те объем ко­ну­са.

Ответ: 7

Задание 3888

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем ко­ну­са равен 6. Най­ди­те объем шара.

Ответ: 24

Задание 3889

Пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма опи­са­на около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 2. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна 48. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ответ: 3

Задание 3890

Куб впи­сан в шар ра­ди­у­са $$\sqrt{3}$$. Най­ди­те объем куба.

Ответ: 8

Задание 3891

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна $$7\sqrt{2}$$. Най­ди­те ра­ди­ус сферы.

Ответ: 7

Задание 3892

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен $$28\sqrt{2}$$. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ответ: 56

Задание 3893

Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 111. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Ответ: 166,5

Задание 3894

Шар, объём ко­то­ро­го равен 6π, впи­сан в куб. Най­ди­те объём куба.

Ответ: 36

Задание 3895

Ци­линдр и конус имеют общие ос­но­ва­ние и вы­со­ту. Вы­со­та ци­лин­дра равна ра­ди­у­су ос­но­ва­ния. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна $$3\sqrt{2}$$. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

Ответ: 3

Задание 3896

Куб опи­сан около сферы ра­ди­у­са 6. Най­ди­те объём куба.

Ответ: 1728

Задание 3897

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен $$\sqrt{3}$$, а вы­со­та равна 2.

Ответ: 36

Задание 3898

Пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма опи­са­на около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния и вы­со­та ко­то­ро­го равны 1. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы.

Ответ: 8

Задание 3899

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, впи­сан­ной в ци­линдр, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен $$2\sqrt{3}$$, а вы­со­та равна 2.

Ответ: 36

Задание 3900

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен $$\sqrt{3}$$, а вы­со­та равна 2.

Ответ: 24

Задание 3901

В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 2000 см3 воды. Уро­вень воды при этом до­сти­га­ет вы­со­ты 12 см. В жид­кость пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де под­нял­ся на 9 см. Чему равен объем де­та­ли? Ответ вы­ра­зи­те в см3.

Ответ: 1500

Задание 3902

В ци­лин­дри­че­ском со­су­де уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 16 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень жид­ко­сти, если ее пе­ре­лить во вто­рой сосуд, диа­метр ко­то­ро­го в 2 раза боль­ше пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см.

Ответ: 4

Задание 3903

Объем пер­во­го ци­лин­дра равен 12 м3. У вто­ро­го ци­лин­дра вы­со­та в три раза боль­ше, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния — в два раза мень­ше, чем у пер­во­го. Най­ди­те объем вто­ро­го ци­лин­дра. Ответ дайте в ку­би­че­ских мет­рах.

Ответ: 9

Задание 3904

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 2, вы­со­та равна 3. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, де­лен­ную на $$\pi$$.

Ответ: 12

Задание 3905

В ци­лин­дри­че­ский сосуд на­ли­ли 6 куб. см воды. В воду пол­но­стью по­гру­зи­ли де­таль. При этом уро­вень жид­ко­сти в со­су­де уве­ли­чил­ся в 1,5 раза. Най­ди­те объём де­та­ли. Ответ вы­ра­зи­те в куб. см.

 

Ответ: 3

Задание 3906

Одна ци­лин­дри­че­ская круж­ка вдвое выше вто­рой, зато вто­рая в пол­то­ра раза шире. Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма вто­рой круж­ки к объ­е­му пер­вой.

Ответ: 1,125

Задание 3907

Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна 3, вы­со­та равна 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра.

Ответ: 6

Задание 3908

Пло­щадь осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра равна 4. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, де­лен­ную на $$\pi$$.

Ответ: 4

Задание 3909

Най­ди­те объем V части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ: 45

Задание 3910

Най­ди­те объем V части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ: 3,75

Задание 3911

Най­ди­те объем V части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ: 144

Задание 3912

Най­ди­те объем V части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ: 937,5

Задание 3913

Най­ди­те объем V части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ: 14

Задание 3914

Най­ди­те объем V части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ: 105

Задание 3915

Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра равна 3. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна 6. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ответ: 2

Задание 3916

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна $$2\pi$$, а диа­метр ос­но­ва­ния — 1. Най­ди­те вы­со­ту ци­лин­дра.

Ответ: 2

Задание 3917

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна $$2\pi$$, а вы­со­та — 1. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния

Ответ: 2

Задание 3918

Объем ко­ну­са равен 16. Через се­ре­ди­ну вы­со­ты па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем мень­ше­го ко­ну­са с той же вер­ши­ной. Най­ди­те объем мень­ше­го ко­ну­са.

Ответ: 2

Задание 3919

Най­ди­те объем V ко­ну­са, об­ра­зу­ю­щая ко­то­ро­го равна 2 и на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30°. В от­ве­те ука­жи­те $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ: 1

Задание 3920

Во сколь­ко раз умень­шит­ся объем ко­ну­са, если его вы­со­та умень­шит­ся в 3 раза, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния оста­нет­ся преж­ним?

Ответ: 3

Задание 3921

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем ко­ну­са, если ра­ди­ус его ос­но­ва­ния уве­ли­чит­ся в 1,5 раза, а вы­со­та оста­нет­ся преж­ней?

Ответ: 2,25

Задание 3922

Вы­со­та ко­ну­са равна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на $$\pi$$.

Ответ: 128

Задание 3923

Диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния равен 90°. Вы­чис­ли­те объем ко­ну­са, де­лен­ный на π.

Ответ: 9

Задание 3924

Конус по­лу­ча­ет­ся при вра­ще­нии рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC во­круг ка­те­та, рав­но­го 6. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на $$\pi$$.

Ответ: 72

Задание 3925

Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 3, об­ра­зу­ю­щая равна 2. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

Ответ: 3

Задание 3926

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са, если его об­ра­зу­ю­щая уве­ли­чит­ся в 3 раза, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния оста­нет­ся преж­ним?

Ответ: 3

Задание 3927

Во сколь­ко раз умень­шит­ся пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са, если ра­ди­ус его ос­но­ва­ния умень­шит­ся в 1,5 раза, а об­ра­зу­ю­щая оста­нет­ся преж­ней?

Ответ: 1,5

Задание 3928

Вы­со­та ко­ну­са равна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те пло­щадь его пол­ной по­верх­но­сти, де­лен­ную на $$\pi$$.

Ответ: 144

Задание 3929

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са в два раза боль­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Най­ди­те угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 60

Задание 3930

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна 12. Па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, де­ля­щее вы­со­ту в от­но­ше­нии 1:1, счи­тая от вер­ши­ны ко­ну­са. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти отсечённого ко­ну­са.

Ответ: 3

Задание 3931

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 3, вы­со­та равна 4. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са, де­лен­ную на $$\pi$$.

Ответ: 24

Задание 3932

Най­ди­те объем V части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ: 87,75

Задание 3933

Най­ди­те объем V части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ: 243

Задание 3934

Най­ди­те объем V части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ: 216

Задание 3935

Най­ди­те объем V части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ: 607,5

Задание 3936

Вы­со­та ко­ну­са равна 4, а диа­метр ос­но­ва­ния — 6. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ответ: 5

Задание 3937

Вы­со­та ко­ну­са равна 4, а длина об­ра­зу­ю­щей — 5. Най­ди­те диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са.

Ответ: 6

Задание 3938

Диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а длина об­ра­зу­ю­щей — 5. Най­ди­те вы­со­ту ко­ну­са.

Ответ: 4

Задание 3939

В со­су­де, име­ю­щем форму ко­ну­са, уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет $$\frac{1}{2}$$ вы­со­ты. Объём жид­ко­сти равен 70 мл. Сколь­ко мил­ли­лит­ров жид­ко­сти нужно до­лить, чтобы пол­но­стью на­пол­нить сосуд?

Ответ: 490

Задание 3940

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 16π, вы­со­та — 6. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

Ответ: 24

Задание 3941

Пло­щадь ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 18. Плос­кость, па­рал­лель­ная плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит его вы­со­ту на от­рез­ки дли­ной 3 и 6, счи­тая от вер­ши­ны. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са этой плос­ко­стью.

Ответ: 2

Задание 3942

Вы­со­та ко­ну­са равна 8, а длина об­ра­зу­ю­щей — 10. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния этого ко­ну­са.

Ответ: 48

Задание 3943

Диа­метр ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 12, а длина об­ра­зу­ю­щей — 10. Най­ди­те пло­щадь осе­во­го се­че­ния этого ко­ну­са.

Ответ: 48

Задание 3945

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы сов­па­да­ет с цен­тром ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен $$10\sqrt{2}$$. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Ответ: 20

Задание 3946

Пло­щадь боль­шо­го круга шара равна 3. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Ответ: 12

Задание 3947

Дано два шара. Ра­ди­ус пер­во­го шара в 2 раза боль­ше ра­ди­у­са вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

Ответ: 4

Задание 3948

Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся объем шара, если его ра­ди­ус уве­ли­чить в три раза?

Ответ: 27

Задание 3949

Ра­ди­у­сы трех шаров равны 6, 8 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

Ответ: 12

Задание 3950

Объем од­но­го шара в 27 раз боль­ше объ­е­ма вто­ро­го. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го шара боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го?

Ответ: 9

Задание 3951

Ра­ди­у­сы двух шаров равны 6 и 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей по­верх­но­стей двух дан­ных шаров.

Ответ: 10

Задание 3952

Объем шара равен $$288\pi$$. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти, де­лен­ную на $$\pi$$.

Ответ: 144
 

Задание 4012

Радиусы трех шаров равны 3, 4 и 5. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$V=V_{1}+V_{2}+V_{3}$$

$$\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}+\frac{4}{3}\pi R_{2}^{3}+\frac{4}{3}\pi R_{3}^{3}$$

$$R^{3}=R_{1}^{3}+R_{3}^{3}+R_{3}^{3}$$

$$R^{3}=3^{3}+4^{3}+5^{3}=216$$

$$R=6$$

 

Задание 4182

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$$, стороны оснований которой равны 2, боковые ребра равны 1, проведите сечение через вершины $$C,F,D_{1},E_{1}$$. Найдите его площадь.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть М - середина $$E_{1}D_{1}$$, N - середина ED, О - центр основания, тогда: $$NO\perp FC$$ $$\Rightarrow MO\perp FC$$

2) Сечение $$FE_{1}D_{1}C$$ - трапеция, MO - высота; $$MO=\sqrt{ON^{2}+NM^{2}}$$; $$ON=OE\cdot\sin60^{\circ}$$ (из $$\bigtriangleup ENO$$); $$OE=ED$$; $$FC=2AB$$ $$\Rightarrow$$ $$ON=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$; $$FC=2\cdot2=4$$; $$OM=\sqrt{3+1}=2$$; $$S_{FE_{1}D_{1}C}=\frac{2+4}{2}\cdot2=6$$

 

Задание 4390

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF площадь основания равна 18, боковые ребра равны 9. Проведите сечение через точки боковых ребер, отстоящих от вершины S на расстояние 3. Найдите его площадь.

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$SC_{1}=3$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$\bigtriangleup SC_{1}O_{1}\sim\bigtriangleup SCO$$: $$\frac{SC_{1}}{SC}=\frac{O_{1}C_{1}}{OC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{O_{1}C_{1}}{OC}=\frac{1}{3}=k$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}}}{S_{ABCDEF}}=k^{2}=\frac{1}{9}$$ $$\Rightarrow$$ $$S=2$$

 

Задание 4567

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 60. Точка E – середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

Ответ: 15
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Т.к. Е - середина, то высота EABC в два раза меньше высоты SABCD. $$S_{ABC}$$ в два раза меньше: $$S_{ABCD}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{EABC}=\frac{1}{4}V_{SABCD}=\frac{1}{4}\cdot60=15$$

 

Задание 4663

Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 16. Найдите площадь сечения этого шара плоскостью, отстоящей от его центра на расстояние, равное половине радиуса.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Построим чертеж:

Пусть O - центр большего сечения, А - центр меньшего, АС - его радиус, тогда ОС - радиус сферы. Пусть OC = R, тогда AO = 0,5R

Из треугольника AOC по т. Пифагора: $$AC=\sqrt{R^{2}-(0,5R)^{2}}=\frac{\sqrt{3}*R}{2}$$

Тогда площади сечений относятся как квадрта их коэффеициента подобия, или как отношение их радиусов, возведенное в квадрат:

$$(\frac{AC}{OC})^{2}=(\frac{\frac{\sqrt{3}*R}{2}}{R})^{2}=\frac{3}{4}$$

Тогда площадь меньшего составляет 3/4 площади большего, то есть 12

 

Задание 4813

Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Ответ: 27
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для решения этой задачи проще всего достроить недостающую часть до правильной четырехугольной пирамиды, найти объем этой пирамиды, и вычесть объем достроенной части: $$V=\frac{1}{3}*6*6*3 - \frac{1}{3}*3*3*3=27$$

 

Задание 4857

Прямоугольник ABCD, у которого AB=4, AD=3, вращается вокруг прямой AD. Найдите площадь S поверхности тела вращения. В ответе укажите $$\frac{S}{\pi}$$ .

Ответ: 56
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

В данном случае мы получаем цилиндр. Площадь поверхности цилиндра вычисляется как: $$S=2\pi *R(R+h)$$, где R - радиус основания, в нашем случае он равен AB, и h - высота, в нашем случае она равна AD. Тогда: $$S=2\pi *4(4+3)=56\pi$$. Ответ необходимо указать без $$\pi$$

 

Задание 4908

Во сколько раз уменьшится объем октаэдра, если все его  ребра уменьшить в два раза?  

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для решения данных заданий надо помнить, что периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия, площади - как квадрат коэффициента подобия, а объемы - как куб коэффициента подобия. То есть, если уменьшить ребро в два раза, объем изменится в 8 раз

 

Задание 4955

Найдите площадь поверхности многогранника,  изображенного на рисунке. Все двугранные углы  многогранника прямые. 

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для решения необходимо найти площади всех граней и сложить. Если "перенести" верхнюю грань куба, то можно рассматривать площадь поверхности начальной фигуры как сумму площадей поверхности нижнего параллелепипеда и боковой поверхности куба:

$$1\cdot2\cdot4+2\cdot2\cdot2+1\cdot1\cdot4=8+8+4=20$$

 

Задание 5003

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро. 

Ответ: 7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$V=\frac{1}{3}S_{osn}\cdot h$$

Пусть а - сторона основания, тогда: $$S_{osn}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}\cdot6=\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}$$; $$h=\frac{3V}{S_{osn}}=\frac{3\cdot6}{\frac{3\sqrt{3}\cdot1}{2}}=$$ $$\frac{3\cdot4}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$; $$SE=\sqrt{CH^{2}+HE^{2}}=\sqrt{48+1}=\sqrt{49}=7$$

 

Задание 5051

Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около куба, больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб?

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$R=\frac{1}{2}d$$; $$r=\frac{1}{2}a$$; $$R=\frac{1}{2}\sqrt{3}a=\frac{\sqrt{3}a}{2}$$; $$r=\frac{a}{2}$$; $$\frac{S_{1}}{S_{2}}=(\frac{R}{r})^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3$$

 

Задание 5098

Для каждой грани куба с ребром 6 проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2. Найдите объем оставшейся части.

Ответ: 160
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Внутри будет пространственный крест , состоящий из 7 кубов со стороной 2. Тогда его объем : $$V_{1}=2^{3}*7=56$$ Объем изначального куба: $$V=6^{3}=216$$ Объем оставшейся части: 216-56=160

 

Задание 5135

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A1, B1, C1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

пусть а - сторона основания, тогда $$S_{ABCDEF}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}$$; $$S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$$; $$\frac{S_{ABC}}{S_{ABCDEF}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$$; $$\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}$$; $$\frac{V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}{V_{ABC...E_{1}F_{1}}}=\frac{S_{ABC}\cdot AA_{1}}{S_{ABCDEF}\cdot AA_{1}}=\frac{1}{6}$$; $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{6}\cdot6\cdot3=3$$

 

Задание 5188

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Высота нижней тогда составяет $$\frac{2}{3}$$ от высоты исходной. Т.к. основания одинаковы, то и объем $$\frac{2}{3}$$ от исходной: $$V=\frac{2}{3}\cdot15=10$$

 

Задание 5235

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 4,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Объем пирамиды находится как треть произведения площади основания, на проведенную к нему высоту. Примем за основание грань $$ABS$$, тогда высота к ней будет $$SC$$. В таком случае объем: $$V=\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*3*3*3=4,5$$

 

Задание 5283

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Объем пирамиды находится как треть произведения площади основания пирамиды на высоту. У начальной и отсеченной пирамиды высота будет одинаковая, различаться будут площади основания. Треугольник MNC подобен треугольнику ABC (MN - средняя линия), и коэффициент подобия у данных треугольников $$\frac{1}{2}$$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $$\frac{S_{MNC}}{S_{ABC}}=(\frac{1}{2})^{2}$$ $$S_{MNC}=\frac{1}{4}S_{ABC}$$ Тогда и $$V_{MNCS}=\frac{1}{4}S_{ABCS}=3$$

 

Задание 5331

Высота правильной треугольной пирамиды втрое меньше стороны основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$DH=a$$, тогда $$AB=3a$$. Из треугольника равностороннего $$ABC$$: $$AM=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{3\sqrt{3}a}{2}$$. Точка H - точка пересечения медиан треугольника ABC, тогда $$=AH=\frac{2}{3}AM=\sqrt{3}a$$. Из треугольника AHD: $$tg \angle DAH = \frac{DH}{AH}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$, тогда сам угол составляет 30 градусов

 

Задание 5378

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 42, высота равна $$7\sqrt{6}$$ . Найдите плоский угол при вершине пирамиды. Ответ дайте в градусах

Ответ: 90
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Из треугольника ABC : $$HC=\frac{2}{3}CN$$ (по свойству медиан) ; $$CN=\frac{\sqrt{3}}{2}BC=21\sqrt{3}$$ (из прямоугольного CNB), тогда $$HC=14\sqrt{3}$$

2) Из треугольника DHC : $$ DC = \sqrt{DH^{2}+HC^{2}}=\sqrt{882}$$

3) Из треугольника DBC : $$\cos BDC = \frac{BD^{2}+DC^{2}-BC^{2}}{2BD*DC}=$$$$\frac{\sqrt{882}^{2}+\sqrt{882}^{2}-42^{2}}{2\sqrt{882}*\sqrt{882}}=0$$, следовательно, $$\angle BDC = 90$$

Задание 5983

Диа­го­наль прямоугольного па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна $$\sqrt{8}$ и об­ра­зу­ет углы 30, 30 и 45 с плос­ко­стя­ми граней параллелепипеда. Най­ди­те объем параллелепипеда.

Ответ:
Скрыть

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния треугольной приз­мы проведена плоскость, па­рал­лель­ная боковому ребру. Объем от­се­чен­ной треугольной приз­мы равен 5. Най­ди­те объем ис­ход­ной призмы.

Задание 5985

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния треугольной приз­мы проведена плоскость, па­рал­лель­ная боковому ребру. Пло­щадь боковой по­верх­но­сти отсеченной тре­уголь­ной призмы равна 8. Най­ди­те площадь бо­ко­вой поверхности ис­ход­ной призмы

.

Ответ:

Задание 5987

В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Ответ:

Задание 5988

Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны $$2\sqrt{3}$$ и наклонены к плоскости основания под углом 30.

Ответ:

Задание 5989

Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ:

Задание 5990

Най­ди­те объем V части цилиндра, изоб­ра­жен­ной на рисунке. В от­ве­те укажите $$\frac{V}{\pi}$$.

Ответ:

Задание 5991

Радиус ос­но­ва­ния цилиндра равен 26, а его об­ра­зу­ю­щая равна 9. Сечение, па­рал­лель­ное оси цилиндра, уда­ле­но от неё на расстояние, рав­ное 24. Най­ди­те площадь этого сечения.

Ответ:
 

Задание 6035

В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми ВА1 и АС. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1)$$A_{1}B\left | \right |D_{1}C\Rightarrow$$ угол между BA_{1} и AC такой же, как между $$D_{1}C$$ и AC 2)Рассмотрим $$\Delta ADC:AD_{1}=D_{1}C=AC$$(диагонали граней куба)$$\Rightarrow$$ все углы по 90 градусов

 

Задание 6082

Площадь боковой поверхности конуса равна 16 см2. Радиус основания конуса уменьшили в 4 раза, а образующую увеличили в 2 раза. Найдите площадь боковой поверхности получившегося конуса. Ответ дайте в см2

Ответ: 8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S=\pi *R*l$$- площадь боковой поверхности конуса. Пусть $$R_{1}$$ и $$l_{1}$$ - радиус и образующая начального конуса , тогда $$S_{1} =\pi*R_{1}*L_{1}$$, и $$R_{2}=\frac{R_{1}}{4}$$; $$L_{2}=2L_{1}$$, где $$R_{2}$$ и $$L_{2}$$ –нового. $$S_{2}=\pi *R_{2}*l_{2}=\pi *\frac{R_{1}}{4}*2*L_{1}=$$$$\frac{1}{2}*\pi *R_{1}*L_{1}=\frac{1}{2}*S_{1}=\frac{1}{2}*16=8$$

 

Задание 6129

В сосуд, имеющий форму конуса, налили 20 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

Ответ: 140
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$V_{1}$$- объем жидкости,$$V_{2}$$- объем сосуда.$$r_{1}; h_{1}$$- радиус и высота первого и $$r_{2}; h_{2}$$- второго

Из подобия $$\Delta ABC$$ и $$AB_{1}C_{1}$$:

$$\frac{AB}{AB_{1}}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$$$r_{1}=\frac{1}{2}r_{2}$$

$$h_{1}=\frac{1}{2}h_{2}$$

$$V_{1}=\frac{1}{3}\pi r_{1}^{2}h_{1}=$$$$\frac{1}{3}\pi (\frac{1}{2}r_{2})^{2}*\frac{1}{2}*h_{2}=$$$$\frac{1}{8}*\frac{1}{3}\pi r_{2}^{2}h_{2}=\frac{1}{8}V_{2}.$$

Следовательно, $$V_{2}=8V_{1}=160$$, а долить надо 160-20=140.

 
 

Задание 6177

Сечение площадью 2,25 проходит через середины ребер правильного тетраэдра. Найдите площадь S полной поверхности тетраэдра. В ответе укажите $$2\sqrt{3}S$$ .

Ответ: 54
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть a-сторона тетраэдра .Тогда $$\frac{a}{2}$$-сторона сечения (т.к. проходит через середины сторон, само сечение квадрат):$$(\frac{a}{2})^{2}=2,25\Leftrightarrow$$ $$\frac{a}{2}=1,5\Leftrightarrow a=3$$ Площадь одной грани: $$S=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$ Площадь поверхности: $$\frac{9\sqrt{3}}{4}*4=9\sqrt{3}$$ Тогда в ответ запишем: $$9\sqrt{3}*2\sqrt{3}=54$$

 

Задание 6224

Все ребра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны $$\sqrt{3}$$ Найдите площадь боковой поверхности пирамиды ВA1B1C1D1E1F1. В ответе укажите полученное значение, умноженное на $$6-\sqrt{7}$$ .

Ответ: 43,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   1) $$\Delta A_{1}B_{1}B=\Delta B_{1}C_{1}B$$(оба прямоугольные)

$$S_{\Delta AB_{1}B}=\frac{1}{2}*A_{1}B_{1}*B_{1}B=\frac{1}{2}*\sqrt{3}*\sqrt{3}=\frac{3}{2}$$

   2) $$\Delta F_{1}A_{1}B=\Delta BC_{1}D_{1}(F_{1}A=D_{1}C_{1}, A_{1}B=BF_{1}, F_{1}B=D_{1}B(FB=BD))$$

$$\Delta BCD :BD=BC^{2}+CD^{2}+2 BC*CD\cos BD=\sqrt{3}^{2}+\sqrt{3}^{2}+2\sqrt{3}^{2} *\frac{1}{2}=3\Rightarrow BD_{1}=\sqrt{3^{2}+\sqrt{3}^{2}}=\sqrt{12}$$

$$\Delta BCC_{1} BC_{1}=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+\sqrt{3}^{2}}=\sqrt{6}$$

$$\cos\angle BC_{1}D_{1}=\frac{BC_{1}^{2}+C_{1}D_{1}^{2}-BD_{1}^{2}}{2*BC_{1}*C_{1}D_{1}}=\frac{6+3-12}{2*\sqrt{6*3}}=-\frac{3}{3*2\sqrt{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

$$\sin \angle BC_{1}D_{1}=\sqrt{1-(\frac{1}{2\sqrt{2}})^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$$

$$S_{BC_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}*BC_{1}*C_{1}D_{1}*\sin \angle BC_{1}D_{1}=\frac{1}{2}*\sqrt{6}*\sqrt{3}*\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{7}}{4}$$

   3) $$\Delta BD_{1}E_{1}=\Delta BF_{1}E_{1}$$(оба прямоугольные по теореме о трех перпендикулярах )

$$S_{BD_{1}C_{1}}=\frac{1}{2}*BD_{1}*D_{1}E_{1}=\frac{1}{2}*\sqrt{12}*\sqrt{3}=3$$

   4) $$S=2*\frac{3}{2}+2*\frac{3\sqrt{7}}{4}+2*3=9+\frac{3\sqrt{7}}{2}.$$

Тогда в ответе укажем: $$(9+\frac{3\sqrt{7}}{2})*(6-\sqrt{7})=1.5(6+\sqrt{7})*(6-\sqrt{7})=1.5(36-7)=43,5$$

 

Задание 6272

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми АС1 и ВЕ.

Ответ: 90
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

AC- проекция ,$$AC_{1}$$ на (ABC)

$$AC\perp BE\Rightarrow AC_{1}\perp BE$$ (по тереме о трех перпендикулярах)

 

Задание 6320

Найдите квадрат расстояния между вершинами A и D1 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$AD_{1}^{2}=AH^{2}+HH_{1} ^{2}+H_{1}D_{1}^{2}=$$$$1^{2}+2^{2}+1^{2}=6$$

 

Задание 6367

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Ответ: 2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$V_{1}$$ - объем описанного, $$V_{2}$$ - вписанного. Т.к. высота у них одна, то $$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{S_{1}}{S_{2}}$$. Пусть $$a$$-сторона основания (квадрата)

Из квадрата : $$\frac{1}{2}a=R_{2}$$

$$\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=$$$$\frac{a}{\sqrt{2}}=R_{1}$$

$$\frac{S_{1}}{S_{2}}=(\frac{R_{1}}{R_{2}})^{2}=$$$$(\frac{a}{\sqrt{2}}*\frac{2}{a})^{2}=2$$

 

Задание 6414

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы — прямые).

Ответ: 78
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

В данном случае можно рассматривать фигуру, как параллелограмм (4*3*4), у которого вырезаны на передней и задней грани два квадрата со стороной 1.

Тогда площадь его поверхности составит: $$S=4*4*2+4*3*4-1*1*1=32+48-2=78$$

 

Задание 6516

В правильной шестиугольной пирамиде PАВСDEF сторона основания равна 2, а боковое ребро равно$$\sqrt{6}$$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью РАС.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Из $$\Delta ABC$$ : $$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2 BC*AB\cos B}=$$$$\sqrt{2^{2}+2^{2}-2*2*2*(-\frac{1}{2})}=\sqrt{12}$$ Из $$\Delta APC$$ : $$AP^{2}+PC^{2}=AC^{2}\Rightarrow$$$$\Delta APC$$ - прямоугольный и $$S_{APC}=\frac{1}{2}\sqrt{6}\sqrt{6}=3$$

 

Задание 6563

Найдите объем октаэдра, ребро которого равно $$3\sqrt{2}$$ .

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим четырехугольную пирамиду ABCDS с ребром $$3\sqrt{2}$$:

     1)$$S_{ABCD}=(3\sqrt{2})^{2}=18$$

     2) $$BD=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(3\sqrt{2})^{2}}=6\Rightarrow BH=3$$

     3) $$\Delta BHS$$: $$SH=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}-3^{2}}=3$$

     4) $$V_{ABCDS}=\frac{1}{3}*18*3=18$$

     5) Тогда объем октаэдра : $$V=2*V_{ABCDS}=2*18=36$$

 

Задание 6610

Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S_{C_{1}M_{1}N_{1}}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}B_{1}C_{1}*\frac{1}{2}C_{1}D_{1}=\frac{1}{8}S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$$

$$\frac{V_{MNCM_{1}N_{1}C_{1}}}{V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{S_{M_{1}N_{1}C_{1}}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{1}{8}$$

$$V_{MNCM_{1}N_{1}C_{1}}=\frac{1}{8}V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{8}*12=1,5$$

 

Задание 6658

Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Площадь поверхности одного куба, входящего в крест: $$S=1*5=5$$ (учитываем, что одна грань лежит»внутри» креста , потому и берем 5,а не 6)

Площадь всего креста : $$5*6=30$$ (так как в снаружи находится 6 кубов)

 

Задание 6693

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ответ: 106
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Рассмотрим куб со стороной 3 и параллели 1;5;5 . Если из их площади поверхности вычесть 2 раза по 3*3 , то получим площадь поверхности исходной фигуры: $$S=3*3*6+1*5*2+1*5*2+5*5*2-3*3*2=106$$

 

Задание 6752

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$DC^{2}_{2}=$$$$C_{2}F^{2}_{2}+DF_{2}^{2}=$$$$C_{2}F_{2}^{2}+DE^{2}+EF^{2}_{2}=$$$$2^{2}+1^{2}+1^{2}=6$$

 

Задание 6799

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   1) $$V=\frac{1}{3}Sh\Rightarrow$$ $$S=\frac{3V}{h}=\frac{3*200}{12}=50$$

   2) $$S=AB^{2}=50\Rightarrow$$ $$AB =\sqrt{50}$$

   3) $$DB=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{50+50}=10\Rightarrow$$ $$OB=5$$

   4) $$SB=\sqrt{SO^{2}+OB^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$

 

Задание 6819

Из куба с ребром 3 вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 2,5 и боковым ребром 3. Найдите площадь поверхности получившегося после вырезания многогранника.

Ответ: 71,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

          Площадь поверхности куба, с учетом вырезов в основаниях: $$3*3*6-2,5*2,5*2=54-12,5=41,5$$

          Площадь внутренней поверхности: $$2,5 *3*4=30$$

          Площадь поверхности многогранника: $$41,5+30=71,5$$

 

Задание 6870

Объем правильной шестиугольной призмы АВСDЕFА1В1С1D1Е1F1 равен 144. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B,E,F,F1,E1

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

        1) $$B_{1}F_{1}\perp F_{1}E_{1}$$ и $$B_{1}F_{1}\perp FF_{1}$$$$\Rightarrow$$ $$B_{1}F_{1}$$ - высота пирамиды$$B_{1}EFF_{1}E_{1}$$ . Тогда $$V_{B_{1}EFF_{1}E_{1}}=\frac{1}{3} S_{EFF_{1}E_{1}}*B_{1}F_{1}=$$$$\frac{1}{3} *F_{1}E_{1}*B_{1}F_{1}*FF_{1}$$

        2) Пусть $$F_{1}E_{1}=x; FF_{1}=h$$ . Тогда из $$\Delta F_{1}A_{1}B_{1}$$: $$F_{1}B_{1}=\sqrt{x^{2}+x^{2}-2x^{2} \cos 120}=x\sqrt{3}$$

        3) Тогда $$V_{ABC..E_{1}F_{1}}=S_{AB..EF}*FF_{1}=\frac{3\sqrt{3}x^{2}}{2}*h=144$$$$\Rightarrow$$ $$\sqrt{3}x^{2}h=96$$

$$V_{B_{1}EFF_{1}E_{1}}=\frac{1}{3} *x*\sqrt{3}x*h=$$$$\frac{\sqrt{3}x^{2}h}{3}=\frac{96}{3}=32$$

 

Задание 6918

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а двугранный угол при стороне основания равен 30о. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ: 4,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) из $$\Delta ABC$$: $$BM=BC * \sin C=3*\frac{\sqrt{3}}{2}=$$$$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$MH=\frac{1}{3}$$; $$BM=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

2) из $$\Delta DMH$$: $$DM=\frac{MH}{\cos DMH}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=1$$

3) $$S_{ADC}=\frac{1}{2} DM*AC=$$$$\frac{1}{2} *3*1=1,5$$$$\Rightarrow$$ $$S=3*S_{ADC}=4,5$$

 

Задание 6966

В конус вписан цилиндр так, что плоскость его верхнего основания делит высоту конуса пополам. Найдите объем цилиндра, если объем конуса равен 12.

Ответ: 4,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть R-радиус основания большого конуса, h-его высота, тогда $$V=\frac{1}{3}\pi R^{2} h=12$$ – его объем . Пусть r-радиус основания цилиндра ,тогда: $$r=\frac{R}{2}$$ и m-его высота, тогда $$m=\frac{h}{2}$$ Объем цилиндра: $$V_{1}= \pi r^{2}m=\pi *\frac{R^{2}}{4}*\frac{h}{2}=$$$$\frac{\pi R^{2}h}{8}=\frac{36}{8}=4,5$$

 

Задание 7013

В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна $$4\sqrt{3}$$, а высота равна 8. Через высоту пирамиды проведена плоскость. Найдите наименьшую площадь сечения пирамиды такой плоскостью.

Ответ: 48
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   1) $$S_{min}=S_{SHM}$$ (т.к. наименьшее основание для сечения только в том случае , когда проходит через середины противоположных сторон); $$S_{SHM}=\frac{1}{2}SO*HM$$

   2) Из $$\Delta HOB$$: $$OH=OB \sin B=4\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=6$$$$\Rightarrow HM=12$$

   3) $$S_{SHM}=\frac{1}{2}*8*12=48$$

 

Задание 7033

Найдите объём пирамиды, изображённой на рисунке. Её основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Ответ: 27
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем объем пирамиды без учета выреза: $$V_{1}=\frac{1}{3}*6*6*3=36$$

Найдем объем вырезанной: $$V_{2}=\frac{1}{3}*3*3*3=9$$

Найдем объем оставшейся: $$V=V_{1}-V_{2}=27$$

 

Задание 7054

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 6. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, C1.

Ответ: 48
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
  1. Найдем $$V_{A_{1}B_{1}C_{1}B}=$$$$\frac{1}{3}S_{A_{1}B_{1}C_{1}}*BB_{1}=$$$$\frac{1}{3}*12*6=24$$
  2. Найдем $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=12*6=72$$
  3. $$V_{ABCDA_{1}B_{1}}=$$$$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}-V_{A_{1}B_{1}C_{1}B}=$$$$72-24=48$$
 

Задание 7101

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1В1C1D1 , АВ=5, AD=3, AA1=4. Найдите тангенс угла между прямыми BD1 и DC.

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   1) $$AD\perp AB$$ ; $$DD_{1}\perp (ABC)\Rightarrow$$ $$D_{1}A\perp AB$$ по теореме о трех перпендикулярах; $$AB\left | \right |DC$$. Тогда $$tg (BD_{1}; DC)=tg(BD_{1}, AB)=\frac{AD_{1}}{AB}$$

   2) из $$\Delta AD_{1}D$$: $$AD_{1}=\sqrt{AD^{2}+AD_{1}^{2}}=5$$

   3) $$tg (BD_{1}; AB)=\frac{5}{5}=1$$

 

Задание 7174

Объем правильной шестиугольной призмы равен 180. Сначала каждое ее боковое ребро увеличили в два раза, а затем каждую сторону каждого основания уменьшили в три раза. Найдите объем полученной призмы.

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть h –начальная высота $$\Rightarrow$$ $$h_{1}=2h$$, a –сторона основания $$\Rightarrow$$ $$a_{1} =\frac{a}{3}\Rightarrow$$ $$\frac{S}{S_{1}}=(\frac{3}{1})^{2}=\frac{9}{1}$$, где $$a_{1},h$$ и $$S_{1}$$ –сторона , высота и площадь основания новой призмы . $$\Rightarrow$$ $$\frac{V}{V_{1}}=\frac{Sh}{S_{1}h_{1}}=\frac{9}{2}=4,5$$$$\Rightarrow$$ $$V_{1}=\frac{V}{4,5}=40$$

 

Задание 7194

Найдите расстояние между точками А и В указанного на рисунке многогранника (все двугранные углы многогранника прямые).

Ответ: 13
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Опустим $$AA_{1}\perp MN$$; $$A_{1}N=AK=2\Rightarrow$$ $$MA_{1}=MN-A_{1}N=5-2=3$$; $$MB=NH=4\Rightarrow$$ из $$\Delta MBA_{1}$$: $$BA_{1}=\sqrt{MB^{2}+MA_{1}^{2}}=5$$ 2) $$AA_{1}=ML-ZQ=15-3=12$$. Из $$\Delta BAA_{1}$$: $$BA=\sqrt{BA_{1}^{2}+AA^{2}_{1}}=$$$$\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$$

 

Задание 7215

В шар вписан конус так, что центр основания конуса совпадает с центром шара. Найдите объем конуса, если объем шара равен 120.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Объем шара $$V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=120$$

При этом объем конуса: $$V_{1}=\frac{1}{3}Sh$$, где $$S=\pi R^{2}$$ и $$h=R\Rightarrow$$ $$V_{1}=\frac{1}{3} \pi R^{3}=\frac{V}{4}=30$$

 

Задание 7317

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 9. Найдите объём пирамиды.

Ответ: 162
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) $$BC\perp DC\Rightarrow$$ по теореме о трех перпендикулярах $$SC\perp DC\Rightarrow$$ $$\angle SCB=60$$; аналогично : $$\angle SBC=60\Rightarrow$$ $$\Delta SCB$$ - равносторонний

2) Пусть $$SH\perp BC\Rightarrow$$ $$SH=9\Rightarrow$$ из $$\Delta SCH$$: $$SC=\frac{SH}{\sin SCH}=\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=$$$$\frac{18}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$SC=BC=\frac{18}{\sqrt{3}}$$

3) из $$\Delta SHM$$: $$MH=\frac{SH}{tg SMH}=$$$$\frac{9}{\sqrt{3}}=AB$$

4) $$V_{ABCD}=\frac{1}{3} S_{ABCD}SH=$$$$\frac{1}{3}*\frac{18}{\sqrt{3}}*\frac{9}{\sqrt{3}}*9=162$$

 

Задание 7357

Расстояние от вершины основания правильной треугольной пирамиды до плоскости боковой грани, не содержащей эту вершину, равно 3,5. Высота основания пирамиды равна 5. Найдите синус угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды.

Ответ: 0,7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7406

Основанием наклонной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD, а диагональ A1C призмы перпендикулярна плоскости основания. Найдите площадь основания призмы, если AA1=$$3\sqrt{3}$$ ;CA1=15 .

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7435

Площадь полной поверхности призмы на 24 см2 больше площади её боковой поверхности. Найдите площадь основания призмы. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7508

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Площадь четырёхугольника ABC1D1равна 24 . Найдите площадь поверхности куба.

Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
Пусть а - длина стороны куба, тогда из треугольника $$ADD_{1}$$: $$AD_{1}=\sqrt{AD^{2}+DD_{1}^{2}}=a\sqrt{2}$$
Тогда $$S_{ABC_{1}D_{1}}=AB*AD_{1}=a^{2}\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$, следовательно, $$a^{2}=4$$.
То есть площадь одной грани равна 4. Тогда площадь всей поверхности: $$S=6a^{2}=24$$
 

Задание 7555

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Ответ: 110
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7629

В многограннике, приведенном на рисунке, все двугранные углы прямые. Найдите расстояние между точками А и В.

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7677

Площадь основания конуса равна 45. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 8, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7725

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1площадь основания равна 13, а боковое ребро равно 12. Найдите объем призмы ACDFA1C1D1F1.

Ответ: 104
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7776

Найдите объем пирамиды A1BCD если объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1равен 60.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7872

Шар, объем которого равен 72, вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.

Ответ: 108
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7888

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 площадь основания равна 13, а боковое ребро равно 12. Найдите объем призмы ACDFA1C1D1F1.

Ответ: 104
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7937

В правильной треугольной пирамиде SABC ребра ВА и ВС разделены точками К и L так, что ВК=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания АВС и плоскостью сечения SKL. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 90
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8231

В аквариум кубической формы с ребром 50 см, наполовину заполненный водой, брошена стальная деталь цилиндрической формы с радиусом основания $$\frac{5}{\pi}$$ см и высотой 10 см. На сколько сантиметров поднялся уровень воды в аквариуме?

Ответ: 0,1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Найдем объем детали: $$V=\pi*(\frac{5}{\sqrt{\pi}})*10=\pi*\frac{25}{\pi}*10=250$$ Следовательно, этот объем добавляется к объему воды. При этом объем куба вычисляется как произведение площади основания на высоту. Площадь основания $$S=50*50=2500$$ квадратных сантиметров. Тогда, чтобы найти увеличение уровня воды, мы должны добавленный объем поделить на площадь основания: $$h=\frac{250}{2500}=0,1$$ см
 

Задание 8262

В треугольной пирамиде объемом 1000 см3 плоскостями, параллельными основаниям и делящими соответствующие высоты пирамиды в отношении 1:4, считая от вершины, срезаны все четыре вершины. Найти объем оставшейся части пирамиды.

Ответ: 968
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть Так как отсекается плоскостью, параллельной основанию, то получаем пирамиды треугольные, подобные изначальной пирамиде. Объемы подобных фигур относятся, как квадрат коэффициента подобия. Так как делится в отношении 1 к 4 (то есть на 5 частей всего), то коэффициент подобия составит 1 к 5, а объему будут относиться, как $$(\frac{1}{5})^{3}=\frac{1}{125}$$. Пусть P - объем исходной пирамиды, тогда $$\frac{1}{125}P$$ - объем отсеченной, тогда объем 4х отсеченных $$\frac{4}{125}P$$, а объем оставшейся части: $$P-\frac{4}{125}P=$$$$\frac{121}{125}P=$$$$\frac{121}{125}*1000=968$$
 

Задание 8281

В кубе ABCDA1B1C1D1 со стороной 6 вычислите квадрат расстояния между точками К и М – серединами сторон AD и СС1 соответственно.

 

Ответ: 54
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8319

На рисунке изображена прямая призма. Найдите площадь её полной поверхности, если все двугранные углы прямые.

Ответ: 54
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8337

Жёсткий диск представляет из себя прямоугольный параллелепипед, ширина которого у старых дисков равна 3,5 дюйма, а у современных — 2,5 дюйма. Объём старого жёсткого диска равен 22,05 кубических дюйма при высоте в 1 дюйм. Объём современного жёсткого диска равен 5,25 кубических дюймов при вдвое меньшей, чем у старого, высоте. Во сколько раз длина старого жёсткого диска больше длины современного жёсткого диска?

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8675

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 768
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8692

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 162. Найдите объём конуса.

Ответ: 54
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8712

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$27\sqrt{2}$$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответ: 27
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8735

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 188. Найдите объём конуса.

Ответ: 47
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8754

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 19. Найдите объём шара.

Ответ: 76
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8773

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 25. Найдите объём куба.

Ответ: 200
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8792

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 11. Найдите объём куба.

 

Ответ: 88
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8866

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 300. Высота пирамиды равна 8. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 1024
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8886

От треугольной пирамиды, объём которой равен 42, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

Ответ: 10,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8906

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 12, а высота равна $$6\sqrt{3}$$.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9038

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в основании которого лежит прямоугольник ABCD, AB=45, BC =24. Найдите расстояние от точки A1 до прямой CC1, если высота параллелепипеда равна 20, а боковое ребро равно 34 (проекция A1 на плоскость основания принадлежит AC)

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9059

Шар, объём которого равен 64, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9105

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 74. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9142

Основанием наклонной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD, а диагональ AC1 призмы перпендикулярна плоскости основания. Найдите площадь основания призмы, если $$AC_{1}=2\sqrt{7}$$, $$AA_{1}=6$$.

Ответ: 4
Скрыть

Рассмотрим сечение $$A_{1}C_{1}CA$$ - это параллелограмм. При этом $$AC_{1}$$ - его высота. Тогда по теореме Пифагора из треугольника $$ACC_{1}$$: $$AC=\sqrt{CC_{1}^{2}-AC_{1}^{2}}=\sqrt{36-28}=8$$

В основании находится квадрат. Пусть сторона основания равна х. Тогда по теореме Пифагора из треугольника ABC: $$AB^{2}+AC^{2}=AC^{2}\Leftrightarrow$$$$x^{2}+x^{2}=8\Leftrightarrow$$$$x^{2}=4=S_{ABCD}$$

 

Задание 9154

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О-центр основания, S-вершина, SO=9, SC=15. Найдите длину отрезка BD.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9240

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 26. Найдите площадь полной поверхности цилиндра

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9337

Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из кубов со стороной 3.

Ответ: 270
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9357

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины А, В, С, D, В1 прямоугольного параллелепипеда АВСВА1В1С1D1, у которого АВ=9, ВС=3, BB1=8

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9377

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9482

Площадь боковой поверхности конуса равна 30. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 2:3, считая от вершины конуса. Найдите площадь боковой поверхности отсечённого конуса.

Ответ: 4,8
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9502

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 ребро АА1 равно 10, а стороны основания равны 8. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки А1 , С1 и середину ребра АВ.

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9522

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6. Боковые рёбра призмы равны $$\frac{4}{\pi}$$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Ответ: 61
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9627

В прямой призме АВСА1В1С1 АВ=ВС, СВ1=10, ВВ1=3, АС=8. Найдите угол между прямой СВ1 и плоскостью АА1С.

Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9655

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 36. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9674

Объем правильной шестиугольной призмы равен 180. Сначала каждое ее боковое ребро увеличили в два раза, а затем каждую сторону каждого основания уменьшили в три раза. Найдите объем полученной призмы.

Ответ: 40
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9775

Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 9795

Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, С, А1, B1, С1.

Ответ: 32
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9870

Найдите расстояние между вершинами B1 и D2 изображённого на рисунке многогранника. Все двугранные углы многогранника прямые.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9895

Цилиндрическая кастрюля, диаметр дна которой равен 30 см, наполнена водой. Какое минимальное число кастрюль той же высоты и с диаметром дна, равным 15 см, потребуется для того, чтобы перелить в них эту воду?

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9942

В правильной треугольной пирамиде SABC ребра ВА и ВС разделены точками K и L так, что ВК=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания АВС и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.

Ответ: 90
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10047

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен $$\sqrt{3}$$, если известно, что высота призмы равна 6.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10067

Через образующую цилиндра проведены два сечения, одно из которых осевое. Площадь осевого сечения равна $$50\sqrt{3}$$ . Угол между плоскостями сечений равен 30°. Найдите площадь второго сечения.

Ответ: 75
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10090

Через точку окружности основания цилиндра проведены два сечения: одно через ось цилиндра, а второе параллельно ей. Угол между плоскостями сечений равен 45°. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$18\pi\sqrt{2}$$. Найдите меньшую из площадей данных сечений.

Ответ: 18
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10109

Площадь сечения правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через боковое ребро и середину противолежащей стороны основания, равна 15. Найдите объем пирамиды, если сторона ее основания равна 4.

Ответ: 20
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10128

Площадь боковой поверхности конуса равна 16 см2. Радиус основания конуса уменьшили в 4 раза, а образующую увеличили в 2 раза. Найдите площадь боковой поверхности получившегося конуса. Ответ дайте в см2.

Ответ: 8
 

Задание 10147

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 9, а высота боковой грани пирамиды, проведенная к ребру основания, равна $$\sqrt{73}$$. Найдите боковое ребро пирамиды.

Ответ: 10
 

Задание 10162

Найдите объем части куба, изображенной на рисунке.

Ответ: 207
 

Задание 10187

Точки M и N расположены на окружностях верхнего и нижнего основания цилиндра, радиус основания которого равен 2, а высота — 3. Длина отрезка MN равна 4. Через отрезок MN проведена плоскость, параллельная образующей цилиндра. Найдите расстояние от оси цилиндра до этой плоскости.

Ответ: 1,5
 

Задание 10208

Расстояние между серединами ребер ВС и С1D1 куба ABCDA1B1C1D1 равно 6 . Найдите объем куба.

Ответ: 8
 

Задание 10255

Боковое ребро правильной треугольной призмы на 20% больше ее стороны основания. Расстояние между серединами двух непараллельных ребер, принадлежащих разным основаниям, равно 13. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 360
 

Задание 10281

Четырехугольная пирамида весом 27 кг горизонтальными плоскостями разрезана на 3 части одинаковой высоты. Найдите вес в килограммах нижней части пирамиды.

Ответ: 19
 

Задание 10385

Полная поверхность усеченного конуса равна $$572\pi$$ м2, а длины радиусов оснований равны 6 м и 14 м. Определить (в метрах) длину высоты усеченного конуса.

Ответ: 15
 

Задание 10435

Площадь основания кругового конуса равна $$64\pi$$ см2.Образующая конуса длиннее его высоты на 2 см. Найти отношение площади боковой поверхности конуса к площади его основания.

Ответ: 2,125
 

Задание 10481

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания $$AB=8\sqrt{3}$$ , а боковое ребро $$SA=\sqrt{73}$$. Найдите расстояние от точки В до плоскости SAC.

Ответ: 7,2
 

Задание 10491

Масса однородного бетонного куба равна 0,5 т. Сколько тонн будет составлять масса куба, сделанного из того же бетона, но ребро которого в 2 раза больше, чем ребро маленького кубика?

Ответ: 4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10522

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 16. Найдите объём цилиндра.

Ответ: 48
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Объем конуса вычисляется как: $$V_{1}=\frac{1}{3}S_{1}h_{1}$$, где $$S_{1}$$ - площадь основания конуса, $$h_{1}$$ - его высота. Объем цилиндра вычисляется как: $$V_{2}=S_{2}h_{2}$$, где$$S_{2}$$ - площадь основания конуса, $$h_{2}$$ - его высота.

Так как основания и высота одинаковые, то объемы будут отличаться в три раза. То есть объем цилиндра составит $$16\cdot 3=48$$

 

Задание 10550

Для каждой грани куба с ребром 6 проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2. Найдите объем оставшейся части.

Ответ: 160
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$V=6^3=216$$ - объем куба. $$V_1=2^3=8$$ - объем одного «вырезанного куба». Таких 7 (6 на границе у каждой грани, 1 в центре начального куба) $$\to V_2=216-8*7=160$$ -- объем оставшейся части.
 

Задание 10570

Найдите объем правильной шестиугольной призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1{E_1F}_1$$, если известно, что объем многогранника с вершинами в точках $$E,\ B_1,A_1,F_1,E_1$$ равен 12.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$V_{EB_1A_1F_1E_1}=\frac{1}{3}S_{B_1A_1F_1E_1}\cdot EE_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{S}{2}\cdot h=\frac{S\cdot h}{6}=\frac{V_{ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1}}{6}$$ $$\to V_{ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1}=12\cdot 6=72$$
 

Задание 10590

Объем параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды $$ABDA_1$$.

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$S_{ADB}=\frac{1}{2}S_{ABCD};$$ высота у них одинакова $$h$$. $$V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}=S_{ABCD}\cdot h$$; $$V_{ABDA_1}=\frac{1}{3}S_{ADB}\cdot h=\frac{1}{6}S_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{6}\cdot 9=1,5$$.
 

Задание 10610

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 6. Диагональ параллелепипеда равна 9. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Ответ: 144
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$AB=3;AD=6\to BD=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}\to$$ $$B_1B=\sqrt{81-45}=6$$

Тогда $$S=\left(3\cdot 6+3\cdot 6+6\cdot 6\right)\cdot 2=144$$

 

Задание 10630

Апофема правильной треугольной пирамиды равна $$2\sqrt{7}$$, а боковое ребро 7. Найдите угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$AH=\sqrt{7^2-{\left(2\sqrt{7}\right)}^2}=\sqrt{21}\to AC=2\sqrt{21}$$ $$BH=AC{\sin 60{}^\circ \ }=2\sqrt{21}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{63}$$ $${\cos DHB=\frac{DH^2+HB^2-DB^2}{2DH\cdot HB}\ }=\frac{28+63-49}{2\cdot 3\sqrt{7}\cdot 2\sqrt{7}}=\frac{42}{2\cdot 42}=\frac{1}{2}\to \angle DHB=60{}^\circ $$
 

Задание 10650

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны отношения длин ребер: $$AB:AD:{AA}_1=16:15:34$$. Расстояние от центра грани $$ABB_1A_1$$ до вершины D равно $$34\sqrt{2}.$$ Найдите сумму длин всех ребер параллелепипеда.

Ответ: 520
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$BD_1=HM$$, где $$BH\bot AB$$, $$M$$ - середина $$DD_1$$

Пусть $$AB=16x\to AH=8x$$ $$MD=17x\to HD=\sqrt{{\left(8x\right)}^2+{\left(15x\right)}^2}=17x;$$

$$HM=\sqrt{{\left(17x\right)}^2+{\left(17x\right)}^2}=34\sqrt{2}\to$$ $$\sqrt{578x^2}=\sqrt{1156\cdot 2}\to x=2 \to$$ $$\to AB=32;AD=30;AA_1=68.$$

Сумма длин: $$\left(32+30+68\right)\cdot 4=520$$

 

Задание 10686

Сторона основания правильной двенадцатиугольной пирамиды равна $$6{tg 15{}^\circ \ }$$, а высота равна 4. Найдите расстояние от центра основания пирамиды до плоскости, содержащей боковую грань пирамиды.
Ответ: 2,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\angle A=\frac{\left(12-2\right)\cdot 180}{12}=150\to \angle OCH=75{}^\circ ;$$$$\ \angle COH=15{}^\circ $$. Пусть $$OH\bot CD$$, S - вершина пирамиды.

По теореме о трёх перпендикулярах $$SH\bot CD$$ (SO - высота пирамиды): $$ (SOH)\bot CD\to OL\bot CD$$, где $$OL\bot SH\to OL\bot (SCD)$$ и OL - расстояние.

$$CH=\frac{CD}{2}=3{tg 15{}^\circ \ }\to$$$$ OH=\frac{CH}{{tg COH\ }}=3\to$$$$ SH=\sqrt{SO^2+OH^2}=5\to$$ $$ OL=\frac{SO\cdot OH}{SH}=\frac{4\cdot 3}{5}=2,4.$$

 

Задание 10726

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 500
Скрыть Объем прямоугольного параллелепипеда равен: $$V=a\cdot b\cdot c$$. Так как прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то $$a=b=2R=2\cdot 5=10$$; $$c=h=7\to v=10\cdot 10\cdot 5=500$$
 

Задание 10746

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 7. Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: 1372
Скрыть $$V=abc$$, где $$a=b=7\cdot 2=14$$, $$c=7\to $$ $$V={14}^2\cdot 7=1372$$.
 

Задание 10815

Найдите площадь полной поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Ответ: 74
Скрыть

e324_8_1.jpg

Перенесем грани, чтобы получить параллелепипед. Учтем, что получим 2 окошка $$2\times 2$$. Тогда: $$S=\left(5\cdot 6+6\cdot 1+5\cdot 1+2\cdot 2\right)\cdot 2=74$$.

 

Задание 10835

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $$7\sqrt{2}$$. Найдите радиус сферы.

Ответ: 7
Скрыть Так как центр сферы находится в центре конуса, то образующие конуса пересекаются под прямым углом. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого катеты равны образующей, а гипотенуза равна диаметру сферы. По теореме Пифагора имеем: $$d^2=2\cdot 7^2\cdot 2=2^2\cdot 7^2\to d=14$$. Соответственно, радиус равен $$R=\frac{d}{2}=\frac{14}{2}=7$$.
 

Задание 10854

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.
Ответ: 2,5
Скрыть

В правильной четырехугольной пирамиде в основании лежит квадрат. Его сторона равна 10. Найдем диагональ квадрата, на пересечении которых лежит вершина пирамиды: $$d^2=100+100=200\to d=10\sqrt{2}$$.

Найдем высоту пирамиды из теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна боковому ребру, а один из катетов половине диагонали квадрата в основании. Второй катет, т.е. высота пирамиды, равна $$h^2={\left(7,5\right)}^2-{\left(5\sqrt{2}\right)}^2=56,25-50=6,25\to h=2,5$$.

 

Задание 10873

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.

Ответ: 3,5
Скрыть У правильной треугольной пирамиды в основании лежит равносторонний треугольник, а высота совпадает с точкой пересечения медиан треугольника. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1. Сначала найдем длину медианы AH, она же будет являться высотой треугольника ABC, лежащего в основании (см. рисунок). Стороны AB и BC равны по $$10,5=10\frac{1}{2}=\frac{21}{2}$$, а сторона $$BH=BC:2=\frac{21}{4}$$, следовательно, из теоремы Пифагора имеем: $$AH^2=AB^2-BH^2={\left(\frac{21}{2}\right)}^2-{\left(\frac{21}{4}\right)}^2=\frac{441\cdot 3}{16}\to AH=\frac{21\sqrt{3}}{4}$$. Тогда AO будет составлять 2/3 от AH и равна $$AO=\frac{2}{3}\cdot \frac{21\sqrt{3}}{4}=\frac{21}{2\sqrt{3}}$$. Наконец, высоту пирамиды SO вычислим также по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOS, в котором известен катет AO и гипотенуза $$AS=7$$, получим: $$SO^2=AS^2-AO^2=49-\frac{441}{4\cdot 3}=\frac{49}{4}\to SO=3,5$$.
 

Задание 10892

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $$D, Е, F, D_1, E_1, F_1$$ правильной шестиугольной призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$, площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 12.

Ответ: 20
Скрыть В основании призмы лежит правильный шестигранник. Вершины DEF образуют треугольник в основании призмы. Таких равных треугольников в основании призмы ровно 6 (см. рисунок ниже). Легко показать, что площади треугольников AFO и FOD равны. Например, высота треугольника AFO равна $$\frac{y}{2}$$ (синяя линия к стороне FA на рисунке), а основание $$FA=x$$. Тогда площадь AFO $$S=\frac{1}{2}\cdot x\cdot \frac{y}{2}=\frac{xy}{4}$$. По аналогии площадь треугольника FOD. У него высота $$\frac{x}{2}$$, проведенная к стороне $$FD=y$$. Получаем площадь: $$S=\frac{1}{2}\cdot y\cdot \frac{x}{2}=\frac{xy}{4}$$. Также из рисунка хорошо видно, что треугольники AFO и DOC равны, и остальные 4 треугольника также равны. Поэтому площадь треугольника DEF равна $$1/6$$ от площади основания призмы: $$\frac{10}{6}$$. В результате получаем объем многогранника: $$V=S\cdot h=\frac{10}{6}\cdot 12=20$$.
 

Задание 10930

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ все рёбра которой равны 2, найдите угол между прямыми $$ВB_1$$ и $$AC_1$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$BB_1\parallel CC_1\to $$ угол м/у $$AC_1$$ и $$CC_1$$, т.е. $$\angle ACC_1$$. $$\triangle ACC_1$$ - прямоугольный и равнобедренный $$\to \ \angle ACC_1=45{}^\circ $$.
 

Задание 10994

Ребро куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ равно $$2\sqrt{5}$$. Точка $$К$$ - середина ребра $$CD$$. Найдите расстояние между прямыми $$AD$$ и $$D_1K.$$

Ответ: 2
Скрыть Пусть DH - высота $$\triangle DD_1K.$$ Т.к. $$AD\bot \left(DCC_1\right),$$ то $$AD\bot DH\to DH$$ - общий перпендикуляр. $$DK=\frac{1}{2}DC=\sqrt{5}\to $$ из
$$\triangle DD_1K:\ D_1K=\sqrt{DD^2_1+DK^2}=5\to DH=\frac{DD_1\cdot DK}{D_1K}=2$$
 

Задание 11014

Шар, объём которого равен $$36\pi $$, вписан в куб. Найдите объём куба.

Ответ: 216
Скрыть Объем шара определяется выражением $$V=\frac{4}{3}\pi R^3,$$ следовательно, куб радиуса будет равен $$R^3=\frac{3V}{4\pi }=\frac{3\cdot 36\pi }{4\pi }=3\cdot 9=27.$$ Объем куба, описанного вокруг шара, равен диаметру шара в кубе, т.е. $$V=d^3={\left(2R\right)}^3=8R^3=8\cdot 27=216$$.
 

Задание 11080

Цилиндрическая кастрюля, диаметр дна которой равен 36 см, наполнена водой. Какое минимальное число кастрюль той же высоты и с диаметром дна, равным 12 см, потребуется для того, чтобы перелить в них эту воду?

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть $$\frac{V_1}{V_2}=\frac{S_1\cdot h}{S_2\cdot h}=\frac{\pi R^2_1h}{\pi R^2_2h}={\left(\frac{R_1}{R_2}\right)}^2={\left(\frac{18}{6}\right)}^2=9$$
 

Задание 11099

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $$А,\ В,\ С,\ A_1,B_1,C_1\ $$правильной шестиугольной призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 5.

Ответ: 10
Скрыть Вершины ABC в основании правильной шестиугольной призмы образуют треугольник, по площади равный $$\frac{1}{6}$$ от площади основания (см. рисунок ниже). Следовательно, площадь основания многогранника (треугольника ABC) равна $$S=\frac{1}{6}\cdot 12=2,$$ а его объем $$V=S\cdot h=2\cdot 5=10.$$
 

Задание 11119

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 63 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ: 7
Скрыть При переливе жидкости из одного сосуда в другой ее объем останется неизменным. Объем цилиндра определяется формулой $$V=\pi R^2h=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2h,$$ где d - диаметр цилиндра; h - его высота. Если диаметр сосуда будет увеличен в 3 раза, то его объем можно записать так $$V=\pi {\left(\frac{3d}{2}\right)}^2h_2.$$ Так как объем жидкости неизменен, то приравняем первое и второе выражения, и вычислим высоту $$h_2$$ жидкости во втором сосуде, получим: $$h_2\pi \frac{9d^2}{4}=\pi \frac{d^2}{4}63\to h_2=\frac{63}{9}=7.$$
 

Задание 11138

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 4
Скрыть При переливе жидкости из одного сосуда в другой ее объем останется неизменным. Объем цилиндра определяется формулой $$V=\pi R^2h=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2h,$$ где d - диаметр цилиндра; h - его высота. Если диаметр сосуда будет увеличен в 2 раза, то его объем можно записать так $$V=\pi {\left(\frac{2d}{2}\right)}^2h_2.$$ Так как объем жидкости неизменен, то приравняем первое и второе выражения, и вычислим высоту $$h_2$$ жидкости во втором сосуде, получим: $$h_2\pi \frac{4d^2}{4}=\pi \frac{d^2}{4}16\to h_2=4.$$
 

Задание 11269

Деталь (осевое сечение которой представлено на рисунке) имеет форму полушара с приставленным в центральной части круга цилиндром. Найдите объем детали по размерам, указанным на рисунке ($$\pi$$ полагать равным 3,14). Ответ округлите до целых.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11370

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1известно, что АВ=9, ВС=6, АА1=5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, D, A1, B1.

Ответ: 135
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11414

Шар пересечён двумя параллельными плоскостями, расположенными по одну сторону от его центра. Радиус первого сечения равен 12, радиус второго сечения равен 9. Расстояние от центра шара до плоскости первого сечения равно 9. Найдите расстояние между плоскостями сечений.

Ответ: 3
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11461

Расстояние от вершины основания правильной треугольной пирамиды до плоскости боковой грани, не содержащей эту вершину, равно 7. Высота основания пирамиды равна 10. Найдите косинус угла между высотой пирамиды и апофемой.

Ответ: 0,7
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11705

Высота правильной треугольной пирамиды в три раза меньше высоты основания пирамиды. Найдите угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания пирамиды. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 45
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11724

Площадь полной поверхности треугольной пирамиды ABCD равна 333 см2. Найдите площадь полной поверхности треугольной пирамиды, каждое ребро которой в 3 раза меньше, чем у пирамиды ABCD. Ответ дайте в см2.

Ответ: 37
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11743

Найдите объём треугольной пирамиды DABC, если AB=30, BC=CA=17 и все двугранные углы при основании равны 45о.

Ответ: 150
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11762

Радиус основания цилиндра равен 5, а высота равна 8. Отрезки AB и CD диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок AA1его образующая. Найдите косинус угла между прямыми A1C и BD, если синус угла CAB равен 0,8.

Ответ: 0,6
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11847

Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6, 10 и 14. Каждое из боковых рёбер пирамиды наклонено к основанию под углом 45о. Вычислите объём пирамиды.

Ответ: 70
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12290

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известно, что $$АВ\ =\ 9,\ ВС=\ 8,\ АA_1\ =\ 6.$$ Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, C, $$B_1$$

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12306

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 0,25 высоты. Объём жидкости равен 5 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Ответ: 315
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12326

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1100 см$${}^{3}$$ воды и полностью в неё погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 29 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см$${}^{3}$$.

Ответ: 176
 

Задание 12346

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 5. У второго цилиндра высота в 2,5 раза меньше, а радиус основания в 3 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Ответ: 18
 

Задание 12367

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 25 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2,5 раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ: 4
 

Задание 12387

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 162. Найдите объём конуса.

Ответ: 54
 

Задание 12407

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$27\sqrt{2}.$$ Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответ: 27
 

Задание 12427

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 188. Найдите объём конуса.

Ответ: 47
 

Задание 12446

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 19. Найдите объём шара.

Ответ: 76
 

Задание 12465

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 25. Найдите объём куба.

Ответ: 200
 

Задание 12487

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 11. Найдите объём куба.

Ответ: 88
 

Задание 12507

От треугольной пирамиды, объём которой равен 42, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

Ответ: 10,5
 

Задание 12526

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 12, а высота равна $$6\sqrt{3}$$.

Ответ: 216
 

Задание 12545

Шар, объём которого равен 64, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Ответ: 96
 

Задание 12567

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 74. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Ответ: 111
 

Задание 12587

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О - центр основания, S - вершина, $$SO\ =\ 9,\ SC\ =15.$$ Найдите длину отрезка BD.

Ответ: 24
 

Задание 12607

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 26. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

 

Ответ: 39

Задание 12627

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $$A,\ B,\ С,\ D,\ B_1$$ прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1,$$ у которого $$AB\ =\ 9,\ BC\ =\ 3,\ BB_1\ =\ 8.$$

Ответ: 72
 

Задание 12647

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6. Боковые рёбра призмы равны $$\frac{4}{\pi }$$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

 

Ответ: 61
 

Задание 12667

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 36. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12687

Дана правильная треугольная призма $$ABCA_1B_1C_1$$, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A,\ C,\ A_1,B_1,C_1.$$

 

Ответ: 32
 

Задание 12707

Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 52. Точка Е - середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды ЕАВС.

Ответ: 13
 

Задание 12727

Высота конуса равна 12, а длина образующей равна 15. Найдите диаметр основания конуса.

Ответ: 18
 

Задание 12746

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 28. Найдите объём цилиндра.

Ответ: 84
 

Задание 12767

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 16. Найдите объём цилиндра.

Ответ: 48
 

Задание 12787

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A,\ B,\ A_1,\ C_1$$ правильной треугольной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 8.

Ответ: 24

Задание 12808

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A,\ C,\ A_1,\ B_1$$ правильной треугольной призмы $$ABCA_1B_1C_1,$$ площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 3.

Ответ: 9
Скрыть

Рассмотрим полученный многогранник. Его можно рассматривать как треугольную пирамиду с основанием AA1B1. При этом, этот многогранник можно получить, если из первоначальной призмы убрать пирамиды A1C1B1C (основание A1B1C1) и A1B1BC (основание A1B1B).

Объем A1C1B1C составляет треть от объема ABCA1B1C1(одинаковые основания и высота). То есть на оставшиеся 2 пирамиды остается 2/3 от объема призмы. При этом, пирамиды имеют одну вершину С и одинаковые по площади основания (половины прямоугольника AA1B1B), то есть их объемы равны.

Получим, что объем ACA1B1составляет треть от объемы призмы: $$\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 3=3$$

 

Задание 12828

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: 500
Скрыть

Так как параллелепипед описан вокруг цилиндра, то в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной равной диаметру цилиндра, т.е. $$d=2R=2\cdot 5=10$$. Тогда площадь квадрата (основания) будет равна 100, а объем $$V=100\cdot 5 =500$$ .

 

Задание 12847

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 7. Найдите объём параллелепипеда.

Ответ: 1372
Скрыть

Объем прямоугольного параллелепипеда равен: V = a·b·c Так как прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, то

a = b = 2R = 2·7 = 14
c = h = 7
V = 14·14·7 = 1372
 

Задание 12869

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

Ответ: 13
 

Задание 12888

Площадь боковой поверхности конуса равна 30. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 2:3, считая от вершины конуса. Найдите площадь боковой поверхности отсечённого конуса.

Ответ: 4,8
 

Задание 12909

В кубе $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ найдите угол между прямой $$АВ$$ и плоскостью $$АВС_{1}$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13364

Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 13383

Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Радиус основания цилиндра равен $$\sqrt{3}$$, а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Ответ: 24
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13534

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды.

Ответ: 48
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13553

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём пирамиды.

Ответ: 40,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13684

Высота конуса равна 18, а длина образующей равна 30. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Ответ: 432
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13767

Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей равна 20. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Ответ: 192
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13789

Объём треугольной пирамиды равен 14. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 2:5, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13893

От треугольной призмы, объём которой равен 120, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объём оставшейся части.

Ответ: 80
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14022

Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,4 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Ответ: 7,28
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14209

Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,6 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Ответ:
 

Задание 14355

Все плоские углы при вершине правильной треугольной пирамиды прямые. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь её основания равна $$18\sqrt{3}$$.

Ответ: 54
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14374

Найдите объём треугольной пирамиды $$DABC$$, если $$AB=30$$, $$BC=CA=17$$ и двугранные углы при основании равны $$45^{\circ}$$.

Ответ: 150
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!