ЕГЭ Профиль
Задание 1218
В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
Задание 1219
В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?
Задание 1220
Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние.
Задание 1221
Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?
Задание 1222
В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м3 воды в час. Вторая труба наливает в час на 3V м3 меньше, чем первая (0 < V < 10), а третья труба наливает в час на 10V м3 больше первой. Сначала первая и вторая трубы, работая вместе, наливают 30% бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают оставшиеся 0,7 бассейна. При каком значении V бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?
Задание 1223
Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта – по 30 руб., третьего сорта – по 20 руб. за килограмм. Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2-го сорта меньше массы яблок 3-го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1-го сорта меньше массы яблок 2-го сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?
Задание 1224
Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн. руб.соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.
Задание 1225
Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t3 часов в неделю, они производят t приборов.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
Задание 1226
У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Задание 1227
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
Задание 2948
В двух коробках лежат карандаши: в первой красные, во второй ‐ синие, причем, красных было меньше, чем синих. Сначала 40% карандашей из первой коробки переложили во вторую. Затем 20% карандашей, оказавшихся во второй коробке, переложили в первую, причем половину из переложенных карандашей составляли синие. После этого красных карандашей в первой коробке оказалось на 26 больше, чем во второй, а общее количество карандашей во второй коробке увеличилось по сравнению с первоначальным более, чем на 5%. Найдите общее количество синих карандашей.
Пусть в первой коробке было $$x$$ красных, а во второй $$y$$ синих. После первого перекладывания стало $$0,6x$$ и $$y+0,4x$$. После второго в первой коробке стало красных $$0,6x+0,1(y+0,4x)$$, во второй красных стало $$0,4x+0,1(y+0,4x)$$. Из условия получаем
$$0,6x+0,1(y+0,4x)=26+0,4x-0,1(y+0,4x)$$; $$x<y$$; $$0,8(y+0,4x)> 1,05y$$.
Из первого находим $$y+1,4x=130$$,$$ y=130-1,4x$$, откуда $$x$$ кратно 5 и не превосходит 90.
Кроме того $$y+0,4x$$ кратно 10, откуда $$x$$ кратно 10.
Из второго находим $$x<130-1,4x$$, откуда $$x\leqslant 54$$
Из последнего находим $$0,8(130-x)>1,05(130-1,4x)$$, $$0,67x>32,5, x\geqslant 49$$
Значит, $$x=50$$.
Тогда $$y=60$$ и все условия задачи выполнены.
Задание 3038
Баржу грузоподъемностью 180 тонн используют для перевозки контейнеров типов А и В. По условиям договора количество перевозимых контейнеров типа А должно составлять не более 75% количества перевозимых контейнеров типа В. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 3 тонны и 3 млн. руб., контейнера типа В – 7 тонн и 5 млн. руб. соответственно. Найдите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров, которые можно перевезти при данных условиях. Укажите число контейнеров типа А и число контейнеров типа В, которые нужно перевезти для получения наибольшей возможной суммарной стоимости.
Задание 3333
Мебельная фабрика производит книжные шкафы и серванты. На изготовление одного книжного шкафа расходуется 4/3 м2 древесно‐стружечной плиты, 4/3 м2 сосновой доски и 2/3 человеко‐часа рабочего времени. На изготовление одного серванта расходуется 2 м2 древесно‐стружечной плиты, 1,5 м2 сосновой доски и 2 человеко‐часа рабочего времени. Прибыль от реализации одного книжного шкафа составляет 500 руб., а серванта – 1200 руб. В течении одного месяца в распоряжении фабрики имеются: 180 м2 древесно‐стружечной плиты, 165 м2 сосновых досок и 160 человеко‐часов рабочего времени. Какова максимально ожидаемая месячная прибыль?
Задание 3380
В начале рабочего дня на некотором предприятии был подключен генератор А, мощность которого зависела от времени работы $$p_{A}(t)=\frac{20}{t+5}$$ кВт. Когда мощность упала в 2 раза, генератор заменили на более совершенный генератор В, мощность которого также зависела от врмеени работы $$p_{B}(t)=\frac{48}{t+8}$$ кВт. Сколько всего энергии (кДж) выработали генераторы в течение восьмичасового рабочего дня?
Задание 3864
В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко‐часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется у2 человеко‐часов труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? (Человеко‐час — единица учёта рабочего времени, соответствует часу работы одного человека, То есть 40 человеко‐часов формируют: 1 человек, работающий 40 часов; или 2 человека, работающие 20 часов; или 4 человека, работающие 10 часов; и т. д.)
Алюминий | Никель | |||
Раб. | кг | Раб. | кг | |
1 | $$x\cdot10$$ | $$2x$$ | $$(20-x)\cdot10$$ | $$2(20-x)$$ |
2 | $$y\cdot10$$ | $$\sqrt{10y}$$ | $$(20-y)\cdot10$$ | $$\sqrt{(20-y)10}$$ |
Всего | $$2x+\sqrt{10y}$$ | $$2(20-x)+\sqrt{(20-y)10}$$ |
$$f=2(2x+\sqrt{10y})$$ - функция массы сплава
$$2x+\sqrt{10y}=2(20-x)+\sqrt{(20-y)10}$$ - т.к. по 1 кг тог и другого
$$2x+2x=40+\sqrt{(20-y)10}-\sqrt{10y}$$
$$x=10+\frac{\sqrt{10(20-y)}-\sqrt{10y}}{4}$$
$$x=20+\frac{\sqrt{200-10y}-\sqrt{10y}+2\sqrt{10y}}{2}$$
$$x=20+\frac{\sqrt{200-10y}+\sqrt{10y}}{2}$$
$$\frac{\sqrt{200-10y}+\sqrt{10y}}{2}=g$$
$$g'=\frac{-10}{2\sqrt{200-10y}}+\frac{10}{2\sqrt{10y}}$$
$$20\sqrt{10y}=20\sqrt{200-10y}$$
$$10y=200-10y$$
$$20y=200$$
$$y=10$$
$$f=20(20+\frac{\sqrt{200-100}+\sqrt{100}}{2})=$$
$$=2(20+\frac{10+10}{2})=2\cdot30=60$$