Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C2) Стереометрическая задача

Объёмы многогранников

 

Задание 3205

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ=ВС=4, СС1=8. Точка К – середина ребра АВ, точка М – середина ребра ВС. Точка Р лежит на ребре DD1 так, что DP:PD1=3:5.
А) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна прямой DВ1.
Б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью КМР, а вершиной – точка D.

Ответ: 14
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4018

Куб целиком находится в правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S так, что одна грань куба принадлежит основанию, одно ребро целиком принадлежит грани SBC, а грани SAB и SAC содержат по одной вершине куба. Известно, что ребро АВ в 2 раза больше высоты пирамиды.

А) Докажите, что плоскость, проходящая через вершины куба, принадлежащие граням SAB и SAC, и вершину пирамиды, перпендикулярна плоскости ASD, где D – середина стороны ВС.
Б) Найдите отношение объемов пирамиды и куба.
Ответ: $$\frac{(2+3\sqrt{3})^{3}}{72}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть h - высота пирамиды, тогда $$AB=CB=AC=2h$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot2h\cdot2h\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}h^{2}$$ $$\Rightarrow$$

$$V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot h\cdot\sqrt{3}h^{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}h^{3}$$

2) Пусть KL - ребро куба; $$KL\in(SBC)$$;

$$(NMLK)\parallel(N_{1}M_{1}L_{1}K_{1})\cap SBC\Rightarrow KL\parallel CB$$;

аналогично: $$C_{1}B_{1}\parallel CB$$; $$A_{1}B_{1}\parallel B$$;$$A_{1}C_{1}\parallel AC$$

3) Пусть ребро куба - x $$\Rightarrow$$

$$d((ABC);(A_{1}B_{1}C_{1}))=x$$ - расстояние $$\Rightarrow$$

высота $$SA_{1}B_{1}C_{1}=h-x$$

4) Пусть $$SO_{1}$$- высота $$SABC$$, $$SO_{2}$$ - высота $$SA_{1}B_{1}C_{1}$$

$$\bigtriangleup SO_{2}B_{1}\sim\bigtriangleup SO_{1}B\Rightarrow\frac{SB_{1}}{SB}=\frac{SO_{2}}{SO_{1}}=\frac{h-x}{h}$$

$$\bigtriangleup SB_{1}A_{1}\sim\bigtriangleup SBA\Rightarrow\frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{SB_{1}}{SB}=\frac{h-x}{h}$$ $$\Rightarrow$$

$$A_{1}B_{1}=AB\cdot\frac{h-x}{h}=2h\cdot\frac{h-x}{h}=2(h-x)$$

5) $$\bigtriangleup NMA_{1}$$ - правильный; $$NA_{1}=NM=x$$ $$\Rightarrow$$

из $$C_{1}NK$$: $$C_{1}N=\frac{NK}{\sin 60}=\frac{2x}{\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$

$$C_{1}A_{1}=C_{1}N+NA_{1}=x(1+\frac{2}{\sqrt{3}})$$

6) $$\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$$ - правильный  $$\Rightarrow$$

$$2(h-x)=x(1+\frac{2}{\sqrt{3}})$$

$$2h-2x=x(1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$

$$x(3+\frac{2}{\sqrt{3}})=2h$$ $$\Rightarrow$$

$$x=\frac{2h\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+2}$$ $$\Rightarrow$$

$$V_{KLMNK_{1}L_{1}N_{1}M_{1}}=x^{3}=(\frac{2h\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+2})^{3}$$

7) $$\frac{V_{ABCD}}{V_{KLMNK_{1}L_{1}N_{1}M_{1}}}=\frac{\sqrt{3}h^{3}}{3}\cdot\frac{(2+3\sqrt{3})^{3}}{2^{3}h^{3}\sqrt{3}^{3}}=$$

$$=\frac{(2+3\sqrt{3})^{3}}{9\cdot8}=\frac{(2+3\sqrt{3})^{3}}{72}$$

Задание 4356

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно $$8\sqrt{3}$$, а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB1. Найдите объём пятигранника ABCA1D.

Ответ:

Задание 4364

Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1. Вычислите объём пирамиды MPTC.

Ответ:

Задание 4365

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD = 12, AB = 5, AA1 = 8. Найдите объем пирамиды MB1C1D, если M — точка на ребре AA1, причем AM = 5.

Ответ:

Задание 4366

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен $$\frac{2\sqrt{34}}{17}$$

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
Ответ:
 

Задание 4669

Основанием пирамиды FABCD является квадрат ABCD. На ребре AF взята точка Е такая, что отрезок СЕ перпендикулярен ребру AF. Проекция О точки Е на основание пирамиды лежит на отрезке АС и делит его в отношении AO:OC=4:1. Угол ADF равен 900.

А) Докажите, что ребро FC перпендикулярно плоскости основания пирамиды
Б) Найдите разность объемов пирамид FABCD и EABD, если известно, что АВ=1.
Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 5009

В основании прямой призмы $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ лежит прямоугольная  трапеция АВСD с основаниями ВС и АD (ВС < АD), в которой АВ=5, CD=4, ВС=6. Через  точку С и середину ребра $$BB_{1}$$ параллельно $$B_{1}D$$ проведена плоскость β.

А) Докажите, что плоскость β пересекает ребро $$AA_{1}$$ в такой точке Р, что $$A_{1}P=3AP$$.
Б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, основанием которой служит  сечение призмы плоскостью β, если известно, что $$BB_{1}=16$$.  
Ответ: a) $$\frac{A_{1}P}{PA}=\frac{3}{1}$$; б) $$48$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
a) 1) из $$\bigtriangleup LAB$$: $$LA=\sqrt{AB^{2}-BL^{2}}=3$$; $$(LB\parallel DC)$$
2) $$AL\parallel CB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup LAN\sim\bigtriangleup CNB$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{LA}{CB}=\frac{AN}{NB}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}=\frac{AN}{NB}$$ $$\Rightarrow$$ $$AN=5$$
3) $$\bigtriangleup RBN\sim\bigtriangleup PAN$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PA}{RB}=\frac{AN}{NB}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$PA=\frac{1}{2}RB$$, но $$RB=\frac{1}{2}B_{1}B$$ $$\Rightarrow$$ $$PA=\frac{1}{4}BB_{1}=\frac{1}{4}AA_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$A_{1}P=\frac{3}{4}AA_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}P}{PA}=\frac{3}{1}$$
б) 1) $$CLAB$$ - проекция $$\beta$$ на основание.
2) Введем ортогональную систему координат: центр в точке C, Ох через СВ, Оу через CD, Oz через CC1
$$C(0;0;0)$$; $$L(6;4;0;)$$; $$R(6;0;8)$$
$$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение плоскости
$$\left\{\begin{matrix}0a+0b+0c+d=0\\6a+4b+0c+d=0\\6a+0b+8c+d=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}d=0\\6a+4b=0\\6a+8c=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}d=0\\b=-\frac{3a}{2}\\c=-\frac{3a}{4}\end{matrix}\right.$$
$$ax-\frac{3a}{2}y-\frac{3a}{4}z+0=0$$ $$|\div a$$
$$x-\frac{3}{2}y-\frac{3}{4}z+0=0$$ $$\Rightarrow$$ $$\vec{n}{1;-\frac{3}{2};-\frac{3}{4}}$$ - нормаль для $$\beta$$
$$\vec{m}{0;0;1}$$ - нормаль для основания $$\Rightarrow$$ $$\cos\alpha=\frac{|1\cdot0+(-\frac{3}{2})\cdot0-\frac{3}{4}\cdot1|}{\sqrt{1+\frac{9}{4}+\frac{9}{16}}\cdot\sqrt{1}}=$$ $$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{\frac{16+36+9}{16}}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{61}}=\frac{3}{\sqrt{61}}$$
3) $$S_{CLAB}=\frac{3+6}{2}\cdot4=9\cdot2=18$$; $$S_{\beta}=\frac{S_{CLAB}}{\cos\alpha}=\frac{18\cdot\sqrt{61}}{3}=6\sqrt{61}$$
4) $$d(B_{1};\alpha)=\frac{|6-\frac{3}{2}\cdot0-\frac{3}{4}\cdot16|}{\sqrt{1+\frac{9}{4}+\frac{9}{16}}}=\frac{|6-12|}{\frac{\sqrt{61}}{4}}=$$ $$\frac{6\cdot4}{\sqrt{61}}=\frac{24}{\sqrt{61}}$$
5) $$V=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{61}\cdot\frac{24}{\sqrt{61}}=48$$
 

Задание 5337

В треугольной пирамиде ABCD длины всех рёбер равны. Точка Р равноудалена от вершин А и D, причём известно, что PB = PC и прямая РВ перпендикулярна высоте треугольника АСD, опущенной из вершины D.

а) Докажите, что точка Р лежит на пересечении высот пирамиды ABCD .
б) Вычислите объем пирамиды ABCD, если известно, что $$PB=\sqrt{\frac{3}{2}}$$
Ответ: $$\frac{\sqrt{8}}{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а) 1)PA=PD, тогда NP - серединный перпендикуляр для AD

2)PB = PC, тогда MP - серединный перпендикуляр для CB.

3)AM перпендикулярно CB, тогда NM также перпендикулярно CB и значит $$P \in NM ; P \in AMD$$

4)$$PB \cap DK = L$$. $$BK \perp AC \Leftrightarrow BL \perp AC$$, но по условию $$BL \perp DL$$, значит $$BL \perp (ADC)$$, то есть BL - высота пирамиды и $$P \in DKB$$. Следовательно, точка P лежит в двух плоскостях, значит принадлежит линии пересечения. $$(AMD) \cap (DKB) = PO$$, где PO - высота пирамиды, следовательно P лежит на пересечении высот

б)1) Пусть длина ребра х, тогда из треугольника ADC: $$DK=KB=\frac{\sqrt{3}x}{2}$$, $$DL=\frac{2}{3}DK=\frac{x\sqrt{3}}{3}$$ (по свойству медиан)

2)$$\sin LBD = \frac{DL}{DB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$, тогда $$\cos LBD = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ ( по основному тригонометрическому тождеству )

3)из треугольника PQB: $$QB=PB \cos LBD $$, $$QB=\frac{1}{2}x$$ (свойство медианы). Тогда $$\frac{1}{2}x=\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{6}}{3}=1$$, тогда ребро равно 2

4)Из треугольника ABC :$$BK=\frac{\sqrt{3}}{2}*2=\sqrt{3}$$, $$OB = \frac{2}{3}BK = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

5)$$DO=\sqrt{DB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{\frac{8}{3}}$$, тогда $$S_{ABC}=\frac{1}{2}*2*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$, и объем пирамиды $$V=\frac{1}{3}S_{ABC}*DO=\frac{1}{3}*\sqrt{3}*\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{8}}{3}$$

 

Задание 6183

На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SАВСD отмечена точка M, причем SМ:МD=3:2. Точки P и Q – середины рёбер BC и AD соответственно

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду
Ответ: $$\frac{13}{37}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

 

а)   1)Соединяем точки Q и P и Q и M (лежат в одной плоскости). Так как Q и P середины, то $$QP\parallel DC$$, тогда построим через М прямую, параллельную DC, пусть она пересекет SC в точке L. То есть $$ML\parallel DC\parallel QP$$, значит QMLP - трапеция

      2)Из параллельности ML и DC получаем подобие SML и SDC, тогда, так как DS=CS, то и MD=LC. Так как AD=BC, то их половины QD=PC. $$\angle QDM=\angle PCM$$, тогда треугольники QDM и CPL равны по двум стороным и углу между ними и MQ=PL, то есть тапеция равнобедренная.

б)   1)Разобьем многогранник QDCPLM на четырехугольную пирамиду QDCPM и треугольную MLCP. Пусть объем пирамида SABCD равен V.

     2) Если опустить перпендикуляр из точки M к плоскости ABCD, то его длина будет относить к длине перпендикуляра из S к этой плоскости так же, как DM:DS=2:5. При этом площадь QDCP составляет половину от ABCD. Выразим объем QDCPM через V: $$V_{QDCPM}=\frac{2}{5}*\frac{1}{2}V=\frac{1}{5}V$$

     3) Аналогично рассмотрим пирамиды MLCP и DSCB. Высота первой к высоте второй, опущенный к плоскости SBC будут относиться как SM:SD=3:5. При этом площадь LCP составляет $$\frac{CL*CP}{CS*CB}$$ от площади SBC, то есть $$\frac{1}{5}$$. Тогда $$V_{MLCP}=\frac{3}{5}*\frac{1}{5}V_{DSCB}=\frac{3}{25}V_{DSCB}$$. Но если рассматривать DSCB как пирамиду с основанием DCB, то очевидно, что $$V_{DSCB}=\frac{1}{2}V$$ и тогда $$V_{MLCP}=\frac{3}{50}V$$

     4) В итоге $$V_{QDCPLM}=\frac{1}{5}V+\frac{3}{50}V=\frac{13}{50}V$$. Тогда оставшаяся часть составим $$V-\frac{13}{50}V=\frac{37}{50}V$$. И отношение частей $$\frac{13}{37}$$

 

 

 

Задание 6420

Основание прямой призмы KLMNK’L’M’N’ – ромб KLMN с углом 600 при вершине К. Точки Е и F – середины ребер LL’ и LM призмы. Ребро SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S – вершина) лежит на прямой LN, вершины D и B – на прямых MM’ и EF соответственно. Известно, что SA=2AB.

А) Докажите, что точка В лежит на прямой ММ’
Б) Найти отношение объемов призмы и пирамиды.
Ответ: $$\frac{\sqrt{21}}{4}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   А) 1) $$\left.\begin{matrix}LN\perp KM\\LN\perp LL_{1}\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow$$ $$LN\perp MM_{1}K_{1}K\Rightarrow$$ $$SA\perp MM_{1}K_{1}K$$

     2) т.к. BD-диагональ основания , то $$AS\perp BD$$ (в правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно скрещивающейся с ней диагональю основания ), $$\Rightarrow AS\perp MM_{1}K_{1}K AS\perp BD$$, то $$BD \in (MM_{1}K_{1}K)$$ или $$BD\left | \right |(MM_{1}K_{1}K)$$, но по условию $$BD\cap MM_{1}=D$$, следовательно, $$BD\in (MM_{1}K_{1}K)$$ и $$B \in MM_{1}$$

   Б) 1) $$\Delta ELF=\Delta FMB$$($$LF=FM, \angle LEF=\angle MBF$$- накрест лежащие , $$\angle L=\angle M$$)$$\Rightarrow MB=EL=\frac{1}{2}LL_{1}=\frac{1}{2}MM_{1}$$

     2) т.к. $$SA\perp ( MM_{1}K_{1}K)$$, то $$SA\perp KM$$ , но т.е. $$KM\perp BD$$, то, т.к. ABCD - квадрат, а диагонали квадрата перпендикулярны, то M-точка пересечения диагоналей . $$MO \perp SA$$

     3) Пусть AB=a, тогда SA=2a, $$AM=MD=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$

$$SM=\sqrt{SA^{2}-AM^{2}}=$$$$\sqrt{4a^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=$$$$\frac{a\sqrt{14}}{2}$$

$$MO=\frac{AM*SM}{SA}=$$$$\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}*\frac{a\sqrt{14}}{2}}{2a}=$$$$\frac{a\sqrt{7}}{4}$$

$$LO=MO tg\angle LMO=MO*tg30=$$$$\frac{a\sqrt{7}}{4}*\frac{\sqrt{3}}{3}=$$$$\frac{a\sqrt{21}}{12}$$

$$S_{KMMN}=\frac{1}{2}KM*LN=$$$$\frac{1}{2}*2*MO*2*LO=$$$$2*\frac{a\sqrt{7}}{4}*\frac{a\sqrt{21}}{12}=$$$$\frac{7a^{2}\sqrt{3}}{24}$$

     4) $$\Delta BMF=\Delta ELF\Rightarrow$$ $$EL=MB=MD=\frac{\sqrt{2}a}{2}\Rightarrow$$ $$LL_{1}=2EL=a\sqrt{2}$$, пусть $$V_{1}$$ и $$V_{2}$$ объемы $$KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}$$ и $$SABCD$$, тогда:

$$V_{1}=S_{KLMN}*LL_{1}=$$$$\frac{7a^{2}\sqrt{3}}{24}*a\sqrt{2}=$$$$\frac{7a^{3}\sqrt{6}}{24}$$

$$V_{2}=\frac{1}{3}s_{ABCD}*SM=$$$$\frac{1}{3}a^{2}*\frac{a\sqrt{14}}{2}=$$$$\frac{a^{3}\sqrt{14}}{6}$$

$$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{7a^{3}\sqrt{6}}{24}*\frac{6}{a^{3}\sqrt{14}}$$$$=\frac{7\sqrt{6}}{4\sqrt{14}}=$$$$\frac{\sqrt{21}}{4}$$

 

Задание 7441

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребре В1С1 отмечена точка L так, что В1L=1. Точки К и М – середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость $$\gamma$$ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

А) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости $$\gamma$$ 
Б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение данной призмы плоскостью $$\gamma$$.
Ответ: $$5\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7514

Точка О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD является основанием высоты SO пирамиды SABCD. Плоскость, параллельная плоскости АВС пересекает ребра AS, BS, CS и DS в точках А1, В1, С1и D1соответственно.

   А) Докажите, что $$\Delta A_{1}B_{1}O=\Delta C_{1}D_{1}O$$
   Б) Найдите объем пирамиды АА1В1BO, если AS=15, BS=13, AB=6, SO=12 и плоскость А1В1С1делит SO в отношении 3:2, считая от вершины S.
Ответ: $$25,6\sqrt{2}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7636

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD имеют длину 2. Точки М и N – середины рёбер AS и АВ соответственно. Через точку М перпендикулярно прямой CN проходит сечение.

А) Найдите площадь этого сечения.
Б) Найдите, в каком отношении сечение делит объем пирамиды SABCD
Ответ: а) $$\frac{3\sqrt{10}}{16}$$; б)$$\frac{119}{9}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7894

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона AB основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3. На ребрах AB и В1С1 отмечены точки K и L соответственно, причём АК=В1L= 2. Точка M – середина ребра A1C1. Плоскость $$\gamma$$ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости $$\gamma$$ .
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой – точка M, а основание – сечение данной призмы плоскостью $$\gamma$$
Ответ: $$6\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

A) 1) Пусть $$KR\parallel AC$$; через $$L$$ проведем прямую $$\parallel KR=LH$$ $$\Rightarrow$$ $$LHKR=\gamma$$

2) $$B_{1}M\perp A_{1}C_{1}$$; $$BN\perp AC$$; $$(B_{1}MNB)\cup\gamma=QO$$; $$MB\cup QO=z$$

3) $$\bigtriangleup KRB\sim\bigtriangleup ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BO}{BN}=\frac{BK}{BA}=\frac{2}{3}$$ $$(KR\parallel AC)$$, аналогично $$\bigtriangleup B_{1}HL\sim\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{B_{1}Q}{B_{1}M}=\frac{B_{1}L}{b_{1}C_{1}}=\frac{1}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$MQ=\frac{2}{3}B_{1}M$$; $$BO=\frac{2}{3}BN_{1}$$, но $$B_{1}M=BN$$ $$\Rightarrow$$ $$MQ=B_{1}M$$. $$MB_{1}\parallel NB$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle QMZ=\angle ZBO$$; $$\angle MQZ=\angle ZOB$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MQZ=\bigtriangleup OZB$$ $$\Rightarrow$$ $$MZ=ZB=\frac{1}{2}BM$$

4) $$BM=\sqrt{NM^{2}+NB^{2}}$$; $$NB=BC\cdot\sin C=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$MB=6$$ $$\Rightarrow$$ $$MZ=3$$; $$MQ=\frac{2}{3}MB_{1}=2\sqrt{3}$$

$$OQ=\sqrt{(OB-QB_{1})^{2}+MN^{2}}=\sqrt{12}$$

$$\cos\angle MZQ=\frac{MZ^{2}+ZQ^{2}-MQ^{2}}{2MZ\cdot ZQ}=0$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MZQ=90^{\circ}$$

5) $$NB\perp KR$$ $$\Rightarrow$$ по теореме о трех перпендикулярах $$MB\perp KR$$ $$\Rightarrow$$ $$M\perp\gamma$$

Б) 1) $$MZ$$ - высота пирамиды $$HL=\frac{1}{3}A_{1}C_{1}=2$$; $$KR=\frac{2}{3}AC=4$$; $$QO=\sqrt{12}$$ и $$QO\perp KR$$ $$\Rightarrow$$ $$V=\frac{1}{3}\cdot S_{HLRK}\cdot MZ=\frac{1}{3}\cdot\frac{2+4}{2}\cdot\sqrt{12}\cdot3=6\sqrt{3}$$

 

Задание 7943

Плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны АВ и ВС основания пополам.

а) Докажите, что плоскость $$\alpha$$ делит боковое ребро в отношении 1:3, считая от вершины S
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость $$\alpha$$ разбивает пирамиду.
Ответ: $$\frac{3}{13}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8306

В окружность нижнего основания цилиндра с высотой 2 вписан правильный треугольник АВС со стороной $$\sqrt{3}$$. В окружность верхнего основания вписан правильный треугольник А1В1С1 так, что он повернут относительно треугольника АВС на угол 600

а) Докажите, что четырехугольник АВВ1С1 ‐ прямоугольник
б) Найдите объем многогранника АВСА1В1С1
Ответ: $$2\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) 1) Рассмотрим переход точек на примере нижнего основания. Т.к. $$\bigtriangleup ABC$$ - правильный, то $$\angle C=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\smile AB=120^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ точка $$A$$ переходит в середину $$\smile AB$$, аналогично $$B$$ в середину $$\smile BC$$, $$C$$ - $$\smile AC$$: Получим $$\bigtriangleup ABC\Rightarrow\bigtriangleup LKH$$. При этом получим 6 равных дуг $$\Rightarrow$$ хорды, их стягивающие, тоже равны $$\Rightarrow$$ $$ALBKCH$$ - правильный шестиугольник

2) Посмотрим на цилиндр. $$K$$ - проекция $$B_{1}$$, $$H$$ - проекция $$C_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$HK$$ - проекция $$C_{1}B_{1}$$,но $$HK\parallel AB$$ и $$HK=AB$$ $$\Rightarrow$$ $$C_{1}B_{1}=AB$$ и $$C_{1}B_{1}=AB$$.

3) $$BK\perp AB$$; $$B_{1}K\perp(ABC)$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}B\perp AB$$ $$\Rightarrow$$ $$ABB_{1}C_{1}$$ - прямоугольник

Б) $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=V_{AKBLCHA_{1}K_{1}...H_{1}}-6V_{HCAC_{1}}$$ т.к. $$V_{HCAC_{1}}=\frac{1}{3}CH_{1}\cdot S_{CHA}$$, высоты в шести отсеченных пирамидах $$(CHAC_{1};ALBA_{1};BKCB_{1};C_{1}H_{1}A_{1}A;A_{1}B_{1}L_{1}B;B_{1}K_{1}C_{1}C)$$ одинаковы, основания тоже.

2) из $$\bigtriangleup ACH$$: Пусть $$CH=HA=x$$, по т. косинусов: $$3=x^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot x\cdot\cos120^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=1$$

3) $$S_{AL...H_{1}}=\frac{\sqrt{3}x^{2}}{4}\cdot6=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{AL...H_{1}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot2=3\sqrt{3}$$

4) $$V_{HCAC_{1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin120^{\circ}\cdot2=\frac{\sqrt{3}}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=3\sqrt{3}-6\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}$$

 

Задание 9781

В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобедренная трапеция KLMN, описанная около окружности и такая, что KN=LM=4, MN>KL и угол между прямыми KN и LM равен 600. Две противоположные грани этой пирамиды перпендикулярны основанию и SM=12.

а) Найдите объем пирамиды SKLMN
б) Найдите расстояние от точки М до плоскости SKL.
Ответ: а) 48; б) $$\frac{36}{\sqrt{111}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9876

Объем куба ABCDA1B1C1D1 с нижним основанием ABCD равен 27. Над плоскостью верхнего основания отмечена точка Е такая, что BE=$$\sqrt{41}$$ и CE=$$5\sqrt{2}$$.

а) Докажите, что плоскость АВВ1 проходит через точку Е
б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости ЕВС, если объем ЕА1В1С1 в 2 раза меньше объема ЕВСС1
Ответ: а) $$\frac{3}{\sqrt{41}}$$; б) $$\frac{27}{\sqrt{41}}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10441

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ – точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD=BE=AL=2.

а) В каком отношении плоскость EDL делит объем пирамиды МАВС?
б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Ответ: А)1:8 Б)$$\arctg \frac{\sqrt{39}}{9}$$
 

Задание 10528

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM : МА =1:2. Точки Р и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
Ответ: 7:11
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11376

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро АА1равно $$5\sqrt{3}$$. На ребре DD1отмечена точка М так, что DM:MD1=3:2. Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой A1F1и проходит через точки М и Е.

а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1Fплоскостью $$\alpha$$ — равнобедренная трапеция.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием — сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1Fплоскостью а.

Ответ: 36
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 11711

Основанием пирамиды SABC является треугольник АВС, в котором АВ=5, ВС=12 и $$\angle ABC=90^{\circ}$$. Ребро AS перпендикулярно основанию АВС и равно $$2\sqrt{14}$$. Точки L и M расположены на ребрах SC и SB. При этом $$\frac{CL}{SL}=\frac{SL}{SC}$$, $$SM\cdot MB=\frac{SB^{2}}{9}$$ причем точка М расположена ближе к В, чем к S.

а) Докажите, что прямая ВС перпендикулярна АМ
б) Найдите объем пирамиды АМLC.
Ответ: $$\frac{20\sqrt{14}}{3}$$
 

Задание 11730

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S – вершина , BD – диагональ основания) образует угол 45о c плоскостью основания, а сторона равна 4. Через среднюю линию треугольника ABD, не пересекающую BD и середину высоты пирамиды, проведена плоскость $$\alpha$$.

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью $$\alpha$$ и докажите, что плоскость  $$\alpha$$ перпендикулярна ребру SC.
Б) Найдите объем пирамиды SKLM, где K, L и M точки пересечения плоскости α соответственно с ребрами SB, SD и SC.
Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{3}$$
 

Задание 12297

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро $${AA}_1$$ равно 573. На ребре $${DD}_1$$ отмечена точка М так, что $$DM:\ MD_1=\ 2:3.$$ Плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой $$A_1F_1$$ и проходит через точки М и В.

а) Докажите, что сечение призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ плоскостью $$\alpha$ - равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка $$A_1$$, а основанием - сечение призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ плоскостью $$\alpha $$.
Ответ: 189
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12352

В правильной восьмиугольной призме $$ABCDEFGHA_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$$ сторона основания АВ равна $$3\sqrt{2}$$, а боковое ребро $$AA_1$$ равно 6. На ребре $$CC_1$$ отмечена точка М так, что $$CM:MC_1\ =\ 1:2.$$ Плоскость $$\alpha $$ параллельна прямой $$H_1E_1$$ и проходит через точки М и А.

а) Докажите, что сечение призмы $$ABCDEFGHA_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$$ плоскостью $$\alpha $$ - равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка $$F_1$$, а основанием - сечение призмы $$ABCDEFGHA_1B_1C_1D_1E_1F_1G_1H_1$$ плоскостью $$\alpha $$.
Ответ: $$36+30\sqrt{2}$$
 

Задание 12413

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка К, причём $$SK:\ KC=1:3.$$ Плоскость $$\alpha $$ содержит точку К и параллельна плоскости SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha $$ - трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием - сечение пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha $$.
Ответ: $$\frac{5\sqrt{17}}{8}$$
 

Задание 12773

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём $$SM:\ MA=1:2.$$ Точки Р и Q - середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Ответ: 7:11
 

Задание 13372

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 16, высота SH равна 10. Точка К — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости АВС, проходит через точку К и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и Р соответственно.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет $$\frac{3}{4}$$ треугольника SBC.
б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.
Ответ: $$80\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 13391

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка К — середина бокового ребра SD. Плоскость АКB пересекает боковое ребро SC в точке Р.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет $$\frac{3}{4}$$ треугольника SCD.
б) Найдите объём пирамиды ACDKP.
Ответ: 150
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 14227

В основании прямой призмы $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ лежит равнобокая трапеция $$ABCD$$ с основаниями $$AD=30$$, $$BC=12$$ и боковой стороной $$AB=15$$. Через точки $$A_{1}$$, $$B_{1}$$ и $$C$$ проведена плоскость $$\beta$$. 

А) Докажите, что плоскость $$\beta$$ делит объем призмы в отношении 2:5.
Б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке $$A$$, основанием которой является сечение призмы плоскостью $$\beta$$, если известно, что $$CC_{1}=16$$.
Ответ: 768
 

Задание 14241

Дан куб $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ .

А) Докажите, что плоскость $$ACD_{1}$$ делит диагональ $$B_{1}D$$ куба в отношении 1:2.
Б) Найдите объем пирамиды $$B_{1}ACD_{1}$$, если известно, что ребро куба равно 2.
Ответ: $$\frac{8}{3}$$
 

Задание 14268

В основании пирамиды $$SABC$$ лежит равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором $$B=4$$, $$\angle BAC=120^{\circ}$$. Известно, что боковая грань $$SBC$$ перпендикулярна основанию $$ABC$$, $$SB=SC$$, а высота пирамиды, проведенная из точки $$S$$, равна $$2\sqrt{11}$$ . На ребрах $$SB$$ и $$SC$$ отмечены соответственно точки $$K$$ и $$P$$ так, что $$BK:SK=CP=SP=1:3$$.

а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью $$APK$$ является прямоугольный треугольник.
б) Найдите объем меньшей части пирамиды, на которые её делит плоскость $$APK$$.
Ответ: $$\frac{7\sqrt{33}}{6}$$.
 

Задание 14282

В основании прямой призмы $$ABCA_{1}B_{1}C_{1}$$ лежит прямоугольный треугольник $$ABC$$ с гипотенузой $$AB$$, причем $$AB=AA_{1}$$. Через точку $$B_{1}$$ перпендикулярно $$CA_{1}$$ проведена плоскость $$\alpha$$.

а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $$\alpha$$ является прямоугольный треугольник.
б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее делит плоскость $$\alpha$$, если известно, что $$AC=8$$, $$BC=6$$.
Ответ: 188,8
 

Задание 14314

В основании треугольной пирамиды $$ABCD$$ лежит правильный треугольник $$ABC$$. Боковая грань пирамиды $$BCD$$ перпендикулярна основанию, $$BD=DC$$.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро $$BC$$ перпендикулярно ребру $$AD$$.
б) Найдите объём пирамиды $$BCPD$$, где $$M$$ – точка пересечения ребра $$AD$$ и плоскости сечения, если сторона основания пирамиды $$ABCD$$ равна $$8\sqrt3$$ , а боковое ребро $$AD$$ наклонено к плоскости основания под углом $$60^{\circ}$$.
Ответ: 432
Скрыть

a) Пусть $$H$$ – середина $$BC$$. Так как треугольник $$BDC$$ равнобедренный, то прямая $$DH$$ перпендикулярна $$BC$$.

По условию боковая грань $$BCD$$ перпендикулярна основанию $$ABC$$, а значит по свойству перпендикулярных плоскостей перпендикуляр $$DH$$ к $$BC$$ является и перпендикуляром к плоскости $$ABC$$, то есть $$DH$$ – высота пирамиды $$ABCD$$.

Если в плоскости $$AHD$$ построить перпендикуляр $$HM$$ к $$AD$$, то поскольку $$AD$$, как наклонная к плоскости $$ABC$$, чья проекция $$AH$$ перпендикулярна $$BC$$, перпендикулярна $$BC$$, то $$AD$$ (будучи перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $$BCM$$), перпендикулярна ($$BCM$$) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Как построить перпендикуляр $$MH$$ к $$AD$$?

Для этого следует взять точку $$M$$ так, что $$AM:AD=1:4$$.

Действительно, как мы замечаем,

1) угол $$DAH$$ – и есть угол в $$60^{\circ}$$ между прямой $$AD$$ и плоскостью основания $$ABC$$, а значит $$AH$$ – половина $$AD$$ по свойству прямоугольного треугольника с углом в $$30^{\circ}$$;

2) $$AM$$ – половина $$AH$$, так как и в прямоугольном треугольнике $$AMH$$ есть угол в $$30^{\circ}$$. То есть $$AM$$ – половина половины $$AD$$.

Итак, искомое сечение – $$BMC$$, где $$M$$ – такая, что $$AM:AD=1:4$$.

б) Найдем объем пирамиды $$ACBM$$ с основанием $$ABC$$. $$V_{ABCM}=\frac{S_{ABC}\cdot MQ}{3}$$, где $$MQ$$ – высота указанной пирамиды. При этом, очевидно, проекция $$Q$$ точки $$M$$ на плоскость $$ABC$$ – такова, что $$AQ:AH=1:4$$ и $$MQ=\frac{DH}{4}$$.

$$MQ=\frac{DH}{4}=\frac{tg60^{\circ}\cdot AH}{4}=\frac{\sqrt3\cdot 12}{4}=3\sqrt3$$.

Итак, $$V_{ABCM}=\frac{\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{4}\cdot 3\sqrt3}{3}=144$$.

А поскольку $$V_{ABCD}=\frac{S_{ABC}\cdot DH}{3}=\frac{\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{4}\cdot 12\sqrt3}{3}=576$$, то $$V_{BCDM}=V_{ABCD}-V_{ABCM}=576-144=432$$.

 

Задание 14342

На боковых ребрах $$EA, EB, EC$$ правильной четырехугольной пирамиды $$ABCDE$$расположены точки $$M, N, K$$ соответственно, причем $$EM:EA=1:2$$, $$EN:EB=2:3$$, $$EK:EC=1:3$$.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $$M, N, K.$$
б) В каком отношении плоскость $$MNK$$ делит объем пирамиды?
Ответ: $$5:58$$