Исследование степенных и иррациональных функций

Скрыть

$$y=x^2\cdot e^x\Rightarrow y'=(x^2)'e^x+(e^x)'x^2=2xe^x+e^xx^2=e^xx(2+x)=0$$

$$\left[\begin{matrix} x=0\\ 2+x=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=0\\ x=-2 \end{matrix}\right.$$

$$y'(-3)=e^{-3}\cdot(-3)(2-3)>0$$

$$y'(-1)=e^{-1}\cdot(-1)(2-1)<0$$

$$y'(1)=e^{1}\cdot1\cdot(2+1)>0$$

Тогда $$x=-2$$ - точка максимума

Скрыть

Найдем критические точки:

$$​\frac{1}{2\sqrt{x}}(6−\sqrt{x})+\sqrt{x}(−\frac{1}{2\sqrt{x}})=0​$$

$$​x=9$$​ – т максимума по методу интервалов

$$​f(9)=−27​$$

Скрыть

$$y=(\sqrt{x^3-3x+11})'=\frac{1}{2\sqrt{x^3-3x+11}}\cdot(x^3-3x+11)'=0$$

Получим:

$$(x^3-3x+11)'=0\Leftrightarrow 3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1$$

При $$x=0: 3\cdot0^2-3=-3<0$$

При $$x=\pm2: 3\cdot(\pm2)^2-3=9>0$$

Т.е. $$x=-1\rightarrow max; x=1\rightarrow min$$

Поэтому $$y_{min}=y(-2)$$ или $$y(1).$$

$$y(-2)=\sqrt{8+6+11}=\sqrt{25}=5$$

$$y(1)=\sqrt{1-3+11}=\sqrt{9}=3$$

Скрыть

$$y'=1-\frac{16}{x^2}$$

$$y'=0:$$

$$1-\frac{16}{x^2}=0$$

$$\frac{16}{x^2}=1$$

$$x^2=16$$

$$x=\pm4$$

По методу интервалов определяем точку минимума.

$$x_{min}=4$$

$$y(4)=4+\frac{16}{4}=8$$

Скрыть

$$y'=(\sqrt{2022}^{12x^2-x^3-254})'=(2022^{6x^2-\frac{x^3}{2}-127})'=$$

$$=2022^{6x^2-\frac{x^3}{2}-127}\cdot\ln2022\cdot(6x^2-\frac{x^3}{2}-127)'=0$$

$$\Rightarrow (6x^2-\frac{x^3}{2}-127)=0$$

$$f(x)=12x-\frac{3}{2}x^2=0\Leftrightarrow \frac{3}{2}x(8-x)=0\Rightarrow x=0;8$$

$$f(1)=\frac{3}{2}\cdot7>0$$

$$f(-1)=\frac{3}{2}\cdot(-1)\cdot9<0\Rightarrow x=0$$ - min

$$f(9)=\frac{3}{2}\cdot9\cdot(-1)<0\Rightarrow x=8$$ - max

$$y(8)=(\sqrt{2022})^{12\cdot64-512-254}=(\sqrt{2022})^2=2022$$

Скрыть

$$y'=15x^4−60x^2​$$

Найдем критические точки ​

$$15x^4−60x^2=0​$$

​$$x=−2​$$- по методу интервалов это и есть точка максимума ​

$$x=0$$ ​- не попадает в отрезок ​

$$x=2​$$ - не попадает в отрезок

$$​y(−2)=10$$

Скрыть

Найдем производную и приравняем ее к нулю

$$​12x^3+12x^2−24x=0​$$

$$​x(12x^2+12x−24)=0​$$

$$​x=0​$$

$$​x=1​$$

$$​x=−2$$​ – не попадет в промежуток

Проверяем методом интервалов точка 1 – точка минимума

$$​f(1)=−17​$$

Скрыть

Найдем критические точки

$$​y'=0​$$

$$​4e^{4x}−4e^x=0​$$

​$$e^x(4e^{3x}−4)=0​$$

​$$e^x=0​$$ – нет решений, т.к $$​e^x>0​$$

$$​e^{3x}=1​$$

$$​3x=0​$$

$$​x=0​$$

$$​y(0)=1−4+8=5​$$ по методу интервалов это и есть наименьшее значение

Скрыть

Найдем критические точки: ​$$(2x−8)e^{2−x}−(x^2−8x+8)e^{2−x}=0​$$

$$​e^{2−x}(2x−8−x^2+8x−8)=0​$$

$$​e^{2−x}\neq0​$$

​$$−x^2+10x−16=0​$$

$$​x=2$$ -​ точка минимума

$$​x=8​$$ - точка максимума

$$​y(2)=−4$$

Скрыть $$y=0,6x^{\frac{3}{2}}−2,7x+8​$$

Найдем критические точки

$$​'=0​$$

​$$0,6\cdot1,5\cdot\sqrt{x}-2,7=0$$​

$$​x=9​$$ - подозрительная точка

​$$y(9)=−0,1​$$

Проверяем значения на концах отрезка

$$​y(25)=15,5$$​ – это и есть наибольшее значение

Скрыть

Найдем критические точки

​$$y'=0​$$

$$​3x^2−6x−45=0$$​

​$$x=−3​$$

$$​x=5​$$

По методу интервалов $$​x=5$$​ – точка минимума

​$$y(5)=−168$$

Скрыть

$$((17-6\sqrt{x})e^{1-x})'=(17-6\sqrt{x})'e^{1-x}+(e^{1-x})'(17-6\sqrt{x})=$$

$$=-\frac{6}{2\sqrt{x}}e^{1-x}-e^{1-x}(17-16\sqrt{x})=-e^{1-x}(\frac{3}{\sqrt{x}})+17-6\sqrt{x})$$

Пусть $$\frac{3}{\sqrt{x}}+17-6\sqrt{x}=0.$$ Пусть $$\sqrt{x}=a>0:$$

$$\frac{3}{a}+17-6a=0\Rightarrow \frac{-6a^2+17a+3}{a}=0$$

$$D=289+72=361$$

$$a_1=\frac{-17+91}{-12}=-\frac{1}{6};\quad a_2=\frac{-17-91}{-12}=3.$$

Получим: $$\sqrt{x}=3\Rightarrow x=9.$$

При $$x=4: \frac{3}{2}+17-6\cdot2>0.$$ С учётом с $$-e^{1-x}$$ получим отрицательное значение y'.

При $$x=16: \frac{3}{4}+17-6\cdot4<0\Rightarrow y'>0.$$ Т.е. $$x=9$$ - точка минимума.

Скрыть

Скрыть

Скрыть

1. Вычисляем производную функции:

$$y = e^{4x} - 4e^x + 8;$$

$$y' = 4e^{4x} - 4e^x = 4(e^{4x}-e^x).$$

2. Находим стационарные точки:

$$4(e^{4x} - e^x) = 0;$$

$$e^{3x + x} - e^x = 0;$$

$$e^x\cdot e^{3x} - e^x = 0;$$

$$e^x\cdot(e^{3x} - 1) = 0;$$

$$\left[\begin{matrix} e^x=0\;-\;нет\, решений\\ e^{3x}-1=0 \end{matrix}\right.$$

$$e^{3x} = 1;$$

$$3x = 0;$$

$$x = 0.$$

В точке $$x = 0$$ происходит переход от убывания к возрастанию, значит, это - точка минимума.

3. Наименьшее значение функции:

$$y = e^{4x} - 4e^x + 8;$$

$$x_{min} = 0;$$

$$y_{min} = y(0) = e^{4\cdot0}-4\cdot e^0 + 8 = 1 - 4 + 8 = 5.$$

Скрыть

Скрыть