ЕГЭ Профиль
Задание 4022
Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-3y^{2}=8\\2x^{2}+4xy+5y^{2}=a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$имеет хотя бы одно решение.
$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-3y^{2}=8\\2x^{2}+4xy+5y^{2}=a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$
$$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}=b$$
$$\left\{\begin{matrix}-bx^{2}+2bxy+3by^{2}=-8b\\16x^{2}+32xy+40y^{2}=8b\end{matrix}\right.$$
$$x^{2}(16-b)+xy(2b+32)+y^{2}(40+3b)=0$$ $$\div y^{2}$$
$$\frac{x^{2}}{y^{2}}(16-b)+\frac{x}{y}(2b+32)+(40+3b)=0$$
$$D=(2b+32)^{2}-(16-b)(3b+40)\cdot4\geq0$$
$$4b^{2}+128b+1024-4(48b+640-3b^{2}-40b)\geq0$$
$$4b^{2}+128b+1024-32b-2560+12b^{2}\geq0$$
$$16b^{2}+96b-1536\geq0$$
$$b^{2}+6b-96\geq0$$
$$D=36+384=420$$
$$b_{1,2}=\frac{-6\pm2\sqrt{105}}{2}=-3\pm\sqrt{105}$$
$$\left\{\begin{matrix}b\leq-3-\sqrt{105}\\b\geq-3+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\leq-3-\sqrt{105}\\a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\geq-3+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$
2) $$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-19\geq0$$
$$81-4\cdot27+4\cdot9-19\geq0$$
$$(a-3)(a+1)(a^{2}-2a+3)\geq0$$
$$a^{2}-2a+3=0$$
$$D=4-12<0$$
$$(a-3)(a+1)\geq0$$
$$\left\{\begin{matrix}a\geq3\\a\leq-1\end{matrix}\right.$$
1) $$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\leq-3-\sqrt{105}$$
$$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-9+2\sqrt{105}\leq0$$
$$f'(a)=4a^{3}-12a^{2}+8a=0$$
$$a^{3}-3a^{2}+2a=0$$
$$a(a^{2}-3a+2)=0$$
$$a=0;a=2;a=1$$
$$f(0)=2\sqrt{105}-9>0$$
$$f(2)=16-32+16-9+2\sqrt{105}>0$$
Так как обы минимальных значения больше нуля, то сама функция меньше нуля быть не может, отсюда (1) не имеет решений, и ответом будет только промежутки с (2)
$$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$
Задание 4400
Найти все значения параметра a, при каждом из которых существует хотя бы одно x, удовлетворяющее системе уравнений: $$\left\{\begin{matrix}|x^{2}-5x+4|-9x^{2}-5x+4+10x|x|=0\\x^{2}-2(a-1)x+a(a-2)=0\end{matrix}\right.$$
1) $$|x^{2}-5x+4|-9x^{2}-5x+4+10x|x|=0$$
a) $$x<0$$
$$x^{2}-5x+4-9x^{2}-5x+4-10x^{2}=0$$; $$-18x^{2}-10x+8=0$$; $$9x^{2}+5x-4=0$$; $$D=25+144=169=13^{2}$$; $$x_{1}=\frac{-5+13}{18}=\frac{4}{9}$$ $$\notin$$ $$x<0$$; $$x_{2}=\frac{-5-13}{18}=-1$$
б) $$x\in[0;1]\cup[4;+\infty)$$
$$x^{2}-5x+4-9x^{2}-5x+4+10x^{2}=0$$; $$2x^{2}-10x+8=0$$; $$x^{2}-5x+4=0$$; $$x=1$$; $$x=4$$
в) $$x\in(1;4)$$
$$-x^{2}+5x-4-9x^{2}-5x+4+10x^{2}=0$$; $$0=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in(1;4)$$
Результат: $$x\in{-1}\cup[1;4]$$
2) $$x^{2}-2(a-1)x+a(a-2)=0$$; $$D=4(a^{2}-2a+1)-4a(a-2)=$$ $$4a^{2}-8a+4-4a^{2}+8a=4$$; $$x_{1}=\frac{2(a-1)+2}{2}=\frac{2a}{2}=a$$; $$x_{2}=\frac{2(a-1)-2}{2}=\frac{2a-4}{2}=a-2$$
1. $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=-1\\x_{2}=-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-1\\a-2=-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-1\\a=1\end{matrix}\right.$$
2. $$\left\{\begin{matrix}1\leq x_{1}\leq4\\1\leq x_{2}\leq4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1\leq a\leq4\\1\leq a-2\leq4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1\leq a\leq4\\3\leq a\leq6\end{matrix}\right.$$
Общим решением будет объединение: $$a\in{-1}\cup[1;6]$$
Задание 4823
Найдите все значения параметра а при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{7|y|}\\49y^{2}+x^{2}+4a=2x-1\end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.
Перепишем систему в виде $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\left | x-1 \right |}+\sqrt{7\left | y \right |}=1\\\left | x-1 \right |^{2}+(7\left | y \right |)^{2}=-4a\end{matrix}\right.$$
Пусть $$\sqrt{\left | x-1 \right |}=m\geq 0$$; $$\sqrt{7\left | y \right |}=n\geq 0$$
Тогда система примет вид : $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=-4a\end{matrix}\right.(*)$$. Если пара чисел $$(m_{0};n_{0})$$ является решением системы (*), то пара $$(n_{0}; m_{0})$$ также её решение :
1) Пусть $$m_{0}\neq n_{0}, m_{0}, n_{0}>0$$. Тогда $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=m_{0}^{2}\\7\left | y \right |=n_{0}^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=n_{0}^{2}\\7\left | y \right |=m_{0}^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.(**)$$. Каждая система совокупности имеет четыре решения, тогда данная система имеет 8 различных решений , что не удовлетворяют условию задачи .
2) Пусть одно из значений $$m_{0}$$ или $$n_{0}$$ равно нулю, тогда пары (0;1) и (1;0)-решения системы(*), -4a=1, откуда $$a=-\frac{1}{4}$$ . В этом случае совокупность (**) примет вид :
$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=0\\7\left | y \right |=1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=1\\7\left | y \right | =0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$, откуда получим 4 решения данной системы : $$(1; \frac{1}{7})$$, $$(1; -\frac{1}{7})$$, $$(2;0)$$, $$(0;0)$$
3) Пусть $$m_{1}=n_{0}$$, тогда $$\left\{\begin{matrix}m_{0}+m_{0}=1\\m_{0}^{4}+m_{0}^{4}=-4a\end{matrix}\right.$$., откуда
$$m_{0}=\frac{1}{2}$$, $$a=-\frac{1}{32}$$ и система (*) имеет одно решение $$(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$$. В Этом случае совокупность (**) примет вид :
$$\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=\frac{1}{4}\\7\left | y \right |=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$, откуда получим 4 решения данной системы: $$(1\frac{1}{4} ;\frac{1}{28})$$, $$(1\frac{1}{4}; -\frac{1}{28})$$, $$(\frac{3}{4}; \frac{1}{28})$$, $$(\frac{3}{4};-\frac{1}{28})$$.
Докажем, что при $$a=-\frac{1}{4}$$ и $$a=-\frac{1}{32}$$ других, кроме найденных решений, данная система не имеет .
1. При $$a=-\frac{1}{4}$$ система (*) имеет вид: $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=1\end{matrix}\right.$$. Если $$m\neq 0$$, $$n\neq 0$$, то $$m,n \in (0;1)$$ и $$\left\{\begin{matrix}m^{4}<m\\n^{4}<n\end{matrix}\right.$$
Тогда $$m^{4}+n^{4}<m+n$$, т.е. $$m^{4}+n^{4}<1$$, что противоречит второму уравнению системы . Следовательно, при $$a=-\frac{1}{4}$$ других решений системы нет и $$a=-\frac{1}{4}$$ удовлетворяет условию .
2. При $$a=-\frac{1}{32}$$ система (*) имеет вид : $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=\frac{1}{8}\end{matrix}\right.$$ . Пусть$$\left\{\begin{matrix}m=\frac{1}{2}+t\\n=\frac{1}{2}-t\end{matrix}\right.$$ , тогда $$\left\{\begin{matrix}m^{4}=(\frac{1}{2}+t)^{2}=\frac{1}{16}+4*\frac{1}{8}t+6*\frac{1}{4}t^{2}+4*\frac{1}{2}t^{3}+t^{4}\\n^{4}=(\frac{1}{2}-t)^{4}=\frac{1}{16}-4*\frac{1}{8}t+6*\frac{1}{4}t^{2}-4*\frac{1}{2}t^{3}+t^{4}\end{matrix}\right.$$. И $$m^{4}+n^{4}=\frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{4}$$. Имеем : $$\frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{2}=\frac{1}{8}$$, откуда $$t=0$$, $$m =n=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ других решений нет и $$a=-\frac{1}{32}$$ удовлетворяет условию .
Задание 5061
При каких значениях параметра система уравнений $$\left\{\begin{matrix}(x^{2}+(y-7)^{2}-9)((x-4)^{2}+(y-3)^{2}-1)=0\\ax-y-4a-2=0\end{matrix}\right.$$ имеет четыре решения?
$$\left\{\begin{matrix}(x^{2}+(y-7)^{2}-9)((x-4)^{2}+(y-3)^{2}-1)=0\\ax-y-4a-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+(y-7)^{2}=9(*) & \\(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=1(**) & \\y=a(x-4)-2\end{matrix}\right.$$
$$(*) x^{2}+(y-7)^{2}=9$$ - окружность с центром $$O_{1}(0;7)$$ и радиусом $$R=3$$
$$(**)(x-4)^{2}+(y-3)^{2}=1$$ – окружность с центром $$O_{2}(4,3)$$ и радиусом $$R=1$$
$$y=a(x-4)-2$$ - пучок прямых ,проходящих через точку $$A(4,-2)$$
Пусть $$B_{1}C$$ - точки касания прямой $$y=a(x-4)-2$$ с окружностью (**) с , а, $$D_{1}E$$ - с окружностью (*)
Система будет иметь 4 решения , если прямая будет пересекать окружности в 4 точках. На рисунках слева оранжевым цветом выделены пограничные случаи расположения прямой в таком случае (4 решения от момента касания в точке D до момента касания в точке C при повороте прямой против часовой стрелки ,не включая данные значения)
Найдем соответствующие значения параметра a .Воспользуемся формулой нахождения расстояния от точки с координатами $$(x_{0},y_{0})$$ до прямой $$ax+by+c=0$$: $$p=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+c \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$
Расстояние от точки $$O_{1}$$ до прямой $$y=a(x-4)-2$$ равно $$\frac{\left | -7-4a-2 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}=\frac{\sqrt{4a+9}}{\sqrt{a^{2}+1}}$$
С другой стороны , расстояние от точки $$O_{1}$$ до прямой $$y=a(x-4)-2$$ равно радиусу окружности (*) , откуда $$\frac{\left | 4a+9 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}=3\Rightarrow$$ $$(4a+9)^{2}=9(a^{2}+1)\Leftrightarrow$$ $$16a^{2}+72a+81=9a^{2}+9\Leftrightarrow $$$$7a^{2}+72a+72=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}a=-\frac{36+6\sqrt{22}}{7}\\a=-\frac{36-6\sqrt{22}}{7}\end{matrix}\right.$$
Поскольку касание происходит в точке D, то угловой коэффициент прямой в случае касания в точке D должен быть меньше, чем в случае касания в точке E, поэтому $$a=-\frac{36+6\sqrt{22}}{7}$$
Аналогичным образом находим значения параметра в случае касания с окружностью (**):
$$\frac{\left | 4a-3-4a-2 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{5}{\sqrt{a^{2}+1}}=1\Leftrightarrow$$ $$25=a^{2}+1\Leftrightarrow$$ $$a^{2}=24\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}a=2\sqrt{6}\\a=-2\sqrt{6}\end{matrix}\right.$$
Касание прямой с окружностью в точке C соответствует значению $$a=-2\sqrt{6}(a=2\sqrt{6}$$ - касание в точке B). Окончательно получим , что система имеет 4 решения при $$a_{1,2}=-\frac{36+6\sqrt{22}}{7};-2\sqrt{6}.$$
Задание 5245
Найдите все значения а, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-2ax+2ay\leq0\\x^{2}+y^{2}+6ax+8ay\leq1-10a\end{matrix}\right.$$ имеет ровно одно решение.
$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-2ax+2ay\leq 0 \\x^{2}+y2 +6ax+8ay\leq 1-10a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}+2ay+a^{2}-2a^{2}\leq 0 \\x^{2}+6ax+9a^{2}+y^{2}+8ay+16a^{2}-25a^{}\leq 1-10a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-a)^{2}+(y+a)^{2}\leq 2a^{2}(f(x)) \\(x+3a)^{2}+(y+4a)^{2}\leq 25a^{2}-10a+1(g(x)) \end{matrix}\right.$$
f(x)-окружность с центром (a;-a) и $$r=\sqrt{2}|a|$$
g(x)-окружность с центром (-3a;-4a) и $$r=|5a-1|$$??
Чтобы было одно решение, расстояние между центральным равно сумме радиусов(т.к. окружности касается)
$$\sqrt{(-3a-a)^{2}+(-4a-(-a))^{2}}=\left | 5a-1 \right |+\sqrt{2}\left | a \right |$$
$$\sqrt{25a^{2}}=\left | 5a-1 \right |+\sqrt{2}\left | a \right |$$
$$5|a|-\sqrt{2}|a|=|5a-1|$$
1) $$\left\{\begin{matrix}a\leq 0 \\-5a+\sqrt{2}a=-5a+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\leq 0 \\a=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$
2)$$\left\{\begin{matrix}a \in (0;0,2] \\5a-\sqrt{2}a=-5a+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$10a-\sqrt{2}a=1\Leftrightarrow$$$$a=\frac{1}{10-\sqrt{2}}$$
3) $$\left\{\begin{matrix}a>0,2 \\5a-\sqrt{2}a=5a-1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{2}a=1\Leftrightarrow$$ $$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Объединим полученные значения: $$\frac{1}{10-\sqrt{2}} ;\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Задание 6139
При каких значениях параметра a система $$\left\{\begin{matrix}y=2ax-2x^{2}+6a-4\\ y=\frac{3*3^{x^{2}}}{27^{a}}-\frac{3^{ax}}{3}\end{matrix}\right.$$ имеет не менее двух решений?
$$\left\{\begin{matrix}y=2ax-2x^{2}+60-4 & & \\y=\frac{3*3^{x^{2}}}{27^{a}}-\frac{3^{ax}}{3}& &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}y_{1}=2(-x^{2}+ax+3a-2) & & \\y_{2}=3^{x^{2}-3a+1}-3^{2x-1} & &\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим монотонность $$y_{2}$$:
$$3^{x^{2}-3a+1}-3^{ax-1}>0$$
$$3^{x^{2}-3a+1}>3^{ax-1}$$
$$x^{2}-3a+2>0$$
$$x^{2}-ax-3a+2>0$$
Пусть $$x^{2}-ax-3a+2=f$$. Тогда $$y_{1}=-2f$$. Получаем, если $$f>0$$,то $$y_{2}>0$$, но $$y_{1}<0$$ ,и наоборот . Тогда $$y_{1}=y_{2}$$ только при условии , что $$f=0$$.
$$x^{2}-ax-3a+2=0$$
$$D=a^{2}-4(2-3a)=a^{2}+12a-8>0$$
$$D=144+32=176$$
$$a_{1,2}=\frac{-12\pm \sqrt{176}}{2}=-6\pm \sqrt{44}=-6\pm 11$$, тогда
$$a\in (-\infty; -6;-\sqrt{11})\cup (-6; +\sqrt{11};+\infty )$$
Задание 6187
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+5x+y^{2}-y-|x-5y+5|=52\\ y-2=a(x-5)\end{matrix}\right.$$ имеет ровно два решения
$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+5x+y^{2}-y-\left | x-5y+5 \right |=52|(f)\\y-2=a(x-5)|(g)\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим варианты раскрытия модуля:
1) При $$x-5y+5\geq 0\Leftrightarrow y\leq \frac{x}{5}+5$$
$$f_{1}:x^{2}+5x+y^{2}-y-x+5y-5=52$$
$$x^{2}+4x+4-4+y^{2}+4y+4-4-5=52$$
$$(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=65$$-окружность с центром (-2 ;-2) и радиусом $$\sqrt{65}$$
2) При $$x-5y+5<0\Leftrightarrow y>\frac{x}{5}+5$$
$$f_{2}: x^{2}+5x+y^{2}-y+x-5y+5=52$$
$$x^{2}+6x+9-9+y^{2}-6y+9-9+5=52$$
$$(x+3)^{2}+(y-3)^{2}=65$$ - окружность с центром $$(-3;3)$$ и радиусом $$\sqrt{65}$$
При этом $$g: y=a(x-5)+2$$-прямая, проходящая через точку
Построим график обеих функций:
Чтобы прямая y=a(x-5)+2 имела 2 точки, то :
$$a \in (b_{1}; \frac{1}{5})$$, где $$b_{1}$$-коэффициент касательной $$y=b_{1}x+n_{1}(1)$$k и $$a \in (\frac{1}{5};b_{2})$$, где $$b_{2}$$- коэффициент касательной $$y=b_{2}x+n_{2}(2)$$(в обоих случаях касательная в точке (5;2))
1) Посмотрим радиус $$O_{2}A$$ . Задаем коэффициент k данной прямой $$f=\frac{4}{7}$$, при этом $$y=b_{1}x+n_{1}\perp O_{1}A\Rightarrow k*b_{1}=-1\Rightarrow b_{1}=-\frac{7}{4}$$
2) Аналогично $$O_{2}A$$: $$k=-\frac{1}{8}\Rightarrow b_{2}=8$$
В итоге получаем: $$a\in (-\frac{7}{4}; 8)$$
Задание 6234
Найти все значения параметра $$\alpha$$, $$\pi<\alpha<\pi$$ , $$\left\{\begin{matrix}(4-x^{2}-y^{2})(y^{2}-4x+28)=0 \\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\end{matrix}\right.$$ при которых система уравнений имеет ровно три решения.
$$\left\{\begin{matrix}(4-x^{2}-y^{2})(y^{2}-4x+28)=0 \\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=4\\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2 (1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}y^{2}-4x+8-0\\x \cos \alpha +y \sin \alpha =2 (2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим систему (1) :
$$x \cos \alpha +y \sin \alpha =2\Leftrightarrow y=\frac{-x \cos \alpha +2}{\sin \alpha }=-ctg \alpha *x+\frac{2}{\sin \alpha }$$. Построим данную прямую . Она смешена по Oy на $$\frac{2}{\sin \alpha }$$
Пусть $$\angle OAB=\alpha$$, тогда $$\angle BCO=90-\alpha$$ , и смежный с ним $$\alpha -90$$. Для прямой $$y=kx+b; k=tg \beta$$ ,где $$\beta$$-угол между прямой и Ox: $$tg(\alpha -90)=-ctg \alpha$$
Длина OB из $$\Delta ABO: OA*\sin \alpha =\frac{2}{\sin \alpha }*\sin\alpha =2$$ Т.е. независимо от $$\alpha$$ , длина OB всегда что составляет радиус окружности $$x^{2}+y^{2}=4$$. Т.е. $$y=-ctg \alpha *x+\frac{2}{\sin \alpha }$$ при всех $$\alpha$$ - касательная ,следовательно, одно решения есть.
Рассмотрим систему (2):она должна иметь ровно 2 решения :
$$\left\{\begin{matrix} y^{2}-4x+28=0 & & \\ x \cos \alpha +y \sin \alpha =2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix} y^{2}-4*\frac{2-y \sin \alpha }{\cos ^{2}}+28=0 & & \\ x=\frac{2-y\sin \alpha }{\cos x}& & \end{matrix}\right.$$
Учитываем ,что: $$\cos \alpha \neq 0\Leftrightarrow \alpha \neq \frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z$$
$$y^{2}-*\frac{4*(2-y \sin\alpha )}{\cos \alpha }+28=0$$
$$y^{2}\cos \alpha -8+4y \sin \alpha +28 \cos \alpha =0$$
Чтобы было два решения, дискриминант должен быть строго больше 0:
$$D=(4 \sin \alpha )^{2}-4 \cos \alpha (28 \cos \alpha -8)>0$$
$$16 \sin^{2}\alpha -16 \cos\alpha (7\cos\alpha -2)>0$$
$$\sin^{2}-7\cos^{2}\alpha +2\cos\alpha >0$$
$$1-\cos^{2}\alpha -7 \cos ^{2}\alpha +2 \cos \alpha >0$$
$$8 \cos^{2}-2 \cos \alpha -1<0$$
$$D=4+32=36$$
$$\cos \alpha =\frac{2+6}{16}=\frac{1}{2}$$ и $$\cos \alpha =\frac{2-6}{16}$$
Получаем: $$\left\{\begin{matrix}\cos \alpha >-\frac{1}{4} & & \\\cos \alpha <\frac{1}{2} & &\end{matrix}\right.$$. Учтем ,что $$\alpha \in (-\pi; \pi) \alpha \neq \frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$\alpha \in (-\pi +\arccos\frac{1}{4}; -\frac{\pi}{2})\cup (-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3})\cup (\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2})\cup (\frac{\pi}{2} ;\pi-\arccos \frac{1}{4})$$