Исследование показательных и логарифмических функций

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдём производную функции:

$$y'=((x+4)^2)'(x+1)+(x+4)^2(x+1)'=$$

$$=2(x+4)(x+1)(x+4)'+(x+4)^2=2(x+4)(x+1)+(x+4)^2=$$

$$=2x^2+2x+8x+8+x^2+8x+16=3x^2+18x+24$$

Найдём нули производной: $$3x^2+18x+24=0$$

С помощью дискриминанта находим корни уравнения:

$$x_1=-4$$

$$x_2=-2$$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума: $$x=-2$$

$$y=11x-\ln (x+4)^11-3=11x-11\ln (x+4)-3$$

Найдём $$y':$$

$$y'=11-11\frac{1}{x+4}-0=11-11\frac{1}{x+4}$$

Найдём нули производной функции:

$$y'=0$$

$$11-11\frac{1}{x+4}=0$$

$$11=11\frac{1}{x+4}$$ $$|:11$$

$$1=\frac{1}{x+4}$$

$$x+4=1$$

$$x=-3$$

$$y=(x+8)^2\cdot е^{-x-3}$$

Найдём производную функции:

$$y'=((x+8)^2)'\cdot е^{-x-3}+(x+8)^2\cdot(e^{-x-3})'=2(x+8)\cdot e^{-x-3}+(x+8)^2\cdot(-e^{-x-3})=$$ $$=e^{-x-3}\cdot(2(x+8)-(x+8)^2)=e^{-x-3}\cdot(-x^2-14x-48)$$ 

Найдём нули производной:

$$e^{-x-3}\cdot(-x^2-14x-48)=0$$

$$e^{-x-3}>0$$ всегда

$$-x^2-14x-48=0$$

$$x^2+14+48=0$$

Через дискриминант находим корни уравнения:

$$x_1=-8$$

$$x_2=-6$$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума: $$x=-8.$$

Функция будет иметь точку минимума в своей точке экстремума. Найдем эти точки. Вычислим производную функции и приравняем ее нулю, получим:

$$y'=2x-28+96\cdot\frac{1}{x}=0, x\neq0$$

Вычисляем точки экстремума функции:

$$2x^2-28x+96=0$$

$$x^2-14+48=0$$

$$D=196-192=4=2^2$$

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{14+2}{2}=8$$

$$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{14-2}{2}=6$$

Известно, что в точке минимума производная функции меняет свой знак с минуса на плюс. Определим знаки производной в окрестностях наших точек экстремума:

Получаем точку минимума функции $$x=8.$$

1) $$D(y): -x^2+18x+1945>0$$

$$x^2-18x-1945<0$$

2) $$y'=0+\frac{-2x+18}{-x^2+18x+1945}$$

3) $$y'\geq0$$

$$y'=\frac{-2x+18}{-x^2+18x+1945}\geq0$$

$$y'=\frac{-(2x-18)}{-(x^2-18x-1945)}\geq0$$

$$y'=\frac{2x-18}{x^2-18x-1945}\geq0$$

$$2x-18=\leq0$$

$$x\leq9$$

$$x_{max}=9$$

1) $$D(y): x>0$$

2) $$y'=4x-5+\frac{1}{x}$$

3) $$y'\geq0$$

$$4x-5+\frac{1}{x}\geq0$$

$$\frac{4x^2-5x+1}{x}\geq0$$

$$\frac{4(x-1)(x-\frac{1}{4})}{x}\geq0$$

$$x=1$$ и $$x=\frac{1}{4}$$

$$x_{min}=1$$

$$y(x)​$$ будет принимать наименьшее значение, когда ​$$f(x)=x^5−5x^4+5x^3+37$$​ будет принимать наименьшее значение

​$$f'(x)=0​$$

$$​5x^4−20x^3+15x^2=0​$$

$$​x^2(5x^2−20^x+15)=0​$$

$$​x^2(x^2−4x+3)=0​$$

$$​x=0​$$

$$​x=3$$​ – точка минимума по методу интервалов

$$​x=1​$$

$$​y(3)=1$$

$$y=\ln(x+9)-10x+7$$

$$y'=\frac{1}{x+9}-10$$

$$\frac{1}{x+9}-10=0$$

$$\frac{1}{x+9}=10$$

$$10x+90=1$$

$$10x=-89$$

$$x=-8,9$$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка максимума функции: $$x=-8,9.$$

ОДЗ:

​$$x>0​$$

Найдем критические точки:

$$f'(x)=0$$​

$$-2x-1+\frac{1}{x}=0​$$

​$$\frac{-2x^2-x}{x}=0$$​

$$​-2x^2-x+1=0$$​

$$​x=-1$$​ – не подходит под ОДЗ

$$​x=0,5$$​

По методу интервалов $$​x=0,5​$$ – точка максимума

Находим произвоную и приравниваем ее к нулю

$$\frac{1-\frac{2}{\sqrt{x-2}}}{\ln(\sqrt{3})(x-4\sqrt{x-2}+5)}=0$$

$$\sqrt{x-2}=2$$

$$x=6​$$

и подставляем в функцию

$$​y(6)=\log_{\sqrt{3}}(3)=2$$

Найдём критические точки:

​$$y'=2−\frac{2}{x+3}=0​$$

$$\frac{​x+3−1}{x+3}=0​$$

​$$x=−2$$​ – точка минимума

$$​x=−3​$$

​$$y(−2)=−1$$