Окружности и треугольники

а) Поскольку$$\ AC_1=AB_1$$, треугольник$$\ AB_1C_1$$ равнобедренный, биссектриса его угла А перпендикулярна основанию $$B_1C_1$$ и делит его пополам, значит, высота треугольника $$B_1QC_1$$ проведённая из вершины Q, является его медианой. Значит, треугольник $$B_1QC_1$$ равнобедренный, $$\angle QB_1C_1=\angle QC_1B_1$$.

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что $$\angle AC_1B_1=2\angle QB_1C_1=2\angle QC_1B_1$$. Следовательно, $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$.

б) Поскольку Q - точка пересечения биссектрис треугольника $$AB_1C_1$$, эта точка - центр окружности, вписанной в треугольник $$AB_1C_1.$$ Значит, искомое расстояние - это длина отрезка OQ, т.е. радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Пусть этот радиус равен r, а полупериметр треугольника ABC равен р. Тогда $$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21\to $$ $$\to S_{\triangle ABC}=\sqrt{21\left(21-13\right)\left(21-14\right)\left(21-15\right)}=84$$

Следовательно, $$OQ=R=\frac{S_{\triangle ABC}}{P}=\frac{84}{21}=4$$.

а) В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Стороны AB и AC - касательные к окружности и по теореме об отрезках касательных $$AC_1=AB_1$$ и, следовательно, треугольник$$\ AC_1B_1$$ - равнобедренный. AQ - биссектриса угла A по условию и в равнобедренном треугольнике $$AC_1B_1$$ биссектриса $$AA_2$$ (продолжение AQ) является медианой и высотой. Следовательно, $$QA_2$$ в треугольнике $$C_1QB_1$$ является также медианой и высотой, а сам треугольник $$C_1QB_1$$ - равнобедренный, так как $$\angle 1=\angle 2$$.

По теореме об угле между касательной $$AC_1$$ и хордой $$C_1B_1$$, имеем: $$\angle AC_1B_1=2\cdot \angle 1=2\cdot \angle 2$$, следовательно, $$C_1Q$$ - биссектриса угла $$AC_1B_1$$.

б) Рассмотрим треугольник $$AC_1B_1$$. Известно, что центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов, поэтому для $$AC_1B_1$$ центр вписанной окружности соответствует точке Q.

Найдем расстояние от точки O до точки Q, равный радиусу r вписанной окружности в треугольник ABC. Используя формулу площади треугольника ABC, можно записать $$S_{ABC}=p\cdot r$$, где p - полупериметр треугольника ABC. То есть, радиус r, равен: $$r=S_{ABC}/p$$.

Площадь треугольника ABC также можно найти по формуле Герона.

Делаем вычисления. Полупериметр треугольника ABC, равен: $$p=\frac{7+15+20}{2}=21$$, площадь треугольника ABC, равна: $$S_{ABC}=\sqrt{21\cdot \left(21-7\right)\cdot \left(21-15\right)\cdot (21-20)}=42$$ и радиус вписанной окружности $$r=\frac{42}{21}=2$$, то есть $$OQ = r = 2$$.

а) Треугольник ABC - равнобедренный ($$AB\ =\ BC$$), BH - высота, следовательно, BH - биссектриса угла ABC. Окружность с центром в точке O вписана в угол CBE, поэтому ее центр находится на биссектрисе (BO) угла CBE. Углы ABC и CBE - смежные, их сумма равна 180$${}^\circ$$, следовательно, сумма углов HBC и OBC равна 90$${}^\circ$$. Получаем, что в четырехугольнике HBON $$\angle HBO=\angle BHN=\angle ONH=90{}^\circ $$ то есть, имеем прямоугольник HBON. Его противоположные стороны равны $$BH=ON$$ и радиус окружности с центром O равен высоте треугольника ABC.

б) Пусть радиус вписанной окружности равен $$r$$. Так как радиус описанной окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности, то $$BH=4r$$, а $$O_1B=4r-r=3r$$ (см. рисунок). Прямоугольник $$O_1MB$$ - прямоугольный, так как $$O_1M\bot BC$$ (BC - касательная, а O1M - радиус). Тогда по теореме Пифагора, имеем: $$MB=\sqrt{O_1B^2-O_1M^2}=\sqrt{9r^2-r^2}=2\sqrt{2}r.$$

Рассмотрим треугольники $$BO_1M$$ и $$BCH$$, которые подобны по двум углам (угол B - общий, а $$\angle O_1MB=\angle BHC=90{}^\circ $$). Следовательно, $$\frac{BM}{O_1M}=\frac{BH}{CH}$$, откуда $$CH=\frac{O_1M\cdot BH}{BM}=\frac{r\cdot 4r}{2\sqrt{2}r}=\sqrt{2}r.$$

Также $$CH=CM$$ по теореме об отрезках касательных, то есть, $$CM=\sqrt{2}r$$. Соответственно, $$\frac{CM}{BM}=\frac{\sqrt{2}r}{2\sqrt{2}r}=\frac{1}{2}.$$