Окружности и треугольники

В треугольнике АВС известно, что $$AC\ =\ 10$$ и $$AB\ =\ BC=\ 14.$$

В треугольнике АВС известно, что $$AC\ =\ 26$$ и $$AB\ =\ BC\ =\ 38.$$

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает окружность, вписанную в треугольник АВС.

б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне АС.

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.

б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если $$CN\ =\ 4$$ и $$AM\ :\ MC\ =\ 1:3.$$

В треугольнике АВС известно, что $$\angle BAC\ =\ 60{}^\circ ,\ \ \angle ABC=\ 45{}^\circ .$$ Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках М, N, Р.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что $$BC\ =\ 6.$$

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,A_1$$ соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $${AB}_1C_1$$

а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AC_1B_1$$, если известно, что $$BC\ =\ 15,\ AB\ =\ 13,\ AC\ =\ 14.$$

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках $$C_1,B_1,A_1$$ соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника $${AB}_1C_1$$

а) Докажите, что $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$

б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник $$AB_1C_1$$, если известно, что $$BC\ =\ 7,\ AB\ =\ 15,\ AC\ =\ 20.$$

Точки А и В лежат на окружности с центром О и радиусом 6, а точка С равноудалена от точек А, В и О. Другая окружность с центром Q и радиусом 8 описана около треугольника АСО.

Точки A₁, B₁, C₁ — середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

Точки A₁, B₁, С₁ — середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

Точки $$M$$ и $$P$$ – середины сторон $$BC$$ и $$AD$$ выпуклого четырехугольника $$ABCD$$. Диагональ $$AC$$ проходит через середину отрезка $$MP$$.

В треугольнике $$ABC$$ проведена биссектриса $$BK$$ и на сторонах $$BA$$ и $$BC$$ взяты соответственно точки $$M$$ и $$P$$Р так, что $$\angle AKM=\angle CKP=\frac{1}{2}\angle ABC$$

В треугольнике $$ABC$$ сторона $$AC$$ больше стороны $$BC$$. Биссектриса $$CL$$ пересекает описанную около треугольника $$ABC$$ окружность в точке $$K$$. На стороне $$AC$$ отмечена точка $$P$$ так, что $$\angle ALK=\angle CLP$$ .

В треугольнике $$ABC$$ точка $$M$$ – середина $$AC$$.

Высоты равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$AC$$ пересекаются в точке $$H$$, угол $$B$$ равен 30 градусов. Луч $$CH$$ второй раз пересекает окружность $$\omega$$ , описанную вокруг треугольника $$ABH$$, в точке $$K$$.

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ вершины $$A,B$$ и точка пересечения высот треугольника $$E$$ лежат на окружности, которая пересекает отрезок $$BC$$ в точке $$D$$.