Смешанные неравенства

ОДЗ: $$x\in (0;5)$$

$$9\cdot2^{\log_3 (5-x)}+2\cdot2^{\log_3 x}-2^{\log_3 x+\log_3 (5-x)}-18\leq0$$

$$9(2^{\log_3 (5-x)}-2)-2^{\log_3 x}(2^{log_3 (5-x)}-2)\leq0$$

$$(2^{\log_3 (5-x)}-2)(9-2^{\log_3 x})\leq0$$

$$f(x)=2^{\log_3 x}$$ возрастает на $$(0;5).$$

Наибольшее значение $$2^{\log_3 5}$$ $$\log_3 5<2$$ $$2^{\log_3 5}<4$$

$$9-2^{\log_3 x}>0$$ на всём промежутке $$x\in (0;5)$$

Осталось решить неравенство:

$$2^{\log_3 (5-x)}-2\leq0$$

$$\log_3 (5-x)\leq1$$

$$\left\{\begin{matrix} x\in (0;5)\\ 5-x\leq3 \end{matrix}\right.$$

$$x\in [2;5)$$

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} 7-x>0\\ x>0\\ x(7-x)>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x\in (0;7)\\ x\in (0;7) \end{matrix}\right.\Rightarrow x\in (0;7)$$

$$30\cdot3^{\log_2(7-x)}+3\cdot3^{\log_2 x}-3^{\log_2 x}-3^{\log_2(7-x)}-90\geq0$$

$$30\cdot(3^{\log_2(7-x)}-3)+3^{\log_2 x}(3-3^{\log_2(7-x)}-90\geq0$$

$$(3^{\log_2(7-x)}-3)\cdot(30-3^{\log_2 x})\geq0$$

$$f(x)=\log_2 x$$ на промежутке $$(0;7)$$ возрастает. Наибольшее значение меньше $$\log_2 7<3=\log_2 8. 3^{\log_2 7}<27$$

$$\Rightarrow$$ на $$ОДЗ x\in (0;7)$$ разность $$30-3^{\log_2 x}>0.$$

Осталось решить неравенство $$3^{\log_2(7-x)}-3\geq0$$

$$\left\{\begin{matrix} x\in (0;7)\\ \log_2(7-x)\geq1 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x\in (0;7)\\ x\leq5 \end{matrix}\right.$$

$$x\in (0;5]$$