Исследование степенных и иррациональных функций

Скрыть Найдём критические точки:

$$f​'(x)=0​$$

​$$8x^7e^{5x+8}+x^8\cdot5e^{5x+6}=0​$$

$$​e^{5x+6}\cdot x^7(8+5x)=0​$$

Т.к ​$$e^x>0$$​ всегда

Получаем ​$$x=0​$$

$$​x=−\frac{8}{5}=-1,6$$​ – точка максимума

Скрыть

$$y'=12−3x^2$$​

Найдем критические точки ​$$y'=0​$$

​$$x^2=4​$$

​$$x=−2​$$ – точка min

​$$x=2​$$ – точка max

$$y(2)=31$$

Скрыть

Найдем критические точки функции:

$$y(x) = x^3 + 2x^2 + x + 3$$

$$y'(x) = 3x^2 + 4x + 1$$

$$3x^2 + 4x + 1 = 0$$

$$\frac{D}{4} = 2^2 - 3 = 1$$

$$x = \frac{-2\pm\sqrt{1}}{3} = \frac{-2\pm1}{3}$$

$$x_1 = \frac{-2 - 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1$$

$$x_2 = \frac{-2 + 1}{3} = \frac{-1}{3}$$

Значения функции в точках $$-3, -1$$ и $$-0,5$$:  

$$y(x) = x^3 + 2x^2 + x + 3$$

$$y(-3) = (-3)^3 + 2\cdot(-3)^2 + (-3) + 3 = -27 + 18 = -9$$

$$y(-1) = (-1)^3 + 2\cdot(-1)^2 + (-1) + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3$$

$$y(-0,5) = (-0,5)^3 + 2\cdot(-0,5)^2 + (-0,5) + 3 = -0,125 + 0,5 - 0,5 + 3 = 2,875$$

Скрыть

$$y'=(4\cdot(x^2+16)^{-\frac{1}{2}})'=4\cdot(-\frac{1}{2})(x^2+16)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x=0$$

$$\frac{-4x}{\sqrt[2]{(x^2+16)^3}}=0\Rightarrow x=0$$ - точка максимума.

$$y(\pm3)=\frac{4}{\sqrt{9+16}}=\frac{4}{5}=0,8$$

Скрыть

$$y'=5x^4+60x^2-65$$

$$5x^4+60x^2-65=0$$

$$x^4+12x^2-13=0$$

$$(x^2+13)(x^2-1)=0$$

$$(x-1)(x+1)=0\Rightarrow x=\pm1$$

По методу интервалов $$x=-1$$ - точка максимума

$$y(-1)=(-1)^5+20\cdot(-1)^3-65\cdot(-1)=44$$

Скрыть

Найдем критические точки:

$$y'=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+4}}-\frac{3x}{\sqrt{3x^2}}=0​$$

Т.е. отрезок $$[0;3]$$, то

$$​y'=\frac{3x}{\sqrt{3x^2+4}}-\sqrt{3}=0$$​ – данное уравнение решений не имеет (проверьте сами)

Значит, наибольше значение будет достигаться на границах, очевидно, что в точке $$x=0$$

$$y(0)=2$$

Скрыть

$$y'=5x^4-80$$

$$5x^4-80=0$$

$$5x^4=80$$

$$x^4=16$$

$$x=\pm2$$

$$x=2$$ - точка минимума по методу интервалов, но она не попадает в отрезок, проверяем значения концов отрезка.

$$y(-1)=79$$

$$y(-4)=-1024+320=-704$$

Скрыть

Найдем критические точки:

$$y'=-\sqrt{x+13}-\frac{x-14}{2\sqrt{x+13}}=0$$​

$$\frac{​2x+26+x-14}{2\sqrt{x+13}}=0​$$

​$$x=−4​$$

​$$x=−13​$$

По методу интервалов:

$$​x=−4​$$ – точка максимума

$$​y(−4)=59$$

Скрыть

Найдем критические точки:

$$​y'=4e^{4x}-4^x=0​$$

​$$e^x(4e^{3x}−4)=0​$$

​$$e^x>0$$​, поэтому

​$$e^{3x}=1​$$

$$​x=0​$$ – это точка минимума

$$​y(0)=5$$

Скрыть

Найдем критические точки:

​$$y'=0$$​

Так как требуется искать наибольшее значение функции, то можно искать точку максимума у аргумента этого синуса, т.е. мы себе упрощаем вычисления. Но можно еще упростить, максимум будет тогда, когда знаменатель будет минимален, найдем эту точку.

​$$12x^3-12x^2=0​$$

$$​12x^2(x-1)=0​$$

$$​x=0$$ ​- здесь нет экстремума

$$​x=1​$$

По методу интервалов $$​x=1$$​ – точка максимума

$$​y(1)=\sin^2\frac{4π}{12}=0,75$$

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть

Скрыть