ЕГЭ Профиль
Задание 4550
Решите неравенство: $$\frac{14^{1+\lg x}}{7\lg^{2}(100x)\lg (0,1x)}\geq \frac{(4\cdot 2^{\lg (10x)})^{1+\lg x}}{4\lg^{2} (100x)\lg(0,1x)}$$
Учтем, что:
$$(4\cdot 2^{\lg(10x)})^{1+\lg x}=$$$$(4\cdot 2^{1+\lg x})^{1+\lg x}=$$$$4^{1+\lg x}\cdot 2^{(1+\lg x)^{2}}=$$$$2^{2+2\lg x}\cdot 2^{(1+\lg x)^{2}}=$$$$2^{1+\lg x}\cdot 2^{1+\lg x+(1+\lg x)^{2}}=$$$$2^{1+\lg x}\cdot 2^{\lg^2x+3\lg x+2}$$ При этом: $$14^{1+\lg x}=2^{1+\lg x}\cdot 7^{1+\lg x}$$
Тогда, разделив обе части неравенства на $$2^{1+\lg x}$$, и сократив первую дробь на 7, а вторую на 4, получим:
$$\frac{7^{\lg x}}{(\lg x+2)^{2}(\lg x-1)}\geq \frac{2^{\lg^2x+3\lg x}}{(\lg x+2)^{2}(\lg x-1)}$$
Учтем, что: $$7^{\lg x}=(2^{\log_{2}7})^{\lg x}$$
Тогда: $$\frac{(2^{\log_2 7})^{\lg x}-2^{\lg^2x+3\lg x}}{(\lg x+2)^{2}(\lg x-1)}\geq 0$$
Пусть: $$\lg x=y$$. Тогда:
$$\frac{(2^{\log_2 7})^{y}-2^{y^2+3y}}{(y+2)^{2}(y-1)}\geq 0$$
$$\frac{y\log_2 7-(y^2+3y)}{(y+2)^{2}(y-1)}\geq 0$$
$$\frac{y(y-(\log_2 7-3))}{(y+2)^{2}(y-1)}\geq 0$$
Получим:
$$\left[\begin{matrix} y<-2\\ -2<y\leq \log_{2}7-3 \\ 0\leq y<1 \end{matrix}\right.$$
Сделаем обратную замену:
$$\left[\begin{matrix} 0<x<0,01\\ 0,01<x\leq 10^{\log_{2}7-3} \\ 1\leq x<10 \end{matrix}\right.$$
Задание 5058
Решите неравенство: $$\sqrt{\log_{9}(3x^{2}-4x+2)}+1>\log_{3}(3x^{2}-4x+2)$$
Пусть $$t=\sqrt{\log_{9}(3x^{2}-4x+2)}=$$$$\sqrt{\log_{3^{2}}(3x^{2}-4x+2)}=$$$$\sqrt{\frac{\log_{3}(3x^{2}-4x+2)}{2}}$$, $$t\geq 0$$ тогда: $$\sqrt{\log_{3}(3x^{2}-4x+2)}=2t^{2}$$.
Неравенство примет вид: $$t+1>2t^{2}\Leftrightarrow$$ $$2t^{2}-t-1<0$$; $$y=2t^{2}-t-1$$, графиком является парабола, ветви направлены вверх ;$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}=-\frac{1}{2};1$$ $$0\leq t\leq 1$$.
Вернёмся к переменной : $$0\leq \sqrt{\log_{9}(3x^{2}-4x+2)}<1\Leftrightarrow$$ $$0\leq \log_{9}(3x^{2}-4x+2)<1\Leftrightarrow$$ $$\log_{9}1\leq \log_{9}(3x^{2}-4x+2)<\log_{9}9\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3x^{2}-4x+2\geq 1\\3x^{2}-4x+2<9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3x^{2}-4x+1\geq 0\\3x^{2}-4x-7<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3(x-\frac{1}{3})(x-1)\geq 0\\3(x+1)(x-\frac{7}{3})<0\end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix}x \in (-\infty;\frac{1}{3}] \cup [1;+\infty)\\ x\in(-1;\frac{7}{3})\end{matrix}\right.$$
В итоге получим: $$x\in (-1 ;\frac{1}{3}]\cup [1;\frac{7}{3}).$$
Задание 6231
Решите неравенство $$x*3^{log_{\frac{1}{9}(16x^{4}-8x^{2}+1)}}<\frac{1}{3}$$
Область определения:
$$16x^{4}-8x^{2}+1>0\Leftrightarrow (4 x^{2}-1)^{2}>0\Leftrightarrow$$$$x^{2}\neq \frac{1}{4}\Leftrightarrow x\neq \pm \frac{1}{2}$$
Решим данное неравенство:
$$x*3^{log_{\frac{1}{9}(4x^{2}-1)^{2}}}*3<1$$
$$x*3^{2*(-\frac{1}{2})log_{3}\left | 4x^{2}-1 \right |)}*3<1$$
$$x*\frac{1}{\left | 4x^{2}-1 \right |}*3<1$$
$$\frac{3x-\left | 4x^{2}-1 \right |}{\left | 4x^{2}-1 \right |}<0$$
Умножим обе части на $$\left | 4x^{2}-1 \right |$$ так как оно положительно при любой х:
$$3x<\left | 4x^{2}-1 \right |\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}4x^{2}-1>3x & & \\4x^{2}-1 <-3x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}4x^{2}-1+3x>0 & & \\4x^{2}-1-3x <0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}(x-1)(x+\frac{1}{4})>0 & & \\(x+1)(x-\frac{1}{4})<0 & &\end{matrix}\right.$$
Получаем $$x\in (-\infty ;-\frac{1}{4})\cup (-\frac{1}{4}; \frac{1}{4})\cup (1;+\infty )$$
С учетом области определения получим:
$$x\in (-\infty ;-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}; -\frac{1}{4})\cup (-\frac{1}{4}; \frac{1}{4})\cup (1;+\infty )$$
Задание 6279
Решите неравенство $$\frac{1}{x}\log _{7}(\frac{9}{2}-2*7^{-x})>1$$
Ограничения для логарифмируемой функции:
$$\frac{9}{2}-27^{-x}>0\Leftrightarrow 2*7^{-x}<\frac{9}{2}\Leftrightarrow$$ $$7^{-x}<\frac{9}{4}\Leftrightarrow$$ $$7^{-x}<7^{\log_{7}\frac{9}{4}}\Leftrightarrow$$ $$x>-\log_{7}\frac{9}{4}=\log _{7}\frac{4}{9}$$
Решим неравенство:
$$\frac{\log_{7}(\frac{9}{2}-2*7^{-x})-x}{x}>0\Leftrightarrow \frac{\log _{7}(\frac{9}{2}-2*7^{-x})*7^{-x}}{x}>0$$$$\Leftrightarrow \frac{\frac{9}{2}*7^{-x}-1}{x}>0$$
Рассмотрим числитель : пусть $$7^{-x}=y>0$$
$$\frac{9}{2}y-2y^{2}-1=0\Leftrightarrow$$$$4y^{2}-9y+2=0\Leftrightarrow$$$$D=81-32=49$$
$$y_{1}=\frac{9+7}{8}=2$$ и $$y_{2}=\frac{9-7}{8}=\frac{1}{4}$$
В соответствии с полученными корнями разложим числитель на множители, используя формулу $$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$, а так же умножим на минус один обе части:
$$\frac{(7^{-x}-2)(7^{-x}-\frac{1}{4})}{x}<0\Leftrightarrow$$$$\frac{(7^{-x}-7^{\log _{7} 2)})(7^{-x}-7^{\log_{7}\frac{1}{4}})}{x}<0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(-x-\log _{7}2)(-x-\log_{7}\frac{1}{4})}{x}<0\Leftrightarrow$$$$\frac{(x+log _{7}2)(x+log_{7}\frac{1}{4})}{x}<0$$
Учтем, что $$-\log _{7}2=\log_{7}\frac{1}{2}$$ и $$-\log_{7}\frac{1}{4}=\log_{7}4$$, а так же $$D(f)$$
$$x \in (\log_{7}\frac{4}{9}; \log _{7}\frac{1}{2})\cup (0; \log_{7}4)$$
Задание 6806
Решите неравенство $$(\frac{4x}{5}+1)^{6-13x-15x^{2}}\geq 1$$
ОДЗ : $$\frac{4x}{5}+1>0\Rightarrow$$ $$x>-\frac{5}{4}$$
Решение: рассмотрим равносильную систему с учетом ОДЗ :
$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}(\frac{4x}{5}+1)<1\\6-13x-15x^{2}\leq 0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}(\frac{4x}{5}+1)>1\\6-13x-15x^{2}\geq 0\end{matrix}\right.\\\frac{4x}{5}+1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x<0\\x \in (-\infty , -\frac{6}{5}]\cup [\frac{1}{3},+\infty )\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>0\\x \in [-\frac{6}{5}, \frac{1}{3}]\end{matrix}\right.\\x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ с учетом ОДЗ: $$x \in (-\frac{5}{4}; -\frac{6}{5}]\cup [0; \frac{1}{3}]$$
Задание 8238
Решите неравенство: $$\frac{4\sin x \cdot \sin 2x -\sin^{2} 2x -4+4\cos^{2} x}{\sqrt{16-2^{(x-5)^{2}}}}\geq 0$$
ОДЗ: $$16-2^{(x-5)^{2}}>0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2^{4}>2^{(x-5)^{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4>(x-5)^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x-5<2&\\x-5>-2&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<7&\\x>3&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in(3;7)$$
Упростим числитель: $$4\sin x\sin2x-\sin^{2}2x+4(\cos{2}x-1)=8\sin^{2}x\cos x-4\sin^{2}x$$
$$\cos^{2}x-4\sin^{2}x=-4\sin^{2}x(\cos^{2}-2\cos x+1)=-4\sin^{2}x(\cos^{2}-1)^{2}$$
Тогда получим: $$-\frac{4\sin^{2}x(\cos x-1)^{2}}{\sqrt{16-2^{(x-5)^{2}}}}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin^{2}x(\cos x-1)^{2}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\begin{bmatrix}sin x=0&\\\cos x=1&\end{bmatrix}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\pi n,n\in Z$$
С учетом ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x=\pi n &\\x\in(3;7)&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\pi;2\pi$$
Задание 8269
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}|x|>0&\\4x^{2}-x^{3}-4x\neq0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq0&\\x(4x-x^{2}-4)\neq0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq0&\\-x(x-2)^{2}\neq0&\end{matrix}\right.$$ $$x\in(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$$
Решение: учтем,что $$\log_{3}^{2}|x|-3\log_{3}|x|-10=(\log_{3}|x|-5)\cdot(\log_{3}|x|+2)=(\log_{3}|x|-\log_{3}243)\cdot(\log_{3}|x|+\log_{3}9)=$$ $$=(\log_{3}|x|-\log_{3}243)\cdot(\log_{3}|x|-\log_{3}\frac{1}{9})=|\log_{b}a-\log_{b}c\Leftrightarrow(b-c)\cdot(a-c)|=$$ $$=(|x|-243)\cdot(|x|-\frac{1}{9})\cdot(3-1)^{2}=||x|-|y|\Leftrightarrow(x-y)\cdot(x+y)|=(\frac{1}{2})^{x-1}-2^{x-1}=2^{1-x}-2^{x-1}=|a^{b}-a^{c}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a\cdot(b-c)|=(1-x-x+1)(2-1)=(2-2x)$$
С учетом разложений и ОДЗ: $$\frac{(x-243)\cdot(x+243)\cdot(x-\frac{1}{9})\cdot(x+\frac{1}{9})\cdot(2-2x)\cdot2^{2}}{-x(x-2)^{2}}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-243)\cdot(x+243)\cdot(x-\frac{1}{9})\cdot(x+\frac{1}{9})\cdot(x-1)}{x}\leq0$$
$$x\in[-243;-\frac{1}{9}]\cup(0;\frac{1}{9}]\cup[1;2)\cup(2;243]$$