Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

ЕГЭ (профиль) / (C3) Неравенства

 

Задание 4550

Решите неравенство: $$\frac{14^{1+\lg x}}{7\lg^{2}(100x)\lg (0,1x)}\geq \frac{(4\cdot 2^{\lg (10x)})^{1+\lg x}}{4\lg^{2} (100x)\lg(0,1x)}$$

Ответ: $$(0;0,01);(0,01;10^{\log_{2}7-3}];[1;10)$$
Скрыть

Учтем, что:

$$(4\cdot 2^{\lg(10x)})^{1+\lg x}=$$$$(4\cdot 2^{1+\lg x})^{1+\lg x}=$$$$4^{1+\lg x}\cdot 2^{(1+\lg x)^{2}}=$$$$2^{2+2\lg x}\cdot 2^{(1+\lg x)^{2}}=$$$$2^{1+\lg x}\cdot 2^{1+\lg x+(1+\lg x)^{2}}=$$$$2^{1+\lg x}\cdot 2^{\lg^2x+3\lg x+2}$$ При этом: $$14^{1+\lg x}=2^{1+\lg x}\cdot 7^{1+\lg x}$$

Тогда, разделив обе части неравенства на $$2^{1+\lg x}$$, и сократив первую дробь на 7, а вторую на 4, получим:

$$\frac{7^{\lg x}}{(\lg x+2)^{2}(\lg x-1)}\geq \frac{2^{\lg^2x+3\lg x}}{(\lg x+2)^{2}(\lg x-1)}$$

Учтем, что: $$7^{\lg x}=(2^{\log_{2}7})^{\lg x}$$

Тогда: $$\frac{(2^{\log_2 7})^{\lg x}-2^{\lg^2x+3\lg x}}{(\lg x+2)^{2}(\lg x-1)}\geq 0$$

Пусть: $$\lg x=y$$. Тогда:

$$\frac{(2^{\log_2 7})^{y}-2^{y^2+3y}}{(y+2)^{2}(y-1)}\geq 0$$

$$\frac{y\log_2 7-(y^2+3y)}{(y+2)^{2}(y-1)}\geq 0$$

$$\frac{y(y-(\log_2 7-3))}{(y+2)^{2}(y-1)}\geq 0$$

Получим:

$$\left[\begin{matrix} y<-2\\ -2<y\leq \log_{2}7-3 \\ 0\leq y<1 \end{matrix}\right.$$

Сделаем обратную замену:

$$\left[\begin{matrix} 0<x<0,01\\ 0,01<x\leq 10^{\log_{2}7-3} \\ 1\leq x<10 \end{matrix}\right.$$

Задание 4551

Решите неравенство: $$\frac{35^{|x|}-5^{|x|}-5\cdot 7^{|x|}+5}{2^{\sqrt{x+2}}+1}\geq 0$$

Ответ:
 

Задание 4574

Решите неравенство: $$\frac{\log_{x}32}{\log_{2}x-\log_{x}4+1}\leq\log_{\frac{x}{2}}8-\log_{4x}x$$

Ответ: (0;0,25);{0,5};(2;$$\infty $$)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 4670

 Решите неравенство: $$2\log _{25}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}\log _{\sqrt{5}}(1+x)> \log _{ \frac{1}{5}} \frac{1}{2}$$

Ответ: $$(-1;1)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Напишем ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}(1+x)(3-x)> 0\\ 1+x> 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix} -1< x< 3\\ x> -1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$-1< x< 3$$

$$2\log _{25}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}\log _{\sqrt{5}}(1+x)> \log _{ \frac{1}{5}} \frac{1}{2}\Leftrightarrow $$$$2\log _{5^{2}}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}\log _{5^{\frac{1}{2}}}(1+x)> \log _{ 5^{-1}} 2^{-1}\Leftrightarrow $$$$2*\frac{1}{2}\log _{5}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}*2\log _{5}(1+x)> (-1)*(-1)\log _{ 5} 2\Leftrightarrow $$$$\log _{5}(1+x)(3-x)-\log _{5}(1+x)> \log _{ 5} 2\Leftrightarrow $$$$\log _{5} \frac{(1+x)(3-x)}{(1+x)}> \log _{ 5} 2\Leftrightarrow $$$$(3-x)> 2\Leftrightarrow x< 1$$

C учетом ОДЗ : $$-1< x< 1$$

 

Задание 4820

Решите неравенство: $$\log_{10-x^{2}} (\frac{16}{5}x-x^{2})< 1$$

Ответ: $$(0;3)\cup (\frac{25}{8};\sqrt{10})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Область допустимых значений неравенства задаётся системой :

   $$\left\{\begin{matrix}10-x^{2}>0\\10-x^{2}\neq 1\\\frac{16}{5}x-x^{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\\x\neq \pm 3\\x(x-\frac{16}{5})<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\\x\neq \pm 3\\0<x<\frac{16}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (0;3)\cup (3;\sqrt{10})$$

   Решение: $$\log_{10-x^{2}}(\frac{16}{5}x-x^{2})<1\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}10-x^{2}>1\\\frac{16}{5}x-x^{2}<10-x^{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0<10-x^{2}<1\\\frac{16}{5}x-x^{2}>10-x^{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}-3<x<3\\\frac{16}{5}x<10\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\\\left\{\begin{matrix}x>3\\x<-3\end{matrix}\right.\\\frac{16}{5}x>10\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}-3<x<3\\x<\frac{25}{8}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}-\sqrt{10}<x<\sqrt{10}\\\left\{\begin{matrix}x>3\\x<-3\end{matrix}\right.\\x>\frac{25}{8}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}-3<x<\frac{25}{8}\\\frac{25}{8}<x<\sqrt{10}\end{matrix}\right.$$

      С учетом области допустимых значений неравенства получаем $$x \in (0;3)\cup (\frac{25}{8};\sqrt{10})$$

 

Задание 4864

Решите неравенство : $$\log_{4} (x-1) * \log_{x-1} (x+2)> \log_{4}^{2} (x+2)$$

Ответ: (1;2)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем ОДЗ:$$\left\{\begin{matrix}x-1> 0\\ x-1 \neq 1\\ x+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$ x\in (1;2)\cup (2;+\infty )$$

Далее преобразуем неравенство используя свойства логарифмов:

$$\frac{1}{\log_{(x-1)} (4)} * \log_{x-1} (x+2)-\log_{4}^{2} (x+2)> 0\Leftrightarrow $$$$\frac{ \log_{x-1} (x+2)}{\log_{(x-1)} (4)}-\log_{4}^{2} (x+2)> 0 \Leftrightarrow $$$$\log_{4} (x+2)-\log_{4}^{2} (x+2)> 0 \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}\log_{4} (x+2)> 0\\ \log_{4} (x+2)< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x> -1\\x< 2\end{matrix}\right.$$

С учетом ОДЗ получаем: $$\left\{\begin{matrix}x> 1\\x< 2\end{matrix}\right.$$

 

Задание 4915

 Решите неравенство $$\log_{x-2}\frac{1}{5}\geq\log_{\frac{x-3}{x-5}}\frac{1}{5}$$

Ответ: $$x\in[4-\sqrt{3};3)\cup[4+\sqrt{3};+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x-2>0\\x-2\neq1\\\frac{x-3}{x-5}>0\\\frac{x-3}{x-5}\neq1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{matrix}x>2\\x\neq3\\x\in(-\infty;3)\cup(5;+\infty)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$x\in(2;3)\cup(5;+\infty)$$
$$\frac{1}{\log_{0,2}(x-2)}\geq\frac{1}{\log_{0,2}\frac{x-3}{x-5}}\Leftrightarrow $$$$\frac{\log_{0,2}\frac{x-3}{x-5}-\log_{0,2}(x-2)}{\log_{0,2}(x-2)\cdot\log_{0,2}\frac{x-3}{x-5}}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{\log_{0,2}\frac{x-3}{(x-5)(x-2)}}{\log_{0,2}(x-2)\log_{0,2}\frac{x-3}{x-5}}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{(0,2-1)(\frac{x-3}{(x-5)(x-2)}-1)}{(0,2-1)(x-2-1)(0,2-1)(\frac{x-3}{x-5}-1)}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{\frac{x-3-(x-5)(x-2)}{(x-5)(x-2)}}{(x-3)\cdot\frac{x-3-x+5}{x-5}}\leq0\Leftrightarrow $$$$\frac{\frac{x-3-x^{2}+2x+5x-10}{x-2}}{x-3}\leq0\Leftrightarrow $$$$\frac{-x^{2}+8x-13}{(x-2)(x-3)}\leq0\Leftrightarrow $$$$\frac{x^{2}-8x+13}{(x-2)(x-3)}\geq 0$$
$$x^{2}-8x+13=0$$
$$D=64-52=12\Leftrightarrow $$$$x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{12}}{2}=4\pm\sqrt{3}$$
Начертим координатную прямую, отметим полученные точки, расставим знаки и сравним результаты с ОДЗ:
 

Задание 4962

Решите неравенство $$\log_{3}\log_{\frac{9}{16}}(x^{2}-4x+3)\leq0$$

Ответ: $$(2-\sqrt{2};0,74]\cup[3,25;2+\sqrt{2})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-4x+3>0\\\log_{\frac{9}{16}}(x^{2}-4x+3)>0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x>3\\x<1\end{matrix}\right.\\x^{2}-4x+3<1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x>3\\x<1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>2-\sqrt{2}\\x<2+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$;
|$$x^{2}-4x+3<1$$; $$x^{2}-4x+2<0$$; $$D=16-8=8$$; $$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2}=2\pm\sqrt{2}$$|
$$x\in(2-\sqrt{2};1)\cup(3;2+\sqrt{2})$$
Воспользуемся методом рационализации:
$$(\log_{\frac{9}{16}}(x^{2}-4x+3)-1)(3-1)\leq0\Leftrightarrow$$$$\log_{\frac{9}{16}}\frac{(x^{2}-4x+3)\cdot16}{9}\leq0\Leftrightarrow$$$$(\frac{(x^{2}-4x+3)\cdot16}{9}-1)(\frac{9}{16}-1)\leq0\Leftrightarrow$$$$16x^{2}-64x+48-9\geq0\Leftrightarrow$$$$16x^{2}-64x+39\geq0\Leftrightarrow$$
$$D=4096-2496=1600$$
$$x_{1}=\frac{64+40}{32}=3,25$$  $$x_{2}=\frac{64-40}{32}=0,75$$
В итоге решение данного неравенства: $$x\geq 3,25$$ и $$x\leq 0,75$$
Найдем решение c учетом ОДЗ:
В итоге пересечением является: $$x \in (2-\sqrt{2};0, 75] \cup [3,25; 2+\sqrt{2})$$
 

Задание 5010

Решите неравенство $$\frac{7\cdot4^{x}+2^{x^{2}+1}}{3-2^{2x-x^{2}}}\geq2^{2x+3}$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-1]\cup{1}\cup[3;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\frac{7\cdot2^{2x}+\cdot2^{x^{2}}}{3-\frac{2^{2x}}{2^{x^{2}}}}\geq2^{2x}\cdot8$$

Пусть $$2^{2x}=a>0$$; $$2^{x^{2}}=b>0$$

$$\frac{7a+2b}{3-\frac{a}{b}}\geq8a$$; $$\frac{(7a+2b)b}{3b-a}\geq\frac{8a(3b-a)}{3b-a}$$; $$3\cdot2^{x^{2}}-2^{2x}=2^{\log_{2}3}\cdot2^{x^{2}}-2^{2x}=2^{x^{2}+\log_{2}3}-2^{2x}$$ $$\Rightarrow$$ всегда$$>0$$

$$x^{2}+\log_{2}3-2x=0$$

$$D=4-4\log_{2}3=\log_{2}16-\log_{2}81<0$$

$$7ab+2b^{2}\geq24ab-8a^{a}$$; $$2b^{2}-17ab+8a^{2}\geq0$$ $$|\div a^{2}$$;

$$2(\frac{b}{a})^{2}-17\frac{b}{a}+8\geq0$$

$$D=289-64=225$$;

$$\frac{b}{a}=\frac{17+15}{4}=8$$; $$\frac{b}{a}=\frac{17-15}{4}=\frac{1}{2}$$;

$$\left\{\begin{matrix}\frac{b}{a}\geq8\\\frac{b}{a}\leq\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{2^{x^{2}}}{2^{2x}}\geq8\\\frac{2^{x^{2}}}{2^{2x}}\leq\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x^{2}-2x}\geq2^{3}\\2^{x^{2}-2x}\leq2^{-1}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2x\geq3\\x^{2}-2x\leq-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2x-3\geq0\\x^{2}-2x+1\leq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-3)(x+1)\geq0\\(x-1)^{2}\leq0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq3\\x<-1\\x=1\end{matrix}\right.$$

 

Задание 5058

Решите неравенство: $$\sqrt{\log_{9}(3x^{2}-4x+2)}+1>\log_{3}(3x^{2}-4x+2)$$

Ответ: $$(-1 ;\frac{1}{3}]\cup [1;\frac{7}{3})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть $$t=\sqrt{\log_{9}(3x^{2}-4x+2)}=$$$$\sqrt{\log_{3^{2}}(3x^{2}-4x+2)}=$$$$\sqrt{\frac{\log_{3}(3x^{2}-4x+2)}{2}}$$, $$t\geq 0$$ тогда: $$\sqrt{\log_{3}(3x^{2}-4x+2)}=2t^{2}$$.

     Неравенство примет вид: $$t+1>2t^{2}\Leftrightarrow$$ $$2t^{2}-t-1<0$$; $$y=2t^{2}-t-1$$, графиком является парабола, ветви направлены вверх ;$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}=-\frac{1}{2};1$$ $$0\leq t\leq 1$$.

     Вернёмся к переменной : $$0\leq \sqrt{\log_{9}(3x^{2}-4x+2)}<1\Leftrightarrow$$ $$0\leq \log_{9}(3x^{2}-4x+2)<1\Leftrightarrow$$ $$\log_{9}1\leq \log_{9}(3x^{2}-4x+2)<\log_{9}9\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3x^{2}-4x+2\geq 1\\3x^{2}-4x+2<9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3x^{2}-4x+1\geq 0\\3x^{2}-4x-7<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3(x-\frac{1}{3})(x-1)\geq 0\\3(x+1)(x-\frac{7}{3})<0\end{matrix}\right.$$$$\left\{\begin{matrix}x \in (-\infty;\frac{1}{3}] \cup [1;+\infty)\\ x\in(-1;\frac{7}{3})\end{matrix}\right.$$

В итоге получим: $$x\in (-1 ;\frac{1}{3}]\cup [1;\frac{7}{3}).$$

 

Задание 5142

Решите неравенство $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq\log_{x^{2}-3}7+\log_{x^{2}-3}x$$

Ответ: $$x\in(\sqrt{3};2)\cup(2;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Область допустимых значений неравенства задается системой:

$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x^{2}-3>0\\x^{2}-3\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\\left[\begin{matrix}x>\sqrt{3}\\x<-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\x\neq \pm 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (\sqrt{3}2)\cup (2+\infty )$$

     Решение: $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq \log_{x^{2}-3}7+\log_{x^{2}-3}x\Leftrightarrow$$ $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq \log_{x^{3}-3}(7x)\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}-3>1\\x^{2}+6\geq 7x\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0<x^{2}-3<1\\x^{2}+6\leq 7x\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}-4>0\\x^{2}-7x+6\geq 0(1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x^{2}-3>0\\x^{2}-4<0\\x^{2}-7x+6\leq 0(2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     Решим каждую из систем (1) ,(2) в отдельности:

(1): $$\left\{\begin{matrix}(x-2)(x+2)>0\\(x-1)(x-6)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x>2\\x<-2\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x\geq 6\\x\leq 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x<-2\\x\geq 6\end{matrix}\right.$$

(2): $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x>\sqrt{3}\\x<-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\-2<x<2\\1\leq x\leq 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{3}<x<2$$

     В итоге решением будет ялвяться: $$\left[\begin{matrix}x<-2\\x\geq 6\\\sqrt{3}<x<2\end{matrix}\right.$$

     С учетом области допустимых значений неравенства окончательно получим : $$x \in (\sqrt{3}; 2)\cup [6;+\infty )$$

 

Задание 5195

Решите неравенство $$\log_{64x}4\cdot\log^{2}_{0,5}(8x)\leq3$$

Ответ: $$x\in (0 ;\frac{1}{64})\cup [\frac{1}{16\sqrt{2}};1]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\log_{64x}4*\log_{0,5}^{2}(8x)\leq 3$$

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}64x>0\\64x\neq 1\\8x>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x \neq \frac{1}{64}\\\end{matrix}\right.$$$$x\in (10 \frac{1}{64})\cup (\frac{1}{64}+\infty)$$

$$\frac{1}{\log_{4}64} +\log_{2}^{2}(8x)\leq 3\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{\log_{4}64+\log_{4}x}*(\log_{2}8+\log_{2}x)^{2}\leq 3\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{3+\frac{1}{2}\log_{2}x}*(3+\log_{2}x)^{2}\leq 3$$

Замена $$\log_{2}x=y$$

$$\frac{1}{3+0,5 y}(3+y)^{2}-3\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{9+6y+y^{2}-9-1,5y}{3+0,5 y}\leq 0\Leftrightarrow \frac{y^{2}+4,5 y}{0,5y+3}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{y(y+4,5)}{0,5y+3}\leq 0\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}y<-6\\\left\{\begin{matrix}y\geq -4,5\\y\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}\log_{2}x<-6\\\left\{\begin{matrix}\log_{2}x\geq -4,5\\log_{2}x\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x<\frac{1}{64}\\\left\{\begin{matrix}x\geq \frac{1}{\sqrt{512}}\\x\leq 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

С учетом ОДЗ:

$$x\in (0 ;\frac{1}{64})\cup [\frac{1}{16\sqrt{2}};1]$$

 

Задание 5242

Решите неравенство $$\log_{x^{2}}(3-x)\leq\log_{x+2}(3-x)$$

Ответ: $$x \in (-1;0)\cup (0;1)\cup 2$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\log _{x^{2}}(3-x)\leq \log_{x+2}(3-x)$$

Найдем область определения функции:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}>0 \\x^{2}\neq1 \\3-x>0\\x+2>0\\x+2 \neq1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x\neq 0 \\x \neq \pm 1 \\x<3 \\x>-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$x \in (-2-;1)\cup (-1;0)\cup (0;1)\cup (1;3)$$

$$\frac{1}{\log _{3-x}x^{2}}-\frac{1}{\log_{3-x}(x+2)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{3-x}(x+2)-\log_{3-x}x^{2}}{\log_{3-x}x^{2}*\log_{3-x}(x+2)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{3-x}\frac{x+2}{x^{2}}}{\log_{3-x}x^{2}*\log_{3-x}(x+2)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{x^{2}} \frac{x+2}{x^{2}}}{\log_{3-x}(x+2)}\leq 0$$

Воспользуемся методом рационализации:

$$(\frac{x+2}{x^{2}}-1)(x^{2}-1)(3-x-1)(x+2-1)\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x+2-x^{2}-1}{x^{2}}*(x-1)(x+1)(2-x)(x+1)\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{-(x+1)(x-2)}{x^{2}}*(x-1)(x+1)^{2}(2-x)\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{(x+1)^{3}(x-2)^{2}(x-1)}{x^{2}}\leq 0$$

С учетом области определения: $$x \in (-1;0)\cup (0;1)\cup 2$$

 

Задание 5290

Решите неравенство $$\frac{(\log_{2}x^{4}+1)\cdot(\log_{2}x-3)-\log_{2}x+2}{\log_{2}^{2}x-5\cdot\log_{2}x+6}\geq\frac{\log_{2}^{2}x-\log_{2}x^{3}+1}{3-\log_{2}x}$$

Ответ: $$x \in \left \{ \frac{1}{2} \right \} \cup (4;8) \cup (8; +\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Найдем ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}\log_{2}^{2}x-5\cdot\log_{2}x+6\neq 0\\3-\log_{2}x\neq 0\\ x> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix} \log_{2}x\neq 2\\ \log_{2}x\neq 3\\ x> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x\neq 4\\ x\neq 8\\ x> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$x\in(0;4)\cup (4;8)\cup (8;+\infty )$$

Введем замену: $$\log_{2} x = y$$. Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{(4y+1)\cdot(y-3)-y+2}{y^{2}-5y+6}\geq\frac{y^{2}-3y+1}{3-y}\Leftrightarrow $$$$\frac{4y^{2}-12y+y-3-y+2}{(y-3)(y-2)}-\frac{y^{2}-3y+1}{-(y-3)}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{4y^{2}-12y-1}{(y-3)(y-2)}+\frac{(y^{2}-3y+1)(y-2)}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{4y^{2}-12y-1+y^{3}-2y^{2}-3y^{2}+6y+y-2}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{y^{3}-y^{2}-5y-3}{(y-3)(y-2)}\geq 0$$

Рассмотрим числитель данной дроби. Методом подбора найдем корень (рассматривая целочисленные делители свободного члена, то есть (-3): получим, что $$y=-1$$ является корнем, выделим данный множитель (метод деления вы можете найти в видео, прикрепленному к данному варианту):

$$\frac{(y+1)(y^{2}-2y-3)}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{(y+1)(y-3)(y+1)}{(y-3)(y-2)}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y+1)^{2}}{y-2}\geq 0\Leftrightarrow$$$$\left [ \begin{matrix}y\geq 2\\ y=-1\end{matrix}\right.$$

Вернемся к обратной замене:

$$\left [ \begin{matrix}\log_{2}x \geq 2\\ \log_{2}x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left [ \begin{matrix}x \geq 4\\ x=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$

C учетом ОДЗ получаем: $$x \in \left \{ \frac{1}{2} \right \} \cup (4;8) \cup (8; +\infty)$$

 

Задание 5338

Решите неравенство $$(\log_{x} 2 -1)\log_{2} 2x \leq \frac{3}{2}$$

Ответ: $$x \in \left [\frac{1}{4};1 \right )\cup \left [ \sqrt{2};+\infty \right )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x> 0\\ x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ x \in (0;1)\cup (1;+\infty )$$

Выполним преобразования, используя формулы: $$\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} ; log_{c} ab = \log_{c}a + \log_{c} b$$ $$(\frac{1}{\log_{2}x}-1)(\log_{2}2+\log_{2}x)\leq \frac{3}{2}$$

Введем замену $$\log_{2}x=y$$

$$(\frac{1}{y}-1)(1+y)\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow$$$$ \frac{2(1-y)(y+1)-3y}{2y}\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{-2y^{2}-3y+2}{2y}\leq 0 |\cdot (-1) \Leftrightarrow$$$$ \frac{2y^{2}+3y-2}{y}\geq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{2(y-0,5)(y+2)}{y}\geq 0\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y\geq -2\\ y< 0\end{matrix}\right.\\ y\geq 0,5\end{matrix}\right.$$

Найдем промежутки, на которых будут положительные значения:

Выполним обратную замену:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\log_{2}x\geq -2\\ \log_{2}x< 0\end{matrix}\right.\\ \log_{2}x\geq 0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq \frac{1}{4}\\x< 1\end{matrix}\right.\\x\geq \sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$

С учетом ОДЗ получим: $$x \in \left [\frac{1}{4};1 \right )\cup \left [ \sqrt{2};+\infty \right )$$