ЕГЭ Профиль
Задание 11748
Задание 11447
Задание 11419
Задание 10999
а) Решите уравнение $${\cos (x+\frac{\pi }{3})\ }\cdot {\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi }{2};2\pi ]$$
а) $${\cos (x+\frac{\pi }{3})\ }\cdot {\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \frac{1}{2}({\cos \left(x+\frac{\pi }{3}+x-\frac{\pi }{3}\right)\ }+{\cos \left(x+\frac{\pi }{3}-x+\frac{\pi }{3}\right)\ }=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow {\cos 2x\ }+{\cos \frac{2\pi }{3}\ }=-1\leftrightarrow {\cos 2x\ }=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in Z\leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi n,\ n\in Z.$$
б) С помощью единичной окружности отберем корни на $$\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right].$$ $$1)-\frac{\pi }{3};\ 2)-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3};3)\ 0+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3};4)\ \pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3};5)\ \pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$$
Задание 10820
а) Решите уравнение $${{\sin }^{{\rm 2}} \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }={\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\ }\cdot {\cos \left(\frac{17\pi }{2}+x\right)\ }$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{2})$$.
а) $${{\sin }^{{\rm 2}} \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\ }={\sin \left(\frac{23\pi }{2}+x\right)\ }\cdot {\cos \left(\frac{17\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)\ }{\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ }\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }={\sin x\ }{\cos x\ }\leftrightarrow {\cos x\ }\left({\cos x\ }-{\sin x\ }\right)=0\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\cos x\ }=0 \\ {\tan x\ }=1 \end{array} \right.\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \\ x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in Z \end{array} \right..$$
б) С помощью единичной окружности отберем корни: 1) $$-\frac{\pi }{2}$$; 2) $$\frac{3\pi }{2}$$; 3) $$0+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$$; 4) $$2\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$$; 5) $$\frac{\pi }{2}$$; 6) $$\frac{7\pi }{4}$$.
Задание 10527
Задание 10440
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$$
Задание 10390
Задание 10192
Задание 10072
Задание 10052
Дано уравнение $$\sin 2x+\sqrt{3}(\cos x-\sin x)=1,5$$
Задание 9927
Задание 9875
Задание 9679
Задание 9660
Задание 9632
а) Решите уравнение $$\sqrt{\sin x\cdot \cos x}=\cos x$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]$$
Задание 9342
а) Решите уравнение $$\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x+\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{5x}{2}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5\pi}{2};-2\pi]$$
Задание 9161
а) Решите уравнение $$4\cos^{2}x+2(\sqrt{2}-1)\sin(\frac{\pi}{2}-x)-\sqrt{2}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{\pi}{2};2\pi]$$
Задание 9045
а) Решите уравнение $$256^{\sin x\cdot \cos x}-18\cdot 16^{\sin x\cdot \cos x}+32=0$$
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{9\pi}{2};6\pi]$$
Задание 8871
а) Решите уравнение $$(\sqrt{2}^{\sin^{2}x+\sqrt{\cos x}})^{2}+2^{\cos^{2}x+\sqrt{\cos x}}=3\cdot 2^{\sqrt{\cos x}}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{11\pi}{2};-4\pi]$$
Задание 8740
Задание 7862
а) Решите уравнение: $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1$$;
б) Укажите корни этого уранения, принадлежащие отрезку $$\begin{bmatrix}\frac{\pi}{2}&;\frac{7\pi}{2}\end{bmatrix}$$
a) $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1$$
$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-(2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1)-2$$
$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-\cos(\frac{\pi}{6}+2x)-2$$
Заметим, что : $$\cos(\frac{\pi}{6}+2x)=\cos(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}-2x))=\sin(\frac{\pi}{3}-2x)$$
$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-\sin(\frac{\pi}{3}-2x)-2$$
$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-1$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{\pi}{3}-2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$ $$\Rightarrow$$ $$-2x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{5\pi}{12}+\pi k$$, $$k\in Z$$
б) с помощью двойного неравенства отберем корни: $$\frac{\pi}{2}\leq \frac{5\pi}{12}+\pi k \leq \frac{7\pi}{2}\Leftrightarrow$$$$\frac{\pi}{12}\leq \pi k \leq \frac{37\pi}{12}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{12}\leq k\leq \frac{37}{12}$$.
Тогда $$k=1: x=\frac{5\pi}{12}$$; $$k=2: x=\frac{17\pi}{12}$$; $$k=2: x=\frac{29\pi}{12}$$
Задание 6663
а) Решите уравнение $$(\sin 2x - 2\cos x)\log_{2}(\log_{\frac{1}{3}}(x+5))=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$(-\frac{3\pi}{2};0)$$
А) ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}log_{\frac{1}{3}}(x+5)>0\\x+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+5<1\\x+5>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<-4\\x>-5\end{matrix}\right.$$
Решение: $$\left\{\begin{matrix}\sin 2x-2 \cos x=0(1)\\\log_{2}(\log_{\frac{1}{2}}(x+5))=0(2)\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим (1): $$\sin 2x-2 \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \sin x\cos x-2 \cos x=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos x(\sin x-\cos x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\cos x=0\\\sin x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z\\x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z$$
С учетом ОДЗ : $$x=-\frac{3 \pi}{2}$$
(2): $$\log_{2}(\log_{\frac{1}{3}}(x+5))=0\Leftrightarrow$$ $$\log_{\frac{1}{3}}(x+5)=1\Leftrightarrow$$ $$x+5=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$x=-4\frac{2}{3}$$
Б) Из двух полученных корней на данном промежутке лежит только $$x=-4\frac{2}{3}$$
Задание 4066
Решите уравнение: $$ |\cos x+ \sin x|= \sqrt{2}\sin 2x$$
А) Так как слева модуль, то ОДЗ (D): $$\sin 2x\geq 0$$
Возведем обе части в квадрат:
$$(\left | \cos x+\sin x \right |)^{2}=(\sqrt{2}\sin 2x)^{2}$$
$$\cos^{2}x+2\sin x \cos x+\sin^{2}x=2 \sin ^{2}2x$$
$$1+\sin 2x -2 \sin^{2}x=0$$
$$D=1+8-9$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin 2x =\frac{-1+3}{-4} =-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{-1-3}{-4}=1\end{matrix}\right.$$
$$\sin 2x=-\frac{1}{2} \notin D$$
$$\sin 2x=1\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+2 \pi k,k\in Z\Leftrightarrow$$$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in Z$$
Задание 4065
а) Решите уравнение $$tg^{2} x+(1+\sqrt{3})tg x + \sqrt{3}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{5\pi}{2};4\pi]$$
А) $$tg^{2}x+(1+\sqrt{3})tgx+\sqrt{3}=0$$
$$D=(1+\sqrt{3})^{2}-4\sqrt{3}=1+2\sqrt{3}+3-4\sqrt{3}=1-2\sqrt{3}+3=(1-\sqrt{3})^{2}$$
$$\left[\begin{matrix}tg x=\frac{-1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1}{2}=-1\\tgx=\frac{-1-\sqrt{3}-\sqrt{3}+1}{2}=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=-\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\\x_{2}=-\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z \end{matrix}\right.$$
Б) $$x_{1}$$: $$3\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{11\pi}{4};$$$$4\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{15\pi}{4}$$
$$x_{2}$$:$$3\pi-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi}{3};$$ $$4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}$$
Задание 4064
а) Решите уравнение $$4\sin^{3} x=3\cos (x-\frac{\pi}{2})$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2}]$$
А) $$4 \sin ^{3}x=3 \cos(x-\frac{\pi}{2})\Leftrightarrow$$$$4 \sin ^{3}x=3 \cos(\frac{\pi}{2}-x)\Leftrightarrow$$$$4 \sin^{3}x=3 \sin x\Leftrightarrow$$$$4 \sin^{3}x-3 \sin x=0\Leftrightarrow$$$$\sin x(4 \sin^{2}x-3)=0$$
$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\4 \sin^{2}x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n,n \in Z\\\sin^{2}x=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n , n \in Z\\\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=\pi n, n\in Z\\x_{2}=(-1)^{n}\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z\\x_{3}=(-1)^{m+1}+\pi m,m \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) $$x_{1}: 4\pi$$
$$x_{2}:4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}$$
$$x_{3}:4 \pi -\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}$$
Задание 4063
а) Решите уравнение $$\sqrt{2}\sin^{3} x - \sqrt{2}\sin x + \cos^{2} x =0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{5\pi}{2};-\pi]$$
А) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
$$\sqrt{2}\sin x(\sin ^{2}x -1)+(1-\sin^{2}x)=0\Leftrightarrow$$$$(\sin^{2}-1)(\sqrt{2}\sin x-1)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin^{2}x -1=0\\\sqrt{2}\sin x-1 =0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin^{2}x=1\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x=\pm 1\\\sin x=(-1)^{n}\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{2}+\pi k,k \in Z\\x_{2}=(-1)^{k}\frac{\pi}{4}+\pi n,n \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) $$x_{1}:-\frac{5 \pi}{2}; -\frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2}:- 2\pi +\frac{\pi}{4}=-\frac{7\pi}{4}; -\pi- \frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{4}$$
Задание 4062
а) Решите уравнение $$\cos^{2} \frac{x}{2} -\sin^{2} \frac{x}{2} =\sin(\frac{\pi}{2}-2x)$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$
А) Воспользуемся формулами косинуса двойного агрумента и приведения:
$$\cos 2*\frac{x}{2}=\cos 2x\Leftrightarrow$$$$\cos x=2 \cos ^{2}x -1=0\Leftrightarrow$$$$2 \cos ^{2}x =\cos x-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{1+3}{4} =1\\\cos x=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2 \pi n, n \in Z\\x=\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) $$2 \pi n$$: $$2\pi$$
$$- \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ :$$\pi + \frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$
Задание 4034
а) Решите уравнение $$\sin 2x -2\sqrt{3}\cos^{2} x - 4\sin x + 4\sqrt{3}\cos x = 0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi ; \frac{5\pi}{2}]$$
А) Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:
$$2 \sin x \cos x-2\sqrt{3}\cos^{2}x-4 \sin x+4\sqrt{3} \cos x=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin x(\cos x-2)-2\sqrt{3}\cos x(\cos x-2)=0\Leftrightarrow$$$$(2 \sin x-2\sqrt{3} \cos x)(\cos x-2)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}2 \sin x-2\sqrt{3}\cos x=0\\\cos x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}tg x-\sqrt{3} =0\\ \varnothing , \left | \cos x \right |\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$tg x=\sqrt{3}\Leftrightarrow x =\frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z$$
Б) $$\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$$
$$2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$$
Задание 4033
а) Решите уравнение $$\sin x + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$
А) Уберем скобки, использую формулу сокращенного умножения:
$$\sin x+\cos^{2}\frac{x}{2}-\sin^{2}\frac{x}{2}=0$$
Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:
$$\sin x+\cos x=0|:\cos x \neq 0\Leftrightarrow$$$$tg x+1=0$$$$tgx=-1\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z$$
Б) $$2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$$
Задание 4032
Дано уравнение $$2\cos^{2} x +2\sin 2x = 3$$
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2}]$$
А) Воспользуемся формулами синуса двойного аргумента и основным тригонометрическим тождеством:
$$2\cos^{2}x+2 *2\sin x \cos x-3(\sin^{2}x+\cos^{2}x)=0\Leftrightarrow$$$$-\cos^{2}x+4 \sin x\cos x-3 \sin^{2}x=0| :(-\cos^{2})x\Leftrightarrow$$$$3tg^{2}x-4 tg x+1=0$$
$$D=16-12=4$$
$$\left\{\begin{matrix}tg x=\frac{4+2}{6} =1\\tg x=\frac{4-2}{6} =\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n ,n\in Z\\x=arctg \frac{1}{3}+\pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на заданном промежутке :
$$arctg \frac{1}{3}+\pi k$$: $$-\pi+arctg \frac{1}{3 }$$
$$\frac{\pi}{4}+\pi n$$: $$-\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi }{4}$$
Задание 4031
а) Решите уравнение $$\cos 2x - \sin^{2} (\frac{\pi}{2}-x) = -0,25$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi; \frac{5\pi}{2}]$$
A) Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:
$$2 \cos ^{2}x-1-\cos ^{2}x+0,25=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{2}x-0,75=0\Leftrightarrow$$$$\cos^{2}x=\frac{3}{4}$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n\\x=\pm \frac{5\pi}{6}+2 \pi k, k ,n \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на заданном промежутке :
$$-\frac{5 \pi}{6}+2\pi n$$ : $$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$$
$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$: $$2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$$
$$\frac{\pi}{6}+2\pi n 2$$:$$\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}$$
$$\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$: нет
Задание 4030
а) Решите уравнение $$2\cos^{3} x -\cos^{2} x +2\cos x -1=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[2\pi;\frac{7\pi}{2}]$$
А) Сгруппируем слагаемые:
$$\cos^{2} x(2 \cos x-1)+(2\cos x-1)=0$$
$$(2 \cos x-1)(\cos^{2}x+1)=0$$
Т.к. $$\cos^{2}x\geq 0$$ при любом x,тогда $$\cos ^{2}+1>0$$, при любом x.
$$2\cos x-1=0 \Leftrightarrow$$ $$\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n\in Z$$
Б) На заданном промежутке корни $$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$2\pi +\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$$
$$-\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: нет
Задание 4029
а) Решите уравнение $$\cos 2x -3\cos x +2=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}]$$
А) Воспользуемся формулой косинуса двойного аргумента:
$$2 \cos^{2}x-1-3 \cos x+2=0$$
Замена: $$y=\cos x\Rightarrow \left | y \right |\leq 1$$
$$2 y^{2}-3y+1=0$$
$$D=9-8=1$$
$$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{3+1}{4}=1\\y_{2}=\frac{3+1}{4}=0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\cos x=1\\\cos x=0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=2 \pi n\\x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi k,n,k\in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на промежутке: $$[-4 \pi -\frac{5\pi}{2}]$$
Для корня $$2\pi k: -4\pi$$
Для корня $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$ :нет
Для корня $$\frac{\pi}{3}+2 \pi n$$: $$-4 \pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{11\pi}{3}$$.
Задание 4028
а) Решите уравнение $$\sin 2x + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\pi;\frac{5\pi}{2}]$$
А) Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:
$$2\sin x\cos x+\sqrt{2}\sin x-2 \cos x-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow$$$$\sin x(2 \cos x+\sqrt{2})-(2 \cos x+\sqrt{2})=0\Leftrightarrow$$$$(2\cos x+\sqrt{2})(\sin x-1)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}2\cos x+\sqrt{2}=0\\\sin x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\cos \sin x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1,2}=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n , n \in Z\\x_{3}=\frac{\pi}{4}+2\pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на данном промежутке:
$$x_{1}:$$ нет
$$x_{2} :\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$$
$$x_{3}=\frac{5\pi}{2}$$
Задание 4027
а) Решите уравнение $$2\sin^{2} x- \sqrt{3}\sin 2x =0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{3\pi}{2};3\pi]$$
А) Воспользуемся формулой двойного аргумента:
$$2 \sin^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin x(\sin x-\sqrt{3}\cos x)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x-\sqrt{3}\cos x=0\left.\begin{matrix}\end{matrix}\right|:\cos x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\tg x-\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi n , n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{3}+\pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на заданном промежутке:
$$x_{1:} 2\pi ;3\pi; x_{2} :2 \pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}.$$
Задание 4026
а) Решите уравнение: $$\cos^{2} x - \frac{1}{2}\sin 2x + \cos x = \sin x$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{\pi}{2};2\pi]$$
А) Воспользуемся формулой двойного аргумента:
$$\cos^{2}x-\frac{1}{2}*2\sin x\cos x+\cos x-\sin x=0$$
$$\cos x(\cos x-\sin x)+(\cos x-\sin x)=0$$
$$(\cos x-\sin x)(\cos x+1)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x+1=0\\\cos x-\sin x=0\left.\begin{matrix}\end{matrix}\right| : \cos x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=-1\\1-tg x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi+2\pi n, n \in Z\\tg x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi+2 \pi n , n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на заданном промежутке :
$$x_{1} :\pi$$
$$x_{2} :\pi +\frac{\pi}{4}=\frac{5 \pi}{4}$$
Задание 4025
а) Решите уравнение: $$2\sqrt{3}\cos^{2} (\frac{3\pi}{2} +x) -\sin 2x =0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[ \frac{3\pi}{2};3\pi]$$
A) Воспользуемся формулой приведение и формулой двойного аргумента:
$$2\sqrt{3} \sin^{2}x-2 \sin x \cos x=0$$
$$2 \sin x(\sqrt{3}\sin x- \cos x)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sqrt{3} \sin x-\cos x=0\left.\begin{matrix}: \cos x\end{matrix}\right|\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n , n\in Z\\\sqrt{3}tg x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\tg x=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pi n, n \in Z\\x_{2}=\frac{\pi}{6}+\pi k,k \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем корни на заданом промежутке:
$$x_{1} :2\pi ;3\pi$$
$$x_{2}:2\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{13 \pi}{6}.$$
Задание 4024
Решите уравнение: $$(2\sin x-1)(\sqrt{-\cos x}+1)=0$$
А) Подкоренное выражение неотрицательно , следовательно: $$D: -\cos x\geq 0\Leftrightarrow \cos x\leq 0$$
С другой стороны $$\sqrt{f}\geq 0\Rightarrow$$ $$\sqrt{-\cos x}+1>0$$ при всех возможных x. Тогда остается:
$$2 \sin x-1=0\Leftrightarrow$$ $$\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{6}+2 \pi n \notin D\\x_{2}=\frac{5 \pi}{6}+2 \pi n , n \in Z\end{matrix}\right.$$
Б) Найдем значение на заданном промежутке:
$$x_{2}: 3 \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{17}{6}$$
Задание 4003
а) Решите уравнение: $$2\sin^{4} x+3\cos 2x + 1=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi;3\pi]$$
А) Воспользуемся формулой двойного аргумента: $$\cos 2x =1-2 \sin^{2}x$$
$$2 \sin^{4}x +3(1-2 \sin^{2}x)+1=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin^{4}x+3-6 \sin^{2}x+1=0\Leftrightarrow$$$$2 \sin^{4}x -6 \sin^{2}x+4=0 |:2\Leftrightarrow$$$$\sin ^{4}x-3 \sin^{2}x+2=0.$$
Пусть $$\sin^{2}x=y, D:|y|\leq 1\Rightarrow$$$$y^{2}-3y+2=0$$
$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=3 \\y_{1}*y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=2 \notin D\\y_{2}=1\end{matrix}\right.$$
$$\sin^{2}x =1\Leftrightarrow$$ $$\sin x=\pm 1\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z.$$
Б) Отберем корни, принадлежащие данному промежутку:
$$\frac{3 \pi}{2}; \frac{5 \pi}{2}$$.
Задание 4002
а) Решите уравнение: $$8\sin^{2} x + 2\sqrt{3}\cos x +1=0$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:$$[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$$
А) Воспльзуемся основным тригонометрическим тождеством: $$1-\cos^{2}x=\sin^{2}x$$
$$8(1-\cos^{2}x)+2\sqrt{3} \cos x+1=0$$
Замена: $$\cos x=y; |y|\leq 0$$
$$8-8y^{2}+2\sqrt{3}y+1=0\Leftrightarrow$$$$-8y^{2}+2\sqrt{3}y+9=0 |*(-1)\Leftrightarrow$$$$8y^{2}-2\sqrt{3}y-9=0$$
$$D=(2\sqrt{3})^{2}+4*8*9=12+288=300$$
$$y_{1}=\frac{2\sqrt{3}+10\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$ - не подходит ($$|\cos x| \leq 1)$$.
$$y_{2}=\frac{2\sqrt{3}-10\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x_{1,2}=\pm \frac{5 \pi}{6 }+2 \pi n, n\in Z$$
Б) На данном промежутке встречаются оба корня:
$$x_{2}: -3 \pi +\frac{\pi}{6}=-\frac{17 \pi}{6}$$
$$x_{1} :-3 \pi -\frac{\pi}{6}=-\frac{19 \pi}{6}$$
Задание 4001
а) Решите уравнение $$\cos 2x - \sqrt{2}\cos (\frac{3\pi}{2} + x) - 1 = 0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[\frac{3\pi}{2};3\pi]$$
$$\cos 2x-\sqrt{2} \cos (\frac{3 \pi}{2}+x)-1=0$$
Воспользуемся формулой двойного аргумента и привидения:
$$\cos 2x=1-2 \sin ^{2}x$$
$$\cos (\frac{3 \pi}{2}+x)=\sin x$$
Получим:
$$1-2 \sin ^{2}x -\sqrt{2} \sin x=0$$
$$-2 \sin^{2}x-\sqrt{2} \sin x=0$$
$$\sin x(2 \sin x+\sqrt{2})=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{\pi}{2}+2 \pi n , n \in Z\\x_{2}=-\frac{\pi}{4}+2 \pi n\\x_{3}=-\frac{3\pi}{4}+2 \pi n\end{matrix}\right.$$
c) на данном промежутке встречается корень: $$x_{1}: \frac{3 \pi}{2}$$ и $$x_{2} :2\pi -\frac{\pi}{4}=\frac{7 \pi}{4}$$
Задание 4000
а) Решите уравнение: $$\cos (\frac{\pi }{2}+2x)=\sqrt{2}\sin x$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[-5\pi;-4\pi]$$
a) $$\cos (\frac{\pi }{2}+2 x)=\sqrt{2} \sin x$$
$$-\sin 2x-\sqrt{2} \sin x=0$$
$$-2 \sin x* \cos x-\sqrt{2} \sin x=0$$
$$- \sin x(2 \cos x+\sqrt{2})=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\2 \cos x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}\sin x=0\\\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=\pi n\\x=\pm \frac{\pi}{4}+2 \pi k, k\in Z\end{matrix}\right.$$
b)1) $$-5 \pi; -4 \pi$$
2) $$-5 \pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{19 \pi}{4}$$
Задание 3999
а)Решите уравнение $$\sin 8\pi x+1=\cos 4\pi x+\sqrt{2}\cos (4\pi x-\frac{\pi }{4})$$
б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left [ 2-\sqrt{7};\sqrt{7}-2 \right ]$$
$$\sin 8\pi x+1=\cos 4\pi x+\sqrt{2}* \cos (4\pi x -\sin \frac{\pi}{4})$$
Воспользуемся формулой косинуса разности: $$\cos (4 \pi x-\frac{\pi}{4})=$$$$\cos 4\pi x* \cos \frac{\pi}{4}+ \sin 4 \pi x * \sin\frac{\pi}{4}=$$$$\frac{\sqrt{2}}{2}* \cos 4 \pi x +\frac{\sqrt{2}}{2}* \sin 4 \pi x$$
$$\sin 8 \pi x+1= \cos 4 \pi x +\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}* \cos 4 \pi x+\frac{\sqrt{2}}{2}* \sin 4 \pi x)$$
$$\sin (2* 4 \pi x)+1=\cos 4 \pi x+ \cos 4 \pi x+\sin 4 \pi x$$
$$2 \sin 4 \pi x* \cos 4 \pi x +1-2 \cos 4 \pi x- \sin 4 \pi x=0$$
$$2 \cos 4 \pi x(\sin 4 \pi x-1)+(1-\sin 4 \pi x)=0$$
$$(\sin 4\pi x-1)(2 \cos 4 \pi x-1)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin 4 \pi x-1 =0\\2 \cos 4 \pi x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin 4 \pi x=1\\\cos 4 \pi x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}4 \pi x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n\in Z\\4 \pi x=\frac{\pi}{3}+2 \pi n,\\4 \pi x=-\frac{\pi}{3}+2 \pi x, \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{1}{8} +\frac{n}{2}\\x_{2}=\frac{1}{12} +\frac{n}{2}\\x_{3}=-\frac{1}{12} +\frac{n}{2}, n\in Z\end{matrix}\right.$$
Рассмотрим значение $$\sqrt{7}: \sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}\Rightarrow 2<\sqrt{7}<3$$
рассмотрим корни: $$x_{1}: 2-\sqrt{7}<\frac{1}{8}+\frac{n}{2}<\sqrt{7}-2$$
$$\frac{15}{8}-\sqrt{7}< \frac{n}{2}<\sqrt{7}-\frac{17}{8}$$
$$\frac{15}{4}-2\sqrt{7}<n< 2\sqrt{7}-\frac{17}{4}$$
Тогда n=-1 ;0; 1; следовательно $$x_{1}=-\frac{3}{8};\frac{1}{8};\frac{5}{8}$$
Аналогично рассуждая для $$x_{2}=-\frac{5}{12};\frac{1}{12};\frac{7}{12};$$
И для $$x_{3}=-\frac{7}{12};-\frac{1}{12};\frac{5}{12};$$
Задание 1146
а) Решите уравнение $$ -\sqrt{2}\sin (-\frac{5\pi}{2}+x) * \sin x = \cos x$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left [ \frac{9\pi }{2};6\pi \right ]$$
a) $$-\sqrt{2}*\sin(-\frac{5\pi }{2}+x)*\sin x=\cos x$$
Воспользуемся формулой привидения:
$$\sin (-\frac{5\pi }{2}+x)=-\cos x$$
$$-\sqrt{2}(-\cos x))*\sin x -\cos x =0$$
$$\sqrt{2}*\cos x *\sin x -\cos x=0$$
$$\cos x (\sqrt{2}*\sin x -1 )=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\\sqrt{2}*\sin x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{2}+\pi \kappa ,\kappa \in Z\\\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{2}+\pi \kappa , \kappa \in Z\\x=(-1) ^{n}*\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.$$
b) Видим , что на промежутках есть корень $$\frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$$ Найдем его:
$$5\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{19 \pi }{4}$$
Так же есть корни $$\frac{ \pi }{2}+\pi n , n \in Z$$. Найдем их: $$\frac{9\pi }{2}; 5\pi +\frac{\pi }{2}=5,5\pi$$
Задание 1145
а) Решите уравнение $$1+\log_{2} (9x^{2}+5)=log_{\sqrt{2}} \sqrt{8x^{4}+14}$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$ \left [ -1;\frac{8}{9} \right ]$$