ЕГЭ (профиль) / (C1) Уравнения

$$ \sqrt{1-\sin ^{2}x}=\sin x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{1-\sin ^{2}x}\geq 0\\ \sin x\geq 0\\\ 1-\sin ^{2}x=\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-\sin ^{2}x\geq 0\\ \sin x\geq 0\\\ 1-\sin ^{2}x=\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin ^2 x\leq 1\\ \sin x\geq 0\\\ 1=2\sin ^{2} x\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sin ^{2}x\leq 1\\ \sin x\geq 0\\\ \sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\ x=\frac{\pi}{4}+2\pi n , n\in Z\\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n n\in Z\end{matrix}\right.$$

a) $$-\sqrt{2}*\sin(-\frac{5\pi }{2}+x)*\sin x=\cos x$$

Воспользуемся формулой привидения:

$$\sin (-\frac{5\pi }{2}+x)=-\cos x$$

$$-\sqrt{2}(-\cos x))*\sin x -\cos x =0$$

$$\sqrt{2}*\cos x *\sin x -\cos x=0$$

$$\cos x (\sqrt{2}*\sin x -1 )=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\\sqrt{2}*\sin x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{2}+\pi \kappa ,\kappa \in Z\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{2}+\pi \kappa , \kappa \in Z\\x=(-1) ^{n}*\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.$$

b) Видим , что на промежутках есть корень $$\frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$$ Найдем его:

$$5\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{19 \pi }{4}$$

Так же есть корни $$\frac{ \pi }{2}+\pi n , n \in Z$$. Найдем их: $$\frac{9\pi }{2}; 5\pi +\frac{\pi }{2}=5,5\pi$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

a) $$\frac{2}{\cos(\pi-x)}-\tan^{2}x=1$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos(\pi -x)\neq0\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k(k\in Z)\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\cos x\neq0\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k(k\in Z)\end{matrix}\right.$$ $$\frac{2}{-\cos x}=1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$$ $$\frac{1}{\cos x}=y^{2}$$ $$-2y=y^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+2y=0$$ $$y(y+2)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}y=0\\y=-2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\cos x}=0\\\frac{1}{\cos x}=-2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow\cos x=-\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k(k\in Z)$$

б)

$$-3\pi +\frac{\pi}{3}=-\frac{8\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\sin (2x+\frac{\pi}{2})=\cos(x+\frac{\pi}{2})+\sin(x+\frac{\pi}{2})$$ [$$-\frac{3\pi}{2}; 0$$] $$\cos 2x=-\sin x+\cos x$$ $$\cos ^{2}x-\sin^{2} x+\sin x-\cos x=0$$ $$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-(\cos x-\sin x)=0$$ $$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x-1)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\sin x\\\cos x+\sin x-1=0\end{matrix}\right.$$ $$\cos x=1-2\sin ^{2}\frac{x}{2}$$ $$\left\{\begin{matrix}1=\tan x\\1-2\sin^{2}\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-1=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n (n\in Z)\\2\sin\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2})=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\\sin\frac{x}{2}=0\\\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\\frac{x}{2}=\pi n\\\tan\frac{x}{2}=1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\x=2\pi n(n\in Z)\\\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\x=2\pi n(n\in Z)\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi n(n\in Z)\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$18^{x}-9^{x+1}-2^{x+2}+36=0$$ $$18^{x}-9\cdot9^{x}-4\cdot2^{x}+36=0$$ $$9^{x}\cdot(2^{x}-9)-4\cdot(2^{x}-9)=0$$ $$(2^{x}-9)\cdot(9^{x}-4)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\log_{2}9\in [2;4]\\x=\log_{9}4\notin [2;4]\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(2\sin^{2}x-3\sin x+1)\sqrt{\tan x}=0$$ $$\tan x\geq 0$$ $$\Rightarrow x\in [\pi n; \frac{\pi}{2}+\pi n]$$ $$n\in Z $$ $$\left\{\begin{matrix}(2\sin^{2}x-3\sin x+1)=0\\\tan x=0\end{matrix}\right.$$ $$x=\pi k, k\in Z$$ $$D=9-8=1$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x=\frac{3+1}{4}=1\\\sin x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\\x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\end{matrix}\right.$$ 1 и 2 $$\notin$$ ОДЗ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\cos x+\frac{1}{\cos x}+\cos^{2}x+\frac{1}{\cos^{2}x}-1=\frac{3}{4}$$

$$\cos x+\frac{1}{\cos x}+\cos^{2}x+\frac{1}{\cos^{2}x}=\frac{7}{4}$$

Пусть $$\cos x+\frac{1}{\cos x}=y$$

$$y^{2}=\cos^{2}x+2+\frac{1}{\cos^{2}x}$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\cos^{2}x+\frac{1}{\cos^{2}x}=y^{2}-2$$

$$y+y^{2}-2-\frac{7}{4}=0$$

$$y^{2}+y-\frac{15}{4}=0$$

$$D=1+15=16$$

$$y_{1}=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$$

$$y_{1}=\frac{-1-4}{2}=-\frac{5}{2}$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x+\frac{1}{\cos x}=\frac{3}{2}\\\cos x+\frac{1}{\cos x}=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\cos^{2}x+2-3\cos x=0\\2\cos^{2}x+2-5\cos x=0\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}D<0\Rightarrow\varnothing\\D=25-16=9\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2}\\\cos x=\frac{-5-3}{4}=-2\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in Z\\\varnothing \end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\log_{2}\sin x\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x>0\\\cos^{2}x>0\\\sin x\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x\in(2\pi n;\pi+2\pi n)\\x\neq\frac{\pi}{2}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\frac{1}{\log_{\sin x}2}\cdot\log_{\sin x}\cos^{2}x=-1$$ $$\frac{\log_{\sin x}\cos^{2}x}{\log_{\sin x}2}=-1$$ $$\log_{2}\cos^{2}x=-1$$ $$\cos^{2}x=\frac{1}{2}$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n\\x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.$$ $$n\in Z$$ С учетом ОДЗ: $$x_{1}=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$ $$x_{2}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$ б) $$4\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{17\pi}{4}$$ $$5\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{19\pi}{4}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$3\tan x-4\neq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\tan x\neq\frac{4}{3}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq\arctan\frac{4}{3}+\pi n$$, $$n\in Z$$ Если $$\tan x\neq\frac{4}{3}$$, то $$\sin x\neq\frac{4}{5}$$; $$\cos x\neq\frac{3}{5}$$ или $$\sin x\neq-\frac{4}{5}$$; $$\cos x\neq-\frac{3}{5}$$ $$25\sin2x-2=0$$ $$\sin2x=\frac{24}{25}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\arcsin\frac{24}{25}}{2}+\pi n\\x=\frac{\pi}{2}-\frac{\arcsin\frac{24}{25}}{2}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$n\in Z$$ $$\sin2x=2\sin x\cos x=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$$ Имеем совпадение, нужно сравнивать с ОДЗ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\cos3x=\sqrt{3}\sin4x+\cos5x$$ $$\cos3x-\cos5x=\sqrt{3}\sin4x$$ $$2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{5x-3x}{2}-\sqrt{3}\sin4x=0$$ $$2\sin4x\cdot\sin x-\sqrt{3}\sin4x=0$$ $$\sin4x(2\sin x-\sqrt{3})=0$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin4x=0\\2\sin x=\sqrt{3}\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}4x=\pi n,n\in Z\\x=\frac{\pi}{3}+2\pi k\\x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi n}{4},n\in Z\\x=(-1)^{n}\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

a) $$8^{x}+3=3\cdot4^{x}+2^{x}$$

$$2^{3x}-3\cdot2^{2x}-2^{x}+3=0$$

Пусть $$2^{x}=y>0$$

$$y^{3}-3y^{2}-y+3=0$$

$$y(y^{2}-1)-3(y^{2}-1)=0$$

$$(y^{2}-1)(y-3)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}y^{2}=1\\y=3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}y=1\\y=-1\\y=3\end{matrix}\right.$$

1) $$2^{x}=1$$

$$x=0$$

2) $$2^{x}=-1$$ - нет решений

3) $$2^{x}=3$$

$$x=\log_{2}3$$

б) Сравним: $$\log_{2}3$$ и $$\frac{3}{2}$$

$$\frac{3}{2}=\log_{2}2^{\frac{3}{2}}=\log_{2}\sqrt{8}$$

$$\log_{2}3=\log_{2}\sqrt{9}$$

$$\log_{2}\sqrt{9}>\log_{2}\sqrt{8}$$ $$\Rightarrow$$

$$\log_{2}3\notin[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$7\sin(2x-\frac{5\pi}{2})+9\cos x+1=0$$

$$-7\sin(\frac{5\pi-2x}{2})+9\cos x+1=0$$

$$-7\cos2x+9\cos x+1=0$$

$$-7(2\cos^{2}x-1)+9\cos x+1=0$$

$$-14\cos^{2}x+7+9\cos x+1=0$$

$$14\cos^{2}x-9\cos x-8=0$$

$$D=81+448=529=23^{2}$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{9+23}{2\cdot14}=\frac{16}{14}\\\cos x=\frac{9-23}{2\cdot14}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\varnothing;|\cos x|\leq1\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$

б) $$-\pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{4\pi}{3}$$

$$-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}$$

$$\sin 8\pi x+1=\cos 4\pi x+\sqrt{2}* \cos (4\pi x -\sin \frac{\pi}{4})$$

Воспользуемся формулой косинуса разности: $$\cos (4 \pi x-\frac{\pi}{4})=$$$$\cos 4\pi x* \cos \frac{\pi}{4}+ \sin 4 \pi x * \sin\frac{\pi}{4}=$$$$\frac{\sqrt{2}}{2}* \cos 4 \pi x +\frac{\sqrt{2}}{2}* \sin 4 \pi x$$

$$\sin 8 \pi x+1= \cos 4 \pi x +\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}* \cos 4 \pi x+\frac{\sqrt{2}}{2}* \sin 4 \pi x)$$

$$\sin (2* 4 \pi x)+1=\cos 4 \pi x+ \cos 4 \pi x+\sin 4 \pi x$$

$$2 \sin 4 \pi x* \cos 4 \pi x +1-2 \cos 4 \pi x- \sin 4 \pi x=0$$

$$2 \cos 4 \pi x(\sin 4 \pi x-1)+(1-\sin 4 \pi x)=0$$

$$(\sin 4\pi x-1)(2 \cos 4 \pi x-1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin 4 \pi x-1 =0\\2 \cos 4 \pi x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin 4 \pi x=1\\\cos 4 \pi x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}4 \pi x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n\in Z\\4 \pi x=\frac{\pi}{3}+2 \pi n,\\4 \pi x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi x, \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{1}{8} +\frac{n}{2}\\x_{2}=\frac{1}{12} +\frac{n}{2}\\x_{3}=-\frac{1}{12} +\frac{n}{2}, n\in Z\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим значение $$\sqrt{7}: \sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}\Rightarrow 2<\sqrt{7}<3$$

рассмотрим корни: $$x_{1}: 2-\sqrt{7}<\frac{1}{8}+\frac{n}{2}<\sqrt{7}-2$$

$$\frac{15}{8}-\sqrt{7}< \frac{n}{2}<\sqrt{7}-\frac{17}{8}$$

$$\frac{15}{4}-2\sqrt{7}<n< 2\sqrt{7}-\frac{17}{4}$$

Тогда n=-1 ;0; 1; следовательно $$x_{1}=-\frac{3}{8};\frac{1}{8};\frac{5}{8}$$

Аналогично рассуждая для $$x_{2}=-\frac{5}{12};\frac{1}{12};\frac{7}{12};$$

И для $$x_{3}=-\frac{7}{12};-\frac{1}{12};\frac{5}{12};$$

a) $$\cos (\frac{\pi }{2}+2 x)=\sqrt{2} \sin x$$
$$-\sin 2x-\sqrt{2} \sin x=0$$
$$-2 \sin x* \cos x-\sqrt{2} \sin x=0$$
$$- \sin x(2 \cos x+\sqrt{2})=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\2 \cos x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=\pi n\\x=\pm \frac{\pi}{4}+2 \pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$

b)1) $$-5 \pi; -4 \pi$$
2) $$-5 \pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{19 \pi}{4}$$

$$\cos 2x-\sqrt{2} \cos (\frac{3 \pi}{2}+x)-1=0$$

Воспользуемся формулой двойного аргумента и привидения:

$$\cos 2x=1-2 \sin ^{2}x$$ 

$$\cos (\frac{3 \pi}{2}+x)=\sin x$$

Получим:

$$1-2 \sin ^{2}x -\sqrt{2} \sin x=0$$

$$-2 \sin^{2}x-\sqrt{2} \sin x=0$$

$$\sin x(2 \sin x+\sqrt{2})=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{2}+2 \pi n , n \in Z\\x_{2}=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n\\x_{3}=-\frac{3\pi}{4}+2 \pi n\end{matrix}\right.$$

c) на данном промежутке встречается корень: $$x_{1}: \frac{3 \pi}{2}$$ и $$x_{2} :2\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{7 \pi}{4}$$

А)   Воспльзуемся основным тригонометрическим тождеством: $$1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$$

$$8(1-\cos^{2}x)+2\sqrt{3} \cos x+1=0$$

     Замена: $$\cos x=y; |y|\leq 0$$

$$8-8y^{2}+2\sqrt{3}y+1=0\Leftrightarrow$$$$-8y^{2}+2\sqrt{3}y+9=0 |*(-1)\Leftrightarrow$$$$8y^{2}-2\sqrt{3}y-9=0$$

$$D=(2\sqrt{3})^{2}+4*8*9=12+288=300$$

$$y_{1}=\frac{2\sqrt{3}+10\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$ - не подходит ($$|\cos x| \leq 1)$$.

$$y_{2}=\frac{2\sqrt{3}-10\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x_{1,2}=\pm \frac{5 \pi}{6 }+2 \pi n, n\in Z$$

Б)   На данном промежутке встречаются оба корня:

$$x_{2}: -3 \pi +\frac{\pi}{6}=-\frac{17 \pi}{6}$$

$$x_{1} :-3 \pi -\frac{\pi}{6}=-\frac{19 \pi}{6}$$

А)   Воспользуемся формулой двойного аргумента: $$\cos 2x =1-2 \sin^{2}x$$

$$2 \sin^{4}x +3(1-2 \sin^{2}x)+1=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin^{4}x+3-6 \sin^{2}x+1=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin^{4}x -6 \sin^{2}x+4=0 |:2\Leftrightarrow$$$$\sin ^{4}x-3 \sin^{2}x+2=0.$$

     Пусть $$\sin^{2}x=y, D:|y|\leq 1\Rightarrow$$$$y^{2}-3y+2=0$$

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=3 \\y_{1}*y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=2 \notin D\\y_{2}=1\end{matrix}\right.$$

     $$\sin^{2}x =1\Leftrightarrow$$  $$\sin x=\pm 1\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z.$$

Б)   Отберем корни, принадлежащие данному промежутку:

$$\frac{3 \pi}{2}; \frac{5 \pi}{2}$$.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{2-3\sin x-\cos2x}{6x^{2}-\pi x-\pi^{2}}=0$$

ОДЗ: $$6x^{2}-\pi x-\pi^{2}\neq0$$

$$D=\pi^{2}+24\pi^{2}=25\pi^{2}$$

$$x_{1}\neq\frac{\pi+5\pi}{12}=\frac{\pi}{2}$$

$$x_{2}\neq\frac{\pi-5\pi}{12}=-\frac{\pi}{3}$$

$$2-3\sin x-\cos2x=0$$

$$2-3\sin x-1+2\sin^{2}x=0$$

$$D=9-8=1$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=\frac{3+1}{4}=1\\\sin x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

$$\sin x=1$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z,n\neq0$$

$$sin x=\frac{1}{2}$$

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$

$$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$

А)   Подкоренное выражение неотрицательно , следовательно: $$D: -\cos x\geq 0\Leftrightarrow \cos x\leq 0$$

С другой стороны $$\sqrt{f}\geq 0\Rightarrow$$ $$\sqrt{-\cos x}+1>0$$ при всех возможных x. Тогда остается:

$$2 \sin x-1=0\Leftrightarrow$$ $$\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{6}+2 \pi n \notin D\\x_{2}=\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем значение на заданном промежутке:

$$x_{2}: 3 \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{17}{6}$$

A)   Воспользуемся формулой приведение и формулой двойного аргумента:

$$2\sqrt{3} \sin^{2}x-2 \sin x \cos x=0$$

$$2 \sin x(\sqrt{3}\sin x- \cos x)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sqrt{3} \sin x-\cos x=0\left.\begin{matrix}: \cos x\end{matrix}\right|\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n , n\in Z\\\sqrt{3}tg x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\tg x=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi n, n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{6}+\pi k,k \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на заданом промежутке:

$$x_{1} :2\pi ;3\pi$$

$$x_{2}:2\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{13 \pi}{6}.$$

А)   Воспользуемся формулой двойного аргумента:

$$\cos^{2}x-\frac{1}{2}*2\sin x\cos x+\cos x-\sin x=0$$

$$\cos x(\cos x-\sin x)+(\cos x-\sin x)=0$$

$$(\cos x-\sin x)(\cos x+1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x+1=0\\\cos x-\sin x=0\left.\begin{matrix}\end{matrix}\right| : \cos x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=-1\\1-tg x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi+2\pi n, n \in Z\\tg x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi+2 \pi n , n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на заданном промежутке :

$$x_{1} :\pi$$

$$x_{2} :\pi +\frac{\pi}{4}=\frac{5 \pi}{4}$$

А)   Воспользуемся формулой двойного аргумента:

$$2 \sin^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin x(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x-\sqrt{3}\cos x=0\left.\begin{matrix}\end{matrix}\right|:\cos x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\tg x-\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi n , n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на заданном промежутке:

$$x_{1:} 2\pi ;3\pi; x_{2} :2 \pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}.$$

А)   Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

$$2\sin x\cos x+\sqrt{2}\sin x-2 \cos x-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow$$$$\sin x(2 \cos x+\sqrt{2})-(2 \cos x+\sqrt{2})=0\Leftrightarrow$$$$(2\cos x+\sqrt{2})(\sin x-1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}2\cos x+\sqrt{2}=0\\\sin x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos \sin x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1,2}=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n , n \in Z\\x_{3}=\frac{\pi}{4}+2\pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на данном промежутке:

$$x_{1}:$$ нет  

$$x_{2} :\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$$

$$x_{3}=\frac{5\pi}{2}$$

А)   Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:

$$2 \cos^{2}x-1-3 \cos x+2=0$$

     Замена: $$y=\cos x\Rightarrow \left | y \right |\leq 1$$

$$2 y^{2}-3y+1=0$$

$$D=9-8=1$$

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{3+1}{4}=1\\y_{2}=\frac{3+1}{4}=0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2 \pi n\\x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi k,n,k\in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни на промежутке: $$[-4 \pi -\frac{5\pi}{2}]$$

Для корня $$2\pi k: -4\pi$$

Для корня $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ :нет

Для корня $$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$-4 \pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{11\pi}{3}$$.

А)   Сгруппируем слагаемые:

$$\cos^{2} x(2 \cos x-1)+(2\cos x-1)=0$$

$$(2 \cos x-1)(\cos^{2}x+1)=0$$

     Т.к. $$\cos^{2}x\geq 0$$ при любом x,тогда $$\cos ^{2}+1>0$$, при любом x.

$$2\cos x-1=0 \Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n\in Z$$

Б)   На заданном промежутке корни $$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$2\pi +\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$$

$$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: нет

     A) Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:

$$2 \cos ^{2}x-1-\cos ^{2}x+0,25=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{2}x-0,75=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{2}x=\frac{3}{4}$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n\\x=\pm \frac{5\pi}{6}+2 \pi k, k ,n \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) Найдем корни на заданном промежутке :

$$-\frac{5 \pi}{6}+2\pi n$$ : $$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$: $$2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$$

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n 2$$:$$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}$$

$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$: нет

   А) Воспользуемся формулами синуса двойного аргумента и основным тригонометрическим тождеством:

$$2\cos^{2}x+2 *2\sin x \cos x-3(\sin^{2}x+\cos^{2}x)=0\Leftrightarrow$$$$-\cos^{2}x+4 \sin x\cos x-3 \sin^{2}x=0| :(-\cos^{2})x\Leftrightarrow$$$$3tg^{2}x-4 tg x+1=0$$

$$D=16-12=4$$

$$\left\{\begin{matrix}tg x=\frac{4+2}{6} =1\\tg x=\frac{4-2}{6} =\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n ,n\in Z\\x=arctg \frac{1}{3}+\pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) Найдем корни на заданном промежутке :

$$arctg \frac{1}{3}+\pi k$$: $$-\pi+arctg \frac{1}{3 }$$

$$\frac{\pi}{4}+\pi n$$: $$-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi }{4}$$

   А) Уберем скобки, использую формулу сокращенного умножения:

$$\sin x+\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}=0$$

Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента: 

$$\sin x+\cos x=0|:\cos x \neq 0\Leftrightarrow$$$$tg x+1=0$$$$tgx=-1\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z$$

   Б) $$2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$$

   А) Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

$$2 \sin x \cos x-2\sqrt{3}\cos^{2}x-4 \sin x+4\sqrt{3} \cos x=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin x(\cos x-2)-2\sqrt{3}\cos x(\cos x-2)=0\Leftrightarrow$$$$(2 \sin x-2\sqrt{3} \cos x)(\cos x-2)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}2 \sin x-2\sqrt{3}\cos x=0\\\cos x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}tg x-\sqrt{3} =0\\ \varnothing , \left | \cos x \right |\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$tg x=\sqrt{3}\Leftrightarrow x =\frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z$$

   Б) $$\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

$$2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$$

   А) Воспользуемся формулами косинуса двойного агрумента и приведения:

$$\cos 2*\frac{x}{2}=\cos 2x\Leftrightarrow$$$$\cos x=2 \cos ^{2}x -1=0\Leftrightarrow$$$$2 \cos ^{2}x =\cos x-1=0$$

$$D=1+8=9$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{1+3}{4} =1\\\cos x=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2 \pi n, n \in Z\\x=\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) $$2 \pi n$$: $$2\pi$$

$$- \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ :$$\pi + \frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

   А) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$$\sqrt{2}\sin x(\sin ^{2}x -1)+(1-\sin^{2}x)=0\Leftrightarrow$$$$(\sin^{2}-1)(\sqrt{2}\sin x-1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin^{2}x -1=0\\\sqrt{2}\sin x-1 =0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin^{2}x=1\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x=\pm 1\\\sin x=(-1)^{n}\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{2}+\pi k,k \in Z\\x_{2}=(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi n,n \in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) $$x_{1}:-\frac{5 \pi}{2}; -\frac{3 \pi}{2}$$

$$x_{2}:- 2\pi +\frac{\pi}{4}=-\frac{7\pi}{4}; -\pi- \frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{4}$$

   А) $$4 \sin ^{3}x=3 \cos(x-\frac{\pi}{2})\Leftrightarrow$$$$4 \sin ^{3}x=3 \cos(\frac{\pi}{2}-x)\Leftrightarrow$$$$4 \sin^{3}x=3 \sin x\Leftrightarrow$$$$4 \sin^{3}x-3 \sin x=0\Leftrightarrow$$$$\sin x(4 \sin^{2}x-3)=0$$

$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\4 \sin^{2}x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n,n \in Z\\\sin^{2}x=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n , n \in Z\\\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=\pi n, n\in Z\\x_{2}=(-1)^{n}\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z\\x_{3}=(-1)^{m+1}+\pi m,m \in Z\end{matrix}\right.$$

   Б) $$x_{1}: 4\pi$$

$$x_{2}:4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}$$

$$x_{3}:4 \pi -\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}$$

     А) $$tg^{2}x+(1+\sqrt{3})tgx+\sqrt{3}=0$$

$$D=(1+\sqrt{3})^{2}-4\sqrt{3}=1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}+3=(1-\sqrt{3})^{2}$$

$$\left[\begin{matrix}tg x=\frac{-1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1}{2}=-1\\tgx=\frac{-1-\sqrt{3}-\sqrt{3}+1}{2}=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=-\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\\x_{2}=-\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z \end{matrix}\right.$$

   Б) $$x_{1}$$: $$3\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{11\pi}{4};$$$$4\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{15\pi}{4}$$

$$x_{2}$$:$$3\pi-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi}{3};$$ $$4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}$$

   А) Так как слева модуль, то ОДЗ (D): $$\sin 2x\geq 0$$

Возведем обе части в квадрат:

$$(\left | \cos x+\sin x \right |)^{2}=(\sqrt{2}\sin 2x)^{2}$$

$$\cos^{2}x+2\sin x \cos x+\sin^{2}x=2 \sin ^{2}2x$$

$$1+\sin 2x -2 \sin^{2}x=0$$

$$D=1+8-9$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin 2x =\frac{-1+3}{-4} =-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{-1-3}{-4}=1\end{matrix}\right.$$

$$\sin 2x=-\frac{1}{2} \notin D$$

$$\sin 2x=1\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k,k\in Z\Leftrightarrow$$$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in Z$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

a) $$\cos x\cos\frac{\pi}{3}-\sin x\sin\frac{\pi}{3}+\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}-\cos2x=1$$; $$\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x -2\cos^{2}x+1-1=0$$; $$\cos x-2\cos^{2}x=0$$; $$\cos x(1-2\cos x)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\\cos x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$; $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z\\x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$ 

б) Все 4 корня попадают $$-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}$$;$$\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

a) $$4\cdot(\sin4x-\sin2x)=\sin x\cdot(4\cos^{2}3x+3)$$; $$8\sin\frac{4x-2x}{2}\cdot\cos\frac{4x+2x}{2}-\sin x(4\cos^{2}3x+3)=0$$; $$8\sin x\cdot\cos3x-\sin x(4\cos^{2}3x+3)=0$$; $$\sin x(8\cos3x-4\cos^{2}3x-3)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\sin x=0(1)\\4\cos^{2}3x-8\cos3x+3=0(2)\end{matrix}\right.$$

1) $$\sin x=0$$; $$x=\pi n,n\in Z$$

2) $$\cos3x=t$$; $$4t^{2}-8t+3=0$$; $$D=64-48=16$$; $$t_{1}=\frac{8+4}{4}=\frac{3}{2}$$; $$t_{2}=\frac{8-4}{4}=\frac{1}{2}$$;

$$\cos x=\frac{3}{2}$$ - решений нет ($$|\cos3x\leq1|)$$; $$\cos3x=\frac{1}{2}$$; $$3x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z$$; $$x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3},k\in Z$$;

б) $$0\leq\pi n\leq\frac{3\pi}{2}$$; $$0\leq n\leq\frac{3}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$n=0;1$$

2) $$x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3},k\in Z$$; $$0\leq\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\leq\frac{3\pi}{2}$$; $$-\frac{\pi}{9}\leq\frac{2\pi k}{3}\leq\frac{25\pi}{18}$$; $$-\frac{1}{6}\leq k\leq\frac{75}{36}$$; $$\Rightarrow$$ $$k=0;1;2$$

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot0=\frac{\pi}{9}$$; $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot2=\frac{13\pi}{9}$$; $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot1=\frac{7\pi}{9}$$; $$0\leq-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\leq\frac{3\pi}{2}$$; $$\frac{\pi}{9}\leq\frac{2\pi k}{3}\leq\frac{29\pi}{18}$$; $$\frac{1}{9}\leq k\leq\frac{87}{36}$$; $$\Rightarrow$$ $$k=1;2$$ $$\Rightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot1=\frac{5\pi}{9}$$; $$x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot2=\frac{11\pi}{9}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

a)$$\sin ^{2}x+3x^{2}\cos x+3x^{2}=0\Leftrightarrow $$$$ 1-\cos ^{2}x+3x^{2}(\cos x+1)=0\Leftrightarrow $$$$(1-\cos x)(\cos x+1)+3x^{2}(\cos x+1)=0\Leftrightarrow $$$$(\cos x+1)(1-\cos x+3x^{2})=0 $$ Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0, то есть или $$\cos x+1 = 0 $$(1) , или $$(1-\cos x+3x^{2})=0 $$(2) 1) $$\cos x+1 = 0 \Leftrightarrow $$$$\cos x=-1 \Leftrightarrow $$$$ x=\pi + 2\pi*n, n \in Z$$ 2) Пусть $$f(x)=1-\cos x ; g(x)=-3x^{2}$$. Если построить данные графики, то видно, что они пересекаются только в точке x = 0. б) На представленном отрезке $$[-\frac{\pi }{2};\pi ]$$ первый корень принимает значения $$\pi$$, а так же второй корень входит в данный отрезок

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     А)  Применим формулу косинуса двойного угла $$\cos 2x=1-2\sin^{2}x$$: $$\cos 2x+3\sqrt{2}\sin x-3=0\Leftrightarrow$$ $$1-2\sin^{2}x+3\sqrt{2}\sin x-3=0\Leftrightarrow$$ $$2\sin^{2}x-3\sqrt{2}+2=0$$

   $$D=(3\sqrt{2})^{2}-4*4=18-16=2$$

   Поскольку $$-1\leq \sin x\leq 1$$, то  $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi k , k \in Z$$

   $$\left[\begin{matrix}\sin x=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}4{=\sqrt{2}}\\\sin x=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$

     Б) Найдем корни уравнения на промежутке  $$(\frac{\pi}{4};\pi]$$ с помощью тригонометрического круга : $$x=\frac{3\pi}{4}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а)Воспользуемся формулами приведения: $$3\sin^{2} x -\cos (\frac{9\pi}{2}-x)\sin (\frac{3\pi}{2}+x) -2 =0\Leftrightarrow $$$$3\sin^{2} x +\sin x \cos x - 2(\sin^{2} x +\cos ^{2} x =0\Leftrightarrow $$$$\sin^{2} x +\sin x \cos x -2\cos^{2} x=0$$

Поделим обе части на $$\cos^{2} x \neq 0$$ и решим уравнение относительно $$tg x$$:

$$tg^{2} x +tg-2=0 \Leftrightarrow $$$$tgx=1 ; tgx=-2 \Leftrightarrow $$$$x=\frac{\pi}{4}+\pi*n ; x=-arctg2 +\pi*n , n \in Z$$

б)Отметим на единичной окружности полученные решения и отрезок. Полученные решения представим как $$x=\frac{\pi}{4}+\pi*n \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+2\pi*n ; x=-\frac{3\pi}{4}+\pi*n$$

$$ x=-arctg2 +\pi*n \Leftrightarrow x=-arctg2 +2\pi*n ; x=\pi-arctg2 +\pi*n$$

Как видим, попадает только два. Чтобы найти первый мы к $$3\pi$$ прибавляем $$\frac{\pi}{4}$$ и получаем $$\frac{13\pi}{4}$$. Чтобы найти второй мы из $$4\pi$$ вычитаем $$arctg2$$ и получаем $$4\pi - arctg2$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

a) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin2x\geq0\\\cos x\geq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\pi n\leq2x\leq\pi+2\pi n\\-\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\pi n\leq x\leq\frac{\pi}{2}+\pi n\\-\frac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.$$

$$x\in[2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n]\cup{-\frac{\pi}{2}+2\pi n},n\in Z$$

$$\sin2x=\sqrt{2}\cos x$$; $$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0$$; $$\sqrt{2}\cos x(\sqrt{2}-1)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n\\x=(-1)^{n}\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$ 

С учетом ОДЗ: $$\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n,n\in Z$$

б) $${-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     А) Применим формулы привидения : $$\cos (5x-\frac{9\pi}{2})=\cos (\frac{\pi}{2}-5x)=\sin 5x$$, $$\sin (3x+\pi)=-\sin 3x$$

Уравнение имеет вид: $$\sin x+\sin 5x=-\sqrt{3}\sin 3x\Leftrightarrow$$ $$2\sin 3x \cos 2x +\sqrt{3}\sin 3x=0\Leftrightarrow$$ $$\sin 3x (2 \cos 2x+\sqrt{3})\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\sin 3x=0\\2 \cos 2x+\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\sin 3x=0\\\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}3x=\pi n, n \in Z\\2x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi k , k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi n}{3}, n \in Z\\x=\pm \frac{5\pi}{12}+\pi k , k \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) Отбор корней $$\in [\pi ;\frac{\pi}{2}]$$ проведем на тригонометрической окружности :

$$x_{1}=-\pi$$; $$x_{2}=-\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}$$; $$x_{3}=-\pi+\frac{5\pi}{12}=-\frac{7\pi}{12}$$; $$x_{4}=-\frac{5\pi}{12}$$; $$x_{5}=-\frac{\pi}{3}$$; $$x_{6}=0$$; $$x_{7}=\frac{\pi}{3}$$; $$x_{8}=\frac{5\pi}{12}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

A) $$\cos2x+\sqrt{2}\cos(x+\frac{5\pi}{4})=\sin x$$; $$\cos2x+\sqrt{2}(\cos x\cos\frac{5\pi}{4}-\sin x\sin\frac{5\pi}{4})-\sin x=0$$; $$\cos2x+\sqrt{2}\cos x\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})-\sqrt{2}\sin x\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})-\sin x=0$$; $$\cos2x-\cos x+\sin x-\sin x=0$$; $$2\cos^{2}x-1-\cos x=0$$; Пусть $$\cos x=y\in[-1;1]$$; $$2y^{2}-y-1=0$$; $$D=1+8=9$$; $$y_{1}=\frac{1+3}{4}=1$$; $$y_{2}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2\pi n,n\in Z\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   А) $$\frac{5}{\cos^{2}(\frac{13\pi}{2}-x)}+\frac{7}{\sin x}-6=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos^{2}(\frac{13\pi}{2}-x)\neq0\\\sin x\neq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin^{2}x\neq0\\\sin x\neq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq\pi n,n\in Z$$

$$\frac{5}{\sin^{2}x}+\frac{7}{\sin x}-6=0$$

Замена: $$\frac{1}{\sin x}=y$$

$$5y^{2}+7y-6=0$$;

$$D=49+120=13^{2}$$;

$$y_{1}=\frac{-7+13}{10}=\frac{6}{10}$$; 

$$y_{2}=\frac{-7-13}{10}=-2$$

$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sin x}=-2\\\frac{1}{\sin x}=\frac{6}{10}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x=-\frac{1}{2}\\\sin x=\frac{10}{6}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in Z\\ \varnothing \end{matrix}\right.$$

   Б)Построим единичную окружность, отметим полученные корни и заданный промежуток:

Как видим, на заданном промежутке есть только корень $$\frac{\pi}{6}+2\pi n$$. Найдем его значение: $$2\pi- \frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

A)     $$\frac{1}{\cos 2x *\cos x}=\frac{1}{\sin 2x*\sin x}$$

Найдем область определения:

$$\left\{\begin{matrix}\cos 2x\neq 0 \\\cos x \neq 0 \\\sin 2x \neq 0 \\\sin x \neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x \neq \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \\x \neq \frac{\pi}{2}+\pi n \\x \neq \frac{\pi n }{2} \\x \neq \pi n \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \neq \frac{\pi n}{4}, n \in Z$$

$$\cos 2x*\cos x=\sin 2x*\sin x\Leftrightarrow$$$$(\cos^{2}x-\sin^{2}x)\cos x-2 \sin x\cos x\sin x=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{3}x-\sin^{2}x\cos x-2 \sin^{2}x \cos x=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{3}x-3\sin^{2}x \cos x=0\Leftrightarrow$$$$\cos x(\cos^{2}x-3 \sin ^{2}x)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0 \\1-\sin^{2}x-3 \sin^{2}x=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z \notin (1) \\\sin ^{2}x=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\sin x=\pm \frac{1}{2}\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n, n \in Z \\x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n, n \in Z \end{matrix}\right.$$

Б)     Начертим единичную окружность, отметим заданный промежуток и полученные корни.

Видим, что в заданный промежуток попали:

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n$$:$$-2\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{11\pi}{6}$$

$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$:$$-\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6}$$

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$:$$-\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\sin 2x=\sin x -2\cos x +1 \Leftrightarrow$$$$2\sin x \cos x-\sin x +2\cos x -1=0 \Leftrightarrow$$$$2\cos x(\sin x+1)-1(\sin x +1)=0 \Leftrightarrow$$$$(\sin x+1)(2\cos x - 1 )=0 \Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix} \sin x = -1\\ \cos x = \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$ \left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\\x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k \end{matrix}\right.(n,k\in Z)$$

Отметим полученные корни на единичной окружности, выделим необходимый промежуток и найдем частные случаи полученных корней:

Получим: $$\frac{3\pi}{2} ; \frac{5\pi}{3} ; \frac{7\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

a)$$2*\sin*\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )-\sqrt{3}*\cos 2x=\sin x+\sqrt{3};$$

$$2*\left ( \sin x*\cos \frac{\pi }{3}+\sin\frac{\pi }{3}*\cos x \right )-\sqrt{3}*\cos 2x-\sin x-\sqrt{3}=0;$$

$$2*\sin x*\frac{1}{2}+2*\frac{\sqrt{3}}{2}*\cos x-\sqrt{3}*\cos 2x-\sin x-\sqrt{3}=0$$

$$\sqrt{3}*\cos x-\sqrt{3}* \cos 2x-\sqrt{3}=0;$$

$$\cos x- \cos 2x-1=0\Leftrightarrow$$$$\cos x-(2\cos^{2} x-1)-1=0$$

$$\cos x-2* \cos ^{2}x=0$$

$$\cos x *\left ( 1-2*\cos x \right )=0$$

$$\left [ \begin{matrix}cos x=0 & & \\1-2*\cos x=0 & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=\frac{\pi }{2}+\pi* k,k\varepsilon Z & & \\x=\pm \frac{\pi }{3}+2*\pi *n.n\varepsilon Z & &\end{matrix}\right.$$

б)Найдем частные случаи корней, принадлежащие выбранному промежутку (синим цветом):

$$-2*\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{5*\pi }{3}$$

$$-2*\pi+\frac{\pi}{2}=-\frac{3*\pi}{2}$$

$$-\pi+\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а)$$(1+tg^{2}x)*\cos(\frac{\pi }{2}+2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Найдем ограничения по х:

$$\cos x\neq 0\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{2}+\pi *n, n\in Z$$

Учтем, что $$1+tg^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$$ и $$\cos(\frac{\pi }{2}+2x)=-\sin 2x$$

$$\frac{1}{\cos^{2}x}*(-\sin 2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$$\frac{-2*\sin x*\cos x}{cos^{2}x}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$-tgx=\frac{1}{3}$$

$$tg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$x=-\frac{\pi }{6}+\pi *n, n\in Z$$

б)Отметим полученные корни в общем виде на окружности, а так же интервал, данный по условию (он включает в себя полностью всю окружность (синий цвет) и сектор во второй четверти (красный цвет))

Найдем корни, которые попадут в данный промежуток:

$$-\pi -\frac{\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}$$

$$0-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$$

$$\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) $$\frac{4 \cos x-5}{2 \cos x -1}+\frac{1}{2 cos^{2}x-\cos x}=2|*(2 \cos^{2} x-\cos x)$$

Найдем ограничение по y:

$$\left\{\begin{matrix}2 \cos x-1\neq 0 \\2 \cos^{2} x-\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\cos \neq \frac{1}{2} \\\cos x(2 \cos x-1)\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\cos x\neq \frac{1}{2}\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x\neq \pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\\x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$

$$(4 \cos x-5) \cos x+1=2(2 \cos^{2 }x -\cos x)$$

$$4 \cos^{2}x -5 \cos x+1-4 \cos^{2}x+2 \cos x=0$$

$$-3 \cos x+1=0$$

$$\cos x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$$$x\pm \arccos\frac{1}{3}+2\pi n, n\in Z$$

б) Отметим полученные корни, заданный промежуток на единичной окружности:

Как видим один корень попадает в заданный промежуток. Найдем его частный случай: $$-4\pi+\arccos \frac{1}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а)$$5*25 ^{x-\frac{1}{2}}-19*10^{x}+6*4^{x+\frac{3}{2}}=0$$

$$5*25^{-\frac{1}{2}}*5^{2x}-19 *2^{x}*5^{x}+6*4\frac{3}{2}*2^{2x}=0|:2^{2x}$$

$$(\frac{5}{2})^{2x}-19(\frac{5}{2})^{x}+48=0$$

Введем замену:

$$(\frac{5}{2})^{x}=y>0$$

$$y^{2}-19y+48=0$$

$$D=361-192=169$$

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{19+13}{2}=16\\y_{2}=\frac{19+13}{2}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(\frac{5}{2})^{x} =16\\(\frac{5}{2})^{x}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\log_{2,5} 16\\x=\log_{2,5}3\end{matrix}\right.$$

б) Представим [3;4] в виде логарифмов с основанием 2,5: $$[3;4] \Leftrightarrow [\log_{2,5} 2,5^{3};\log_{2,5} 2,5^{4}] \Leftrightarrow [\log_{2,5} 15,625;\log_{2,5} 39,0625]$$. Как видим, попадает только $$\log_{2,5} 16$$, так как у $$\log_{2,5}3$$ логарифмируемое выражение меньше нижний границы: $$3<15,625$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   А) $$\frac{ctg x -tg x}{3 \sin x +\cos 2x}=ctg 2x$$

Область определения D(f): $$\left\{\begin{matrix}3 \sin x+\cos 2x\neq 0 \\\sin x \neq 0 \\\cos x\neq 0 \\\sin 2x\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1-2\sin ^{2}x+3 \sin x\neq 0 (1)\\x\neq \frac{\pi n }{2} n\in Z\end{matrix}\right.$$

(1)$$2 \sin^{2}x -3 \sin x-1\neq 0$$

$$D=9+8=17$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x \neq\frac{3+\sqrt{17}}{4} \\\sin x \neq \frac{3-\sqrt{17}}{4} \end{matrix}\right.$$

Решим данное уравнение:

$$\frac{\frac{\cos x }{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{1+3 \sin x-2 \sin^{2}x}=\frac{\cos ^{2}x-\sin^{2}x}{2\sin x *\cos x}$$

$$\frac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin x \cos x(1+3\sin x-2 \sin ^{2})}=\frac{\cos ^{2}x-\sin^{2}x}{2 \sin x \cos x}$$

$$\frac{\cos 2x}{\sin 2x}(\frac{1}{1+3 \sin x-2 \sin ^{2}}-\frac{1}{2})=0$$

$$\left\{\begin{matrix}ctg 2x=0 \\1+3 \sin x-2 \sin^{2}x -2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z \\2 \sin^{2} x-3 \sin x+1=0(2) \end{matrix}\right.$$

(2)$$2 \sin^{2}x -3 \sin x+1= 0$$

$$D=9+8=1$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x =\frac{3+1}{4}=1 \notin D(f) \\\sin x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$

     Б) Найдем данный промежуток на единичной окружности (розовым выделен) и отметим общий вид корней. Найдем корни, которые попали на жанный промежуток:

     1)Найдем корни вида $$(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+2\pi*n(2)$$ : $$-\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6}$$

     2) Найдем корни вида $$\frac{\pi*n}{4}$$:

$$(2)-\pi-\frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{4}$$ ; 

$$(3)-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}$$ ; 

$$(4)0-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

A)     Найдем область определения D(f):

$$\left\{\begin{matrix}4+3 \cos x-\cos 2x\geq 0(1) & & \\\sin x\geq 0(2) & &\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим первое неравенство системы $$(1): 2 \cos ^{2}x-1-3 \cos x-4\leq 0$$

$$2 \cos ^{2}x-3 \cos x-5\leq 0$$

$$D=9+40=49$$

$$\cos x=\frac{3+7}{4}=2,5$$

$$\cos x=\frac{3-7}{4}=-1$$

$$\left\{\begin{matrix}\cos x\geq -1\\\cos x\leq 2,5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in R$$

     Рассмотрим второе неравенство системы $$(2): \sin x\geq 0 \Leftrightarrow x\in [2\pi n, \pi+2\pi n], n \in Z$$

     Решим данное уравнение:

$$5+3 \cos x-2 \cos^{2}x=6\sin ^{2}x=6-6 \cos ^{2}$$

$$4 \cos ^{2}+3 \cos x-1=0$$

$$D=9+16=25$$

$$\left[\begin{matrix}\cos x=\frac{-3+5}{8}=\frac{1}{4}\\\cos x=\frac{-3-5}{8}=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=arccos \frac{1}{4}+2\pi n\\x=-arccos\frac{1}{4}+2 \pi n \notin D(f)\\x=-\pi+2 \pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$

Б)     Найдем корни на заданном промежутке

Как видим корень (1) не попадает в заданный промежуток а корень (3) попадает. Найдем его: $$-\frac{7\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=-3\pi.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А)   $$\frac{2+\cos 4x-8\cos^{4}x }{4(\cos x+\sin x)}=\frac{1}{\sin x}$$

     Область определения D: $$\left\{\begin{matrix}\cos x+\sin x \neq 0\\\ \sin x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}tg x\neq -1\\x\neq \pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix} x\neq -\frac{\pi}{4}+\pi n\\x\neq \pi n\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим числитель первой дроби:

$$\cos 4x=2 \cos^{2}2x-1=$$$$2(2 \cos ^{2}x-1)^{2}-1=2(4\cos ^{4}x-4\cos ^{2}x+1)=$$$$8\cos^{4}x-8 \cos ^{2}x+1=$$$$3+8\cos^{4}x-8 \cos ^{2}x+1-8\cos ^{4}x=4-8\cos ^{2}x$$

     Выполним преобразования:

$$\frac{4(1-2\cos^{2}x)}{4(\cos x+\sin x)}=\frac{1}{\sin x}\Leftrightarrow$$$$\frac{1-2 \cos ^{2}x}{\cos x+\sin x}=\frac{1}{\sin x}\Leftrightarrow$$$$\sin x-2 \cos^{2}x*\sin x=\cos x+\sin x\Leftrightarrow$$$$\cos x+2 \cos^{2}x \sin x=0\Leftrightarrow$$$$\cos x(1+2\cos x \sin x)=0\Leftrightarrow$$

     Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 

$$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\1+\sin 2x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n\\2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n\\x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\notin D\end{matrix}\right.$$

Б)   Найдем корни, принадлежащие данному промежутку: $$\pi\approx 3,14\Rightarrow$$ $$\frac{\pi}{2}\approx 1,57$$. Тогда $$\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3 \pi}{2}\in [2 ;5]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

A)   Область определения D(x):

$$\left\{\begin{matrix}2\cos x-1\neq 0\\2 \cos ^{2}x-\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{1}{2}\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.$$

$$\frac{2\cos x-3}{2\cos x-1}+\frac{1}{\cos x(2 \cos x-1)}=0$$

     Приведем к общему знаменателю и приравняем числитель к нулю:

$$2 \cos^{2}x-3\cos x+1=0$$

     Пусть $$\cos x=t \in [-1 ;1]$$

$$2t^{2}-3t+1=0$$

$$D=9-8=1$$

$$t_{1}=\frac{3+1}{4}=1$$

$$t_{2}=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$$

     Тогда : $$\left\{\begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2\pi n , n \in Z\\\notin D(x)\end{matrix}\right.$$

Б)   На данном промежутке при n=-2 получаем $$x=-4\pi$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     ОДЗ: $$\cos 3x\neq 0\Leftrightarrow$$ $$3x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,n \in Z\Leftrightarrow$$$$x\neq \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}, n\in Z$$

     Рассмотрим левую часть уравнения:

$$\sin^{2}2x+\sin ^{2}4x=$$$$\sin^{2}2x+ (2\sin 2x\cos 2x)^{2}=$$$$\sin^{2}2x(1+4\cos^{2}2x)=$$$$(1-\cos ^{2}2x)(1+4\cos ^{2}2x)=$$$$1+3\cos ^{2}2x-4 \cos^{4}2x$$

     Подставим полученное выражение в уравнение:

$$1+3\cos^{2}2x-4\cos^{4}2x=1-\frac{\cos 2x}{\cos 3x}\Leftrightarrow$$$$4\cos ^{4}2x-3\cos ^{2}2x=\frac{\cos 2x}{\cos 3x}\Leftrightarrow$$$$\cos 2x(4\cos^{3}2x-3 \cos 2x)=\frac{\cos 2x}{\cos 3x}\Leftrightarrow$$$$\cos 2x*\cos 6x-\frac{\cos 2x}{\cos 3x}=0\Leftrightarrow$$$$\cos 2x(\cos 6x-\frac{1}{\cos 3x})=0$$

     Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0:

$$\left[\begin{matrix}\cos 2x=0\\\cos 6x-\frac{1}{\cos 3x}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n }{2}\\(-1+2\cos^{2}3x)-\frac{1}{\cos 3x}=0(2)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим уравнение (2):$$2\cos ^{2}3x-1-\frac{1}{\cos 3x}=0$$, пусть $$\cos 3x=y$$, тогда: $$\frac{2y^{3}-y-1}{y}=0\Leftrightarrow$$$$(y-1)(2y^{2}+2y+1)=0$$. Так как вторая скобка всегда положительна, то: $$y=1\Leftrightarrow$$$$\cos 3x=1\Leftrightarrow 3x=2\pi n \Leftrightarrow x=\frac{2\pi n }{3}, n \in Z$$

   Б) Отметим полученные корни и промежуток на единичной окружности, найдем корни:

Для $$\frac{2\pi n}{3}$$ (красный цвет): $$0;\frac{2\pi}{3}$$

Для $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}$$ (синий цвет): $$-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   A) $$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=tg x+ctg x$$

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin x\neq 0\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.$$

     Решение: $$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}$$

$$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=\frac{\sin^{2}x+\cos ^{2}x}{\sin x \cos x}$$

$$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=\frac{1}{\sin x \cos x}|:2$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{1}{2\sin x \cos x}$$

$$\cos \frac{\pi}{4}\sin x+\sin \frac{\pi}{4}\cos x=\frac{1}{\sin 2x}$$

$$\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sin 2x}$$

     С учетом , что $$-1\leq \sin 2x \leq 1$$, то $$\frac{1}{\sin 2x}\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$$. Но и $$\sin (x+\frac{\pi}{4})\in [1;1]$$, тогда решение будет только тогда, когда : $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\sin 2x=1\\\sin (x+\frac{\pi}{4})=1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\sin 2x=-1\\\sin (x+\frac{\pi}{4})=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\\x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}2x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi n\\x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n\\x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\\x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\frac{\pi}{4}+2\pi n\\\varnothing\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \frac{\pi}{4}+2\pi n , n \in Z$$

   Б) На данном промежутке: при n=0: $$\frac{\pi}{4}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   А) $$\frac{\cos 2x-\cos 4x-4\sin 3x-2\sin x+4}{2\sin x-1}=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos 2x-\cos 4x-4\sin 3x-2\sin x+4=0\\2\sin x\neq 1\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим первое условие полученной системы. $$2\sin x \sin 3x-4 \sin 3x-2 \sin x+4=0\Leftrightarrow$$ $$\sin 3x(\sin x-2)-(\sin x-2)=0\Leftrightarrow$$ $$(\sin 3x-1)(\sin x-2)=0$$

     Поскольку $$\left | \sin x \right |\leq 1$$, остаётся только уравнение : $$\sin 3x-1=0$$, откуда $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n$$.

     Сравним решения второго условия системы с полученными решениями: $$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n\neq \frac{\pi}{6}+2\pi k\Rightarrow$$ $$n\neq 3k,k \in Z$$ и $$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n\neq \frac{5\pi}{6}+2\pi k\Rightarrow$$ $$n\neq 1+3k,k\in Z$$

     Таким образом ,остаются только те решения первого уравнения , для которых $$n=3k-1$$: $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi*(3k-1)}{3}=-\frac{\pi}{6}+2\pi k$$

   Б) $$-\pi\leq -\frac{\pi}{2}+2\pi k<\frac{3\pi}{2}\Leftrightarrow$$ $$-\frac{1}{4}\leq k<1\Leftrightarrow$$ $$k=0\Rightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{2}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   А) Замена : $$(\frac{6}{5})^{\cos 3x}=y>0\Rightarrow$$ $$(\frac{5}{6})^{\cos 3x}=\frac{1}{y}$$

     $$y+\frac{1}{y}=2\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-2y+1}{y}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y-1)^{2}}{y}=0\Leftrightarrow$$ $$y-1=0\Leftrightarrow$$ $$y=1$$

     $$(\frac{6}{5})^{\cos 3x}=1\Leftrightarrow$$ $$\cos 3x=0 \Leftrightarrow$$ $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z \Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n }{3}, n \in Z$$

   Б) На заданном промежутке имеем единтвенный корень: $$4 \pi +\frac{\pi}{6}=\frac{25 \pi}{6}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   А) $$\sin (\frac{\pi}{2}+2x)-3 \cos (\frac{3 \pi}{2}-x)=1+2 \sin x$$

$$\cos 2x+3 \sin x=1+2 \sin x$$

$$x-2 \sin ^{2}x+3 \sin x -2 \sin x-x=0$$

$$-2 \sin^{2}x+\sin x=0$$

$$\sin x(-2 \sin x-1)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n , n \in Z\\x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n\end{matrix}\right.$$

   Б) $$\pi n$$ : $$n=0\Rightarrow 0$$, $$n=1\Rightarrow \pi$$

$$(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n$$ : $$n=0\Rightarrow \frac{\pi}{6}$$, $$n=1\Rightarrow \frac{5 \pi}{6}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   А) $$\sqrt{2\cos^{2} x-\sqrt{2}}+\sqrt{2}\sin x=0\Leftrightarrow$$$$\sqrt{2\cos^{2} x-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\sin x$$

     ОДЗ:  $$\left\{\begin{matrix}2\cos^{2}x\geq \sqrt{2}\\-\sqrt{2}\sin x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos x \in (-\infty;-\frac{1}{\sqrt[4]{2}}]\cup[\frac{1}{\sqrt[4]{2}};+\infty)\\\sin x\leq 0\end{matrix}\right.$$

     Возведем обе части в квадрат: $$2\cos^{2} x-\sqrt{2}=2\sin^{2}x$$

     Применим формулы понижения степени: $$1+\cos 2x -\sqrt{2}=1-\cos 2x\Leftrightarrow$$$$2\cos 2x=\sqrt{2}\Leftrightarrow$$$$\cos 2x=\sqrt{2}{2}\Leftrightarrow$$$$2x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z\Leftrightarrow$$$$x=\pm \frac{\pi}{8}+\pi n,n \in Z$$

     С учетом ОДЗ (синус меньше или равен 0): $$x_{1}=-\frac{\pi}{8}+\pi n,n \in Z$$ и $$x_{2}=-\frac{7\pi}{8}+\pi n,n \in Z$$

   Б) На заданном промежутке: 

$$x_{2}: -7\pi + \frac{\pi}{8}=-\frac{55\pi}{8}$$

$$x_{1}: -6\pi -\frac{\pi}{8}=-\frac{49\pi}{8}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   А) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}log_{\frac{1}{3}}(x+5)>0\\x+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+5<1\\x+5>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<-4\\x>-5\end{matrix}\right.$$

     Решение: $$\left\{\begin{matrix}\sin 2x-2 \cos x=0(1)\\\log_{2}(\log_{\frac{1}{2}}(x+5))=0(2)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1): $$\sin 2x-2 \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \sin x\cos x-2 \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos x(\sin x-\cos x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z\\x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z$$

     С учетом ОДЗ : $$x=-\frac{3 \pi}{2}$$

     (2): $$\log_{2}(\log_{\frac{1}{3}}(x+5))=0\Leftrightarrow$$ $$\log_{\frac{1}{3}}(x+5)=1\Leftrightarrow$$ $$x+5=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$x=-4\frac{2}{3}$$

   Б) Из двух полученных корней на данном промежутке лежит только $$x=-4\frac{2}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     ОДЗ: $$1-\sin ^{2}x\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\sin^{2}x\leq 1\Leftrightarrow$$ $$x \in R$$

     $$\sqrt{1-\sin^{2}x}=\sqrt{\cos ^{2}x}=\left | \cos x \right |$$

     $$3*2^{\cos x+3 \left | \cos x \right |}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$

     1) Если $$\cos \geq 0$$, то $$3*2^{4 \cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0\Leftrightarrow$$$$3*4^{2 \cos x}+1*4^{\cos x}-34=0$$

   Пусть $$4^{\cos x}=t>0$$

   $$3t^{2}+11t-34=0$$

   $$D=121+408=529$$

   $$t_{1}=\frac{-11+23}{6}=2$$

   $$t_{2}=\frac{-11-23}{6}<0$$

   Тогда $$4^{\cos x}=2\Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z$$

     2) Если $$\cos x <0$$, тогда : $$3*2^{-2 \cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$

  Пусть $$2^{2 \cos x}=t>0$$

   $$3*\frac{1}{t}+11t-34=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{11t^{2}-34t+3}{t}=0\Leftrightarrow$$ $$11t^{2}-34t+3=0$$

   $$D=1156-132=1024$$

   $$t_{1}=\frac{34+32}{22}=3$$

   $$t_{2}=\frac{34-32}{22}=\frac{1}{11}$$

     Тогда $$2^{2 \cos x}=3\Leftrightarrow$$ $$4^{\cos x}=3\Leftrightarrow$$ $$\cos x=log_{4}3>0\Rightarrow$$ не подходит

     $$2^{2 \cos x}=\frac{1}{11}\Leftrightarrow$$ $$4^{\cos x}=\frac{1}{11}\Leftrightarrow$$ $$\cos x=\log_{4}\frac{1}{11}<-1$$ - не подходит (так как $$\log_{4}\frac{1}{11}<\log_{4}\frac{1}{4}=-1$$) - решений нет

Б) На промежутке $$[-\frac{3 \pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$$

   $$\frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z: \frac{\pi}{3}$$

   $$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n ,n \in Z: -\frac{\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

A)    $$\sqrt{10}\cos x-\sqrt{4 \cos x- \cos 2x}=0\Leftrightarrow$$$$\sqrt{4 \cos x-\cos 2x}=\sqrt{10}\cos x$$

     Прейдем к равносильной системе:$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{10} \cos x\geq 0(2)\\4 \cos x- \cos 2x =10 \cos ^{2}x (1)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1): $$4 \cos x-(2 \cos^{2}x-1)-10 \cos ^{2}x=0\Leftrightarrow$$$$-12 \cos ^{2}x+4 \cos x+1=0\Leftrightarrow$$$$12 \cos ^{2}x-4 \cos x-1=0$$

$$D=16+48=64=8^{2}$$

     $$\left[\begin{matrix}\cos x=\frac{4+8}{24}=\frac{1}{2}\\\cos x=\frac{4-8}{24}=-\frac{1}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z\\ \varnothing (\cos x\geq 0)\end{matrix}\right.$$

Б)    На промежутке $$[-\frac{\pi}{3};2 \pi n ]$$:

$$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n:n=1\Rightarrow \frac{5 \pi}{3}$$

$$\frac{\pi}{3}+2 \pi n:n=0\Rightarrow \frac{\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     A) $$4 \sin ^{2}(2x+\pi)-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos (2 x-\pi)+\sqrt{15}-4=0\Leftrightarrow$$$$4 \sin ^{2}2x+2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos 2x+\sqrt{15}-4=0\Leftrightarrow$$$$4-4 \cos ^{2}2x+2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos 2x+\sqrt{15}-4=0\Leftrightarrow$$$$4 \cos ^{2}2x-2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\cos 2x-\sqrt{15}=0\Leftrightarrow$$$$4 \cos^{2} 2x+2\sqrt{3}\cos 2x-2\sqrt{5}\cos 2x -\sqrt{15}=0\Leftrightarrow$$$$2 \cos 2x(2 \cos 2x+\sqrt{3})-\sqrt{5}(2 \cos 2x+\sqrt{3})=0\Leftrightarrow$$$$(2 \cos 2x+\sqrt{3})(2 \cos2x-\sqrt{5})=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos 2x=\frac{\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2x=\pm \frac{5 \pi}{6}+2 \pi n, n \in Z\\\phi , (\left | \cos 2x \right |\leqslant 1)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{5 \pi}{12}+\pi n n \in Z$$

     Б) На промежутке $$[-\frac{3 \pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$$:

$$\frac{5 \pi}{12}+\pi n$$ : -$$\pi+\frac{5 \pi}{12}=-\frac{7 \pi}{12}$$; $$0+\frac{5 \pi}{12}=\frac{5 \pi}{12}$$

$$-\frac{5 \pi}{12}+\pi n$$ : $$-\pi -\frac{5 \pi}{12}=-\frac{17 \pi}{12}$$; $$-\frac{5 \pi}{12}=-\frac{5 \pi}{12}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А)   $$\frac{1+\sqrt{3}}{2}\sin 2x=(\sqrt{3}-1)\cos ^{2}x +1\Leftrightarrow$$$$(1+\sqrt{3}) \sin x \cos x -(\sqrt{3}-1) \cos ^{2}x- \sin ^{2}x- \cos ^{2}x=0\Leftrightarrow$$$$\sin ^{2}x+\sqrt{3} \cos ^{2}x -(1+\sqrt{3}) \sin x \cos x=0|:\cos x\Leftrightarrow$$$$tg^{2}x-(1+\sqrt{3})tgx+\sqrt{3}=0$$

$$D=(1+\sqrt{3})^{2}-4* \sqrt{3}=1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}+3=(1-\sqrt{3})^{2}$$

$$\left[\begin{matrix}tg x=\frac{1+\sqrt{3}-\left | 1-\sqrt{3} \right |}{2}=1\\tg x=\frac{1+\sqrt{3}+\left | 1-\sqrt{3} \right |}{2}=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\\x=\frac{\pi}{3}+\pi k,k \in Z\end{matrix}\right.$$

Б)   На промежутке $$[\pi;\frac{3\pi}{2}]$$ получим следующие корни:

$$\frac{\pi}{4}+\pi n:$$$$\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$$

$$\frac{\pi}{3}+\pi k:$$$$\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А)   $$\sqrt{log_{\frac{1}{9}} ctg (\frac{2x}{9})}+\sqrt{log_{\frac{1}{9}}(\sin 4x)}=0$$$$\Leftrightarrow$$ Так как дана сумма квадратных корней, то она равна нулю только тогда, когда : $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{log_{\frac{1}{9}}ctg\frac{2x}{9}}=0\\\sqrt{log_{\frac{1}{9}}\sin 4x}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}log_{\frac{1}{9}}ctg\frac{2x}{9}=0\\log_{\frac{1}{9}}\sin 4x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}ctg \frac{2x}{9}=1\\\sin 4x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{2x}{9}=\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\\4x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k , k\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{9 \pi}{8}+ \frac{ 9\pi n}{2}, n \in Z\\x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}), n \in Z\\x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n }{2}), n \in Z$$

Б)   Рассмотрим двойное неравенство: $$\frac{3\pi}{2}\leq 9(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n }{2}) \leq 4\pi \Leftrightarrow$$$$\frac{1}{6}\leq \frac{1}{8}+\frac{n}{2}\leq \frac{4}{9}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{24}\leq \frac{n}{2}\leq \frac{23}{72}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{12}\leq n\leq \frac{23}{36} $$. Как видим, целых n не получили, следовательно, на данном промежутке корней нет

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

      A) Найдем ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}3 \left | \sin x \right |-\left | \cos x \right |>0\\\left | \cos x \right |>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3\left | tg x \right |-1>0\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left | tg x \right |>\frac{1}{3}\\\cos x \neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}tg x>\frac{1}{3}\\tg x<-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\\\cos x \neq 0\end{matrix}\right.$$

      Решение: $$\log_{2}(3\left | \sin x\right |-\left | \cos x \right |)+\log_{2}\left | \cos x \right |=0\Leftrightarrow$$$$\log_{2}((3\left | \sin x \right |-\left | \cos x \right |)\left | cos x \right |)=0\Leftrightarrow$$$$3\left | \sin x \cos x \right |-\cos ^{2}x=1\Leftrightarrow$$$$-\cos ^{2}x+3\left | \sin x*\cos x \right |=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\Leftrightarrow$$$$\left | \sin x \right |^{2}-3\left | \sin x \right |\left | \cos x \right |+2 \left | \cos x \right |^{2}=0|:\left | \cos x \right |^{2}\Leftrightarrow$$$$\left | tg x \right |^{2}-3\left | tg x \right |+2=0$$

      $$\left[\begin{matrix}\left | tg x \right |=2 \\\left | tg x \right |=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}tg x=\pm 2\\tg x= \pm 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm arctg 2+\pi n \\x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi k, n,k \in Z\end{matrix}\right.$$

      Б ) Найдем корни на заданном промежутке:

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   A) $$\frac{\sin 3x}{1+2 \cos 2x}=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin 3x=0\\\cos 2x\neq -\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3x=\pi n , n \in Z\\2x\neq \pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi n }{3} , n \in Z\\x\neq \pm \frac{\pi}{3} +\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим полученные корни и ограничения (черными - корни, пустые - ограничения):

     С учетом полученных пересечений получим итоговое решение : $$x=\pi n , n \in Z$$

   Б) На промежутке $$[-\pi; \pi)$$ получим следующие корни: $$-\pi$$ и $$0$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

A)   ОДЗ: $$16x-7-4x^{2}>0\Leftrightarrow$$ $$4x^{2}-16x+7<0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0,5\\x<3,5\end{matrix}\right.$$

     Решение: разложим $$\cos 2\pi x=2 \cos^{2} \pi x-1$$; $$\sin^{2} \pi x=1-\cos^{2} \pi x$$. Тогда получим : $$\cos^{2}(\pi x)*\log_{3}(16x-7-4x^{2})=6 \cos^{2} \pi x-3+3-3 \cos^{2} \pi x\Leftrightarrow$$$$\cos^{2} (\pi x)(\log_{3}(16x-7-4x^{2})-3)=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix} \cos ^{2}(\pi x)=0(1)\\ \log_{3}(16x-7-4x^{2})=3 (2)\end{matrix}\right.$$

     (1): $$\cos ^{2}\pi x=0\Leftrightarrow$$ $$\cos \pi x=0\Leftrightarrow$$ $$\pi x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z$$$$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{1}{2}+n , n \in Z$$

     (2): $$\log_{3}(16x-7-4x^{2})=3\Leftrightarrow$$ $$16x-7-4x^{2}=27\Leftrightarrow$$ $$4x^{2}-16x+34=0\Leftrightarrow$$$$2x^{2}-8x+17=0\Leftrightarrow$$ $$x=\varnothing$$

     С учетом ОДЗ: $$0,5<\frac{1}{2}+n<3,5\Leftrightarrow$$ $$0<n<3 \Rightarrow$$ $$n=1; 2\Rightarrow$$ $$x=1,5; 2,5$$

Б)  На промежутке $$[\frac{\pi}{2}; \pi]$$ лежит только 2,5

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     А) ОДЗ: $$\sin x\neq 0 \Leftrightarrow$$ $$x\neq \pi n , n \in Z$$

$$\sqrt{7} \cos x(\sqrt{3} ctg x-1-\frac{1}{\sin x})=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0(1)\\\sqrt{3} ctg x-1-\frac{1}{\sin x}=0 (2)\end{matrix}\right.$$

     1) $$\cos x=0\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi }{2}+\pi n , n \in Z$$

     2) $$\frac{\sqrt{3}\cos x}{\sin x}-\frac{1}{\sin x}-1=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{3 } \cos x-\sin x-1}{\sin x}=0\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{3} \cos x-\sin x=1 \Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x-\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\sin \frac{\pi}{3} \cos x-\cos \frac{\pi}{3}\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\sin x \cos \frac{\pi}{3}-\cos x \sin \frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\sin (x-\frac{\pi}{3})=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2 \pi k , k \in Z\\x-\frac{\pi}{3}=-\frac{5 \pi}{6}+2 \pi k\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+2 \pi k\\x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k , k \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) На промежутке $$[-\pi;\pi]$$:

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     A) $$4^{\cos ^{2} (x+\frac{\pi}{4})}=2*2^{\cos x }\Leftrightarrow$$ $$2 ^{2 \cos ^{2}(x+\frac{\pi}{4})}=2^{1+\cos x}\Leftrightarrow$$ $$2 \cos ^{2}(x+\frac{\pi}{4})= 1+\cos x\Leftrightarrow$$ $$2*\frac{1}{2}(1+\cos (2(x+\frac{\pi}{4})))=1+\cos x\Leftrightarrow$$ $$1+\cos(\frac{\pi}{2}+2x)=1+\cos x\Leftrightarrow$$ $$-\sin 2x-\cos x=0\Leftrightarrow$$ $$-2 \sin x \cos x-\cos x=0\Leftrightarrow$$ $$-\cos x(2 \sin x+1)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z\\x=-\frac{\pi}{6}+2 \pi k\\x=-\frac{5 \pi}{6}+2 \pi k , k \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) На отрезке $$[4 \pi ; \frac{11 \pi}{2}]$$:

$$\frac{\pi}{2}+\pi n$$ : $$4\pi+\frac{\pi}{2}=\frac{9 \pi}{2}$$; $$5 \pi+\frac{\pi}{2}=\frac{11 \pi}{2}$$

$$-\frac{5\pi}{6}+2 \pi n$$ : $$5 \pi+\frac{\pi}{6}=\frac{31 \pi}{6}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     А) $$2 \left | \sin x \right |+\log_{tg x}(-\frac{\left | \cos x \right |}{\sin x})=0$$

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\frac{-\left | \cos x \right |}{\sin x}>0\\tg x>0\\tg x \neq 1\\\sin x\neq 0\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x<0\\\cos x<0 (1)\\tg x\neq 1\end{matrix}\right.$$

     Решение с учетом ОДЗ: $$-2 \sin x+\log_{tg x}\frac{\cos x}{\sin x}=0\Leftrightarrow$$ $$-\log_{tg x}\frac{\sin x}{\cos x}=2 \sin x\Leftrightarrow$$ $$2 \sin x=-1\Leftrightarrow$$ $$\sin x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+2 \pi n \notin (1)\\x=-\frac{5\pi }{6} +2 \pi n\end{matrix}\right.$$$$n \in Z$$

     Б) На промежутке: $$[-\frac{3\pi}{2};0]$$ : $$-\frac{5\pi}{6}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     A) $$3*2^{\cos x+3\sqrt{1-\sin ^{2}x}}+11 *2^{2 \cos x}-34=0\Leftrightarrow$$ $$3*2^{\cos x+3\sqrt{\cos ^{2}x}}+11*2^{2 \cos x}-34=0\Leftrightarrow$$ $$3*2^{\cos x+3\left | \cos ^{2}x \right |}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$

     1)  при $$\cos x\geq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in [-\frac{\pi}{2}+2 \pi n, \frac{\pi}{2}+2 \pi n], n \in Z$$: $$3*2^{4 \cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$

     Пусть $$2^{2 \cos x}=y>0$$, тогда $$3y^{2}+11y-34=0$$: $$D=121+408=529$$

   $$\left[\begin{matrix}y_{1}=\frac{-11+23}{6}=2\\y_{2}=\frac{-11-23}{6}<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2 ^{2 \cos x}=2\Leftrightarrow$$ $$2 \cos x=1\Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n , n \in Z$$

     2) при $$\cos x<0$$: $$3*2^{\cos x-3 \cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0\Leftrightarrow$$$$3*2^{-2\cos x}+11*2^{2 \cos x}-34=0$$

Пусть $$2^{2 \cos x}=y>0$$ , тогда $$\frac{3}{y}+11*y-34=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{11y^{2}-34y+3}{y}=0\Leftrightarrow$$ $$11y^{2}-34y+3=0$$

$$D=1156-132=1024$$

$$\left[\begin{matrix}y_{1}=\frac{34+32}{22}=3\\y_{2}=\frac{34-32}{22}=\frac{1}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}2^{2 \cos x}=3\\2 ^{2 \cos x}=\frac{1}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}4^{\cos x}=3\\4^{\cos x}=\frac{1}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=\log_{4}3>0\Rightarrow \varnothing\\\cos x=\log_{4}\frac{1}{11}<-1\Rightarrow \varnothing & &\end{matrix}\right.$$

Б) На промежутке  $$[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]$$:

$$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$\frac{\pi}{3};\frac{7\pi}{3}$$

$$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$\frac{\pi}{3};\frac{5\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     A) Воспользуемся формулами приведения: $$\sin (2x+\frac{5 \pi}{2})=\sin (\frac{5 \pi}{2}+2x)=$$$$\sin (\frac{\pi}{2}+2x)=\cos 2x$$; $$\cos (x-\frac{7 \pi}{2})=\cos (\frac{7 \pi}{2}-x)=$$$$\cos (\frac{3 \pi}{2}-x)=-\sin x$$

   Тогда получим: $$\cos 2x+3 \sin x-1-2 \sin x=0\Leftrightarrow$$ $$1-2 \sin ^{2}x+\sin x-1=0\Leftrightarrow$$ $$\sin x-2 \sin ^{2}x=0\Leftrightarrow$$ $$\sin x(1-2 \sin x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\x=\frac{\pi}{6}+2 \pi k\\x=\frac{5 \pi}{6}+ 2 \pi k\end{matrix}\right.$$

     Б) Найдем корни, принадлежащие $$[-\frac{3 \pi}{2}; \pi]$$:

$$\frac{5 \pi}{6}+2 \pi k$$:$$ -\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{7 \pi}{6}$$; $$\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6}$$

$$\pi n$$: $$-\pi ;0; \pi$$.

$$\frac{\pi}{6}+\pi k$$: $$0+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     A) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}tg (x+\frac{\pi}{6})\neq 0\\\sin x\neq 0\\\cos (x+\frac{\pi}{6})\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x+\frac{\pi}{6}\neq \pi n , n \in Z\\x\neq \pi k, k \in Z\\x+\frac{\pi}{6}\neq \frac{\pi}{2}+\pi m, m \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq -\frac{\pi}{6}\\x\neq \pi k\\x\neq \frac{\pi}{3}+\pi m, n,k,m \in Z\end{matrix}\right.$$

     Решение: $$ctg \frac{110}{6}=-\sqrt{3}$$; $$tg(x+\frac{\pi}{6})=\frac{\sin (x+\frac{\pi}{6})}{\cos (x+\frac{\pi}{6})}=$$$$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x +\frac{1}{2} \cos x}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x -\frac{1}{2} \sin x}=$$$$\frac{\sqrt{3} \sin x+\cos x}{\sqrt{3} \cos x-\sin x}$$; $$ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}$$;

     Получим $$-\sqrt{3} (\frac{\sqrt{3} \sin x+\cos x}{\sqrt{3} \cos x -\sin x})=$$$$\frac{2 \cos x}{\sin x}+3\Leftrightarrow$$ $$\frac{-3 \sin x -\sqrt{3} \cos x}{\sqrt{3} \cos x-\sin x}=$$$$\frac{2 \cos x+3 \sin x}{\sin x}\Leftrightarrow$$ $$-3\sin ^{2}x-\sqrt{3} \sin x\cos x=$$$$2\sqrt{3}\cos ^{2}x+3\sqrt{3} \cos x \sin x-2 \sin x \cos x-3 \sin ^{2}x\Leftrightarrow$$ $$2\sqrt{3} \cos ^{2}x+4\sqrt{3} \sin x \cos x-2 \sin x \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos x(\sqrt{3} \cos x+\sin x(2\sqrt{3}-1))=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x (2\sqrt{3} -1)+\sqrt{3} \cos x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2} +\pi n\\tg x=\frac{-3}{2\sqrt{3}-1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+ \pi n\\x=-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}+ \pi k , n,k \in Z\end{matrix}\right.$$

     Б) С учетом тригонометрической окружности : $$\frac{\pi}{2} +\pi n$$ :$$-\frac{3 \pi}{2}$$; $$-\frac{\pi}{2}$$ ;$$\frac{\pi}{2}$$; $$\frac{3 \pi}{2}$$

$$-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}+\pi k$$: $$-\pi-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}$$;$$-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1};$$ $$\pi-arctg \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}$$.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А)     Учтем, что: $$\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{3x}{2}=$$$$2\sin \frac{\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}}{2}\cos \frac{\frac{x}{2}-\frac{3x}{2}}{2}=$$$$2 \sin x \cos x$$

     Выразим: $$2 \sin x cos \frac{x}{2}=$$$$\sin (-x)\Leftrightarrow$$ $$2 \sin x \cos \frac{x}{2}+\sin x=0\Rightarrow$$ $$\sin x(2\cos \frac{x}{2}+1)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\2 \cos \frac{x}{2}+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\\cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n , n \in Z\\\frac{x}{2}=\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi k,k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n,n\in Z\\x=\pm \frac{4 \pi}{3}+4 \pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin (-x)>0\\\sin (-x)\neq 1\\2 \sin x \cos \frac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x <0\\\sin x \neq -1\\\sin x \cos \frac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in (-\pi +2 \pi n , 2 \pi n) (2)\\x \neq -\frac{\pi}{2}+2 \pi n \\\sin x \cos \frac{x}{2}>0 (1)\end{matrix}\right.$$

     С учетом (2) $$x =\pi n$$ не подходит, $$x=-\frac{4 \pi}{3} +4 \pi n$$ не подходит. Подставим $$x= \frac{4 \pi}{3} + 4 \pi k$$ в (1) : $$\sin (\frac{4 \pi}{3})\cos \frac{\frac{4\pi}{3}}{2}=$$$$-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac{ \pi}{3}=$$$$-\frac{\sqrt{3}}{2}*(-\frac{1}{2})>0$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{4 \pi}{3}+2 \pi k, k \in Z$$-корень

Б)      На промежутке $$[-2 \pi ; 2 \pi]$$: $$-2 \pi\leq \frac{4 \pi}{3}+2 pi k \leq 2 \pi\Leftrightarrow$$ $$-\frac{20 \pi}{3}\leq 4 \pi\leq k\leq \frac{2 \pi}{3}\Leftrightarrow$$ $$-\frac{10}{12}\leq k\leq \frac{1}{6}\Rightarrow$$ $$k=0\Rightarrow$$ $$\frac{4 \pi}{3}+0*\pi =\frac{4 \pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

a) $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-(2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1)-2$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-\cos(\frac{\pi}{6}+2x)-2$$

Заметим, что : $$\cos(\frac{\pi}{6}+2x)=\cos(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}-2x))=\sin(\frac{\pi}{3}-2x)$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-\sin(\frac{\pi}{3}-2x)-2$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-1$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{\pi}{3}-2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$ $$\Rightarrow$$ $$-2x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{5\pi}{12}+\pi k$$, $$k\in Z$$

б) с помощью двойного неравенства отберем корни: $$\frac{\pi}{2}\leq \frac{5\pi}{12}+\pi k \leq \frac{7\pi}{2}\Leftrightarrow$$$$\frac{\pi}{12}\leq \pi k \leq \frac{37\pi}{12}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{12}\leq k\leq \frac{37}{12}$$.

Тогда $$k=1: x=\frac{5\pi}{12}$$; $$k=2: x=\frac{17\pi}{12}$$; $$k=2: x=\frac{29\pi}{12}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

A) $$4^{\cos 2x}-\frac{1}{2}\cdot 16^{\sin^{2}x}=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4^{1-2\sin^{2}x}-\frac{1}{2}(4^{2})^{\sin^{2}x}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$4^{\frac{4}{2\sin^{2}x}}-\frac{1}{2}\cdot4^{2\sin^{2}x}=1$$. Замена: $$4^{2\sin^{2}x}=y>0$$

Решение: $$\frac{4}{y}-\frac{y}{2}=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{8-y^{2}-2y}{2y}=0|\cdot(-2y)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+2y-8=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}y_{1}+y_{2}=-2&\\y_{1}\cdot y_{2}=-8&\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}y_{1}=-4<0&\\y_{2}=2&\end{bmatrix}$$ 

Обратная замена: $$4^{2\sin^{2}x}=2$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2^{4\sin^{2}x}=2$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin^{2}x=\frac{1}{4}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin x=\pm\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k,k\in Z$$

Б) Отметим на единичной окружности полученные корни и найдем их значения на $$[0;\frac{3\pi}{2}]$$: 

1) $$0+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$$;

2) $$\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$$;

3) $$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$;

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А) $$\sin2x+\sqrt{2\cos x-2\cos^{3}x}=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{2\cos x-2\cos^{3}x}=-\sin2x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\cos x-2\cos^{3}x=\sin^{2}2x(2)&\\-\sin2x\geq0(1)&\end{matrix}\right.$$ 

$$(1)$$: $$-\sin2x\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin2x\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2x\in{-\pi+2\pi n;2\pi n},n\in Z$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in{-\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi n},n\in Z$$

$$(2)$$: $$2\cos x(1-\cos^{2}x)=4\sin^{2}x\cdot\cos^{2}x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2\cos x\cdot\sin^{2}x-4\cos^{2}x\cdot\sin^{2}x=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2\cos x\cdot\sin^{2}x(1-2\cos x)=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}\cos x=0&\\\sin x=0&\\\cos x=\frac{1}{2}&\end{bmatrix}$$  $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n&\\x=\pi n&\\x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z&\end{bmatrix}$$

С учетом $$(1)$$: $$x=\frac{\pi n}{2};-\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z$$

Б) На промежутке $$[-\pi;-\frac{\pi}{6}]$$: $$\frac{\pi n}{2}:-\pi;-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}+2\pi n:-\frac{\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А) $$(32^{\cos x})^{\sin x}=4\sqrt{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(2^{5})^{\sin x\cos x}=2^{2}\cdot2^{\frac{1}{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2^{5\sin x\cos x}=2^{\frac{5}{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$10\sin x\cos x=5$$ $$\Leftrightarrow$$ $$5\sin2x=5$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin2x=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z$$; $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z$$

Б) С помощью тригонометричексой окружности найдем корни: $$-4\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{15\pi}{4}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}3-4\cos^{2}x>0&\\3-4\cos^{2}x\neq1&\\9-16\cos^{4}x>0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos^{2}x<\frac{3}{4}&\\\cos^{2}x\neq1&\\\cos^{4}x<\frac{9}{16}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x\in(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})&\\\cos x\neq\pm1&\\\cos^{2}x\in(-\frac{3}{4};\frac{3}{4})&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;-\frac{\pi}{6}+2\pi n)\cup(\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{5\pi}{6}+2\pi n)$$

Решение: $$\log_{3-4\cos^{2}x}(3-4\cos^{2}x)(3+4\cos^{2}x)=2+\log_{3-4\cos^{2}x}2$$

$$1+\log_{3-4\cos^{2}x}(3+4\cos^{2}x)=2+\log_{3-4\cos^{2}x}2$$

$$\log_{3-4\cos^{2}x}(3+4\cos^{2}x)=\log_{3-4\cos^{2}x}(3-4\cos^{2}x)+\log_{3-4\cos^{2}x}2$$

$$3+4\cos^{2}x=6-8\cos^{2}x$$

$$12\cos^{2}x=3$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos^{2}x=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$\cos x=\pm\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$

Б) С помощью тригономентрической окружности найдем корни на данном отрезке: $$\frac{\pi}{3}+\pi n$$: $$\frac{\pi}{3}$$; $$-\frac{\pi}{3}+\pi n$$: $$-\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

А) $$4^{x^{2}-1}-24\cdot2^{x^{2}-3}+8=0$$

$$\frac{4^{x^{2}}}{4}-\frac{24\cdot2^{x^{2}}}{2^{3}}+8=0$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{4^{x^{2}}}{4}-3\cdot2^{x^{2}}+8=0$$

$$4^{x^{2}}-12\cdot2^{x^{2}}+32=0$$

Замена: $$2^{x^{2}}=y$$

$$y^{2}-12y+32=0$$

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=12&\\y_{1}\cdot y_{2}=32&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=8&\\y_{2}=4&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x^{2}}=2^{3}&\\2^{x^{2}}=2^{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\sqrt{3}&\\x=\pm\sqrt{2}&\end{matrix}\right.$$

Б) На отрезке $$[-\frac{5}{3};2]$$: $$-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) Перепишем исходное уравнение, используя формулу: $${\cos \alpha \ }+{\cos \beta \ }=2{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\ }{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\ }$$. Получим: $$2{\cos 3x\ }{\cos x\ }=0$$

Имеем два уравнения:

$$1) {\cos 3x\ }=0\to 3x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z\to x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$

$$2) {\cos x\ }=0\to x=\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$

Множество $$\frac{\pi }{2}+\pi m,m\in Z$$ является частью множества $$\frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in Z$$.

б) Отбор корней сделаем с помощью двойного неравенства, получим:

$$-\pi \le \frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3}\le \frac{\pi }{3}\to -1\le \frac{1}{6}+\frac{n}{3}\le \frac{1}{3}\to -3,5\le n\le 0,5$$. (Целые n: -3,-2,-1,0)

Имеем следующие корни: $$-\frac{5\pi }{6};-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}.$$

а) Упростим выражение, имеем: $$2{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+{\cos x\ }-1=0\to 2\left(1-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }\right)+{\cos x\ }-1=0\to 2{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{\cos x\ }-1=0$$

Сделаем замену $${\cos x\ }=t,\ t\in \left[-1;1\right]$$, получим: $$2t^2-t-1=0\to \left[ \begin{array}{c} t_1=1 \\ t_2=-\frac{1}{2} \end{array} \right.$$

Имеем два уравнения: $$1: {\cos x\ }=1\to x=2\pi n,\ n\in Z$$ $$2: {\cos x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z;\ x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi l,\ l\in Z$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке [$$-5\pi ;\ -4\pi $$]. Получим числа: $$-4\pi ;\ -\frac{14\pi }{3}$$.

а) $${{\sin }^{{\rm 2}} \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }={\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\ }\cdot {\cos \left(\frac{17\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin x\ }{\cos x\ }\leftrightarrow {\cos x\ }\left({\cos x\ }-{\sin x\ }\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x\ }=0 \\ {\tan x\ }=1 \end{array} \right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\ x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in Z \end{array} \right..$$

б) С помощью единичной окружности отберем корни: 1) $$-\frac{\pi }{2}$$; 2) $$\frac{3\pi }{2}$$; 3) $$0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$$; 4) $$2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$$; 5) $$\frac{\pi }{2}$$; 6) $$\frac{7\pi }{4}$$.

а) Преобразуем уравнение $$6{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+5{\sin x\ }-2=0\to 6\left(1-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\right)+5{\sin x\ }-2=0\to $$ $$\to 6{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }-5{\sin x\ }-4=0$$.

Сделаем замену $${\sin x\ }=t,t\in \left[-1;1\right]$$, получим: $$6t^2-5t-4=0$$, решаем уравнение, получаем корни $$t_1=-\frac{1}{2};\ t_2=\frac{4}{3}\in [-1;1]$$.

Подставляем синус вместо $$t$$, получаем уравнение $${\sin x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=-\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in Z;\ x_2=-\frac{5\pi }{6}+2\pi m,m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$$. Получим число $$-\frac{13\pi }{6}$$.

а) Упростим уравнение, получим: $$6\left(1-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }\right)+5{\cos x\ }-2=0\to 6{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-5{\cos x\ }-4=0$$.

Сделаем замену $${\cos x\ }=t,t\in [-1;1]$$, получим: $$6t^2-5t-4=0$$.

Решаем уравнение, имеем: $$D=25+96=121\to t_1=-\frac{1}{2};t_2=\frac{4}{3}\notin [-1;1]$$.

Переходя к косинусу, получаем $${\cos x\ }=-\frac{1}{2}\to x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z;\ x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi m,m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$$. Получаем один корень $$-\frac{14\pi }{3}$$.

а) Упростим уравнение, имеем: $$3\left({{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\right)-5{\sin x\ }+1=0\to 3\left(1-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\right)-3{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }-5{\sin x\ }+1=0\to $$ $$\to 6{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }+5{\sin x\ }-4=0$$.

Делаем замену $${\sin x=t\ },\ t\in \left[-1;1\right],$$ получим: $$6t^2+5t-4=0$$.

Решаем уравнение, получаем: $$t_1=-\frac{4}{3}\notin \left[-1;1\right],\ t_2=\frac{1}{2}$$.

Переходя обратно к синусу, имеем $${\sin x\ }=\frac{1}{2}\to x_1=\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in Z;x_2=\frac{5\pi }{6}+2\pi m,m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$[\pi ;\frac{5\pi }{2}]$$. Получим число $$\frac{13\pi }{6}$$.

а) Преобразовываем уравнение, имеем: $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+{{sin}^{{\rm 2}} x\ }=\frac{3}{4}\to {{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{3}{4}\to \frac{1-{\cos 2x\ }}{2}=\frac{3}{4}\to {\cos 2x\ }=-\frac{1}{2}$$.

Получаем корень уравнения $$2x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi n\to x_1=\frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z$$. $$2x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi m\to x_2=-\frac{\pi }{3}+\pi m,\ m\in Z$$.

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$$. Получим числа: $$-\frac{5\pi }{3};\ -\frac{4\pi }{3};-\frac{2\pi }{3}$$.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) $${\cos 2x\ }-\sqrt{2}{\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }-1=0\leftrightarrow 1-2{{\sin }^2 x\ }-\sqrt{2}{\sin x\ }-1=0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow {\rm -2}{\sin x\ }\left({\sin x\ }+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\sin x\ }=0 \\ {\sin x\ }=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c} x=\pi n,n\in Z \\ x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in Z \\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in Z \end{array} \right.$$.

б) С помощью единичной окружности отберем корни: $$1)\ 2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};2\pi ;3\pi $$

а) $${\cos (x+\frac{\pi }{3})\ }\cdot {\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \frac{1}{2}({\cos \left(x+\frac{\pi }{3}+x-\frac{\pi }{3}\right)\ }+{\cos \left(x+\frac{\pi }{3}-x+\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow {\cos 2x\ }+{\cos \frac{2\pi }{3}\ }=-1\leftrightarrow {\cos 2x\ }=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z\leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z.$$

б) С помощью единичной окружности отберем корни на $$\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right].$$ $$1)-\frac{\pi }{3};\ 2)-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3};3)\ 0+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3};4)\ \pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3};5)\ \pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$$

а) Упрощаем выражение, получаем: $$4{\sin x\ }{\cos x\ }-4{\cos x\ }+3{\sin x\ }-3=0$$.

Делаем группировку, имеем: $$4{\cos x\ }\left({\sin x\ }-1\right)+3\left({\sin x\ }-1\right)=0\to \left({\sin x\ }-1\right)\left(4{\cos x\ }+3\right)=0.$$

Получаем два уравнения: $$\left\{ \begin{array}{c} {\sin x\ }=1 \\ {\cos x\ }=-\frac{3}{4} \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z \\ x=\pm \left(\pi -{\arccos \frac{3}{4}\ }\right)+2\pi m,\ m\in Z \end{array} \right.$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$$. Получим числа: $$\frac{5\pi }{2};\pi +{\arccos \frac{3}{4}\ }.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

б) с помощью единичной окружности отберем корни: $$1)-arctg2;2)-arctg\frac{1}{2};3)\ arctg3$$

а) Преобразуем уравнение, получим: $${{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }+{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{1}{2}\to {{\sin }^{{\rm 2}} x\ }=\frac{1}{2}\to \frac{1-{\cos 2x\ }}{2}=\frac{1}{2}\to {\cos 2x\ }=0\to $$ $$\to 2x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z\to x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in Z.$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right].$$ Получим числа: $$-\frac{5\pi }{4};-\frac{3\pi }{4}.$$

а) Упростим выражение:$$\ \frac{7}{{{\cos }^{{\rm 2}} x\ }}-\frac{1}{{\cos x\ }}-6=0.$$ ОДЗ: $${\cos x\ne 0\ },\ x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z,$$ имеем: $$7-{\cos x\ }-6{{\cos }^2 x\ }=0.$$ Делаем замену $${\cos x\ }=t,t\in \left[-1;1\right]$$, получаем: $$6t^2+t-7=0.$$

Решаем уравнение: $$t_1=1;\ t_2=-\frac{7}{6}\in \left[-1;1\right].$$ Переходя к косинусу, получаем: $${\cos x\ }=1;x=2\pi n,n\in Z.$$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-3\pi ;\ -\frac{\pi }{2}\right].$$ Получим число $$-2\pi .$$

а) Преобразуем уравнение: $$2{\sin (x-\frac{\pi }{2})\ }{\cos (\frac{\pi }{2}+x)\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to $$ $$\to -2{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to 2{\sin x\ }{\cos x\ }+\sqrt{3}{\cos x\ }=0\to $$ $$\to {\cos x\ }\left(2{\sin x\ }+\sqrt{3}\right)=0.$$

Имеем два уравнения: $$1) {\cos x\ }=0\to x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$$ $$2) {\sin x\ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\to x_1=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in Z;x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi l,l\in Z\ $$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке $$\left[-6\pi ;-5\pi \right].$$ Получим число $$-\frac{11\pi }{2}.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!