ЕГЭ (профиль) / (C3) Неравенства

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\log_{3}(2^{x}+1)+\log_{2^{x}+1}3\geq 2,5$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x}+1>0\\2^{x}+1\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x}>-1\\2^{x}\neq0\end{matrix}\right.$$ $$x\in R$$ $$\log_{3}(2^{x}+1)=y$$ $$y+\frac{1}{y}\geq\frac{5}{2}$$ $$\frac{y^{2}+1}{y}-\frac{5}{2}\geq0$$ $$\frac{2y^{2}+2-5y}{2y}\geq0$$ $$y\neq0$$ $$D=25-16=9$$ $$y_{1}=\frac{5+3}{4}=2$$ $$y_{2}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$$ $$\left\{\begin{matrix}y>0\\y\leq\frac{1}{2}\\y\geq2\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{3}(2^{x}+1)>0\\\log_{3}(2^{x}+1)\leq\frac{1}{2}\\\log_{3}(2^{x}+1)\geq2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x}+1>1\\2^{x}+1\leq\sqrt{3}\\2^{x}+1\geq9\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}x\in R\\x\leq\log_{2}(\sqrt{3}-1)\\x\geq3\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{3\log_{0,5}x}{2-\log_{0,5}x}\geq2\log_{0,5}x+1$$

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\\log_{0,5}x\neq2\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$

Пусть $$\log_{0,5}x=y$$

$$\frac{3y}{2-y}\geq2y+1$$

$$\frac{3y-(2y+1)(2-y)}{2-y}\geq0$$

$$\frac{3y-4y+2y^{2}-2+y}{2-y}\geq0$$

$$\frac{2y^{2}-2}{2-y}\geq0$$

$$\Leftrightarrow\frac{(y-1)(y+1)}{2-y}\geq0$$

$$\left\{\begin{matrix}y\leq-1\\\left\{\begin{matrix}y\geq1\\y<2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}\log_{0,5}x\leq-1\\\left\{\begin{matrix}\log_{0,5}x\geq1\\\log_{0,5}x<2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}x\geq2\\\left\{\begin{matrix}x\leq\frac{1}{2}\\x>\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(2^{2}+3\cdot2^{-x})^{2\log_{2}x-\log_{2}(x+6)}>1$$

$$(2^{2}+3\cdot2^{-x})^{2\log_{2}x-\log_{2}(x+6)}>(2^{2}+3\cdot2^{-x})^{0}$$

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>0$$

$$2^{x}+3\cdot2^{-x}>1$$ $$\Leftrightarrow$$

$$2^{x}+3\cdot2^{-x}-1>0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{2^{2x}-2^{x}+3}{2^{x}}>0$$

Пусть $$2^{x}=y>0$$

$$\frac{y^{2}-y+3}{y}>0$$

$$D=1-12<0$$ $$\Rightarrow$$ всегда больше нуля

$$\left\{\begin{matrix}2^{x}+3\cdot2^{-x}>1\\2\log_{2}x-\log_{2}(x+6)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}\frac{2^{2x}-2^{x}+3}{2^{x}}>0\\2\log_{2}x>\log_{2}(x+6)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\log_{2}x^{2}>\log_{2}(x+6)$$

$$(x^{2}-x-6)(2-1)>0$$

$$x^{2}-x-6>0$$

$$D=1+24=25$$

$$x_{1}=\frac{1+5}{2}=3$$

$$x_{2}=\frac{1-5}{2}=-2$$

С учетом ОДЗ: $$x>3$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\1+2x>0\\x\neq1\\1+2x\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x>-0,5\\x\neq1\\x\neq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in(0;1)\cup(1;+\infty)$$; $$\frac{\frac{1}{3}\log_{2}x}{\log_{2}(1+2x)}\leq\frac{\frac{1}{3}\log_{2}(1+2x)}{\log_{2}x}$$; $$\log_{1+2x}x\leq\log_{x}(1+2x)$$;

Пусть $$\log_{1+2x}x=y$$; $$y\leq\frac{1}{y}$$; $$\frac{y^{2}-1}{y}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y-1)(y+1)}{y}\leq0$$

$$\left\{\begin{matrix}y\leq-1\\\left\{\begin{matrix}y>0\\y\leq1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{1+2x}x\leq-1(1)\\\left\{\begin{matrix}\log_{1+2x}x>0(2)\\\log_{1+2x}x\leq1(3)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

1) $$\log_{1+2x}x\leq\log_{1+2x}\frac{1}{1+2x}$$; $$(x-\frac{1}{1+2x})(1+2x-1)\leq0$$; $$\frac{x+2x^{2}-1}{1+2x}\cdot2x\leq0$$; $$\frac{2x(x-0,5)(x+1)}{1+2x}\leq0$$

$$x\in[-1;-0,5)\cup[0;0,5]$$

2) $$\log_{1+2x}x>0$$; $$(x-1)(1+2x-1)>0$$; $$(x-1)\cdot2x>0$$

$$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$

3) $$\log_{1+2x}x\leq1$$; $$\log_{1+2x}x\leq\log_{1+2x}(1+2x)$$; $$(x-1-2x)(1+2x)\leq0$$; $$(-x-1)(2x+1)\leq0$$

$$x\in(-\infty;-1]\cup[-0,5;+\infty)$$

Найдем пересечение 2 и 3 и объединим результаты с 1: $$x\in(-\infty;0,5]\cup(1;+\infty;)$$

Ответ с учетом ОДЗ: $$x\in(0;0,5]\cup(1;+\infty;)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x-1>0\\x-1\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in(1;2)\cup(2;+\infty)$$

$$\frac{-3}{\log_{\frac{1}{3}}(x-1)}+\log_{\frac{1}{3}}(x-1)-2|\log_{\frac{1}{3}}(x-1)|>0$$. Пусть $$\log_{\frac{1}{3}}(x-1)=y$$;

$$-\frac{3}{y}+y-2|y|>0$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y\geq0\\-\frac{3}{y}-y>0\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}y<0\\-\frac{3}{y}+3y>0\end{matrix}\right.(2)\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

1) $$\left\{\begin{matrix}y\geq0\\\frac{-3-y^{2}}{y}>0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y\geq0\\-y^{2}>3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ нет решений

2) $$\left\{\begin{matrix}y<0\\\frac{-1+y^{2}}{y}>0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y<0\\y^{2}<1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y<0\\y\in(-1;0)\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{\frac{1}{3}}(x-1)>-1\\\log_{\frac{1}{3}}(x-1)<0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x-1<3\\x-1>1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<4\\x>2\end{matrix}\right.$$