ЕГЭ Профиль
Задание 7865
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$a^{2}\ctg^{2}x-9a+a^{2}=4a\sin x$$ имеет хотя бы один корень.
$$a^{2}\ctg^{2}x-9a+a^{2}=4a\sin x$$
$$a(a\cdot\ctg^{2}x-9+a-4\sin x)=0$$
1) При $$a=0$$ корни есть
2) При $$a\neq0$$: $$a(ctg^{2}x+1)-9-4\sin x=0$$
$$a(\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+1)-9-4\sin x=0$$
$$a\cdot(\frac{1}{\sin^{2}x})-9-4\sin x=0$$
Пусть $$\sin x=y$$
$$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{y^{2}}-9-4y=0&\\y\neq0&\\y\in[-1;1]&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{y^{2}}=4y+9&\\y\neq0&\\-1\leq y\leq1&\end{matrix}\right.$$
Пусть $$f(y)=\frac{a}{y^{2}}$$; $$g(y)=4y+9$$
При $$f(1)\leq g(1)$$ получим наличие корней. При этом $$a$$ должно быть меньше $$0$$, иначе ветви $$f(y)$$ вниз и $$f(y)<0$$ при всех $$y$$. Т.к. $$f(y)$$ симметричен от оси ординат, то $$f(1)\leq g(1)$$ достаточно $$\frac{a}{1}\leq4\cdot1+9$$ $$\Rightarrow$$ $$a\leq13$$ $$\Rightarrow$$ $$a\in(0;13]$$. С учетом (1) получим $$a\in[0;13]$$
Задание 7898
Найдите все значения параметра a , при каждом из которых неравенство $$a(1+(4-\sin x)^{4})>3-\cos^{2}x$$ выполнено при любом значении x
Пусть $$g(x)=3-\cos^{2}x$$. С учетом, что $$\cos^{2}x\in[0;1]$$, то $$g(x)\in[2;3]$$.
Пусть $$f(x)=1+(4+\sin x)^{4}$$. Т.к. $$\sin x\in[-1;1]$$, то $$4-\sin x\in[3;5]$$, тогда $$(4-\sin x)^{4}\in[81;625]$$ и $$f(x)\in[82;626]$$, тогда $$af(x)\in[a\cdot82;a\cdot626]$$
При этом $$af_{min}(x)=82\cdot a$$ при $$\sin x=1$$; $$g_{max}(x)=3$$, при $$\cos x=0$$. Т.е.: $$\left\{\begin{matrix}\sin x=1&\\\cos x=0&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+2\pi k&\\x=\frac{\pi}{2}+\pi n&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in Z$$
Т.е. принимают в одной точке, тогда чтобы решение было для любого $$a$$ необходимо выполнение $$af_{min}(x)>g_{max}(x)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$82a>3$$ $$\Rightarrow$$ $$a>\frac{3}{82}$$
Задание 8223
При каких значениях параметра a уравнение $$6\cdot (\frac{x}{x^{2}+1})^{2}-\frac{(6a+1)x}{x^{2}+1}-12a^{2}+8a-1=0$$ имеет ровно 4 решения?
Пусть $$(\frac{x}{x^{2}+1})=y$$. Получим: $$6y^{2}-(6a+1)\cdot y-(12a^{2}-8a+1)=0$$
Данное уравнение должно иметь 2 различных корня, неравных 0 (иначе при обратной замене, не получим 4 корня):
$$D=(6a+1)^{2}+24(12a^{2}-8a+1)>0$$ $$\Rightarrow$$ $$324a^{2}-180a+25>0$$ $$\Rightarrow$$ $$(18a-5)^{2}>0$$ $$\Rightarrow$$ $$a\neq\frac{5}{18}$$
$$\begin{bmatrix}y_{1}=\frac{6a+1+18a-5}{12}&\\y_{2}=\frac{6a+1-18a+5}{12}&\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}y_{1}=\frac{6a-1}{3}&\\y_{2}=\frac{1-2a}{2}&\end{bmatrix}$$
При этом $$\frac{6a-1}{3}\neq0$$ $$\Rightarrow$$ $$a\neq\frac{1}{6}$$ и $$\frac{1-2a}{2}\neq0$$ $$\Rightarrow$$ $$a\neq\frac{1}{2}$$
При этом $$\frac{x}{x^{2}+1}=y$$ так же имеет два различных корня: $$yx^{2}=0$$ $$D=1-4y^{2}>0$$ $$\Rightarrow$$ $$y\in(-\frac{1}{2};\frac{1}{2})$$
То есть: $$\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2}<\frac{6a-1}{3}<\frac{1}{2}|\cdot3|+1|\div6&\\-\frac{1}{2}<\frac{1-2a}{2}<\frac{1}{2}|\cdot2|-1|\div(-2)&\\a\neq\frac{5}{18};\frac{1}{6};\frac{1}{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{12}<a<\frac{5}{12}&\\0<a<1&\\a\neq\frac{5}{18};\frac{1}{6};\frac{1}{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a\in(0;\frac{1}{6})\cup(\frac{1}{6};\frac{5}{18})\cup(\frac{5}{18};\frac{5}{12})$$
Задание 8328
Найдите все значения параметра a , при которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix} x^{3}+7x^{2}+(13-4a)x+4a^{2}-2a+8=0\\ x^{3}+5x^{2}+(4a+13)x-4a^{2}-2a+8=0 \end{matrix}\right.$$ имеет хотя бы одно решение.
Вычтем из первого второе: $$2x^{2}+x(13-4a-4a-13)+8a^{2}=0$$
$$2x^{2}-8ax+8a^{2}=0$$
$$x^{2}-4ax+4a^{2}=0$$
$$(x-2a)^{2}=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x=2a$$
Подставим в первое: $$8a^{3}+28a^{2}+(13-4a)2a+4a^{2}-2a+8=0$$
$$8a^{3}+28a^{2}+26a-8a^{2}+4a^{2}-2a+8=0$$
$$8a^{3}+24a^{2}+24a+8=0$$
$$a^{3}+3a^{2}+3a+1=0$$
$$(a+1)^{3}=0$$ $$\Rightarrow$$ $$a=-1$$
Задание 8347
Найдите все значения параметра a, при которых неравенство $$\log_{\frac{1}{a}}(\sqrt{x^{2}+ax+5}+1)\cdot \log_{5}(x^{2}+ax+6)+\log_{a}3\geq 0$$ имеет одно решение.
$$\log_{\frac{1}{a}}(\sqrt{x^{2}+ax+5}+1)\cdot\log_{5}(x^{2}+ax+6)+\log_{a}3\geq0$$
Пусть $$\sqrt{x^{2}+ax+5}=y>0$$ $$\Rightarrow$$ $$y+1\geq1$$; $$y^{2}+1\geq1$$
$$-\log_{a}(y+1)\cdot\log_{5}(y^{2}+1)\geq-\log_{a}3$$
$$\log_{a}(y+1)\cdot\log_{5}(y^{2}+1)\leq\log_{a}3$$
Если $$a>1$$,то $$\log_{a}(y+1)>0$$ $$\Rightarrow$$ $$\log_{5}(y^{2}+1)\leq\frac{\log_{a}3}{\log_{a}(y+1)}=\log_{y+1}3$$
Если $$a\in(0;1)$$, то $$\log_{5}(y^{2}+1)\geq\log_{y+1}3$$
Необходимо единственное решение $$\Rightarrow$$ $$y=2$$. Т.е. получим $$\sqrt{x^{2}+ax+5}=2$$ тоже должно иметь единственное решение. Т.е. ордината в вершине параболы равна 2. Найдем абсциссу вершины:
$$x_{0}=-\frac{a}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\sqrt{(-\frac{a}{2})^{2}+a\cdot(-\frac{a}{2})+5}=\sqrt{5-\frac{a^{2}}{4}}=2$$ $$\Rightarrow$$ $$5-\frac{a^{2}}{4}=4$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}=4$$ $$\Rightarrow$$ $$a=\pm2$$, но $$a>0$$ $$\Rightarrow$$ $$a=2$$
