ЕГЭ (профиль) / (C5) Финансовая математика

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1 Вариант. Составим таблицу

Как видим, наименьшая сумма 1600, при выходе на 6 этаже.

2 вариант.

     Пусть n -этаж выхода, тогда количество подъемов максимальное 8-n, спусков- n-2. При этом каждый последующий этаж прибавляет в сравнении с предыдущим 1 подъем (спуск). Т.е. получим арифметическую прогрессию .

     В обоих случаях, разность которой d=1 и необходимо найти сумму (8-n) членов для подъемов и (n-2) членов для спусков (первый член в обоих случаях равен 1) :

     Сумма за подъемы: $$S_{1}=\frac{2*1+1*(8-n-1)}{2}(8-n)*200=(9-n)(8-n)*100$$

     Сумма за спуски : $$S_{2}=\frac{2*1+1(n-2-1)}{2}(n-2)*100=(n-1)(n-2)*50$$

     Итоговая сумма: $$S=S_{1}+S_{2}=100(9-n)(8-n)+50(n-1)(n-2)\rightarrow min$$

     Тогда $$g(n)=2(9-n)(8-n)+(n-1)(n-2)\rightarrow$$ $$min$$

$$g(n)=144-34n+2n^{2}+n^{2}-3n+2=3n^{2}-37n+146$$

$${g}'n=6n-37=0\Rightarrow n=\frac{37}{6}$$

      С учетом $$n \in N$$ получаем n=6 или n=7

$$g(6)=3*6^{2}-37*6+146=32$$

$$g(7)=3*7^{2}-37*7-146=34$$

     Следовательно, 6 этаж.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Пусть x-доля первого(из 60 ц ), y-доля второго(из 85) . Тогда : x+y=1. Учитывая это, и то, что минимум 6 центнеров каждого вида нужно выпустить:

$$\left\{\begin{matrix}60x\geq 6\\85y\geq 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq \frac{1}{10}\\y\geq \frac{6}{85}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in [\frac{1}{10};\frac{79}{85}]\\y \in [\frac{6}{85}; \frac{9}{10}]\end{matrix}\right.$$

     Прибыль с первых : $$(15000-10000)*60x=3*10^{5}x$$

     Прибыль со вторых: $$(18000-12000)*85y=51*10^{4}y$$.

     Тогда общая прибыль: $$S(x,y)=10^{4}(30x+51y)\rightarrow max(1)$$

$$x+y=1\Rightarrow y=1-x$$. Подставим в (1): $$S(x)=10^{4}(30x+51-51x)=10^{4}(51-21x)$$

Чем меньше x, тем больше $$S(x)\Rightarrow x=\frac{1}{10}$$; $$S(\frac{1}{10})=10^{4}(51-\frac{21}{10})=489000$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Пусть взяли S млн.руб ($$S \in N$$), A-сумма выплат во 2-ой и 4-ой год . Т.к. в 1-ой и 2-ой год выплачивались только проценты, то можно рассмотреть ситуацию кредита на 2 года с платежом А , процентом 10%. Составим таблицу изменения долга и платежей:

     Рассмотрим 4ый год: $$(\frac{11}{10})^{2}S-A(1,1+1)=0\Leftrightarrow$$ $$A=\frac{11^{2}S}{10^{2}*2,1}=\frac{121S}{21*10}=\frac{121S}{210}$$

Тогда процент после 1-го : S*0,1

После третьего : $$(S+0,1S-\frac{121S}{210})*0,1=\frac{11S}{210}$$

     Итоговые выплаты: $$\frac{S}{10}+\frac{11S}{210}+2*\frac{121 S}{210}>100\Leftrightarrow$$$$\frac{S}{10}+\frac{11S}{210}+\frac{242S}{210}>100\Leftrightarrow$$$$\frac{274S}{210}>100\Leftrightarrow$$$$S>76,6\Rightarrow S=77$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть S-сумма кредита в тыс. руб. , n=9-число месяцев, r=4%. Кредит на 9 месяцев, следовательно, по основной част долга ежемесячный платеж $$\frac{S}{9}$$ . Составим таблицу:

Получим $$\frac{S}{9}+\frac{4*S*5}{100*9}=44\Leftrightarrow$$ $$5S+S=44*45\Leftrightarrow$$ $$6S=44*45\Leftrightarrow$$ $$S=330 $$тыс.руб.

Тогда итоговые выплаты составят: $$S+\frac{rS}{100}(1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+...+\frac{1}{9})=1,2S=396$$ тыс. руб (сложили суммы с четвертого столбика)

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   Пусть x - собственная скорость быстрой , тогда x-3 - медленной. Пусть y(ч) –время движения до поворота , тогда: $$S_{1}=y(x+2)$$ - расстояние быстрой, $$S_{2}=y(x-1)$$ - медленной. Тогда:$$ t_{1}=\frac{y(x+2)}{x-2}$$ - время быстрой обратно, $$t_{2}=\frac{y(x-1)}{x-5}$$ - время медленной

   $$\frac{y(x-1)}{x-5}-\frac{y(x+2)}{x-2}\geq \frac{4}{5}y\Leftrightarrow$$ $$\frac{x-1}{x-5}-\frac{x+2}{x-2}\geq \frac{4}{5}\Leftrightarrow$$ $$\frac{12}{(x-2)(x-5)}\geq \frac{4}{5}\Leftrightarrow$$$$\frac{12}{(x-2)(x-5)}\geq \frac{12}{15}\Leftrightarrow$$$$(x-2)(x-5)\leq 15\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x\leq\frac{7+\sqrt{69}}{2}\\x\geq \frac{7-\sqrt{69}}{2}\end{matrix}\right.$$

   Необходимо $$x _{max} \in N$$ $$\Rightarrow$$ $$x=7$$ ($$7<\frac{7+\sqrt{69}}{2}$$)

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

   Пусть x руб - цена за шт клетки и линейки , тогда сумма за клетку 12x руб. , количество в линейку $$\frac{150}{x}$$ шт., как и количество в треугольник, тогда сумма за треугольник: $$\frac{50*150}{x}$$ руб. и общая сумма:

$$S(x)=12x+150+\frac{7500}{x}$$. 

   Найдем наименьшее значение данной суммы: 

$${S}'(x)=12-\frac{7500}{x^{2}}=\frac{12x^{2}-7500}{x^{2}}=0$$. Тогда: $$x^{2}=625\Rightarrow$$ $$x=\pm 25$$ , $$x=25$$ - точка минимума, следовательно, $$S_{min}=S(25)$$

   Найдем данное значение: $$S(25)=12*25+150+\frac{7500}{25}=750$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

      Всего акций n=1000. При этом под «каждую пятую» попадает $$m=\frac{1000}{5}=200$$ акций, под каждую 13: $$h =\frac{1000}{13}\approx 76$$ акций

      При этом, так как 5 и 13 взаимопростые , то из 76 в каждой пятерке номеров один так же будет попадать в «каждую пятую» $$\frac{76}{5}\approx 15$$. Получим, что со скидкой 10% : 200-15=185  акций (так как на 15 штук будет браться большая скидка - они попадают так же под 13-е). Со скидкой 25% : 76 шт., без скидки: 1000-185-76=739 шт. Тогда выручка: $$S=739*1000+185*900+76*750=962500$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

        Пусть правильная сдача n рублей и m копеек $$\Rightarrow$$ $$100n+m$$ копеек. Кассир не дала m рублей и n копеек $$\Rightarrow $$100m+n копеек. После покупки пипеток у Темы остается : $$(100m+n-140)$$ копеек. Эта сумма в 3 раза больше, чем $$100n+m$$:

        $$3(100n+m)=(100m+n-140)\Leftrightarrow$$$$300n+3m=100m+n-140\Leftrightarrow$$$$299n=97m-140, n,m \in N$$ и $$(n,m \leq 99)\Leftrightarrow$$$$m=\frac{299n+140}{97}=3n+1+\frac{8n+43}{97}$$

        Тогда $$\frac{8n+43}{97}\in N$$ или 0 (0 не может быть, так как тогда n отрицательное) $$\Rightarrow$$ $$\frac{8n+43}{97}=k$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{97k-43}{8}=n=12k-5+\frac{k-3}{8}$$

        Тогда $$\frac{k-3}{8}\in N$$ или 0 (то есть делится нацело на 8: $$\frac{k-3}{8}=0\Rightarrow$$ $$k=3\Rightarrow$$ $$n=12*3-5=31\Rightarrow$$ $$m=\frac{299*31+140}{97}=97$$

        Тогда правильная сдача 31 рубль 97 копеек $$\Rightarrow$$ покупка 68 рублей 3 копейки . С учетом 1 рубля 40 копеек получим , что общая покупка 69 рублей 43 копейки.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

        Пусть x-производительность 1-ой бригады (частей задания в день) ; y- 2–ой и z - 3-ей бригад. Все задание примем за 1, тогда:

        $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}\leq 9\\\frac{1}{y+z}\geq 18\\\frac{1}{x+z}=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y\geq \frac{1}{9}\\y+z\leq \frac{1}{18}\\x+z=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{12}-x\\x+y\geq \frac{1}{9}\\y+\frac{1}{12}-x\leq \frac{1}{18}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}z=\frac{1}{12}-x\\y\geq \frac{1}{9}-x\\y\leq x-\frac{1}{36}\end{matrix}\right.$$

        Получим, что $$\frac{1}{9}-x\leq y\leq x-\frac{1}{36}\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{9}-x\leq x-\frac{1}{36}\Leftrightarrow$$ $$2x\geq \frac{1}{9}+\frac{1}{36}=\frac{5}{36}\Rightarrow$$ $$x\geq \frac{5}{72}$$

        При этом $$z \rightarrow max$$, при $$x \rightarrow min$$, тогда $$x=\frac{5}{72}\Rightarrow$$ $$z=\frac{1}{12}-\frac{5}{72}=\frac{1}{72}\Rightarrow$$ $$y+\frac{1}{72}\leq \frac{1}{18}\Rightarrow$$ $$y\frac{1}{24}\Rightarrow$$ вторая бригада может выполнить за 24 дня

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Пусть x часов в день работает один рабочий в день, y человек – рабочих в бригаде. Тогда бригада дает $$xy$$ человеко-часов в день. Задание выполняется за 42 дня, т.е. требует $$42xy$$ человеко-часов (ч\ч). Увеличим количество людей на 4 и часы на 1. Получим $$(y+4)(x+1)$$ ч\ч в день и $$\frac{42 xy}{(y+4)(x+1)}\leq 30$$. Аналогично $$\frac{42 xy}{(y+10)(x+2)}\geq 21$$

    Имеем систему: $$\left\{\begin{matrix}42xy\leq 30(y+4)(x+1)\\42xy\geq 21(y+10)(x+2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}7xy\leq 5(y+4)(x+1)\\2xy\geq (y+10)(x+2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}7xy\leq 5xy+5y+20x+20\\2xy\geq xy+2y+10x+20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2xy-5y-20x-20\leq 0\\xy-2y-10x-20\geq 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2xy-5y-20x-20\leq 0\\2xy-4y-20x-40\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2xy-5y-20x-20\leq 0(1)\\-2xy+4y+20x+40\leq 0(2)\end{matrix}\right.$$

     Сложим 1 и 2 : $$-y+20\leq 0\Rightarrow$$ $$y\geq 20$$. Т.е минимум 20 человек . подставим y=20 в (1) : $$40x-100-20x-20\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x\leq 6 \Rightarrow$$ максимум 6 часов

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Пусть объем всего поля равен 1. x - производительность 1-го трактора (часть объема в час) , y, z - второго и третьего, t - время первого в часах . Раз первый вспахает втрое быстрее , то $$y=\frac{x}{3}$$. Получим ( раз втроем вспахивают за 7 ч 12 мин.):

     $$\frac{1}{x+y+z}=7\frac{12}{60}\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{x+\frac{x}{3}+z}=\frac{36}{5}\Leftrightarrow$$ $$5=\frac{4x}{3}*36+36z\Leftrightarrow$$ $$z=\frac{5-48x}{36}$$

     Так как третий на 2 часа больше, то : $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}=t\\\frac{1}{z}=t+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}=t\\\frac{36}{5-48x}=\frac{1}{x}+2\end{matrix}\right.$$

     $$\frac{36}{5-48x}=\frac{1+2x}{x}\Leftrightarrow$$ $$36x=5+10x-48x-96x^{2}\Leftrightarrow$$ $$96x^{2}+74x-5=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{1}{16}\\x_{2}<0\end{matrix}\right.$$

     Пусть три трактора работают x часов на каких-то полях, тогда они выполняют $$\frac{5}{36}x$$ объема. Затем один или несколько переезжают (чтобы ускорить другое поле и закончить оба одновременно), тогда производительность оставшихся S и выполнят они $$S*\frac{2}{3}$$ объема . Потом все трое дорабатывают вместе y часов: $$\frac{5}{36}x+\frac{2}{3}S+\frac{5}{36}y=2\Leftrightarrow$$ $$\frac{5}{36}(x+y)=2-\frac{2}{3}S$$

     Очевидно, что $$x+y\rightarrow min$$, при $$S\rightarrow max$$: $$S_{max}=\frac{1}{16}+\frac{1}{18}=\frac{17}{144}$$. Тогда : $$x+y=(2-\frac{2}{3}*\frac{17}{144})*\frac{36}{5}=$$$$\frac{415}{216}*\frac{36}{5}=\frac{83}{6}$$

     Тогда общее время: $$\frac{83}{6}+\frac{2}{3}=14,5$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Пусть Ашот откроет x шт . кафе , тогда всего их в городе станет 9+x нет, и прибыль с одного будет составлять: $$\frac{50}{9+x}-2$$ . Тогда общая прибыль его составит : $$f(x)=x(\frac{50}{9+x}-2)$$

     Найдем максимальное значение данной функции: $${f}'(x)={(\frac{50x}{9+x}-2x)}'=$$$$\frac{50(9+x)-50x}{(9+x)^{2}}-2=0\Leftrightarrow$$$$\frac{450+50x-50x-2(9+x)^{2}}{(9+x)^{2}}=0\Leftrightarrow$$ $$225-(9+x)^{2}=0\Leftrightarrow$$$$(9+x)^{2}=225\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}9+x =15\\9+x=-15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=6\\x=-24\end{matrix}\right.$$

     Тогда: $$f_{max}=f(6)=6*(\frac{50}{9+6}-2)=$$$$6(\frac{10}{3}-2)=6*\frac{4}{3}=8$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Пусть S-первоначальная сумма вклада, тогда после первого начисления на счете $$S(1+\frac{r_{1}}{100})$$, а после снятия половины первоначального вклада: $$S(1+\frac{r_{1}}{100})-\frac{S}{2}$$. Учтем, что $$r_{2}=150-r_{1}$$.

     После второго начисления на счету : $$(S(1+\frac{r_{1}}{100})-\frac{S}{2})(1+\frac{150-r_{1}}{100})=S(r_{1})$$

     Необходимо найти точку максимума: $$S^{'}(r_{1})=(S(\frac{1}{2}+\frac{r_{1}}{100})(\frac{250-r_{1}}{100}))^{'}=$$$$(S(\frac{50+r_{1}}{200})(\frac{250-r_{1}}{100}))^{'}$$

    При этом максимум $$S(r_{1})$$ совпадает с максимумом $$K(r_{1})=(50+r_{1})(250-r_{1})$$

     $$K^{'}(r_{1})=(250-r_{1})-(50+r_{1})=0\Leftrightarrow$$ $$200-2r_{1}=0\Leftrightarrow$$ $$r_{1}=100$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Пусть $$S=12*10^{6}$$ руб. –первоначальная сумма кредита, $$n=15$$ лет-срок кредита, $$a=12$$ % , $$b=4$$ % . Составим таблицу платежей (каждый платеж состоит из суммы по основному долгу $$\frac{S}{15}$$ (за 15 лет надо отдать S) и начисленные за год процентов) :

Итого будет выплачено : $$\frac{S}{15}*15+\frac{Sa}{100}(1+\frac{14}{15}+..+\frac{8}{15})+\frac{8b}{100}(\frac{7}{15}+\frac{6}{15}+..+\frac{1}{15})$$

Подставим известные значения: $$S+Sa*\frac{92}{15}+8b*\frac{28}{15}=$$$$S(1+\frac{92a}{15}+\frac{28b}{15})=$$$$12*10^{6}(1+\frac{91*12}{15*100}+\frac{28*4}{15*100})=21728000$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Пусть начальная концентрация в первом сосуде a% , тогда масса соли в нем: $$\frac{5a}{100}=\frac{a}{20}$$ кг. Во втором – b% , масса соли в нем : $$\frac{2ab}{100}=\frac{b}{5}$$ кг. Новая концентрация в первом сосуде p% .Докажем , что тогда масса раствора $$\frac{5}{p}$$. Пусть новая масса m кг. , тогда имеем:

     Отсюда $$m=\frac{\frac{a}{20}*100}{pa}=\frac{5}{p}$$. То есть, если концентрация увеличилась в р раз, то масса раствора в р раз уменьшилась. Т.к. pq=9, то $$q=\frac{9}{p}$$. Тогда масса второго раствора: $$2-\frac{9}{p}=\frac{20p}{9}$$.

     Тогда из первого выпарилось: $$5-\frac{5}{p}=\frac{5p-5}{p}$$ кг. Из второго: $$20-\frac{20p}{9}=\frac{180-20p}{9}$$ кг. Составим функцию испарившейся массы: $$f(p)=\frac{5p-5}{p}+\frac{180-20p}{9}$$ и найдем ее максимум :

$$f^{'}(p)=\frac{5p-5p+5}{p^{2}}-\frac{20}{9}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{5}{p^{2}}=\frac{20}{9}\Rightarrow$$ $$p=\pm \frac{3}{2}$$. При этом p=1,5-точка максимума, следовательно, наибольшая масса: $$f(1,5)=\frac{5*1,5-5}{1,5}+\frac{180-20*1,5}{9}=\frac{55}{3}$$ кг.