Окружности и треугольники

В треугольнике ABC известно, что AC=10 и AB=BC=14.

В треугольнике АВС известно, что AC=26 и AB=BC=38.

В остроугольном треугольнике АВС угол А равен 40, отрезки ВВ₁и СС₁– высоты, точки В₂ и С₂ – середины сторон АС и АВ соответственно. Прямые В₁С₂ и С₁В₂пересекаются в точке К.

а) Докажите, что точки В₁, В₂, С₁ и С₂ лежат на одной окружности

б) Найдите угол В₁КВ₂

В треугольнике АВС биссектриса угла В пересекает описанную окружность этого треугольника в точке F. Е – центр окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон АВ и ВС (вневписанная окружность). О – центр вписанной окружности треугольника АВС.

а) Докажите, что отрезки AF и OF равны

б) Найдите длину отрезка CF, если ОЕ = 14.

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD-диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AD=CF.

б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 12, $$\angle BAC$$=35°, $$\angle ACB$$=65°.

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN-диаметр этой окружности.

а) Докажите, что AC и KN параллельны.

б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $$6\sqrt{6}$$, $$\angle BAC=30°,$$ $$\angle ABC=105°.$$

Вписанная в треугольник АВС окружность с центром О касается сторон АВ и АС в точках М и N соответственно. Прямая ВО пересекает окружность, описанную около треугольника CON вторично в точке Р.

а) Докажите, что точка Р лежит на прямой MN

б) Найдите площадь треугольника АВР, если площадь треугольника АВС равна 24.

Окружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках А и В соответственно. На дуге этой окружности, лежащей вне треугольника, расположена точка К так, что расстояния от нее до продолжений сторон АС ВС равны 39 и 156 соответственно.

Окружность радиуса $$\sqrt{3}$$ касается прямой a в точке А, а прямой b в точке В так, что хорда АВ стягивает дугу окружности в 60⁰. Прямые a и b пересекаются в точке F. Точка С расположена на луче FA, а точка D – на луче BF так, что AC=BD=2. 

В треугольнике АВС сторона ВC больше стороны АC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке К. Окружность, описанная около треугольника АКL вторично пересекает прямую АС в точке Р.

На основании АС равнобедренного треугольника АВС расположена точка D так, что AD=2, CD=1. Окружности, вписанные в треугольники ABD и DBC, касаются прямой BD в точках M и N соответственно.

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон ВА и ВС в точках Е и F.

В треугольнике АВС $$\angle B=70^{\circ}$$, $$\angle C=25^{\circ}$$, BD - диаметр описанной около треугольника АВС окружности. Продолжение высоты ВН пересекает окружность в точке L.

В треугольнике АВС точка О – центр описанной окружности. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D, а описанную вокруг треугольника АВС окружность – в точке Т.

Точка I ‐ центр окружности, вписанной в треугольник ABC . Луч BI пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке N . Известно, что $$\angle ABC=60^{\circ}$$