Расстояние от точки до прямой и до плоскости

В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD сторона основания АВ равна 16, а высота пирамиды равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM=DN=4 и АК=3.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Точка Р - середина ВС, на ребре AS отмечена точка N, причем PN перпендикулярна AS.

а) Доказать, что $${\sin \angle ASO\ }=\frac{NO}{PS}$$

б) Найдите расстояние от точки О до плоскости SBC, если $$AB=12\sqrt{3},\ {\sin \angle ASO\ }=\frac{3}{\sqrt{13}}$$

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 4. Точка N – середина отрезка АС.

В правильной четырехугольной пирамиде плоскость $$\alpha$$, проведенная через сторону основания, делит двухгранный угол при основании пирамиды и боковую поверхность пирамиды пополам.

В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобедренная трапеция KLMN, описанная около окружности и такая, что KN=LM=4, MN>KL и угол между прямыми KN и LM равен 600. Две противоположные грани этой пирамиды перпендикулярны основанию и SM=12.

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка М – середина стороны ВС.

а) Докажите, что прямая А₁С параллельна плоскости, проходящей через точки А, М и В₁

б) Найдите расстояние от прямой А₁С до плоскости АМВ₁, если параллелепипед прямоугольный и АВ=5, AD=4, AA₁=2.

Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ABC со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что FK=FN=10. Через точки K и N проведена плоскость $$\alpha$$, перпендикулярная плоскости ABC.

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскость основания ABC.

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ высота равна 1, а сторона основания равна $$\sqrt{2}$$. Точка M — середина ребра AA₁. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA₁C₁.

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, сторона которого равна $$4\sqrt{3}$$, а угол ВАD равен 60°. Найдите расстояние от точки А до прямой C₁D₁, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки B до плоскости DEA₁.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

Длины ребер AB, AA₁ и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно 12, 16 и 15. Найдите расстояние от вершины A₁ до прямой BD₁.

Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны $$5\sqrt{2}$$. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен $$\sqrt{2}$$, L — середина ребра MB. Найдите высоту данной пирамиды.

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро $$SA=\sqrt{5}$$, сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM, где M — середина ребра SC.

Отрезок AC ― диаметр основания конуса, отрезок AP ― образующая этого конуса и AP = AC . Хорда основания BC составляет с прямой AC угол 60°. Через AP проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой BC. Найдите расстояние от центра основания конуса O до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка BC₁ до плоскости AB₁D₁.

В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого угол C равен 90°, угол A равен 30°, AC=$$10\sqrt{3}$$. Диагональ боковой грани B₁C составляет угол 30° с плоскостью AA₁B₁. Найдите высоту призмы.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ высота равна 2, сторона основания равна 1. Найдите расстояние от точки B₁ до прямой AC₁.

В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и середину E ребра CD.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите расстояние от точки C до прямой SA.

Ребро основания правильной треугольной призмы LMNL₁M₁N₁ равно её высоте и равно $$2\sqrt{5}$$. Найдите расстояние от точки L₁ до плоскости LM₁T, где T — середина ребра L₁N₁.

В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной $$2\sqrt{10}$$ высота призмы равна $$2\sqrt{5}$$. Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости BCM, где M — середина ребра A₁C₁.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A₁BT, где T— середина ребра AD.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром $$2\sqrt{2}$$. Найдите расстояние от середины ребра B₁C₁ до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер AD и A₁B₁ соответственно.

Основанием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, у которого AB = 10 BD = 12. Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани A₁B₁C₁D₁ до плоскости BDC₁.

Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Боковое ребро пирамиды равно $$\sqrt{43}$$ высота равна $$\sqrt{31}$$. Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой MT, где точки M и T — середины ребер AC и AD соответственно.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки C до прямой BD₁.