Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / (C6) Задача с параметром

 

Задание 7043

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$\left | \frac{x(3^{x}-1)}{3^{x}+1} -2a\right |=a^{2}+1$$ имеет нечетное число решений.

Ответ: $$\pm 1$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть $$(x)=\frac{x(3^{x}-1)}{3^{x}+1}$$ и $$g(x)=a^{2}+1$$

     1) $$f(x) \geq 0$$ при любом x. Найдем промежутки возрастания и убывания: $${f}'(x)=\frac{(x{(3^{x}-1)}'(3^{x}+1)-{(3^{x}+1)}'(x(3^{x}-1)))}{(3^{x}+1)^{2}}=0|* (3^{x}+1)^{2}\Leftrightarrow$$$$((3^{x}-1)+x*3^{x}\ln 3)(3^{x}+1)-3 ^{x}\ln 3* x(3^{x}-1)=0\Leftrightarrow$$ $$3 ^{2x}-1+3^{2x}*x\ln 3+x*3^{x}\ln 3-x*3^{2x}\ln 3 +3 ^{x}*x\ln 3=0\Leftrightarrow$$ $$3 ^{2x}-1+2x*3^{2x}\ln 3=0\Leftrightarrow$$ $$3^{2x}+2x*3 ^{x}\ln 3=1\Leftrightarrow$$ $$1-2x\ln3=3^{x}$$

     Пусть $$m(x)=1-2x\ln 3$$ и $$n(x) =3^{x}$$: m(x) - линейная убывающая и n (x)-степенная возрастающая $$\Rightarrow$$ одна точка пересечения x=0

     Для f(x): x=0 - точка минимума $$\Rightarrow$$ $$(-\infty ; 0)$$ – убывает монотонно, $$(0; +\infty )$$ - возрастает . При этом

$$\left | \frac{x(3^{x}-1)}{3^{x}+1}-2a \right |=f_{1}(x)$$ - это график f(x), у которого вся часть графика под Ox отражается симметрично относительно Ox. g(x) –прямая, параллельная Ox ($$a^{2}+1>0$$, при любом a ). Тогда возможен только один вариант нечетного числа корней, когда $$\left | 2a \right |=a^{1}+1\Leftrightarrow$$ $$a^{2}-\left | 2a \right |+1=0\Leftrightarrow$$ $$(\left | a \right |-1)^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$a=\pm 1$$

     2) Возможно решение с использованием инвариантности: доказать четность левой функции (f(-x)=f(x)), тогда нечетное количество решений будет лишь в том случае, когда один из корней равен 1. Подставить вместо х в начальное уравнение 1 и получим сразу уравнение отностильно а

 

Задание 7064

Найти все а, при каждом из которых уравнение $$\lg (2-x)\sqrt{2ax-3a^{2}}=x\cdot \lg x$$ имеет ровно два различных корня.

Ответ: $$a \in (-2; -1)\cup (-1 ;-\frac{2}{3}]\cup(0 ;\frac{1}{3})\cup [\frac{1}{3}; \frac{2}{3}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

   ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}2-x>0\\2ax+3a^{2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<2(1)\\2ax+3a^{2}\geq 0 (2)\end{matrix}\right.$$

   Решение: $$\lg(2-x)(\sqrt{2ax+3a^{2}}-x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\lg(2-x)=0\\\sqrt{2ax+3a^{2}}=x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2-x=1\\\left\{\begin{matrix}2ax+3a^{2}=x^{2}\\x\geq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1\\\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x_{2}=3a\\x_{3}=-a\end{matrix}\right.\\x\geq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

   Т.к. $$x\geq 0$$, то $$x_{2}$$ и $$x_{3}$$ будут одновременно существовать , если $$x_{2}=x_{3}=0\Rightarrow a=0$$, условие двух корней соблюдается. В противном случае решениями будут $$x_{1}$$ и $$x_{2 }$$ или $$x_{1}$$ и $$x_{3}$$. При этом , чтобы было два корня , должно выполняться ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x_{1}\in (2)\\x_{2} \in (1)\\x_{2}\geq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x_{1}\in (2)\\x_{3}\in (1)\\x_{3}\geq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}2a*1+3a^{2}\geq 0\\0\leq 3a<2\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}2a*1+3a^{2}\geq 0\\0\leq -a<2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x \in (-\infty -\frac{2}{3}]\cup [0 +\infty )\\a \in [0 \frac{2}{3})\\\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a \in (-\infty -\frac{2}{3}]\cup [0 +\infty )\\-2<a\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a \in (-2; -\frac{2}{3}]\cup [0; \frac{2}{3})$$

   $$x_{1}$$ и так входит в [0 ;2) , потому проверяется только условие (2) для него , $$x_{2}$$ и $$x_{3}$$ и так получились из (2) , потому проверим (1) для них. При этом учитываем, что $$x_{1}\neq x_{2}$$ и $$x_{1}\neq x_{3}$$, иначе получим 1 корень $$\Rightarrow$$ $$3a\neq 1\Rightarrow$$ $$a\neq \frac{1}{3}$$ и $$-a\neq 1\Rightarrow$$ $$a\neq -1$$. Тогда: $$a \in (-2; -1)\cup (-1 ;-\frac{2}{3}]\cup(0 ;\frac{1}{3})\cup [\frac{1}{3}; \frac{2}{3}]$$

 

Задание 7111

При каких значениях параметра a неравенство $$\log_{\frac{-2a-13}{5}} (\frac{\sin x -\sqrt{3}\cos x -a-4}{5})>0$$ выполняется для любых значений x ?

Ответ: $$(-\infty ;-11)\cup (-7;-6,5)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$m(x) =\sin x-\sqrt{3}\cos x$$, тогда $$m^{'}(x)=\cos x+\sqrt{3}\sin x=0\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{3}tg x=-1\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n , n \in Z$$

    $$m(-\frac{\pi}{6})=\sin -\frac{\pi}{6}-\sqrt{3}\cos -\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-2\rightarrow m_{min}$$

    $$m(\frac{5\pi}{6})=\sin \frac{5 \pi}{6}-\sqrt{3} \cos \frac{5 \pi}{6}=2\rightarrow m_{max}$$

     Получим систему:

$$\left\{\begin{matrix}(\frac{-2a-13}{5}-1)(\frac{m-a-4}{5}-1)>0(4)\\\frac{-2a-13}{5}>0(1)\\\frac{m-a-4}{5}>0(3)\\\frac{-2a-13}{5}\neq 1(2)\end{matrix}\right.$$

    $$ (1): -2a-13>0\Leftrightarrow a<-6,5$$

    $$(2): -2a-13\neq 5\Leftrightarrow a\neq -9$$

    $$(3) :a<-6,5 , -a-4>2,5 \Rightarrow \frac{m-a-4}{5}>0$$ при любом m( и ,следовательно, x)

    $$(4) :(-2a-18)(m-a-9)>0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}-2a-18>0\\m-a-9>0\end{matrix}\right. \\\left\{\begin{matrix}-2a-18<0\\m-a-9<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<-9\\m-a-9>0\end{matrix}\right. (5)\\\left\{\begin{matrix}x>-9\\m-a-9<0\end{matrix}\right.(6)\end{matrix}\right.$$

     $$(5)$$: при $$a<-9$$: $$-a-9>0$$ при любом a , следовательно, чтобы было решение для любого m должно выполняться: $$m_{min}-a-9>0\Leftrightarrow$$ $$-2-a-9>0\Leftrightarrow$$ $$a<-11$$. Получим $$a \in (-\infty ;-11)$$

     $$(6)$$ : аналогично $$m_{max}-a-9<0\Rightarrow$$ $$2-a-9<0\Rightarrow a>-7$$. Получим $$a \in (-7; +\infty )$$

     С учетом (1): $$a \in (-\infty ;-11)\cup (-7;-6,5)$$

 

Задание 7184

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение $$(\cos x -1)^{2}=a(\cos x+4\sin^{2} x-8)$$ имеет на промежутке $$(0;\frac{\pi}{2}]$$ единственный корень.

Ответ: $$[-\frac{1}{4};0)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(\cos x-1)^{2}=a(3 \cos x+4 \sin ^{2}x-8)\Leftrightarrow$$ $$(\cos x-1)^{2}=a(3 \cos x+4-4\cos^{2}x-8)\Leftrightarrow$$ $$(\cos x-1)^{2}=a(3\cos x-4 \cos ^{2}x-4)$$

     Рассмотрим правую часть : -$$4 \cos^{2}x-4 \in [-8 ;-4]$$ $$(\cos ^{2}x \in [0 ;1] )\Rightarrow$$ $$3 \cos x-4 \cos ^{2}x-4\leq -1$$ при любом x) , при этом $$(\cos x-1)^{2}\geq 0\Rightarrow$$ чтобы выполнялось решение должно быть $$a<0$$ (при a=0 получим, что $$\cos x-1=0 \Rightarrow$$ $$\cos x=1\Rightarrow$$ $$x=2 \pi n \notin (0 \frac{\pi}{2}]$$)

     При этом, чтобы было решение на $$(0 ;\frac{\pi}{2}]$$, то $$\cos x \in [0; 1)$$

     Сделаем замену $$\cos x=t \in [-1; 1]$$: $$(t-1)^{2}=a(3t-4t^{2}-4)\Leftrightarrow$$ $$\frac{(t-1)^{2}}{a}=-4t^{2}+3t-4$$

     Рассмотрим функции : $$f_{1}(t)=\frac{(t-1)^{2}}{a}$$ и $$f_{2}(t)=4t^{2}+3t-4p$$

  • $$f_{2}(t): t_{0}=-\frac{3}{-8}=\frac{3}{8}\Rightarrow$$ $$f_{2}(t_{0})=-\frac{55}{16}$$ - парабола, ветви вниз, вершина $$(\frac{3}{8};-\frac{55}{16})$$, сужение к оси симметрии
  • $$f_{1}(t)$$: парабола, вершина (1; 0) , ветви в зависимости от a ($$a<0 \Rightarrow$$ вниз )

     При этом необходимо единственное решение на $$x \in (0 ;\frac{\pi}{2}]\Rightarrow$$ $$\cos x \in [0; 1) \Rightarrow$$ $$t \in [0; 1)$$ -единственное решение на данном промежутке.

     Решение такое будет при $$f_{1}(0)\leq -4$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{(01)^{2}}{a}\leq -4\Rightarrow$$ $$\frac{1}{a}\leq -4\Leftrightarrow$$ $$\frac{1+4a}{a}\leq 0\Rightarrow$$ $$a\in [-\frac{1}{4};0)$$

 

Задание 7204

При каких значениях параметра a неравенство $$(a^{3}+(1-\sqrt{2})a^{2}-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2})x^{2}+2(a^{2}-2)x+a>-\sqrt{2}$$ выполнено для любого x>0

Ответ: $$[-\sqrt{2}; 1)\cup [\sqrt{2} ;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$f(x) =(a^{3}+(1-\sqrt{2})a^{2}-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2})*x^{2}+2(a^{2}-2)x+(a+\sqrt{2})$$

     Получим , что $$f(x)>0$$. При этом график f(x)-парабола вида $$y=m x^{2}+nx+p$$, где $$m=(a^{3}+(1-\sqrt{2})a^{2}-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2})$$, $$n=2(a^{2}-2)$$, $$p=a+\sqrt{2}$$

     При m<0 ветви параболы направлены вниз, но тогда f(x)>0 не выполнится для любого x>0. Следовательно, m>0. Решим данное неравенство: $$a^{3}+(1-\sqrt{2})a^{2}-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2}>0\Leftrightarrow$$ $$a^{3}+a^{2}-3a-\sqrt{2}a^{2}-\sqrt{2}a+3\sqrt{2}>0\Leftrightarrow$$ $$a(a^{2}+a-3)-\sqrt{2}(a+a-3)>0\Leftrightarrow$$ $$(a-\sqrt{2})(a^{2}+a-3)>0\Leftrightarrow$$ $$(a-\sqrt{2})(a-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})(a-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})$$

     Получим, что $$a \in (\frac{-1-\sqrt{13}}{2}; \frac{-1+\sqrt{13}}{2})\cup (\sqrt{2} ;+\infty )$$. Следует рассмотреть отдельно значения, когда $$m=0$$:

   1) При $$a=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$$ получим : $$2((\frac{-1-\sqrt{13}}{2})^{2}-2)x+\frac{-1-\sqrt{13}}{2}+\sqrt{2}>0\Leftrightarrow$$ $$2(\frac{1+13+2\sqrt{13}-8}{4})x>\frac{1+\sqrt{13}-2\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x>\frac{1+\sqrt{13}-2\sqrt{2}}{6+2\sqrt{13}}>0\Rightarrow$$ не выполняется для любого x>0

   2) При $$a=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$$: $$2(\frac{13+1-2\sqrt{13}-8}{4})x+\frac{\sqrt{13}-1}{2}+\sqrt{2}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{6-2\sqrt{13}}{2}x> \frac{1-\sqrt{13}-2\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x<\frac{1-\sqrt{13}-2\sqrt{2}}{6-2\sqrt{13}}\Rightarrow$$ не выполняется для любого x>0

   3) $$a=\sqrt{2}$$: $$2((\sqrt{2})^{2}-2)x+\sqrt{2}+\sqrt{2}>0\Rightarrow$$ $$2\sqrt{2}>0\Rightarrow$$ $$a=\sqrt{2}$$ является решением.

     При m>0 ветви направлены вверх и существует 3 возможных расположения параболы, при которых f(x)>0:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x_{0}>0\\D<0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x_{0}<0\\f(0)>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x_{0}=0\\f(0)=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$ , где $$x_{0}$$ – абсцисса вершины параболы; D-дискриминант f(x); f(0)-значение функции в x=0.

    При этом $$x_{0}=-\frac{n}{m}$$, а так как m>0 , то $$x_{0}>0\Leftrightarrow$$ $$-n>0\Leftrightarrow n<0$$. Получим :

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}n<0\\D<0\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}n>0\\f(0)>0\end{matrix}\right. (2)\\\left\{\begin{matrix}n=0\\f(0)=0\end{matrix}\right. (3)\end{matrix}\right.$$. Рассмотрим системы по отдельности:

   (1): $$\left\{\begin{matrix}2(a^{2}-2)<0\\(2(a^{2}-2))^{2}-4(a-\sqrt{2})(a^{2}+a-3)(a+\sqrt{2})<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{2}-2<0\\4(a^{2}-2)(a^{2}-2-a^{2}-a+3)<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{2}-2<0\\(1-a)(a^{2}-2)<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a \in (-\sqrt{2};1)$$

   (2): $$\left\{\begin{matrix}a^{2}-2>0\\a+\sqrt{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a \in (\sqrt{2} +\infty )$$

   (3): $$\left\{\begin{matrix}a^{2}-2=0\\a+\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a=-\sqrt{2}$$

     Объединяем все полученные значения : $$a \in [-\sqrt{2}; 1)\cup [\sqrt{2} ;+\infty)$$

 

Задание 7225

При каких значениях параметра a функция $$f(x)=4^{-x}+(\frac{1}{2})^{x+1}\cdot \frac{5a}{2}+\frac{a^{2}+12}{6}$$ принимает во всех точках отрезка [-1;1] значения больше 2.

Ответ: $$(-\infty ;\frac{-15-\sqrt{129}}{2})\cup (\frac{-15+\sqrt{129}}{2}; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$2^{-x}=t>0\Rightarrow$$ $$4^{-x}=t^{2}$$. Получим $$(\frac{1}{2})^{x+1}=\frac{1}{2}*2^{-x}=\frac{t}{2}$$. При этом $$f(t)=t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}+12}{6}$$; $$x \in [-1 ;1]\Rightarrow$$ $$t \in [\frac{1}{2} ;2]$$

     Рассмотрим систему: $$\left\{\begin{matrix}t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}+12}{6}>2\\t \in [\frac{1}{2}; 2]\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}}{6}>0(1)\\t \in [\frac{1}{2}; 2]\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим (1) : пусть $$g(t)=t^{2}+\frac{5a}{4}t+\frac{a^{2}}{6}$$, тогда $$g(t)>0$$ при $$t \in [\frac{1}{2} ;2]$$. Есть три случая .

     1) Вершина $$g(t) \in [\frac{1}{2}; 2]$$, тогда для $$g(t)>0$$ на $$[\frac{1}{2}; 2]$$ необходимо, чтобы $$g(t_{0})>0$$:  $$t_{0}=\frac{-\frac{5a}{4}}{2}=-\frac{5a}{8}\Rightarrow$$ $$g(t_{0})=(-\frac{5a}{4})^{2}+\frac{5a}{4}(-\frac{5a}{8})+\frac{a^{2}}{6}=$$$$-\frac{25a^{2}}{64}+\frac{a^{2}}{6}$$

     При любом а $$g(t_{0})<0\Rightarrow$$ не подходит

     2) $$t_{0}\leq \frac{1}{2} \Rightarrow$$ $$g(\frac{1}{2})>0$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{5a}{8}\leq \frac{1}{2}\\(\frac{1}{2})^{2}+\frac{5a}{4}*\frac{1}{2}+\frac{a^{2}}{6}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a\geq -\frac{4}{5}\\4a^{2}+15a+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\geq -\frac{4}{5}\\\left[\begin{matrix}a<\frac{-15-\sqrt{129}}{8}\\a>\frac{-15+\sqrt{129}}{8}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a>\frac{-15+\sqrt{129}}{8}$$

     3) $$t_{0}\geq 2\Rightarrow$$ $$g(2)>0\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{5a}{8}\geq 2\\4+\frac{5a}{2}+\frac{a^{2}}{6}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\leq -\frac{16}{5}\\\left[\begin{matrix}a<\frac{-15-\sqrt{129}}{2}\\a>\frac{-15+\sqrt{129}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$a<\frac{-15-\sqrt{129}}{2}$$

     Тогда $$a \in (-\infty ;\frac{-15-\sqrt{129}}{2})\cup (\frac{-15+\sqrt{129}}{2}; +\infty )$$

 

Задание 7327

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}x^{3}-(a+3)x^{2}+(3a+2)x-2a\geq 0\\ x^{3}-(a+3)x^{2}+3ax\leq 0\end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение

Ответ: $$[3; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Рассмотрим $$f(x) =x^{3}-(a+3)x^{2}+3ax$$, тогда в первом неравенстве записано $$f(x) +2x-2a\geq 0\Rightarrow$$ $$f(x)\geq 2a-2x$$. Пусть $$2a-2x=g(x)$$ , тогда имеем $$\left\{\begin{matrix}f(x)\geq g(x)\\g(x)\leq 0\end{matrix}\right.$$ и оно должно иметь единственное решение . При этом g(x) – прямая, функция убывает. Рассмотрим $$f(x)$$:

     $$x^{3}-(a+3)x^{2}+3ax=$$$$x(x^{2}-(a+3)x+3a)=$$$$x(x^{2}-ax-3x+3a)=$$$$x(x(x-a)-3(x-a))=x(x-a)(x-3)$$

     Изобразим схематичное решение системы:

     Очевидно , чтобы выполнялось условие единственного решения при $$f(x) \leq 0$$ необходимо, чтобы $$g(x_{0})=0$$. Если $$g(x_{0})>0$$ - решений нет, если $$g(x_{0})<0$$ решением будет множество точек из $$[g_{0} ;x_{0}]$$. При этом $$f(x)=0$$ при $$x=0 ;3 ;a$$.

     Есть три варианта расположения а:

     1) $$a<0$$: тогда $$g(3)=0\Rightarrow$$ $$2a-2*3=0\Rightarrow$$ $$a=3$$ - не подходит

     2) $$0\leq a\leq 3$$ : $$g(3) =0\Rightarrow$$ $$a=3$$ - решение

     3) $$a>3 \Rightarrow$$ $$g(a)=0\Rightarrow$$ $$2a-2a=0$$ – верное числовое равенство $$\Rightarrow$$ $$a>3$$

     Тогда $$a \in [3; +\infty )$$

 

Задание 7369

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}a(x+2)+y=3a\\ a+2x^{3}=y^{3}+(a+2)x^{3}\end{matrix}\right.$$ имеет не более двух решений

Ответ: {$$\pm 1$$}; $$[-\frac{1}{2};0),(0;\frac{1}{2}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7416

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$a^{2}+5|x|+7\sqrt{2x^{2}+49}=2x+2|x-7a|$$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: $$\pm 7$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$f(x)=7\sqrt{2x^{2}+49}$$ и $$g(x)=2x+x|x-7a|-5|x|-a^{2}$$. Рассмотрим g(x): если $$7a>0$$, то получим следующее раскрытие модулей:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<0\\g(x)=5x+14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq 7a\\g(x)=5x+14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>7a\\g(x)=-x-14a-a^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     Если же $$7a<0$$, то:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<7a\\g(x)=5x+14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}7a\leq x\leq 0\\g(x)=9x-14a-a^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>0\\g(x)=-x-14a-a^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     В обоих случаях необходимо, чтобы $$g(0)\geq f(0)$$:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>0\\14a-a^{2}\geq 49\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a<0\\-14a-a^{2}\geq 49\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>0\\a^{2}-14a+49\leq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a<0\\a^{2}+14a+49\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>0\\(a-7)^{2}\leq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a<0\\(a+7)^{2}\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a=\pm 7$$

     При $$a=0$$ получим: $$7\sqrt{2x^{2}+49}=2x+2|x|-5|x|\Leftrightarrow$$$$7\sqrt{2x^{2}+49}=2x-3|x|$$ - решений не имеет, так как левая часть всегда больше нуля, а правая - меньше.

Задание 7426

Найти все значения параметра a , при каждом из которых уравнение $$3\sin x +\cos x=a$$ имеет ровно один корень на отрезке $$[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}]$$

Ответ: $$[\sqrt{2};2\sqrt{2});\sqrt{10}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7445

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых хотя бы одно решение неравенства $$x^{2}+a+|x-a-3|+6\leq 5x$$ принадлежит отрезку [1;2].

Ответ: $$(-\infty;-\frac{1}{2}]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7518

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}y^{2}-(x^{2}+\sqrt{2|x|-x^{2}}-4)y+(x^{2}-4)\sqrt{2|x|-x^{2}}=0\\y=2x+a\end{matrix}\right.$$ имеет ровно 3 решения.

Ответ: 0; $$\sqrt{5}-2$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7565

Найти все значения параметра a, при каждом из которых ровно одна точка графика функции $$y=2x+(\lg a)\cdot \sqrt{\cos (2\alpha \pi x)+2\cos (\alpha \pi x)-3}+1$$ лежит в области  $$(2x-7)^{2}+4(y-3)^{2}\leq 25$$

Ответ: [1;2),(2;3)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7640

При каких значениях a система уравнений $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=4\\ a(x-|x|)=|x-y|+|x+y|\end{matrix}\right.$$ имеет бесконечное число решений?

Ответ: -1
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7687

Найдите наименьшее значение параметра a , при котором уравнение $$\frac{4}{\sin x}+\frac{1}{1-\sin x}=a$$ на интервале $$(0;\frac{\pi}{2})$$ имеет хотя бы одно решение

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!