Исследование степенных и иррациональных функций

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$y=3x^5-5x^3+16$$

$$y'=15x^4-15x^2$$

$$15x^4-15x^2=0$$

$$15x^2(x^2-1)=0$$

$$x_1=0$$

$$x_2=1$$ (не учитываем, т.к. не принадлежит $$[-2;0])$$

$$x_3=-1$$

$$f(-2)=3\cdot(-2)^5-5\cdot(-2)^{3}+16=-40$$

$$f(-1)=3\cdot(-1)^5-5\cdot(-1)^{3}+16=18$$ - наибольшее

$$f(0)=3\cdot(0)^5-5\cdot(0)^{3}+16=16$$

$$y'=1-\frac{16}{x^2}=0\Rightarrow \frac{x^2-16}{x^2}=0\Rightarrow x=\pm4$$

На отрезке $$[1;7]$$ имеем точку минимума, т.е. $$y_{min}=y(4)=4+\frac{16}{4}=8$$

$$y'=(x+\frac{8}{x^4})'=1-\frac{32}{x^5}=0\Rightarrow\frac{x^5-32}{x^5=0}\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x^5=32\\ x\neq0 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=2\\ x\neq0 \end{matrix}\right.$$

$$f'(-1)=1+\frac{32}{1}=33>0\Rightarrow$$ на $$[-2;-1]$$ функция возрастает и $$max(f(x))=f(-1)=-1+\frac{8}{(-1)^4}=7$$

$$f(x)=x^4-4x^2-5$$

$$f'(x)=4x^3-8x$$

$$4x^3-8x=0$$ $$|:4$$

$$x^3-2x=0$$

$$x(x^2-2)=0$$

$$x=0$$ или $$x^2-2=0$$

              $$x^2=2$$

              $$x=\pm\sqrt{2}$$

$$x_{min}=-\sqrt{2}$$ и $$1$$

$$f(-\sqrt{2})=(-\sqrt{2})^4-4\cdot(-\sqrt{2})^2-5=4-4\cdot2-5=-9$$

$$f(1)=1^4-4\cdot1^2-5=1-9=-8$$

$$y_{min}=-9$$

$$y=(2x^2-30x+30)e^{x+30}$$

$$y'=(4x-30)e^{x+30}+(2xx^2-30x+30)e^{x+30}$$

$$y'=e^{x+30}(4x-30+2x^2-30x+30)$$

$$y'=e^{x+30}(2x^2-26x)$$

$$e^{x+30}\neq0;$$ $$e^{x+10}>0$$

Найдём нули производной:

$$2x^2-26x=0$$

$$2x(x-13)=0$$

$$2x=0$$ и $$x-13=0$$

$$x=0$$ и $$x=13$$

____+________-_______+

_________о_________о_______у^/

________0________13

$$x=0$$ - точка максимума

$$(x^3-\frac{48}{x^2})'=\frac{3(x^5+32)}{x^3}$$

$$\frac{3(x^5+32)}{x^3}=0$$

$$x^5+32 = 0$$

$$x^5= -32 $$

$$x= - 2$$ входит в отрезок $$[-3;2]$$

$$y(-2)=(-2)^3-\frac{48}{(-2)^2}=-20$$

$$y(-3)=(-2)^3-\frac{48}{(-2)^2}=-\frac{97}{3}=-32 1/3$$

$$y(2)=2^3-\frac{48}{2^2}=-4$$

Наибольшее значение функции в точке $$x=2 ; y= -4$$

Ответ: $$- 4$$

$$(x^3-\frac{48}{x^2})' = \frac{3(x^5+32)}{x^3}$$

Точки экстремума:

$$\frac{3(x^5+32)}{x^3} = 0$$

$$x^5+32 = 0$$

$$x^5= -32$$

$$x= - 2$$ входит в отрезок $$[-3;2]$$

Значение функции в точке экстремума $$y(-2)=(-2)^3-\frac{48}{(-2)^2} = -20$$

Значение функции на концах отрезка $$[-3;2]:$$

$$y(-3)=(-2)^3-\frac{48}{(-2)^2} = -\frac{97}{3} =-32\frac{1}{3}$$

$$y(2)=2^3-\frac{48}{2^2}= -4$$

Наибольшее значение функции в точке $$x=2 ; y= -4$$

$$y'=1-\frac{32}{x^5}=\frac{x^5-32}{x^5}=\frac{(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)}{x^5}$$

$$f(-1)=-1+\frac{8}{(-1)^4}=7$$

$$f(-2)=-2+\frac{8}{(-2)^4}=-1,5$$ - ответ