ЕГЭ Профиль
Задание 8240
Клиент оформил ипотеку в банке на 1 000 000 рублей 1 июля 2019 года на 3 года. Начиная с 1 августа 2019 года он должен выплачивать ежемесячно одну и ту же сумму. 15 июля 2019 года сумма долга увеличивается на 10%, 15 июля 2020 года – на 20%, а 15 июля 2021 года – на 30%. Найти сумму ежемесячной платы. Ответ округлите до 1 руб в большую сторону.
Пусть $$S=10^{6}$$; $$n=3$$ года, $$x$$ - месячная выплата $$\Rightarrow$$ $$12x$$ - годовая. Распишем таблицу:
Год | Долг на начало | Начисленный процент | Выплата |
2019 | $$S$$ | $$0,1S$$ | $$12x$$ |
2020 | $$1,1S-12x$$ | $$0,2(1,1S-12x)$$ | $$12x$$ |
2021 | $$((1,1S-12x)1,2-12x)$$ | $$0,3((1,1S-12x)1,2-12x)$$ | $$12x$$ |
Получим: $$((1,1S-12x)1,2-12x)1,3-12x=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{11\cdot12\cdot13}{10^{3}}S-\frac{12\cdot12\cdot13x}{10^{2}}-\frac{12\cdot13x}{10}-12x=0|\cdot10^{3}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$11\cdot12\cdot13S-12^{2}\cdot13\cdot10x-12\cdot13\cdot10^{2}x-12\cdot10^{3}x=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{11\cdot12\cdot13S}{10(156+130+100)}=\frac{11\cdot12\cdot13\cdot10^{6}}{10\cdot386}\approx37047$$
Задание 8271
Клиент оформил ипотеку в банке на 1 000 000 руб 1 июля 2019 года сроком на 5 лет. Начиная с 1 августа 2019 года, он должен выплачивать ежемесячно одну и ту же сумму. 15 июля каждого года величина долга увеличивается на 10%. Найдите сумму ежемесячной выплаты в рублях. Ответ округлите до 1 рубля в большую сторону.
Пусть $$S=10^{6}$$ - сумма ипотеки (руб) $$n=5$$ лет, $$x$$ - сумма ежемесячной выплаты (тогда $$12x$$ в год), $$a=10$$%; $$b=1+\frac{a}{100}=\frac{11}{10}$$. Составим таблицу выплат:
Год | Сумма долга на начало | Сумма долга с % |
2019 | $$S$$ | $$S+\frac{S\cdot a}{100}=S(1+\frac{a}{100})=S\cdot b$$ |
2020 | $$S\cdot b-12x$$ | $$(S\cdot b-12x)\cdot b=S\cdot b^{2}-12xb$$ |
2021 | $$S\cdot b^{2}-12xb-12x$$ | $$S\cdot b^{3}-12x\cdot b^{2}-12xb-12x$$ |
....... | ........ | ........... |
2022 | $$S\cdot b^{4}-12x\cdot\frac{b^{4}-1}{b-1}$$ | $$S\cdot b^{5}-12xb\cdot\frac{b^{4}-1}{b-1}$$ |
Заметим, что $$b^{n-1}+b^{n-2}+b^{n-3}+...+b^{0}=\frac{b^{n}-1}{b-1}$$. Тогда после 5ой выплаты имеем: $$Sb^{5}-12x\cdot\frac{b^{5}-1}{b-1}=0$$, т.к.долг был погашен. Тогда $$x=\frac{Sb^{5}(b-1)}{12(b^{5}-1)}$$. Подставим значения: $$x=\frac{10^{6}\cdot\frac{11^{5}}{10^{5}}\cdot\frac{1}{10}}{12\cdot(\frac{11^{5}}{10^{5}}-1)}\approx219,83=21984$$
Задание 8290
Сумма вклада в банке увеличивалась 1‐го числа каждого месяца на 8% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца. Аналогично, цена на кирпич убывала на 10% ежемесячно. Отсрочив покупку кирпича, 1 сентября в банк положили некоторую сумму. На сколько процентов больше в этом случае можно было купить кирпича 1 ноября того же года на всю сумму, полученную из банка вместе с процентами?
Задание 8309
Александра взяла в банке кредит на 3 года, который ей предстоит погасить тремя равными платежами. В конце каждого года банк начисляет 10% на оставшуюся часть долга, после чего наша героиня в тот же день вносит очередной платеж в банк. Как известно, часть такого платежа идет на погашение суммы начисленных процентов, а вторая часть идет на уменьшение основного долга. Оказалось, что наименьшая из трех сумм, направленных на погашение основного долга, составила ровно 2 млн. рублей. Определите наименьшую из трех сумм, направленных на погашение процентов за пользование кредитом.
Пусть сумма кредита $$S$$, $$x$$ - выплата годовая (состоит из процентной части и части, гасящей основную часть $$x_{i}$$, где $$i\in[1...3]\in N$$). В певрый год начислится $$0,1S$$ процентов, т.е. $$X=x_{i}+0,1S$$. Тогда на второй год должны банку: $$S+0,1S-x_{1}-0,1S=S-x_{1}$$. Тогда начислится $$0,1(S-x_{1})$$ процента $$\Rightarrow$$
Задание 8327
20 февраля планируется взять кредит в банке на 600 тысяч рублей на n+1 месяц. Условия его возврата таковы:
Найдите n, если банку было выплачено 691 тыс. рублей, а долг на 20‐е число n‐го месяца составлял 100 тыс. рублей.
Пусть $$S$$ - сумма кредита $$S=600$$т.р., $$a=2$$% - процент банка. За первые $$n$$ месяцев долг уменьшился на $$600-100=500$$т.р., следовательно, т.к. он уменьшался равномерно, то каждый месяц платим $$x=\frac{500}{n}$$т.р. по соновному долгу и весь начисленный за месяц процент.
Месяц | Сумма долга на 1ое число | Начисленный процент |
1 | $$S$$ | $$Sa$$ |
2 | $$S-x$$ | $$\frac{a}{10}(S-x)$$ |
3 | $$S-2x$$ | $$\frac{a}{10}(S-2x)$$ |
... | ... | .... |
$$n$$ | $$S-(n-1)x$$ | $$\frac{a}{10}(S-(n-1)x)$$ |
$$n+1$$ | $$100$$ | $$\frac{a}{10}\cdot100$$ |
Переплата составила $$691-600=91$$т.р. - сумма третьего столбца: $$\frac{a}{100}(S+S-x+S-2x+...+S-(n-1)x)+100a=91$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{a}{100}(S_{n}-x(1+2+3+...+(n-1)))+\frac{100a}{100}=91$$, т.к. $$1+2+3+...+n-1=\frac{1+(n-1)}{2}(n-1)$$, $$a=2$$, $$x=\frac{500}{n}$$; $$S=600$$ $$\Rightarrow$$ $$0,02(600n-\frac{500}{n}\cdot\frac{n(n-1)}{2})+2=91$$ $$\Rightarrow$$ $$350n+250=4450$$ $$\Rightarrow$$ $$350n=4200$$ $$n=12$$
Задание 8346
В линейке 80286 процессоров 4 представителя, различающиеся тактовой частотой в диапазоне от 6 до 12,5 МГц включительно. Для первых трёх из них процент увеличения частоты следующего процессора по отношению к частоте предыдущего, равен проценту увеличения производительности по отношению к производительности предыдущего. Для четвёртого процент прироста частоты такой же, как процент прироста частоты третьего по отношению ко второму, однако процент прироста производительности в 3,2 раза больше. Максимальная производительность больше минимальной в 3 раза. Какова производительность подарка, если производительность первого процессора в линейке составляет 0,9 млн операций в секунду?
Пусть $$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$$ - частоты 1-4 процессоров из линейки, $$y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$$ - производительность. ПРи этом $$x_{1}=6$$ МГц; $$x_{4}=12,5$$ МГц. Пусть $$k$$ - процент, деленный на 100 (доля) увеличения со на, $$m$$ - со 2го на 3ий и с 3го на 4ый таковой частоты. Заполним таблицу:
Номер модели | Тактовая частота | Производительность |
1 | $$6$$ | $$y_{1}$$ |
2 | $$6(k+1)$$ | $$y_{2}=y_{1}(k+1)$$ |
3 | $$6(k+1)(m+1)$$ | $$y_{3}=y_{2}(m+1)$$ |
4 | $$6(k+1)(m+1)^{2}=12,5$$ | $$y_{4}=y_{3}(3,2m+1)$$ |
По условию, при увеличении на четверть частоты нового, мы получим частоту третьего. Очевидно, что куплен был или первый, или второй. Пусть куплен первый. Тогда:
$$6\cdot\frac{5}{4}=6(k+1)(m+1)$$ $$\Rightarrow$$ $$(k+1)(m+1)=\frac{5}{4}$$
Но $$(k+1)(m+1)^{2}\frac{12,5}{6}=\frac{25}{12}$$ $$\Rightarrow$$ $$m+1=\frac{25}{12}\cdot\frac{4}{5}=\frac{5}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$k+1=\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{4}$$, но тогда частота второго меньше, чем первого $$\Rightarrow$$ куплен второй. Тогда: $$m+1=\frac{5}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$k+1=\frac{25}{12}\cdot\frac{16}{25}=\frac{4}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$m=\frac{1}{4}$$; $$k=\frac{1}{3}$$
Найдем производительность подарка: $$0,9\cdot\frac{4}{3}=1,2$$ млн операций в секунду.
Задание 8684
Александре и Всеволоду 1 сентября неимоверно повезло открыть в банке по вкладу на одинаковые суммы и на один и тот же срок, меньший одного года. У Александры первые несколько месяцев процентная ставка составила 81,44% в месяц, а на оставшийся срок – 5% в месяц. У Всеволода на протяжении всего срока ставка составила 26% в месяц. Суммы накопленных процентов в конце каждого месяца добавляются к остатку на счете, при этом клиент может снять деньги только в конце срока. Какое наибольшее количество месяцев у Александры могла действовать ставка 81,44%, если к моменту закрытия вкладов суммы на счетах обоих героев оказались одинаковыми?
Задание 8701
15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возврата таковы:
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Задание 8721
Задание 8744
Задание 8763
Задание 8782
Задание 8801
Задание 8875
19 января планируется взять в кредит некоторую сумму на 16 месяцев. Условия кредита таковы:
Какой долг будет 19‐го числа 15‐го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 914 тыс. рублей?
Пусть долг 19‐го числа 15‐го месяца будет равен S тыс. рублей. Тогда, сумма кредита больше S на 30 умножить на 15=450 тыс. рублей. В соответствии с условием задачи заполним таблицу:
долг на 1-е число, тыс. руб. | выплата, тыс. руб. | долг на 19-е число, тыс. руб. | |
$$S+450$$ | |||
1-ый месяц | $$1,1\cdot(S+450)$$ | $$0,1S+75$$ | $$S+420$$ |
2-ой месяц | $$1,1\cdot(S+420)$$ | $$0,1S+72$$ | $$S+390$$ |
$$...$$ | $$...$$ | $$...$$ | $$...$$ |
14-ый месяц | $$1,1\cdot(S+60)$$ | $$0,1S+36$$ | $$S+30$$ |
15-ый месяц | $$1,1\cdot(S+30)$$ | $$0,1S+33$$ | $$S$$ |
16-ый месяц | $$1,1S$$ | $$1,1S$$ | 0 |
сумма выплат в тыс. руб. равна:
$$0,1S+75+0,1S+72+...+0,1S+33+1,1S=$$$$15\cdot 0,1S+\frac{75+33}{2}\cdot 15+1,1S=$$$$2,6S+810=915$$
Откуда $$S=40$$