ЕГЭ Профиль
Задание 4022
Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-3y^{2}=8\\2x^{2}+4xy+5y^{2}=a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$имеет хотя бы одно решение.
$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-3y^{2}=8\\2x^{2}+4xy+5y^{2}=a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$
$$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}=b$$
$$\left\{\begin{matrix}-bx^{2}+2bxy+3by^{2}=-8b\\16x^{2}+32xy+40y^{2}=8b\end{matrix}\right.$$
$$x^{2}(16-b)+xy(2b+32)+y^{2}(40+3b)=0$$ $$\div y^{2}$$
$$\frac{x^{2}}{y^{2}}(16-b)+\frac{x}{y}(2b+32)+(40+3b)=0$$
$$D=(2b+32)^{2}-(16-b)(3b+40)\cdot4\geq0$$
$$4b^{2}+128b+1024-4(48b+640-3b^{2}-40b)\geq0$$
$$4b^{2}+128b+1024-32b-2560+12b^{2}\geq0$$
$$16b^{2}+96b-1536\geq0$$
$$b^{2}+6b-96\geq0$$
$$D=36+384=420$$
$$b_{1,2}=\frac{-6\pm2\sqrt{105}}{2}=-3\pm\sqrt{105}$$
$$\left\{\begin{matrix}b\leq-3-\sqrt{105}\\b\geq-3+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\leq-3-\sqrt{105}\\a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\geq-3+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$
2) $$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-19\geq0$$
$$81-4\cdot27+4\cdot9-19\geq0$$
$$(a-3)(a+1)(a^{2}-2a+3)\geq0$$
$$a^{2}-2a+3=0$$
$$D=4-12<0$$
$$(a-3)(a+1)\geq0$$
$$\left\{\begin{matrix}a\geq3\\a\leq-1\end{matrix}\right.$$
1) $$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\leq-3-\sqrt{105}$$
$$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-9+2\sqrt{105}\leq0$$
$$f'(a)=4a^{3}-12a^{2}+8a=0$$
$$a^{3}-3a^{2}+2a=0$$
$$a(a^{2}-3a+2)=0$$
$$a=0;a=2;a=1$$
$$f(0)=2\sqrt{105}-9>0$$
$$f(2)=16-32+16-9+2\sqrt{105}>0$$
Так как обы минимальных значения больше нуля, то сама функция меньше нуля быть не может, отсюда (1) не имеет решений, и ответом будет только промежутки с (2)
$$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$
Задание 4400
Найти все значения параметра a, при каждом из которых существует хотя бы одно x, удовлетворяющее системе уравнений: $$\left\{\begin{matrix}|x^{2}-5x+4|-9x^{2}-5x+4+10x|x|=0\\x^{2}-2(a-1)x+a(a-2)=0\end{matrix}\right.$$
1) $$|x^{2}-5x+4|-9x^{2}-5x+4+10x|x|=0$$
a) $$x<0$$
$$x^{2}-5x+4-9x^{2}-5x+4-10x^{2}=0$$; $$-18x^{2}-10x+8=0$$; $$9x^{2}+5x-4=0$$; $$D=25+144=169=13^{2}$$; $$x_{1}=\frac{-5+13}{18}=\frac{4}{9}$$ $$\notin$$ $$x<0$$; $$x_{2}=\frac{-5-13}{18}=-1$$
б) $$x\in[0;1]\cup[4;+\infty)$$
$$x^{2}-5x+4-9x^{2}-5x+4+10x^{2}=0$$; $$2x^{2}-10x+8=0$$; $$x^{2}-5x+4=0$$; $$x=1$$; $$x=4$$
в) $$x\in(1;4)$$
$$-x^{2}+5x-4-9x^{2}-5x+4+10x^{2}=0$$; $$0=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in(1;4)$$
Результат: $$x\in{-1}\cup[1;4]$$
2) $$x^{2}-2(a-1)x+a(a-2)=0$$; $$D=4(a^{2}-2a+1)-4a(a-2)=$$ $$4a^{2}-8a+4-4a^{2}+8a=4$$; $$x_{1}=\frac{2(a-1)+2}{2}=\frac{2a}{2}=a$$; $$x_{2}=\frac{2(a-1)-2}{2}=\frac{2a-4}{2}=a-2$$
1. $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=-1\\x_{2}=-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-1\\a-2=-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-1\\a=1\end{matrix}\right.$$
2. $$\left\{\begin{matrix}1\leq x_{1}\leq4\\1\leq x_{2}\leq4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1\leq a\leq4\\1\leq a-2\leq4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1\leq a\leq4\\3\leq a\leq6\end{matrix}\right.$$
Общим решением будет объединение: $$a\in{-1}\cup[1;6]$$
Задание 4823
Найдите все значения параметра а при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{7|y|}\\49y^{2}+x^{2}+4a=2x-1\end{matrix}\right.$$ имеет ровно четыре различных решения.
Перепишем систему в виде $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{\left | x-1 \right |}+\sqrt{7\left | y \right |}=1\\\left | x-1 \right |^{2}+(7\left | y \right |)^{2}=-4a\end{matrix}\right.$$
Пусть $$\sqrt{\left | x-1 \right |}=m\geq 0$$; $$\sqrt{7\left | y \right |}=n\geq 0$$
Тогда система примет вид : $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=-4a\end{matrix}\right.(*)$$. Если пара чисел $$(m_{0};n_{0})$$ является решением системы (*), то пара $$(n_{0}; m_{0})$$ также её решение :
1) Пусть $$m_{0}\neq n_{0}, m_{0}, n_{0}>0$$. Тогда $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=m_{0}^{2}\\7\left | y \right |=n_{0}^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=n_{0}^{2}\\7\left | y \right |=m_{0}^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.(**)$$. Каждая система совокупности имеет четыре решения, тогда данная система имеет 8 различных решений , что не удовлетворяют условию задачи .
2) Пусть одно из значений $$m_{0}$$ или $$n_{0}$$ равно нулю, тогда пары (0;1) и (1;0)-решения системы(*), -4a=1, откуда $$a=-\frac{1}{4}$$ . В этом случае совокупность (**) примет вид :
$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=0\\7\left | y \right |=1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=1\\7\left | y \right | =0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$, откуда получим 4 решения данной системы : $$(1; \frac{1}{7})$$, $$(1; -\frac{1}{7})$$, $$(2;0)$$, $$(0;0)$$
3) Пусть $$m_{1}=n_{0}$$, тогда $$\left\{\begin{matrix}m_{0}+m_{0}=1\\m_{0}^{4}+m_{0}^{4}=-4a\end{matrix}\right.$$., откуда
$$m_{0}=\frac{1}{2}$$, $$a=-\frac{1}{32}$$ и система (*) имеет одно решение $$(\frac{1}{2};\frac{1}{2})$$. В Этом случае совокупность (**) примет вид :
$$\left\{\begin{matrix}\left | x-1 \right |=\frac{1}{4}\\7\left | y \right |=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$, откуда получим 4 решения данной системы: $$(1\frac{1}{4} ;\frac{1}{28})$$, $$(1\frac{1}{4}; -\frac{1}{28})$$, $$(\frac{3}{4}; \frac{1}{28})$$, $$(\frac{3}{4};-\frac{1}{28})$$.
Докажем, что при $$a=-\frac{1}{4}$$ и $$a=-\frac{1}{32}$$ других, кроме найденных решений, данная система не имеет .
1. При $$a=-\frac{1}{4}$$ система (*) имеет вид: $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=1\end{matrix}\right.$$. Если $$m\neq 0$$, $$n\neq 0$$, то $$m,n \in (0;1)$$ и $$\left\{\begin{matrix}m^{4}<m\\n^{4}<n\end{matrix}\right.$$
Тогда $$m^{4}+n^{4}<m+n$$, т.е. $$m^{4}+n^{4}<1$$, что противоречит второму уравнению системы . Следовательно, при $$a=-\frac{1}{4}$$ других решений системы нет и $$a=-\frac{1}{4}$$ удовлетворяет условию .
2. При $$a=-\frac{1}{32}$$ система (*) имеет вид : $$\left\{\begin{matrix}m+n=1\\m^{4}+n^{4}=\frac{1}{8}\end{matrix}\right.$$ . Пусть$$\left\{\begin{matrix}m=\frac{1}{2}+t\\n=\frac{1}{2}-t\end{matrix}\right.$$ , тогда $$\left\{\begin{matrix}m^{4}=(\frac{1}{2}+t)^{2}=\frac{1}{16}+4*\frac{1}{8}t+6*\frac{1}{4}t^{2}+4*\frac{1}{2}t^{3}+t^{4}\\n^{4}=(\frac{1}{2}-t)^{4}=\frac{1}{16}-4*\frac{1}{8}t+6*\frac{1}{4}t^{2}-4*\frac{1}{2}t^{3}+t^{4}\end{matrix}\right.$$. И $$m^{4}+n^{4}=\frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{4}$$. Имеем : $$\frac{1}{8}+3t^{2}+2t^{2}=\frac{1}{8}$$, откуда $$t=0$$, $$m =n=\frac{1}{2}\Rightarrow$$ других решений нет и $$a=-\frac{1}{32}$$ удовлетворяет условию .
Задание 4867
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$a(2\log_{2} (|x|+2) - a -3)\sqrt{\log_{2} (|x|+2) -a +2}=0$$ имеет ровно два различных корня
1)$$a\neq 0$$ - иначе получаем 0 = 0, и, следовательно, множество корней
2)Пусть $$\log_{2} (|x|+2) = $$ y при этом будет строго больше 1, так как $$|x|+2 \geq 2 \Rightarrow \log_{2} (|x|+2)\geq 1$$ при всех х, и если y равен единице, то x = 0 и мы получаем всего один корень. Так же получаем ОДЗ с учетом корня четной степени: $$y \geq a-2$$
$$a(2y-a-3)\sqrt{y-a+2}=0\Leftrightarrow $$$$y_{1}=\frac{a+3}{2} ; y_{2} =a-2$$
Если мы имеем какой-либо корень y=m, то, из-за модуля, при обратной замене мы получим два корня по х. Следовательно, чтобы выполнялось условия существования именно двух корней по x, один корень по y не должен входить в ОДЗ. Отсюда 2 случая:
а) $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2}\leq a-2\\ a-2> 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}a\geq 7\\ a> 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ a\geq 7$$
б)$$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2}> a-2\\ \frac{a+3}{2}> 1\\ a-2< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}a< 7\\a> -1 \\ a< 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$a\in (-1;3)$$
В результате получим: $$a\in (-1;3) \cup [7;+\infty )$$
Задание 4918
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$x^{2}-4x-12=2|x-a+2|-16$$ имеет ровно три различных решения.
Перенесем -16 влево: $$x^{2}-4x-12+16=2|x-(a-2)|\Leftrightarrow $$ $$(x-2)^{2}=2|x-(a-2)|$$ Рассмотрим графики функций: $$f(x)=(x-2)^{2}$$ и $$g(x)=2|x-(a-2)|$$. В первом случае представлена парабола с вершиной в точке (2;0), во втором случае график модуля (галочка) с вершиной в точке (a-2 ; 0). Данные фукциии имеют в зависимости от параметра а от двух до четырех пересечений. Нам необходимо три. Рассмотрим все возможные случаи:
Задание 4965
Найдите все значения параметра , при каждом из которых наименьшее значение функции $$y=4x^{2}-4ax+(a^{2}-2a+2)$$ на отрезке $$0\leq x\leq2$$ равно 3.
Задание 5014
Найдите все $$a$$, при каждом из которых уравнение $$\log{\frac{1,2x}{\pi}}(2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1)=0$$ имеет не более трёх корней, входящих в отрезок $$[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]$$
$$\left\{\begin{matrix}2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1>0\\\frac{1,2x}{\pi}>0\\x\in[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]\\2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1=1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1=0(1)\\x\in(0;\frac{5\pi}{2})\cup{\frac{5\pi}{6}}\end{matrix}\right.$$
1) $$2\sin^{2}x-\sin x(4a+1)+2a=0$$
$$D=16a^{2}+8a+1-16a=(4a-1)^{2}$$; $$\sin x=\frac{4a+1\pm|4a-1|}{2}=2a;\frac{1}{2}$$; $$\sin x=\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in Z$$; $$\sin x=2a$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{n}\arcsin2a+\pi n,n\in Z$$
$$\sin x=\frac{1}{2}$$ дает с учетоа ОДЗ 2 корня: $$(\frac{\pi}{6};\frac{13\pi}{6})$$, значит $$\sin x=2a$$ не более одного отличного решения $$\Rightarrow$$ $$2a\in(-\infty;-1]\cup{\frac{1}{2}}\cup(1;+\infty)$$ $$\Rightarrow$$ $$a\in(-\infty;-\frac{1}{2}]\cup{\frac{1}{4}}\cup(\frac{1}{2};+\infty)$$