Объёмы многогранников

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S – вершина , BD – диагональ основания) образует угол 45^о c плоскостью основания, а сторона равна 4. Через среднюю линию треугольника ABD, не пересекающую BD и середину высоты пирамиды, проведена плоскость $$\alpha$$.

Основанием пирамиды SABC является треугольник АВС, в котором АВ=5, ВС=12 и $$\angle ABC=90^{\circ}$$. Ребро AS перпендикулярно основанию АВС и равно $$2\sqrt{14}$$. Точки L и M расположены на ребрах SC и SB. При этом $$\frac{CL}{SL}=\frac{SL}{SC}$$, $$SM\cdot MB=\frac{SB^{2}}{9}$$ причем точка М расположена ближе к В, чем к S.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро АА₁равно $$5\sqrt{3}$$. На ребре DD₁отмечена точка М так, что DM:MD₁=3:2. Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой A₁F₁и проходит через точки М и Е.

а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью $$\alpha$$ — равнобедренная трапеция.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием — сечение призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью а.

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА =1:2. Точки Р и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ – точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD=BE=AL=2.

Объем куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с нижним основанием ABCD равен 27. Над плоскостью верхнего основания отмечена точка Е такая, что BE=$$\sqrt{41}$$ и CE=$$5\sqrt{2}$$.

В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобедренная трапеция KLMN, описанная около окружности и такая, что KN=LM=4, MN>KL и угол между прямыми KN и LM равен 600. Две противоположные грани этой пирамиды перпендикулярны основанию и SM=12.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен $$\frac{2\sqrt{34}}{17}$$

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ заданы длины ребер AD = 12, AB = 5, AA₁ = 8. Найдите объем пирамиды MB₁C₁D, если M — точка на ребре AA₁, причем AM = 5.

Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1. Вычислите объём пирамиды MPTC.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ боковое ребро равно $$8\sqrt{3}$$, а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB₁. Найдите объём пятигранника ABCA₁D.