Параллелограммы

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть $$\angle ABC=65^{\circ};\angle CBD=50^{\circ}$$, тогда $$\angle B=65+50=115^{\circ}$$, и по свойству углов параллелограмма $$\angle A=180-\angle B=180-115=65^{\circ}$$, что и есть меньший угол парарллелограмма

Пусть $$\angle A=x$$, тогда $$\angle B=x+40$$, по свойству углов параллелограмма $$\angle A+\angle B=180\Leftrightarrow$$$$x+x+40=180\Leftrightarrow$$$$x=70$$,то есть $$\angle A=70^{\circ}$$, что и есть меньший угол

Пусть $$\angle A=x$$, тогда $$\angle B=2x$$, по свойству углов параллелограмма $$\angle A+\angle B=180^{\circ}\Leftrightarrow$$$$x+2x=180\Leftrightarrow$$$$x=60$$, следовательно, $$\angle A=60^{\circ}$$, что и есть меньший угол

Пусть $$\angle BAC=30^{\circ}; \angle CAD=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=30+45=75^{\circ}$$, и по свойству углов параллелограмма: $$\angle B=180-\angle A=180-75=105^{\circ}$$, что и есть больший угол

AB+CD=AD+BC (свойство описанного четырехугольника), но AB=CD, AD=BC (свойство параллелограмма), тогда AB=BC=CD=AD, и ABCD - ромб, тогда его периметр $$6*4=24$$

AE=EC (свойство диагоналей параллелограмма), тогда AB=AE, следовательно, треугольник ABE - равнобедренный и $$\angle ABE=\angle BEA$$, $$\angle ACD=\angle BAE$$ (накрестлежащие), тогда из треугольника ABE: $$\angle BEA=\frac{180-\angle BAE}{2}=\frac{180-84}{2}=48$$

$$\angle BAK=\angle KAD$$(свойство биссеткрисы), $$\angle BKA=\angle KAD$$ (накрестлежащие углы), следовательно, $$\angle BAK=\angle BKA$$, тогда треугольник ABK - равнобедренный и AB=BK=7, но BC=BK+KC=7+132=19=AD, тогда периметр составит: $$2*(7+19)=52$$

$$\angle EAD = \angle BEA=33^{\circ}$$ (накрестлежащие), но так как AE - биссектриса, то $$\angle BAE=\angle DAE=33^{\circ}$$, тогда $$\angle A=33+33=66^{\circ}$$

Сторона ромба равна $$\frac{36}{4}=9$$, из формулы площади ромба:$$h=\frac{S}{a}=\frac{36}{9}=4$$, где h - высота, a - сторона ромба.

OP=OR=PQ=QR ( по свойству ромба ), тогда, так как PR - общая, то треугольники POR И PQR равны, следовательно, $$\angle O=\angle Q$$. Пусть $$\angle Q=x$$, тогда большая дуга PR=2x (по свойству вписанного угла), тогда меньшая дуга RP=360-2x и $$\angle O=360-2x$$ ( по свойству центрального угла ), тогда $$x=360-2x\Leftrightarrow$$$$x=120$$, то есть $$\angle O=120^{\circ}$$, тогда по свойству углов ромба $$\angle P=180-\angle O=60^{\circ}$$

Площадь квадрата составляет $$S=a^{2}=10^{2}=100$$

Так как периметр квадрата составляет 40, тогда сторона квадрата равна $$a=\frac{P}{4}=\frac{40}{4}=10$$. Следовательно, площадь квадрата составляет $$S=a^{2}=10^{2}=100$$

Площадь квадрата на данном рисунке составляет $$6^{2}=36$$, площадь прямоугольника составляет $$3*2=6$$, тогда площадь оставшейся фигуры $$36-6=30$$

Площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними. По свойству квадрата, его диагонали равны, а угол между ними составляет 90 градусов.
Тогда площадь квадрата составит $$S=\frac{1}{2}*1*1*\sin 90^{\circ}=0,5$$

Если квадрат описан около окружности, то диаметр окружности и сторона квадрата равны друг другу, тогда радиус окружности в два раза меньше стороны, то есть сторона квадрата $$a=2r=2*83=166$$.
Тогда площадь квадрата составляет $$S=a^{2}=166^{2}=27556$$

По определению площади прямоугольника : $$S=10*12=120$$

1. Из треугольника ABC: пусть угол С равен 30 градусам, тогда $$AB=AC*\sin 30^{\circ}=5$$
2. Аналогично $$BC=AC*\cos 30^{\circ}=5\sqrt{3}$$
3. Площадь прямоугольника в таком случае: $$S=5*5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$$, в ответе необходимо указать значение, деленное на $$\sqrt{3}$$, то есть 25

1. Пусть х - меньшая сторона, тогда х+2 - большая сторона. Из определения периметра прямоугольника: $$(x+x+2)*2=44\Leftrightarrow$$$$x=10$$, тогда меньшая сторона равна 10, большая 12
2. Из определения площади прямоугольника: $$S=10*12=120$$

1. Пусть меньшая сторона 4х, тогда большая сторона 11х. По определению периметра прямоугольника: $$(4x+11x)*2=60\Leftrightarrow$$$$x=2$$, тогда меньшая сторона $$4*2=8$$, большая сторона  $$11*2=22$$
2. Из формулы площади прямоугольника $$S=8*22=176$$

  1) Из треугольника ABC по теореме Пифагора: $$AB=\sqrt{100^{2}-96^{2}}=28$$

  2) Из формулы площади прямоугольника: $$S=96*28=2688$$

1) $$\angle EAB=45^{\circ}$$ и $$\angle B=90^{\circ}$$, тогда $$\angle AEB=45^{\circ}$$ (по сумме углов треугольника), следовательно, AEB - равнобедренный, и AB=BE=12

2) EC=BC-BE=17-12=5, DC=AB=12, тогда по теоереме Пифагора из треугольника DCE: $$ED=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$$ 

1. Пусть a - сторона ромба, тогда $$a=\frac{40}{4}=10$$
2. Найдем площадь ромба: $$S=10*10*\sin 30^{\circ}=50$$

1. Пусть a - сторона ромба, тогда $$a=\frac{24}{4}=6$$
2. Найдем площадь ромба: $$S=6*6*\frac{1}{3}=12$$

Из формулы площади параллелограмма: $$S=12*10=120$$

Из формулы площади параллелограмма: $$S=12*5*\sin 45=30\sqrt{2}$$. В ответе необходимо найти указать ответ, деленный на $$\sqrt{2}$$, то есть 30

Пусть угол D равен 30 градусам, тогда из формулы площади ромба: $$S=10*10*\sin D=50$$

1. Найдем площадь треугольника AED: $$S_{AED}=\frac{1}{2}ED*h=\frac{1}{4}CD*h=\frac{1}{4}S_{ABCD}$$, где h - высота параллелограмма
2. Тогда $$S_{AECB}=\frac{3}{4}S_{ABCD}=42$$

Из формулы площади ромба: $$S=\frac{1}{2}*14*6=42$$

1. Из треугольника AED: $$S_{AED}=\frac{1}{2}*1*9=4,5$$
2. Ромб состоит из четырех равных прямоугольных треугольников, образованных диагоналями ромба, тогда $$S_{ABCD}=4S_{AED}=18$$

1. Пусть BD=80, тогда по свойству диагоналей ромба: $$ED=\frac{1}{2}BD=40$$
2. Из прямоугольного треугольника EAD: $$EA=\sqrt{50^{2}-40^{2}}=30$$, тогда AC=60
3. Из формулы площади ромба: $$S=\frac{1}{2}*80*60=2400$$

1. Из прямоугольного треуголььника BDH : $$BH=\sqrt{53^{2}-28^{2}}=45$$
2. $$AD=AH+AD=29$$, тогда площадь параллелограмма $$S=45*29=1305$$

1. $$AD=AH+HD=5+8=13$$, тогда по свойству ромба $$AB=13$$
2. Из прямоугольного треугольника ABH: $$BH=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$$
3. Из формулы площади ромба $$S=12*13=156$$

1. Пусть $$\angle BAC=30^{\circ} ; \angle CAD=45^{\circ}$$, тогда $$\angle A=30+45=75^{\circ}$$
2. По свойству углов параллелограмма: $$\angle B=180-75=105^{\circ}$$ - это и есть больший угол

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$S=AB\cdot DH=BC\cdot DG$$

$$22\cdot 33=44\cdot x$$

$$x=\frac{22\cdot 33}{44}=16,5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$P=\frac{1}{2}AC\cdot2+\frac{1}{2}BD\cdot2=7+10=17$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть OC = 4x, тогда OB = 3x. Так как дан ромб, то все стороны равны, и CB = P / 4 = 200 / 4 = 50 По теореме Пифагора для треугольника COB : $$(3x)^2+(4x)^2=50^2$$ В таком случае x = 10, а значит CO = 40, AC = 2CO=80 ; OB = 30, DB = 2OB = 60 Площадь ромба вычиляется как половина произведения длин диагоналей или как произведение стороны основания на проведенную кн ему высоту, отсюда, если выразить высоту за h: $$\frac{1}{2}*AC*DB=AB*h$$ $$h=\frac{AC*DB}{2AB}=\frac{80*60}{2*50}=48$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

KC=BC-BK=AD-AB=23-15=8 Из $$\Delta KDC$$: $$KD=\sqrt{KC^{2}+CD^{2}}=$$$$\sqrt{15^{2}+8^{2}}=17$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$\angle BCE=\angle ECD$$ (EC-биссектриса )

$$\angle BCE=\angle CED$$ (накрест лежащие ),тогда $$\Delta CED$$ - равнобедренный и CD=ED=5

2) Аналогично , $$\Delta ABE$$ - равнобедренный , следовательно AB=AE=5

3) $$AD=AE+ED=5+5=10$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1. $$\angle BAK=\angle KAD$$ (AK-биссектриса); $$\angle KAD=BKA$$ (накрест лежащие ) $$\Rightarrow$$ $$\Delta ABK$$ –равнобедренный ; $$AB=BK=3$$$$\Rightarrow$$ $$KC=AD-BK=2$$
2. аналогично $$CD=CM=3$$$$\Rightarrow$$ $$MK=CM-KC=1$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Из $$\Delta ABM$$: $$BM=\sqrt{AB^{2}+AM^{2}}=15$$

2) $$\angle KBC=\angle BMA$$ (накрест лежащие ); $$\angle BKC=\angle AKM$$ (вертикальные )$$\Rightarrow$$ $$\Delta BKC\sim \Delta AKM$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{BK}{AM}=\frac{BK}{KM}=\frac{BC}{AM}=\frac{2}{1}$$$$\Rightarrow$$ $$BK=\frac{2}{3}BM=10$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!