Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C3) Неравенства

Смешанные неравенства

 

Задание 2946

 Решите неравенство $$(2^{x}-3)(2\log_2 x -1)\log_2 ^{2}x\leq 0$$

Ответ: $$\left \{ 1 \right \}\cup \left [\sqrt{2}; \log_2 3 \right ]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 3663

Решите неравенство $$2\sqrt{\sin^{2}x-\sin x-1}\geq\cos^{2}x+\sin x+3$$

Ответ: $$-\frac{\pi }{2}+2\pi k, k\in Z$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4019

Решите неравенство $$(2^{2}+3\cdot2^{-x})^{2\log_{2}x-\log_{2}(x+6)}>1$$

Ответ: $$x\in(3;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(2^{2}+3\cdot2^{-x})^{2\log_{2}x-\log_{2}(x+6)}>1$$

$$(2^{2}+3\cdot2^{-x})^{2\log_{2}x-\log_{2}(x+6)}>(2^{2}+3\cdot2^{-x})^{0}$$

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>0$$

$$2^{x}+3\cdot2^{-x}>1$$ $$\Leftrightarrow$$

$$2^{x}+3\cdot2^{-x}-1>0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{2^{2x}-2^{x}+3}{2^{x}}>0$$

Пусть $$2^{x}=y>0$$

$$\frac{y^{2}-y+3}{y}>0$$

$$D=1-12<0$$ $$\Rightarrow$$ всегда больше нуля

$$\left\{\begin{matrix}2^{x}+3\cdot2^{-x}>1\\2\log_{2}x-\log_{2}(x+6)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}\frac{2^{2x}-2^{x}+3}{2^{x}}>0\\2\log_{2}x>\log_{2}(x+6)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\log_{2}x^{2}>\log_{2}(x+6)$$

$$(x^{2}-x-6)(2-1)>0$$

$$x^{2}-x-6>0$$

$$D=1+24=25$$

$$x_{1}=\frac{1+5}{2}=3$$

$$x_{2}=\frac{1-5}{2}=-2$$

С учетом ОДЗ: $$x>3$$

 

Задание 4189

Решите неравенство: $$\frac{\log_{8}x}{\log_{2}(1+2x)}\leq\frac{\log_{2}\sqrt[3]{1+2x}}{\log_{2}x}$$

Ответ: $$x\in(0;0,5]\cup(1;+\infty;)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\1+2x>0\\x\neq1\\1+2x\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x>-0,5\\x\neq1\\x\neq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in(0;1)\cup(1;+\infty)$$; $$\frac{\frac{1}{3}\log_{2}x}{\log_{2}(1+2x)}\leq\frac{\frac{1}{3}\log_{2}(1+2x)}{\log_{2}x}$$; $$\log_{1+2x}x\leq\log_{x}(1+2x)$$;

Пусть $$\log_{1+2x}x=y$$; $$y\leq\frac{1}{y}$$; $$\frac{y^{2}-1}{y}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y-1)(y+1)}{y}\leq0$$

 

$$\left\{\begin{matrix}y\leq-1\\\left\{\begin{matrix}y>0\\y\leq1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{1+2x}x\leq-1(1)\\\left\{\begin{matrix}\log_{1+2x}x>0(2)\\\log_{1+2x}x\leq1(3)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

1) $$\log_{1+2x}x\leq\log_{1+2x}\frac{1}{1+2x}$$; $$(x-\frac{1}{1+2x})(1+2x-1)\leq0$$; $$\frac{x+2x^{2}-1}{1+2x}\cdot2x\leq0$$; $$\frac{2x(x-0,5)(x+1)}{1+2x}\leq0$$

$$x\in[-1;-0,5)\cup[0;0,5]$$

2) $$\log_{1+2x}x>0$$; $$(x-1)(1+2x-1)>0$$; $$(x-1)\cdot2x>0$$

 

$$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$

3) $$\log_{1+2x}x\leq1$$; $$\log_{1+2x}x\leq\log_{1+2x}(1+2x)$$; $$(x-1-2x)(1+2x)\leq0$$; $$(-x-1)(2x+1)\leq0$$

$$x\in(-\infty;-1]\cup[-0,5;+\infty)$$

Найдем пересечение 2 и 3 и объединим результаты с 1: $$x\in(-\infty;0,5]\cup(1;+\infty;)$$

Ответ с учетом ОДЗ: $$x\in(0;0,5]\cup(1;+\infty;)$$

Задание 4538

Решите неравенство: $$\log_{2} ((7^{-x^{2}}-3)(7^{-x^{2}+16}-1))+\log_{2} \frac{7^{-x^{2}}-3}{7^{-x^{2}+16}-1}> \log_{2} ((7^{7-x^{2}}-3)^{2}$$

Ответ:

Задание 4539

Решите неравенство: $$(2x+1)\log_{5}10 + \log_{5}(4^{x}-\frac{1}{10})\leq 2x-1$$

Ответ:

Задание 4540

Решите неравенство: $$5^{-|x-2|}\cdot \log_{2}(4x-x^{2}-2)\geq 1$$

Ответ:

Задание 4541

Решите неравенство: $$\frac{\log_{4}(2^{x}-1)}{x-1}\leq 1$$

Ответ:

Задание 4542

Решите неравенство: $$\frac{(x^{2}+x)\lg(x^{2}+x-2)}{|x-1|}\geq \frac{\lg(-x^{2}-2x+2)^{2}}{x-1}$$

Ответ:

Задание 4543

Решите неравенство: $$\frac{1-\sqrt{1-4\log_{8}^{2} x}}{\log_{8} x}< 2$$

Ответ:

Задание 4544

Решите неравенство: $$(3^{\frac{x-2}{x}}-1)\sqrt{3^{x}-10\sqrt{3^{x}}+9}\geq 0$$

Ответ:

Задание 4545

Решите неравенство: $$\log_{x}(\log_{9}(3^{x}-9))< 1$$

Ответ:

Задание 4546

Решите неравенство: $$\sqrt{2\cdot 9^{x}-7\cdot 3^{x+1}+10}\geq 3^{x}-10$$

Ответ:

Задание 4547

Решите неравенство:$$(x^{2}+1)^{\lg(7x^{2}-3x+1)}+(7x^{2}-3x+1)^{\lg(x^{2}+1)}\leq 2$$

Ответ:

Задание 4548

Решите неравенство: $$\frac{8\cdot 7^{x}-4^{x\log_{2}7}-11}{(2x-1)^{2}}\geq 0$$

Ответ: