ЕГЭ Профиль
Задание 6662
Найдите наибольшее значение функции $$y=2,7e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$ на отрезке [1;3]
Найдем производную для $$y=2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}$$: $${y}'=2,7*e^{3x^{2}-x^{2}-4}*{(3x^{2}-x^{3}-4)}'=$$$$2,7*e^{3x^{2}-x^{3}-4}*(6x-3x^{2})$$
Приравняем производную к 0: $${y}'=0\Leftrightarrow$$ $$6x-3x^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$3x(2-x)=0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.$$. x=0 - точка минимума, x=2 - максимума
$$f_{max}=f(2)=2,7*e^{3*2^{2}-2^{3}-4}=2,7$$
Задание 6823
Найдите наименьшее значение функции $$y=7^{5x-2}+9*7^{4-5x}-41$$
Пусть $$7^{5x}=m>0$$, тогда: $$f(m)=\frac{m}{7^{2}}+\frac{9*7^{4}}{m}-41$$
Найдем производную данной функции: $${f}'(m)=\frac{1}{7^{2}}-\frac{9*7^{4}}{m^{2}}=0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{m^{2}-9*7^{6}}{(7m)^{2}}=0$$$$\Leftrightarrow$$$$m=\pm 3*7^{3}$$
Так как $$m>0$$ $$\Rightarrow$$ $$m=7^{5x}=3*7^{3}$$ - при данном значении и будет наименьшее значение функции:
$$y=\frac{3*7^{3}}{7^{2}}+\frac{9*7^{4}}{3*7^{3}}-41=42-41=1$$
Задание 7037
Найдите точку максимума функции $$y=x^{2}e^{x}$$
$$y=x^{2}*e^{x}\Rightarrow$$ $${y}'={(x^{2})}'e^{x}+{e^{x}}'*x^{2}=$$$$2xe^{x}+e^{x}*x^{2}\Leftrightarrow$$ $$e^{x}(2x+x^{2})=0$$
Т.к. $$e^{x}>0$$ при любом x $$\Rightarrow$$ $$x(2+x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0 \rightarrow min\\x=-2\rightarrow max\end{matrix}\right.$$
Задание 7058
Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=(x^{2}-4)e^{x}$$ на отрезке [0;2]
Найдем производную данной функции и приравняем к 0: $${f}'(x)={(x^{2}-4)}'e^{x}+{(e^{x})}'(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow$$ $$2xe^{x}+e^{x}(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow$$ $$e^{x}(x^{2}+2x-4)=0\Leftrightarrow$$ $$D=4+16=20$$; $$x_{1,2}=\frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2}=-1 \pm \sqrt{5}$$
на отрезке [0; 2] есть точка минимума ($$x=-1+\sqrt{5}$$), следовательно, наибольшее значение функция принимает в одном из концов:
Задание 7178
Найдите наибольшее значение функции $$y=(x-1)*2^{x}$$ на отрезке [2; 6]
1) Найдем производную функции и приравняем к 0 : $$y^{'}=(x-1)^{'}2^{x}+(x-1)(2^{x})^{'}=2^{x}+(x-1)2^{x}\ln 2=0\Leftrightarrow$$$$2^{x}(1+(x-1)\ln 2)=0\Leftrightarrow$$ $$1+(x-1)\ln 2=0\Leftrightarrow$$ $$x-1=\frac{-1}{\ln 2}\Leftrightarrow$$ $$x=-\frac{1}{\ln 2}-1=-\log_{2}e-1=$$$$\log_{2}\frac{1}{e}-1=$$$$\log_{2}\frac{1}{2e}<0\Rightarrow$$ на промежутке [2 ;6] $$y_{max}=y(6)=(6-1)2^{6}=320$$
2) Можно решить рассуждением:
На промежутке [2; 6] : y=(x-1) и возрастает $$y=2^{x} \Rightarrow$$ $$y=(x-1)2^{x}\Rightarrow$$ $$y_{max}=y(6)$$
Задание 7219
Найдите точку минимума функции $$y=x^{3}\cdot e^{x}$$
Найдем производную данной функции и приравняем к 0 : $$y^{'}=(x^{3})^{'}e^{x}+(e^{x})^{'}x^{3}=0\Leftrightarrow$$ $$3x^{2}e^{x}+e^{x}x^{3}=0\Leftrightarrow$$ $$x^{2}e^{x}(3+x)=0\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0\\x=-3\end{matrix}\right.$$
x=-3 точка минимума
Задание 7512
В какой точке отрезка [12;22] первообразная F(x) для функции $$f(x)=-1-\ln^{2}(x-2)$$ достигает своего наименьшего значения на этом отрезке?
Заметим, что функция $$g(x)=-\ln^{2}(x-2)$$ меньше или равна при любых значениях х (так как натуральный логарифм в квадрате и перед ним стоит знак "-"), следовательно, $$f(x)=-1-\ln^{2}(x-2)$$ отрицательна при любом х. При этом данная функция является функцией производной для первообразной F(x). То есть производная отрицательна на всем промежутке по х, следовательно, сама функция F(x) убывает на нем. Тогда наименьшее значение будет в конце промежутка, то есть в точке 22
Задание 8266
Функция логарифма, при основании больше единицы, возрастает, следовательно, наибольшее значение она будет принимать при наибольшем значение логарифмируемой функции $$f(x)=\sin x-\cos x$$
Найдем производную и приравняем ее к нулю: $$f'(x)=\cos x+\sin x=0| :\cos x\Leftrightarrow$$$$1+tg x=0\Leftrightarrow$$$$tg x=-1\Leftrightarrow$$$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z$$
При этом из множества этих точек на отрезке $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$ располагается $$\frac{3\pi}{4}$$, которая является точкой максимума. Тогда $$y(max)=y(\frac{3\pi}{4})=\log_{2}(\sin \frac{3\pi}{4}-\cos \frac{3\pi}{4})=$$$$\log_{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})=$$$$\log_{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2}=0,5$$
