Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

Стереометрия

Прямоугольный параллелепипед

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 938

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно ВС=4, АВ=8, СС1=14. Найдите расстояние между серединами ребер АА1 и С1D1.

 

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Для этого рассмотрим треугольник HA1M:

HA1=0.5AA1=7

A1M=$$\sqrt{A_{1}D_{1}^{2}+D_{1}M^{2}}=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=\sqrt{32}$$

MH=$$\sqrt{A_{1}H^{2}+A_{1}M^{2}}=\sqrt{7^{2}+32}=\sqrt{81}=9$$

 

Задание 2824

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВDА1.

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$S_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=S_{ABCD}\cdot h$$ $$S_{ABDA_{1}}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot S_{ABCD}\cdot h=\frac{9}{6}=1,5$$

 

Задание 2861

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Ответ: 5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть х - третье ребро $$2\cdot3x+2\cdot4x+2\cdot3\cdot4=94$$ $$6x+8x+24=94$$ $$\Leftrightarrow$$ $$14x=70$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=5$$

 

Задание 3029

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 6. Диагональ параллелепипеда равна 9. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Ответ: 144
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$3^{2}+6^{2}+x^{2}=9^{2}$$ $$9+36+x^{2}=81$$ $$x^{2}=36$$ $$x=6$$ $$S=2\cdot3\cdot6+2\cdot3\cdot6+2\cdot6\cdot6=36+36+72=144$$

 

Задание 3656

В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат с площадью, равной 18. Найдите диагональ параллелепипеда, если известно, что его боковое ребро равно 8.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

1) Пусть $$AB=BC=x$$: $$S_{ABCD}=x^{2}=18$$

2) $$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}=2x^{2}$$

3) $$B_{1}D=\sqrt{BD^{2}+BB_{1}^{2}}=\sqrt{2\cdot18+64}=\sqrt{100}=10$$

Задание 3668

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 3 и 4. Пло­щадь по­верх­но­сти этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 94. Най­ди­те тре­тье ребро, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

Ответ: 5

Задание 3669

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 16. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ответ: 3

Задание 3670

Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

Ответ: 24

Задание 3671

Пло­щадь грани пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 12. Ребро, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани, равно 4. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 48

Задание 3672

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 24. Одно из его ребер равно 3. Най­ди­те пло­щадь грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ной этому ребру.

Ответ: 8

Задание 3673

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 60. Пло­щадь одной его грани равна 12. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани.

Ответ: 5

Задание 3674

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2 и 6. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 48. Най­ди­те тре­тье ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щее из той же вер­ши­ны.

Ответ: 4

Задание 3675

Три ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 4, 6, 9. Най­ди­те ребро рав­но­ве­ли­ко­го ему куба.

Ответ: 6

Задание 3676

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 32

Задание 3677

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 3. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 36. Най­ди­те его диа­го­наль.

Ответ: 7

Задание 3678

Одна из гра­ней пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да — квад­рат. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна $$\sqrt{8}$$ и об­ра­зу­ет с плос­ко­стью этой грани угол 45°. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

 

Ответ: 4

Задание 3679

Ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2, 3. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

 

Ответ: 22

Задание 3680

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 2, 4. Диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна 6. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ответ: 64

Задание 3681

Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 6. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

Ответ: 22

Задание 3682

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ равен 4,5. Най­ди­те объем тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды $$AD_{1}CB_{1}$$.

Ответ: 1,5

Задание 3683

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,D,A_{1},B,C,B_{1}$$ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$, у ко­то­ро­го $$AB=3$$, $$AD=4$$, $$AA_{1}=5$$.

Ответ: 30

Задание 3684

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,C,D_{1}$$ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$, у ко­то­ро­го $$AB=4$$, $$AD=3$$, $$AA_{1}=4$$.

Ответ: 8

Задание 3685

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A_{1},B,C,B_{1}$$ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$, у ко­то­ро­го $$AB=4$$, $$AD=3$$, $$AA_{1}=4$$.

Ответ: 16

Задание 3686

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,C,B_{1}$$ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$, у ко­то­ро­го $$AB=3$$, $$AD=3$$, $$AA_{1}=4$$.

Ответ: 6

Задание 3687

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки $$A,B,B_{1},C_{1}$$ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$, у ко­то­ро­го $$AB=5$$, $$AD=3$$, $$AA_{1}=4$$.

Ответ: 10

Задание 3688

Най­ди­те угол $$ABD_{1}$$ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го $$AB=3$$, $$AD=4$$, $$AA_{1}=5$$. Дайте ответ в гра­ду­сах.

Ответ: 45

Задание 3689

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ из­вест­но, что $$AB=4$$, $$AD=3$$, $$AA_{1}=5$$. Най­ди­те угол DBD1. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ответ: 45

Задание 3690

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ из­вест­но, что $$BD_{1}=3$$, $$CD=2$$, $$AD=2$$. Най­ди­те длину ребра $$AA_{1}$$

Ответ: 1

Задание 3691

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ ребро $$AB=2$$, ребро $$AD=\sqrt{5}$$, ребро $$AA_{1}$$. Точка $$K$$ — се­ре­ди­на ребра $$BB_{1}$$. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки $$A_{1},D_{1}$$ и $$C$$.

Ответ: 5

Задание 3692

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ из­вест­ны длины рёбер: $$AB=24$$, $$AD=10$$, $$AA_{1}=22$$. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ны $$A,A_{1}$$ и $$C$$.

Ответ: 572

Задание 3693

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ из­вест­ны длины рёбер $$AB=8$$, $$AD=6$$, $$AA_{1}=21$$. Най­ди­те синус угла между пря­мы­ми $$CD$$ и $$A_{1}C_{1}$$.

Ответ: 0,6

Задание 3694

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ из­вест­ны длины рёбер: $$AB=3$$, $$AD=5$$, $$AA_{1}=12$$ Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки AB и C1.

Ответ: 39

Задание 5983

Диа­го­наль прямоугольного па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна $$\sqrt{8}$ и об­ра­зу­ет углы 30, 30 и 45 с плос­ко­стя­ми граней параллелепипеда. Най­ди­те объем параллелепипеда.

Ответ:
 

Задание 7101

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1В1C1D1 , АВ=5, AD=3, AA1=4. Найдите тангенс угла между прямыми BD1 и DC.

Ответ: 1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   1) $$AD\perp AB$$ ; $$DD_{1}\perp (ABC)\Rightarrow$$ $$D_{1}A\perp AB$$ по теореме о трех перпендикулярах; $$AB\left | \right |DC$$. Тогда $$tg (BD_{1}; DC)=tg(BD_{1}, AB)=\frac{AD_{1}}{AB}$$

   2) из $$\Delta AD_{1}D$$: $$AD_{1}=\sqrt{AD^{2}+AD_{1}^{2}}=5$$

   3) $$tg (BD_{1}; AB)=\frac{5}{5}=1$$

 

Задание 7776

Найдите объем пирамиды A1BCD если объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1равен 60.

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8337

Жёсткий диск представляет из себя прямоугольный параллелепипед, ширина которого у старых дисков равна 3,5 дюйма, а у современных — 2,5 дюйма. Объём старого жёсткого диска равен 22,05 кубических дюйма при высоте в 1 дюйм. Объём современного жёсткого диска равен 5,25 кубических дюймов при вдвое меньшей, чем у старого, высоте. Во сколько раз длина старого жёсткого диска больше длины современного жёсткого диска?

Ответ: 1,5
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8773

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 25. Найдите объём куба.

Ответ: 200
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 9357

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины А, В, С, D, В1 прямоугольного параллелепипеда АВСВА1В1С1D1, у которого АВ=9, ВС=3, BB1=8

Ответ:
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10610

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 6. Диагональ параллелепипеда равна 9. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Ответ: 144
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$AB=3;AD=6\to BD=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}\to$$ $$B_1B=\sqrt{81-45}=6$$

Тогда $$S=\left(3\cdot 6+3\cdot 6+6\cdot 6\right)\cdot 2=144$$

 

Задание 10650

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известны отношения длин ребер: $$AB:AD:{AA}_1=16:15:34$$. Расстояние от центра грани $$ABB_1A_1$$ до вершины D равно $$34\sqrt{2}.$$ Найдите сумму длин всех ребер параллелепипеда.

Ответ: 520
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$BD_1=HM$$, где $$BH\bot AB$$, $$M$$ - середина $$DD_1$$

Пусть $$AB=16x\to AH=8x$$ $$MD=17x\to HD=\sqrt{{\left(8x\right)}^2+{\left(15x\right)}^2}=17x;$$

$$HM=\sqrt{{\left(17x\right)}^2+{\left(17x\right)}^2}=34\sqrt{2}\to$$ $$\sqrt{578x^2}=\sqrt{1156\cdot 2}\to x=2 \to$$ $$\to AB=32;AD=30;AA_1=68.$$

Сумма длин: $$\left(32+30+68\right)\cdot 4=520$$

 

Задание 11370

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1известно, что АВ=9, ВС=6, АА1=5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, D, A1, B1.

Ответ: 135
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12290

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известно, что $$АВ\ =\ 9,\ ВС=\ 8,\ АA_1\ =\ 6.$$ Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, C, $$B_1$$

Ответ: 72
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 12909

В кубе $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ найдите угол между прямой $$АВ$$ и плоскостью $$АВС_{1}$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!