Окружности и треугольники

Точка $$О$$ — центр вписанной в треугольник $$АВС$$ окружности. Прямая $$ВО$$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $$Р.$$

а) Докажите, что $$\angle РОА=\angle РАО.$$

б) Найдите площадь треугольника $$АРО,$$ если радиус описанной около треугольника $$АВС$$ окружности равен $$6,$$ $$\angle BAC=75^{\circ}, \angle ABC=60^{\circ}.$$

В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузу АВ опущена высота CН. В треугольнике ACН проведена биссектриса СЕ угла ACН.

А) Докажите, что треугольник ВСЕ – равнобедренный.

Б) Найдите ЕО, где О – центр окружности, вписанной в треугольник АВС, и известно, что АС=8, ВС=6.

Точки $$А_1, В_1, С_1$$ - середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

А) Докажите, что окружности, описанные около треугольников $$А_1СВ_1, А_1ВС_1,$$ и $$В_1АС_1,$$ пересекаются в одной точке.

Б) Известно, что $$АВ = АС = 13$$ и $$ВС = 10.$$ Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого - центры окружностей, описанных около треугольников $$А_1СВ_1, А_1ВС_1,$$ и $$В_1АС_1.$$

Окружность, проходящая через вершину В треугольника АВС, касается стороны АС в точке D, такой, что BD - биссектриса угла В, и пересекает стороны АВ и ВС в точках E и F соответственно.

a) Докажите, что АЕ : CF = AB : BC.

б) Найдите отношение площадей треугольников AED и DFC, если известно, что АЕ : CF = 2 : 3.

Окружность, вписанная в треугольник АВС, делит медиану ВМ на три равные части. Точка касания этой окружности со стороной АС лежит между точками М и С.

А) Докажите, что ВС : СА : АВ=5 : 10 : 13

Б) Найдите радиус вписанной окружности, если ВМ = 12

Точки D и Е - середины сторон АС и ВС треугольника АВС соответственно. На отрезке DE как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжения сторон АС и ВС в точках М и N соответственно.

А) Докажите, что биссектрисы углов MEN и NDM пересекаются на этой окружности.

Б) Найдите MN, если известно, что АВ=14, ВС=10, АС=6.

В каждый угол равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=10, AC=BC=13, вписана окружность единичного радиуса, точки О₁, О₂ и О₃ центры этих окружностей. Найдите:

а) Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC;

б) Площадь треугольника О₁О₂О₃

Окружность с центром в точке $$C$$ касается гипотенузы $$AB$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ и пересекает его катеты $$AC$$ и $$BC$$ в точках $$E$$ и $$F$$. Точка $$D$$ - основание высоты, опущенной из вершины $$C$$. $$I$$ и $$J$$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $$BCD$$ и $$ACD$$.

Окружность с центром в точке $$C$$ касается гипотенузы $$AB$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ и пересекает его катеты $$AC$$ и $$BC$$ в точках $$E$$ и $$F$$. Точка $$D$$ — основание высоты, опущенной на $$AB$$. $$I$$ и $$J$$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $$BCD$$ и $$ACD$$.

В прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$A$$ вписана окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R$$. К этой окружности параллельно прямой $$AB$$ проведена касательная, которая пересекает стороны $$BC$$ и $$AC$$ в точках $$D$$ и $$E$$ соответственно. В треугольник $$CDE$$ вписана окружность с центром в точке $$O_1$$ и радиусом $$r$$. Прямые $$OO_1$$ и $$AB$$ пересекаются в точке $$P$$.

В прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$A$$ вписана окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$R$$. К этой окружности параллельно прямой $$AB$$ проведем касательная, которая пересекает стороны $$BC$$ и $$AC$$ в точках $$D$$ и $$E$$ соответственно В треугольник $$CDE$$ вписана окружность с центром в точке $$O_{1}$$ и радиусом $$r$$. Прямые $$OO_1$$ и $$AB$$ пересекаются в точке $$P$$.