ЕГЭ Профиль
Задание 12851
Найдите точку минимума функции $$y\ =\ \left(2x^2\ -\ 26x\ +\ 26\right)e^{x-17}.$$
1. Вычислим производную функции, получим: $$y'=(4x-26)e^{x-17}+(2x^{2}-26x+26)e^{x-17}=$$$$e^{x-17}(2x^{2}-22x)$$
2. Приравняем производную нулю и найдем точки экстремума функции: $$e^{x-17}(2x^{2}-22x)=0\Leftrightarrow$$$$$$
так как $$e^{x-17}>0, x\in R$$, то $$x_{1}=0, x_{2}=11$$
3. Точкой минимума будет являться та точка экстремума, в окрестности которой производная меняет свой знак с «-» на «+». Получаем точку $$x = 11$$.
Задание 12861
Найдите точку минимума функции $$y\ =\ \left(x^2\ -\ 7x\ +\ 7\right)e^{x-17}.$$
Точка минимума функции – это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.
Область определения функции: все числа.
Найдем производную функции: $$y'=(2x-7)e^{x-17}+(x^{2}-7x+7)e^{x-17}$$ $$y'=e^{x-17}(x^{2}-5x)$$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е. $$e^{x-17}>0, x\in R$$, $$x^{2}-5x=0$$, $$x_{1}=0, x_{2}=5$$
Отметим точки 0 и 5 на числовой прямой и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)
В точке x = 5 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это искомая точка минимума.