ЕГЭ Профиль
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 938
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно ВС=4, АВ=8, СС1=14. Найдите расстояние между серединами ребер АА1 и С1D1.
|
Для этого рассмотрим треугольник HA1M: HA1=0.5AA1=7 A1M=$$\sqrt{A_{1}D_{1}^{2}+D_{1}M^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}$$ MH=$$\sqrt{A_{1}H^{2}+A_{1}M^{2}}=\sqrt{7^{2}+32}=\sqrt{81}=9$$ |
|
Задание 2824
Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВDА1.
$$S_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot h$$ $$S_{ABDA_{1}}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot S_{ABCD}\cdot h=\frac{9}{6}=1,5$$
Задание 2861
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
Пусть х - третье ребро $$2\cdot3x+2\cdot4x+2\cdot3\cdot4=94$$ $$6x+8x+24=94$$ $$\Leftrightarrow$$ $$14x=70$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=5$$
Задание 3029
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 6. Диагональ параллелепипеда равна 9. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
$$3^{2}+6^{2}+x^{2}=9^{2}$$ $$9+36+x^{2}=81$$ $$x^{2}=36$$ $$x=6$$ $$S=2\cdot3\cdot6+2\cdot3\cdot6+2\cdot6\cdot6=36+36+72=144$$
Задание 3656
В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат с площадью, равной 18. Найдите диагональ параллелепипеда, если известно, что его боковое ребро равно 8.
1) Пусть $$AB=BC=x$$: $$S_{ABCD}=x^{2}=18$$
2) $$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=2x^{2}$$
3) $$B_{1}D=\sqrt{BD^{2}+BB_{1}^{2}}=\sqrt{2\cdot18+64}=\sqrt{100}=10$$
Задание 7101
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1В1C1D1 , АВ=5, AD=3, AA1=4. Найдите тангенс угла между прямыми BD1 и DC.
1) $$AD\perp AB$$ ; $$DD_{1}\perp (ABC)\Rightarrow$$ $$D_{1}A\perp AB$$ по теореме о трех перпендикулярах; $$AB\left | \right |DC$$. Тогда $$tg (BD_{1}; DC)=tg(BD_{1}, AB)=\frac{AD_{1}}{AB}$$
2) из $$\Delta AD_{1}D$$: $$AD_{1}=\sqrt{AD^{2}+AD_{1}^{2}}=5$$
3) $$tg (BD_{1}; AB)=\frac{5}{5}=1$$
Задание 8337
Жёсткий диск представляет из себя прямоугольный параллелепипед, ширина которого у старых дисков равна 3,5 дюйма, а у современных — 2,5 дюйма. Объём старого жёсткого диска равен 22,05 кубических дюйма при высоте в 1 дюйм. Объём современного жёсткого диска равен 5,25 кубических дюймов при вдвое меньшей, чем у старого, высоте. Во сколько раз длина старого жёсткого диска больше длины современного жёсткого диска?
Задание 10610
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 6. Диагональ параллелепипеда равна 9. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
Пусть $$AB=3;AD=6\to BD=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}\to$$ $$B_1B=\sqrt{81-45}=6$$
Тогда $$S=\left(3\cdot 6+3\cdot 6+6\cdot 6\right)\cdot 2=144$$
Задание 10650
В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны отношения длин ребер: $$AB:AD:{AA}_1=16:15:34$$. Расстояние от центра грани $$ABB_1A_1$$ до вершины D равно $$34\sqrt{2}.$$ Найдите сумму длин всех ребер параллелепипеда.
$$BD_1=HM$$, где $$BH\bot AB$$, $$M$$ - середина $$DD_1$$
Пусть $$AB=16x\to AH=8x$$ $$MD=17x\to HD=\sqrt{{\left(8x\right)}^2+{\left(15x\right)}^2}=17x;$$
$$HM=\sqrt{{\left(17x\right)}^2+{\left(17x\right)}^2}=34\sqrt{2}\to$$ $$\sqrt{578x^2}=\sqrt{1156\cdot 2}\to x=2 \to$$ $$\to AB=32;AD=30;AA_1=68.$$
Сумма длин: $$\left(32+30+68\right)\cdot 4=520$$
