ЕГЭ Профиль
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 901
На графике производной функции у = f ' / (x) отмечены семь точек: х1,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых функция f (x) возрастает. В ответе укажите количество этих точек.
Так как дан график производной, то мы будем искать точки над осью OX (функция возрастает, производная положительна) |
Задание 937
На графике производной функции у = f' / (x) отмечены семь точек: х1,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции f (x) положительный. В ответе укажите количество этих точек.
Угловой коэффициент касательной к графику это и есть значение производной, следовательно, мы ищем, где производная положительная. Так как дан нам график производной, то мы просто найдем количество точек, которые располагаются над осью ОХ: x1,x3,x4,x6 всего 4
Задание 1013
Производная непрерывной функции f (x) равна нулю в каждой точке отрезка [‐5; 4]. Известно, что f (– 5) = – 5. Найдите f (4)
Раз производная равна нулю на всем промежутке и функция непрерывна, то функция не возрастает и не убывает, то есть сохраняет свое значение. Значит f(– 5) =f(4)= – 5
Задание 1175
Функция у = f (x) определена на отрезке [‐4; 4]. На рисунке приведен график её производной. Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите сумму всех целых x, входящих в эти промежутки.
Функция убывает, когда производная отрицательная. То есть мы смотрим, где график производной лежит под осью оХ, и выбираем оттуда целые значения Х (в задании надо сумму целых чисел). Важно выбрать значения, где производная равна 0, так как считается, что если функция определена в точках максимума или минимума, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания. Получаем точки -2; -1; 0 ; 1 ; 2 ;3
-2-1+0+1+2+3=3
Задание 2350
На рисунке изображен график $$y={f}'(x)$$ – производной функции f (x), определенной на интервале (‐6; 5). Найдите точку экстремума функции f (x), принадлежащую отрезку [-5; 4]
Точка экстремума там, где производная равна 0. Т. к. нам дан график производной, то она равна 0 там, где пересекает ось Ох, т. е. в точке -2. | ![]() |
Задание 2784
На рисунке изображён график $$y={f}'x$$ – производной функции f (x). На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 . Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f (x)?
Промежутки возрастания функции там, где график производной над осью Ox: x1; x2 $$\Rightarrow$$ 2 точки.
Задание 2860
На рисунке изображён график y=f′(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8;4). В какой точке отрезка [-7;-3] функция f(x) принимает наименьшее значение?
На всем отрезке [-7; -3] f'(x) $$\Rightarrow$$ функция возрастает минимальное значение в начале отрезка $$\Rightarrow$$ -7
Задание 2938
На рисунке изображен график y=f′(x) - производной функции f(x), определенной на интервале (-12;5). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-10;4].
$$-7; 2$$ $$\Rightarrow$$ 2 точки
Задание 2985
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Производная положительная в том случае, когда функция возрастает. Целые абсциссы на графики, где функция возрастает отмечены жирными точками. Их 4
Задание 3111
Функция у = f (x) определена на отрезке [-2; 4]. На рисунке приведен график ее производной. Укажите абсциссу точки графика функции у = f (x), в которой она принимает наименьшее значение.
Производная $$>0$$ $$\Rightarrow$$ f всегда возрастает $$\Rightarrow$$ в начале промежутка
Задание 3283
На рисунке изображен график производной функции y=f′(x), определенной на интервале (−3;9). Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Раз изображен график производной, то мы должны смотреть промежутки, где этот график находится над осью Ох (так как функция возрастает тогда, когда значение производной положительно). На этих промежутках абсциссы (координаты Х) целые: -2 ; -1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 (-2) + (-1) + 4 + 5 + 6 + 7 = -3 + 22 = 19
Задание 3370
На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ – производной непрерывной функции $$f(x)$$ , определенной на интервале (-4; 7). Найдите количество точек минимума функции $$f(x)$$ , принадлежащих отрезку [-3; 6].
Первая точка, когда график пересекает ось Ох в точке -2 (значение производной было отрицательным, стало положительным), вторая в точке 2, так как функция по условию непрерывна, а значение производной до этого было отрицательным, значит в этой точке хоть производная и не найдена, но значение функции минимальное на отрезке) и третья в точке 5.
Задание 3418
На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (- 8; 4). В какой точке отрезка [- 2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение?
На отрезке [- 2; 3] везде $$f'(x)>0$$ $$\Rightarrow$$ $$f(x)$$ везде возрастает $$\Rightarrow$$ $$f_{min}$$ в начале отрезка, т.е. в т. -2
Задание 3641
Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат — расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.
Задание 4566
Дан график производной функции $$y=f'(x)$$ и отмечены семь точек: $$x_{1},...,...,x_{7}$$. В скольких из этих точек функция $$y=f(x)$$ возрастает?
Функция возрастает там, где производная положительна (график над осью Ох): $$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{6}$$ - 5 точек
Задание 4907
На рисунке изображен график производной функции $$y=f'(x)$$, определенной на интервале (−3; 9). В какой точке отрезка [−2; 3] $$f(x)$$ принимает наибольшее значение?
В данном задании необходимо помнит следующее: производная отрицательна, значит функция убывает. В нашем случае график произвольной находится под осью Ох на всем отрезке [-2;3] (то, что он "скачет" никак не убывание функции не влияет: она просто убывает где-то быстрее, где-то медленнее). Раз функция на всем отрезке убывает, то ее наибольшее значение будет в начале отрезка.
Задание 4954
На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (−2; 11). Найдите точку экстремума функции f (x), принадлежащую отрезку [1; 6].
Точка экстремума функции там, где производная равна нулю. Так как нам дан график производной, то мы просто ищем пересечение графика с осью Ох. Эта точка с абсциссой 3
Задание 5097
На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$, определенной на интервале$$(-1;13)$$. Определите количество целых чисел $$x_{1}$$, для которых $$f'(x_{1})$$ отрицательно.
{f}'x<0 тогда, когда f(x) убывает : (0;15)-одно целое (5;9)- три целых (12;13)-ноль целых Всего 4 целых
Задание 5234
На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ – производной функции у = f (x), определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции у = f (x), принадлежащих отрезку [−14; 2].
Экстремумы функции расположены там, где производная функции равна 0, то есть там, где график производной пересекает ось Ох. На заданном отрезке таких точек 4 (с абсциссами: -13 ; -11 ; -9 ; -7)
Задание 6128
На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки ‐7, ‐3, 1, 5. В какой из этих точек значение производной этой функции наибольшее? В ответе укажите эту точку
Если f(x) возрастает , то f'(x)> 0 , если f(x) убывает, то f'(x)< 0 . В точках -3; 1; 5 f'(x)> 0. При этом касательная в точке 5 имеет большой угол $$\Rightarrow f'_{max}=f'(5).$$
Задание 6223
На рисунке изображен график производной $$y=f'(x)$$ функции $$y=f(x)$$ , определенной на интервале (-4;8) . В какой точке отрезка [-3;1] функция $$y=f(x)$$ принимает наименьшее значение?
На данном промежутке график функции находится под осью Ох. Т.к. дан график производной , то это значит, что она отрицательная и функция убывает на всем данном промежутке. Тогда наименьшее значение будет в конце промежутка, то есть в точке 1
Задание 6271
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (‐4;20). Найдите количество точек экстремума функции f(x) , принадлежащих отрезку [0;18]
Точки экстремума –точки максимума и минимума, то есть когда производная равна 0 (на рисунке отмечены черными точками ). Их на данном промежутке 5.
Задание 6461
На рисунке изображен график производной функции $$f(x)$$ , определенной на интервале (‐5;4). Найдите точку минимума функции $$f(x)$$ на этом интервале.
Точка минимума , когда {f}' переходит с «-» на «+» (был график под Ox, стал над Ox): $$x=3$$
Задание 6609
Функция $$y=f(x)$$ определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 4. На рисунке изображен график этой функции при $$-1\leq x \leq 3$$ . Найдите значение выражения $$f(-3)*f(1)*f(11)$$
С учетом периодичности функции: $$f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-2$$; $$f(1)=-2$$; $$f(11)=f(11-4*2)=f(3)=1$$
Тогда: $$f(-3)*f(1)*f(11)=-2*(-2)*1=4$$
Задание 6692
На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$ — производной функции $$f(x)$$, определенной на интервале (‐3;14). Найдите промежутки убывания функции $$f(x)$$. В ответе укажите длину наибольшего из них.
Функция убывает там, где $${f}’ (x)<0$$. Убывает на промежутке: (-4;-3) - длина 1; (2;6) - длина 4; (11;13) - длина 2
Задание 6798
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 5). В какой точке отрезка [0;4] f(x) принимает наименьшее значение?
т.к. дан график производной и на $$(-\infty ;-3)$$ - $${f}'<0$$, а на $$(-3; +\infty )$$ - $${f}'>0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=-3$$ - точка минимума. Но на отрезке $$[0; 4]$$ - $$f'>0$$$$\Rightarrow$$ $$f_{min}=f(0)$$ (функция врзрастает на всем промежутке, следовательно, меньшее значение функции в начале промежутка)
Задание 6869
Функция y=f(x) определена на отрезке [‐2; 4]. На рисунке дан график её производной. Найдите абсциссу точки графика функции y=f(x) , в которой она принимает наименьшее значение.
При x=1 имеем , что $${f}'(x)=0$$, при этом на промежутке [-2; 1): $${f}'(x)<0$$, а на (1;4]: $${f}'>0$$$$\Rightarrow$$ $$x=1$$ - точка минимума и $$f_{min}=f(1)$$
Задание 7193
Функция $$f(x)$$ определена на отрезке [‐4; 5]. На рисунке приведен график ее производной $$f'(x)$$. По графику определите количество критических точек функции $$y=f(x)$$.
Необходимо определить точки , где производная равна 0 или не существует : $$-3;-1; \approx 0,4 ; 2$$ - 4 штуки (т.к. дан график производной, то смотрим , где он пересекает ось Ox или значение по х, где $$f^{'}(x)$$ не существует – пустая точка)
Задание 7214
Функция у = f (x) определена на отрезке [‐3; 5]. На рисунке дан график её производной. Найдите количество точек минимума функции у = f (x).
Точка минимума на графике производной это точка, где производная равна нулю и график производной убывает $$\Rightarrow$$ есть на (-3; -2) и на $$(2; 3)\Rightarrow$$ 2 точки
Задание 8299
На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$. На оси абсцисс отмечены точки ‐2, ‐1, 1, 4. Какое из значений выражений
- $$f'(-2)-f'(-1)-f'(-4)$$
- $$f'(-1)\cdot f'(-4)+f'(1)$$
- $$f'(-1)-f'(1)-f'(-2)$$
- $$f'(-1)\cdot f'(4)+f'(-2)$$
является наименьшим? В ответе укажите номер этого выражения.
Задание 8865
На рисунке изображен график неравномерного прямолинейного движения тела и касательная к этому графику в точке с абсциссой $$t_{0}$$. По оси абсцисс откладывается время в секундах, по оси ординат – расстояние в метрах. Найдите мгновенную скорость этого тела в момент времени $$t_{0}$$. Ответ дайте в м/с.
Задание 10569
Функция $$y=f\left(x\right)$$ определена на промежутке $$\left(-2;7\right)$$. На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку $$x_0$$, в которой функция $$f\left(x\right)$$ принимает наибольшее значение.
Задание 10589
На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$, определенной на интервале $$(-6;8)$$. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Задание 10685
Прямая $$y=7x+28$$ является касательной к графику функции $$y=ax^2-21x+3a$$. Найдите значение коэффициента $$a$$, если известно, что абсцисса точки касания положительна.
Т. к. касательная, то $$(7x+28)'=(ax^2-21x+3a)'$$ и $$7x+28=ax^2-21x+3a$$.
Получим: $$\left\{ \begin{array}{c} 7=2ax-21 \\ ax^2-28x+3a-28=0 \\ x>0 \end{array} \right.\to $$$$\left\{ \begin{array}{c} a=\frac{14}{x} \\ 14x-28x+\frac{42}{x}-28=0 \\ x>0 \end{array} \right.$$; $$\frac{42}{x}-14x-28=0\to$$$$ -14x^2-28x+42=0\to$$$$ x^2+2x-3=0\to$$
$$\to \left[ \begin{array}{c} x_1=-3<0 \\ x_2=1\to a=\frac{14}{1}=14 \end{array} \right.$$
Задание 10834
На рисунке изображён график $$у\ =\ f'(x)$$ - производной функции $$f(x)$$. На оси абсцисс отмечены девять точек: $$x_1,\ x_2,\dots ,x_9$$. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции $$f(x)$$?
Задание 10929
На рисунке изображён график функции $$у = f(x)$$, определённой на интервале (-5; 9). Найдите количество решений уравнения $$f'(x) = 0$$ на отрезке [-2; 8].