ЕГЭ (профиль) / (C6) Задача с параметром

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Так как слева сумма модулей, то справа должно быть число неотрицательное :$$1-a^{3}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a^{3}\leq 1\Leftrightarrow$$ $$a\leq 1$$

     Преобразуем уравнение :$$\left | x+1 \right |=-a^{2}\left | a+\frac{x}{a^{2}} \right |+(1-a^{3})$$

$$\left | a \right |^{2}=a^{2} \left | f \right |*\left | g \right |=\left | fg \right |$$

$$\left | x+1 \right |=-\left | a^{3}+x \right |+(1-a^{3})$$

$$f=\left | x+1 \right |$$ - график модуля смещённый на 1 по Ox влево.

$$f=-\left | a^{3}+x \right |+(1-a^{3})$$ - график $$\left | x \right |$$ смещённый на $$a^{3}$$ по Ox влево или право и $$1-a^{3}$$ по Oy вверх или низ и перевернуты (с учетом $$a\leq 1$$, то по Oy вверх и $$a^{3}$$ вправо от $$x=-1$$)

     Начертим график функции:

Есть 2 случая удовлетворения условию задачи :

(1): $$\left\{\begin{matrix}-a^{3}\leq -4\\1-a^{3}\geq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{3}\geq 4\\a^{3}\leq -2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

(2):$$\left\{\begin{matrix}-a^{3}\geq 2\\1-a^{3}\geq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a^{3}\leq -2\\a^{3}\leq -2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a\leq \sqrt[3]{-2}]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{\begin{matrix}y(ax-1)=2\left | x+1 \right |+2xy\\xy+1=x-y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y(ax-1-2x)=2\left | x+1 \right |\\y(x+1)=x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=\frac{2\left | x+1 \right |}{ax-1-2x}\\y=\frac{x-1}{x+1}\end{matrix}\right.$$

Приравняем правые части функций: $$\frac{2\left | x+1 \right |}{ax-1-2x}=\frac{x-1}{x+1}$$. Раскрываем модуль:

     1) $$x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1\Leftrightarrow$$$$2(x+1)^{2}=(ax-1-2x)(x-1)\Leftrightarrow$$$$2x^{2}+4x+2=ax^{2}-ax-x+1-2x^{2}+2x\Leftrightarrow$$$$x^{2}(a-4)+x(-a-3)-1=0$$. Чтобы были корни, дискриминант должен быть неотрицательным: $$D=a^{2}+6a+9+4a-16=a^{2}+10a-7\geq 0$$. Так же корень из дискриминанта должен находится: $$D_{1}=100+28=128$$. Получаем: $$a_{1,2}=\frac{-10\pm \sqrt{128}}{2}=-5\pm 4\sqrt{2}$$

$$a \in (-\infty ; -5-4\sqrt{2}]\cup [-5+4\sqrt{2};+\infty )(*)$$ - условие возможного существованиях корней.

      При этом имеем параболу $$f(x)=x^{2}(a-4)+x(-a-3)-1$$. Рассмотрим случай, когда ни один корень не попадает в $$x\geq -1$$ (противоположный необходимому нам. То есть, найдя решения для данного случая, нам необходимо будет взять оставшийся промежуток. Например: пусть решением получим$$(0;1)$$, тогда для нахождения решений, чтобы хотя бы один корень попадал в промежуток от -1, мы возьмем $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$. Тогда абцисса вершины должна быть меньше -1, т.е. $$\frac{a+3}{2(a-4)}<-1$$ и если ветви вверх, то $$f(-1)>0$$ ветви вниз , то $$f(-1)<0$$

     Обоснование:

     Как видим, если ветви направлены вверх и f(-1)<0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности ($$x_{2}$$)

     Как видим, если ветви направлены вниз и f(-1)>0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности ($$x_{2}$$)

     Т.е. $$\left\{\begin{matrix} a-4>0\\ (a-4)+a+3-1>0\end{matrix}\right.$$ и $$\left\{\begin{matrix}a-4<0 & & \\(a-4)+a+3-1<0& &\end{matrix}\right.$$ или $$(a-4)(2a-2)>0$$

     Получаем : $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2(a+4)}<-1\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3+2a-8}{a-4}<0\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3a-5}{a-4}<0\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.$$

     Пересечений нет, значит случай невозможен и хотя бы один корень $$\geq -1$$. Тогда с учетом (*): $$a\in (-\infty ; -5-4\sqrt{2}]\cup [-5+4\sqrt{2}; +\infty )$$

     2) $$x+1<0\Rightarrow x<-1$$. Аналогично п.1

$$-2(x+1)^{2}=(ax-1-2x)(x-1)\Leftrightarrow$$$$-2x^{2}-4x-2=ax^{2}-ax-x+1-2x^{2}+2x\Leftrightarrow$$$$ax^{2}+x(-a+5)+3=0\Leftrightarrow$$$$D=a^{2}-100+25-12a=a^{2}-22a+25\geq 0\Leftrightarrow$$$$D=484-100=384\Leftrightarrow$$$$a_{1,2}=\frac{22\pm \sqrt{384}}{2}=11\pm 4\sqrt{6}\Leftrightarrow$$$$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt{6}]\cup [11+4\sqrt{6};+\infty )$$

     Имеем параболу: $$f(x)=ax^{2}+x(5-a)+3$$

     Пусть оба корня $$>-1$$, тогда $$x_{0}\geq -1$$. И при ветвях вверх $$f(-1)\geq 0$$, при ветвях вних $$f(-1)\leq 0$$, т.е. $$\left\{\begin{matrix}a> 0\\a-5+a+3\geq 0\end{matrix}\right.$$ и $$\left\{\begin{matrix}a <0\\a-5+a+3\leq 0\end{matrix}\right.$$.Или $$a(2a-2)\geq 0$$. Тогда: $$\left\{\begin{matrix}\frac{a-5}{2a}\geq -1\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a-5+2a}{2a}\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3a-5}{2a}\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.$$

     Т.е. $$a \in (-\infty ; 0]\cup [\frac{5}{3};+\infty )(3)$$ с учетом $$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt{6}]\cup [11+4\sqrt{6};+\infty )$$ и то, что промежуток (3) нас не удовлетворяет (мы должны взять наоборот $$(0;\frac{5}{3})$$ имеем:

     т.е. $$a\in (0; 11-4\sqrt{6}]$$

Сравним $$4\sqrt{2}-5$$ и $$11-4\sqrt{6}$$:

$$(4\sqrt{2}-5)^{2}=32-40\sqrt{2}+25=57-40\sqrt{2}\approx 0,43$$

$$(11-4\sqrt{6})^{2}=121-88\sqrt{6}+96=217-88\sqrt{6}\approx 1,44$$

     Объединим с (*) , тогда

     т.е. $$a \in (-\infty ;-5-4\sqrt{2}]\cup (0; +\infty )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Прибавим к обеим частям неравенства 4, получим: $$(|x+2|+3a)^{2}\leq 4\Rightarrow -2\leq \left | x+2 \right |+3a\leq 2\Rightarrow -2-3a\leq \left | x+2 \right |\leq 2-3a$$ (1)

     1. Если $$2-3a<0$$ , то есть  $$a>\frac{2}{3}$$, неравенство (1) не имеет решений (подходит под решение).

     2. Если $$2-3a=0$$, $$a=\frac{2}{3}$$ и неравенство (1) имеет одно рещение  x=-2 (подходит под решение)

     3. Если $$2-3a>0$$, неравенство (1) имеет множество рещений; в частности, этому множеству заведомо принадлежат значения $$x=-2\pm (2-3a)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Вынесем $$\sqrt[3]{x}:$$ $$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2}}+\sqrt[3]{1-\frac{1}{x}-\frac{x^{2}}{2}})=\sqrt[3]{x}*\sqrt[3]{a}$$

     Следовательно, $$\sqrt[3]{x}=0\Leftrightarrow x=0$$ является корнем, значит надо еще три отличных от 0 корня.

     Введем замену : $$\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}=t$$. Тогда: $$\sqrt[3]{1+t}+\sqrt[3]{1-t}=\sqrt[3]{a}$$

     Рассмотрим замену: пусть $$f(x)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}$$ и g(x)=t. g(x)=t – прямая, параллельная Ox. При этом f(x)-совмещенный график параболы и обратной пропорциональности. Исследуем график:

$$f(x)=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}+2}{2x}=0\Leftrightarrow$$ $$x=-\sqrt[3]{2}$$

$$f'(x)=0\Leftrightarrow$$ $$x-\frac{1}{x^{2}}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{3}-1}{x^{2}}=0$$

$$x=1$$  –точка минимума. При x=1: $$f(1)=\frac{1}{2}+1=1,5$$.

$$lim_{x\rightarrow -\infty} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=+\infty$$; $$lim_{x\rightarrow +\infty} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=+\infty$$

$$lim_{x\rightarrow -0} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=-\infty$$; $$lim_{x\rightarrow +0} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=+\infty$$.

     При x=1: $$f(1)=\frac{1}{2}+1=1,5$$. Построим эскиз :

     Видим что при t<1,5-одно решение, при t=1,5-два решения , при t>1,5 – три решения.

     Рассмотрим уравнение: $$\sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{1-t}=\sqrt[3]{a}$$. Пусть $$f(t)=\sqrt[3]{1+t}+\sqrt[3]{1-t}; g(t)=\sqrt[3]{a}$$

     Построим график :

     Каждое пересечение при t<1,5 , дает одно решение, при t>1,5 даёт три решения и т.е. есть всегда 1(при t<0) , то нас не устраивает .

     При t=1,5 будет 2 решения, да еще одно ( область t<0)-следовательно, в общем получим 3, что и нужно .

     Найдем a : $$\sqrt[3]{1+\frac{3}{2}}+\sqrt[3]{1-\frac{3}{2}}=\sqrt[3]{a}$$

$$\sqrt[3]{\frac{5}{2}}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{a}\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt[3]{5}-1}{\sqrt[3]{2}} =\sqrt[3]{a}\Leftrightarrow$$ $$a=\frac{(\sqrt[3]{5}-1)^{3}}{2}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$x^{2}(1-\frac{x^{2}a}{x^{2}+a^{2}})-x(1-\frac{x^{2}a}{x^{2}+a^{2}})\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(x^{2}-x)(1-\frac{x^{2}a}{x^{2}+a^{2}})\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x(x-1)(x^{2}+a^{2}-x^{2}a)}{x^{2}+a^{2}}\geq 0$$

$$x^{2}+a^{2}>0$$, при всех x и a ($$x \neq 0$$). Тогда $$x(x-1)(a^{2}-x^{2}a+x^{2})\geq 0$$

Пусть $$f(x)=x(x-1)$$, $$g(x)=(a^{2}-x^{2}a+x^{2})$$

     1) При $$x \in (-\infty ;0)\cup [1; +\infty )(1)$$: $$f(x)>0\Rightarrow$$ $$g(x)>0$$ тоже. Тогда , чтобы выполнилось неравенство для всех a надо, чтобы трехчлен $$a^{2}-x^{2}a+x^{2}$$ (относительно переменной a) был всегда больше или равен $$0\Rightarrow D\leq 0$$:

$$D=x^{4}-4x^{2}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x^{2}(x^{2}-4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x \in [-2,2]$$. С учетом (1): $$x \in [-2;0)\cup [1;2]$$

     2) При $$x \in (0;1), f(x)<0$$.Тогда и $$g(x)<0$$. Но у параболы вида $$f(a)=a^{2}-x^{2}a+x^{2}$$ ветви направлены вверх, то она не может быть меньше 0 при всех x. Следовательно , ответ $$x \in [-2;0)\cup [1;2]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     $$3-2 \cos x=p(1+tg^{2}x)\Leftrightarrow$$ $$3-2\cos x=p*\frac{1}{\cos ^{2}x}$$

ОДЗ: $$\cos x\neq 0$$

     $$\frac{p}{\cos ^{2}x}+2 \cos x-3=0\Leftrightarrow$$ $$2 \cos ^{3}x-3 \cos ^{2}x+p=0$$

Замена: $$\cos x=t \in [-1;0)\cup (0;1]$$

$$2 t^{3}-3t^{2}+p=0$$

1 способ:

     Пусть $$f(t)=2t^{3}-3t^{2}+p$$

$${f}'(t)=6t^{2}-6t=0\Leftrightarrow$$ $$6t(t-1)=0\Rightarrow$$ $$t=0-max, t=1-min$$

     С учетом , что $$t \in [-1;0)\cup (0;1](1)$$ имеем следующие возможные расположения графика, при котором будет хотя бы одно решение из (1):

     1) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\geq 0\\f(0)>0\\f(1)\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2(-1)^{3}-3(-1)^{2}+p\geq 0\\p>0\\2(1)^{3}-3*1^{2}+p\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\geq 5\\p>0\\p\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

     2) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\leq 0\\f(0)>0\\f(1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\leq 5\\p>0\\p\geq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$p \in [1;5]$$

     3) $$\left\{\begin{matrix}f(-1)\leq 0\\f(0)>0\\f(1)\leq 1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}p\leq 5\\p>0\\p\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$p \in (0; 1]$$

     Итог: $$p \in (0;5]$$

2 способ:

     Рассмотрим график функции $$p=3t^{2}-2t^{3}$$. 

     Найдем экстремумы: $${f}'(t)=6t-6t^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$6t(1-t)=0\Rightarrow$$ $$t=0-min, t=1-max$$

     Тогда $$p(0)=0; p(1)=1$$. При этом $$p(-1)=5$$. С учетом, что на промежутке от [-1;0) - убывает, а на (0;1] - возрастает, то $$p \in (0;5]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x} >0\\3-\sqrt{x-1}>0\\2+a^{2}>0\\x-1\geq 0\\6-x\geq 0\end{matrix}\right.$$

     Данная система будет иметь решения при следующих условиях: $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x}=1\\3-\sqrt{x-1}=1\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}a^{2}x^{3}-5a^{2}x^{2}+\sqrt{6-x}= 3-\sqrt{x-1}\\2=2+a^{2}\end{matrix}\right.(2)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1): $$3-\sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow$$ $$2=\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x=5$$. Тогда : $$a^{2}5^{3}-5a^{2}*5^{2}+\sqrt{6-5}=1\Leftrightarrow$$ $$1=1$$ - верное при $$\forall a\Rightarrow x=5$$ - решение (в ОДЗ попадает)

     Рассмотрим (2): $$2=2+a^{2}\Leftrightarrow$$ $$a^{2}=0\Leftrightarrow a=0$$, тогда нет смысла рассматривать , т.е. выполнение не при $$\forall a$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{\begin{matrix}(3\sqrt{x\left | x \right |}+\left | y \right |-3)(\left | x \right |+3\left | y \right |-9)=0(1)\\(x-a)^{2}+y^{2}=25(2)\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1) . Это совокупность графиков : $$3\sqrt{x\left | x \right |}+\left | y \right |-3=0$$ и $$\left | x \right |+3\left | y \right |-9=0$$

Т.к $$x\left | x \right |\geq 0$$, то $$x\geq 0$$, следовательно , получим $$3x+\left | y \right |-3=0$$ и $$x+3\left | y \right |-9=0$$ или $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=\frac{3-\left | y \right |}{3}\\x=9-3\left | y \right |\end{matrix}\right.(1)\\x\geq 0\end{matrix}\right.$$

     (2): окружность радиуса 5 и центром (a;0). Построим график (1)

Тогда есть 3 случая, чтобы было 3 решения.

   1) Проходит через С (1;1) и центр правее этой точки (А;B)$$\Rightarrow a=6$$ (красная окружность) 

   2) Проходит через (1;1) и центр левее (D,C,E- точки пересечения)$$\Rightarrow a=-4$$ (оранжевая)

   3) Проходит через(0;3) ;(0;-3);(9;0) $$\Rightarrow a=4$$ (синяя)

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть m=y-a; n=x-a, тогда имеем

$$\left | m \right |+\left | 1-m \right |=2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |(m(n))$$

Рассмотрим раскрытие модулей:

     1) $$n\leq 0$$: $$2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |=1+2n$$. Тогда $$m(n)$$: $$\left | m \right |+\left | 1-m \right |=1+2n$$. Раскроем модули:

  a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$m=-n$$, с учетом, что $$n\leq 0$$ , то $$m=-n$$ при $$n=0$$ и $$m=0$$

  b) $$m \in (0;1]$$: $$1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$n=0$$

  c) $$m \in (1;+\infty )$$: $$2m-1=1+2n\Leftrightarrow$$ $$m=n+1$$ при $$n\leq 0$$ – решений нет

     2) $$0<n\leq 1$$:$$ 2-\left | n \right |-\left | 1-n \right |=1$$

   a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=1\Leftrightarrow$$ $$m=0$$

   b) $$0<m\leq 1$$: $$1=1\Rightarrow$$ решение все точки в квадрате

$$\left\{\begin{matrix}0<n\leq 1\\0<m\leq 1\end{matrix}\right.$$

   c) $$m>0$$: $$2m-1=1\Rightarrow$$ $$m=1$$ решений нет

     3) $$n>1$$: $$2-\left | m \right |-\left | 1-n \right |=3-2n$$

   a) $$m\leq 0$$: $$-2m+1=3-2n\Leftrightarrow$$ $$m=n-1$$, с учетом , что $$n>1$$ решений нет

   b) $$a<m\leq 1$$: $$1=3-2n\Rightarrow$$ $$n=1\Rightarrow$$ решений нет

   c) $$m>1$$: $$2m-1=3-2n\Leftrightarrow$$ $$m=2-n$$ решений нет

Построим график m(n). С учетом , что m=y-a и n=y-a , то график y(x) будет строиться смещение вершины (0;0) на (a;a) ( по прямой (y=x)), и построим график $$y=6-2\left | x-5 \right |$$ - cуществует 2 случая с одним решением :

1) При a=2

2) При пересечении вершиной и диагональю y=x части графика $$y=6-2\left | x-5 \right |$$(она задается y=16-2x)

$$\left\{\begin{matrix}y=x\\y=16-2x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=16-2x\Leftrightarrow$$ $$3x=16\Rightarrow$$ $$x=\frac{16}{3}\Rightarrow$$ $$a=\frac{16}{3}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   Рассмотрим 2 уровнение системы . Т.к. $$\cos^{2}3x=1-\sin ^{2}3x$$ , и пусть $$\sin 3x=t$$ , тогда:

$$(\pi ^{2}(1-t^{2})-2 \pi ^{2}-72) y^{2}=2 \pi ^{2}(1+y^{2})t\Leftrightarrow$$$$(\pi ^{2}-\pi ^{2}t^{2}-2 \pi ^{2}-72-2 \pi ^{2}t ) y^{2}=2 \pi ^{2}t\Leftrightarrow$$$$(-\pi ^{2}(t^{2}+2t+1)-72)y^{2}=2 \pi ^{2}t\Leftrightarrow$$$$y^{2}=-\frac{2 \pi^{2} t}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)}\Rightarrow$$$$t\leq 0\Rightarrow$$ $$t \in [-1; 0]$$

   Рассмотрим $$f(t) =-\frac{2 \pi^{2} t}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)}$$; $$t \in [-1; 0]$$: $${f}' (t)=-2 \pi ^{2}(\frac{\pi^{2}(t+1)^{2}+72-t(2 \pi ^{2}(t+1))}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)^{2}}=$$$$\frac{-2 \pi ^{2}}{(\pi ^{2}(t+1)^{2}+72)^{2}}*(\pi ^{2}+72-\pi ^{2}t^{2})$$

   На промежутке $$t \in [-1; 0]$$, $${f}'(t) <0$$ $$\Rightarrow f(t)$$-убывает $$\Rightarrow$$ область значения $$E (f)\in [f(0); f(-1)]$$; $$f(0)=0; f(-1)=\frac{2 \pi ^{2}}{72}=\frac{\pi ^{2}}{36}$$; $$y^{2}\leq \frac{\pi ^{2}}{36}\Rightarrow$$ $$y \in [-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]$$

   Рассмотрим первое уравнение системы:

$$4 \sin ^{2}y-a=16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 ctg ^{2}\frac{2x}{7}\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-(16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 (\frac{1 }{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-1))\Leftrightarrow$$$$a=4 \sin ^{2}y-(16 \sin ^{2}\frac{2x}{7}+9 * \frac{1}{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-9)\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-((4 \sin \frac{2x}{7})^{2}-24 +(\frac{3}{\sin \frac{2x}{7}})^{2}-9+24)\Leftrightarrow$$ $$a=4 \sin ^{2}y-\frac{(4 \sin ^{2}\frac{2x}{7}-3)}{\sin ^{2}\frac{2x}{7}}-15$$

Так как $$a\rightarrow max$$, $$\sin ^{2}\frac{2x}{7}=\frac{3}{4}$$. Тогда: $$\sin \frac{2x}{7}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{2x}{7}=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n , n \in Z\Leftrightarrow$$ $$x=\pm \frac{7 \pi }{6}+\frac{7 \pi n }{2}, n \in Z$$

Т.к. $$\sin 3x=-1\Rightarrow$$ $$3x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi k , k \in Z$$, $$x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi k}{3}, k \in Z$$

   Найдем n и k : $$\pm \frac{7 \pi}{6}+\frac{7 \pi n }{2}=-\frac{\pi}{6}+\frac{2 \pi k}{3}|*6\Leftrightarrow$$ $$\pm 7 \pi +21 \pi n =-\pi +4 \pi k\Leftrightarrow$$ $$6 \pi =21 \pi n -4 \pi k \Leftrightarrow$$ $$21 n -4k=6\Rightarrow$$ $$n=2, k=9$$. Следовательно, существует такой x. Тогда: $$a=4*(\frac{1}{2})^{2}-15 =-14$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

       Если один из корней лежит на промежутке (0;1], то всегда будет ему симметричный относительно О на [-1;0)(например , $$\frac{1}{2}$$ и $$-\frac{1}{2}$$) т.к дано биквадратное уравнение . Чтобы было три корня существует 2 случая :

       1) $$x_{1}=x_{2}=0$$;$$x_{3,4}=\pm b_{m}$$; $$b_{m} \in (0;1)$$

       Если $$x_{1}=x_{2}=0$$, то $$a+\left | a \right |=0$$$$\Rightarrow$$ $$a<0$$. Получим : $$4a^{2}x^{4}+(2a-8)x^{2}+a-a=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}(4a^{2} x^{2}+(2a-8))=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x^{2}=\frac{8-2a}{4a^{2}}\\x^{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm \sqrt{\frac{8-2a}{4a^{2}}}\\x=0\end{matrix}\right.$$

       Учитывая, что $$\sqrt{\frac{8-2a}{4a^{2}}}<1$$ (если будет равен 1 , то ему симметричный =-1, не попадет в (-1; 1]):

       $$\left\{\begin{matrix}\frac{8-2a}{4a^{2}}<1\\\frac{8-2a}{4a^{2}}>0\\a<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4a^{2}+2a-8>0\\8-2a>0\\a<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x<\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\\x>\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\end{matrix}\right.\\a<4\\a<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x<\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$$

       2) Если один из корней равен 1, а симметричный $$\in (-1,1]$$(тогда $$-1 \in (-1;1]$$ и получим 3 корня):

       $$4a^{2}*1^{4}+(2a-8)*1^{2}+a+\left | a \right |=0\Leftrightarrow$$$$4a^{2}+2a-8+a+\left | a \right |=0$$

       Учитываем, что a>0 (смотреть п.1): $$4a^{2}+4a-8=0\Leftrightarrow$$ $$a^{2}+a-2=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}a=1\\a=-2(a<0)\end{matrix}\right.$$

       Сделаем проверку: при a=1: $$4x^{4}-6x^{2}+2=0$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x^{4}-3x^{2}+1=0$$

       $$D=9-8=1$$ 

       $$x_{1,2}^{2}=\frac{3\pm 1}{4}=1, \frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$x=\pm 1$$ и $$x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ - три корня на (-1;1]

       Отдельно рассмотрим a=0

       $$4*0*x^{4}+(2*0-8)x^{2}+0+\left | 0 \right |=0\Leftrightarrow$$$$-8x^{2}=0\Rightarrow$$ $$x=0$$ - один корень

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

      $$(a-1)*4^{x}+(2a-3)*6^{x}=(3a-4)*9^{x}|:3^{2x}\Leftrightarrow$$$$(a-1)(\frac{2}{3})^{2x}+(2a-3)(\frac{2}{3})^{x}-(3a-4)=0$$

Пусть: $$(\frac{2}{3})^{x}=y>0$$

      $$(a-1) *y^{2}+(2a-3)y-(3a-4)=0$$

      $$D=(2a-3)^{2}+4(a-1)(3a-4)=16a^{2}-40a+25=(4a-5)^{2}$$

$$y_{1}=\frac{3-2a+\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}$$

$$y_{2}=\frac{3-2a-\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}$$

      Существуют следующие варианты единственного решения :

1) $$y_{1}=y_{2}\Rightarrow$$ $$4a-5=0\Rightarrow$$ $$a=\frac{5}{4}$$. Выполним проверку: $$(\frac{2}{3})^{x}=\frac{3-2,5}{2(1,25-1)}=1\Rightarrow$$ $$x=0$$ - один корень

2) Один из корней меньше или равен 0 , второй больше 0. Сравним корни: $$\frac{3-2a+\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}>\frac{3-2a-\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{2\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)}>0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\left | 4a-5 \right |}{a-1}>0$$$$\Rightarrow$$

При $$a>1: y_{1}>y_{2}$$;

При $$a<1 : y_{2}>y_{1}$$,

Тогда решение будет при условии: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>1\\y_{2}\leq 0& &\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}a<1\\y_{1}\leq 0\end{matrix}\right. (2)\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим системы отдельно:

(1):    $$\left\{\begin{matrix}a>1\\\frac{3-2a-\left | 4a-5 \right |}{a-1}\leq 0 & &\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a>1\\\left | 4a-5 \right |\geq 3-2a\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a>1\\\left[\begin{matrix}4a-5\geq 3-2a\\4a-5\leq 2a-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a>1\\\left[\begin{matrix}a\geq \frac{4}{3}\\a\leq 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$a \in [\frac{4}{3}; +\infty )$$

(2):    $$\left\{\begin{matrix}a<1\\\frac{3-2a+\left | 4a-5 \right |}{2(a-1)} \leq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a<1\\3-2a+\left | 4a-5 \right |\geq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a<1\\\left | 4a-5 \right |\geq 2a-3\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a<1\\\left[\begin{matrix}4a-5\geq 2a-3\\4a-5\leq 3-2a\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a<1\\\left[\begin{matrix}a\geq 1\\a\leq \frac{4}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$a<1$$

      Проверим случай $$a=1$$: $$-6^{x}=-9^{x}\Rightarrow$$ $$x=0$$ - один корень

      Тогда конечный ответ: $$a \in (-\infty ;1]\cup {\frac{5}{4}}\cup [\frac{4}{5}; +\infty )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

        Так как $$x<\frac{1}{3}$$, то $$\frac{1}{x}-2>1$$. Пусть $$\frac{1}{x}-2=y$$. Тогда получим : $$a \log_{y}4=\log_{2}y-b$$$$\Leftrightarrow$$ $$2a \log_{y}2+b=\log_{2}y$$

        Пусть $$f(y)=2a \log_{y}2+b$$ и $$g(y)=\log_{2}y$$

        Рассмотрим $$f(y)$$: данный график имеет растяжение по Oy и располагается так же как $$m(y)=\log_{y}2+b$$ при $$a>0$$. При a<0 симметрично отобразится относительно Ox .

        Необходимо решение при y>1. На данном промежутке $$m(y)=\log_{y}2+b$$ убывает, при этом $$\lim _{y\rightarrow \infty }m(y)=b$$ и предел достигается сверху. Следовательно, при a>0 и b>0, $$\lim _{y\rightarrow \infty }f(y)=b\Rightarrow$$ будет пересечение с g(y) , т.к. $$\lim_{y\rightarrow \infty }g(y)=\infty$$

        При $$a<0$$ , $$f(y)$$ на $$y>1$$ возрастает и $$\lim _{y\rightarrow \infty } f(y)=b$$. При этом предел достигается снизу, и так как в задании необходимо решение для любого положительного b, а, например, при b=0,1, пересечений графика f(y) и g(y) не будет. Следовательно, данный промежуток мы не учитываем.

        При a=0 имеем $$\log_{2}y=b\Rightarrow y=2^{b}$$. Т.к. $$b>0$$, то $$y>1$$ $$\Rightarrow$$ $$a \in [0;+\infty)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Пусть $$2x-\sqrt{3}=y$$, тогда с учетом, что $$x \in [\frac{2\sqrt{3}-1}{4}; \frac{3\sqrt{3}}{4}]$$ получим , что $$y \in [-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$$.

     Следовательно, имеем: $$4a^{2}\sqrt{2+\frac{6}{\pi}\arcsin y }\leq 1+8a^{2}+3a-\frac{12a}{\pi}(\frac{\pi}{2}-\arcsin y)$$

     Пусть $$\frac{6}{\pi} \arcsin y=m$$, т.к. $$y \in [-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$$ , то $$m \in [-1; 2]$$, тогда: $$4a^{2}\sqrt{2+m}\leq 1+8a^{2}+3a-6a+2m\Leftrightarrow$$$$4a^{2}\sqrt{2+m}\leq 2am+8a^{2}-3a+1\Leftrightarrow$$$$\sqrt{2+m}\leq \frac{m}{2a}+\frac{8a^{2}-3a+1}{4a^{2}}$$

Пусть $$f(m)=\sqrt{2+m}$$ и $$g(m)=\frac{m}{2a}+\frac{8a^{2}-3a+1}{4a^{2}}=$$$$\frac{m}{2a}+2-\frac{3a-1}{4a^{2}}$$

• g(m) – прямая, при этом $$g(m)\cap Oy$$ в точке, которая «стремится» к у=2
• f(m) – ветвь параболы . При этом необходимо , чтобы $$f(m)\geq g(m)$$ для любого $$m \in [-1;2]$$

Рассмотрим 3 случая:

     1) $$a>0$$: тогда g(m) располагается в 1 и 3 четвертях . При этом, чтобы $$f(m)\geq g(m)$$ необходимо, чтобы $$f(-1)\geq g(-1)$$: $$-\frac{1}{2a}+\frac{8a^{2}-3a+1}{4a^{2}}\geq 1\Leftrightarrow$$ $$-2a=8a^{2}-3a+1\geq 4a^{2}\Leftrightarrow$$ $$4a^{2}-5a+1\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a \in (-\infty ; \frac{1}{4}]\cup [1; +\infty)$$

С учетом , что $$a>0$$ : $$a\in (0; \frac{1}{4}]\cup [1; +\infty )$$

• При $$a\in (0; \frac{1}{4}]$$ получим , что $$\frac{8a^{2}-3a+1}{4a^{2}} >2$$ ( пересечение F(x) с Oy) , при этом $$f(0)=\sqrt{2}\Rightarrow$$ подходит.
• При $$a\in [1; +\infty )$$ получим , что $$\frac{8a^{2}-3a+1}{4a^{2}}\geq 1,5 \Rightarrow$$ тоже подходит

     2) $$a<0$$. Тогда $$g(2) \geq f(2) \Leftrightarrow$$ $$\frac{2}{2a}+\frac{8a^{2}-3a+1}{4a^{2}}\geq 2\Leftrightarrow$$ $$4a+8a^{2}-3a+1\geq 8a^{2}\Leftrightarrow$$ $$a+1\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a\geq -1$$. Т.к. $$a<0$$, то $$a \in [-1; 0)$$

     3) $$a=0$$: $$0*\sqrt{2+m}\leq 0 *m+8*0-3*0+1\Leftrightarrow$$ $$0\leq 1\Rightarrow$$ подходит

В итого решение: $$a \in [-1; \frac{1}{4}]\cup [1; +\infty )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     $$(x-a-2b)^{2}+(y-3a-b)^{2}<\frac{1}{2} \Leftrightarrow$$ $$(x-(a+2b))^{2}+(y-(3a+b))^{2}<(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$$, т.е. имеем множество точек внутри окружности радиуса $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ и центром в $$(a+2b; 3a+b)$$ . При этом $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ - половина диагонали квадрата со стороной 1 . Т.е. в данный круг вписан квадрат со стороной 1 . Рассмотрим пример:

     Видим по радиусу , что целых значений внутри круга не будет. Тогда и только тогда, когда координаты центра одновременно будут иметь вид: $$(\frac{m+m+1}{2}, \frac{n+n+1}{2})$$,где m и n $$\in Z$$

     Если хотя бы одна не имеет вид, то 1 целое точно попадет в круг. Тогда :$$\left[\begin{matrix}a+2b\neq \frac{2m+1}{2}\\3a+b\neq \frac{2n+1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}2a+4b\neq 2m+1\\6a+2b\neq 2n+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}6a+12b\neq 6m+3\\6a+2b\neq 2n+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$10b\neq 6m-2n+2\Leftrightarrow$$$$b\neq \frac{3m-n+1}{5}$$ , где $$m , n \in Z$$

     Т.е. с учетом, что $$3m-n+1 \in Z$$ при $$m , n \in Z$$, то $$b \notin \frac{k}{5}, k \in Z$$