ЕГЭ Профиль
Задание 7224
На покупку тетрадей в клетку и в линейку можно потратить не более 140 руб. Тетрадь в клетку стоит 3 руб, тетрадь в линейку – 2 руб. При закупке число тетрадей в клетку не должно отличаться от числа тетрадей в линейку более, чем на 9. Необходимо закупить максимально возможное суммарное количество тетрадей, при этом тетрадей в линейку нужно закупить как можно меньше. Сколько тетрадей в клетку и сколько тетрадей в линейку можно закупить при указанных условиях?
Пусть куплено x тетрадей в клетку и y – в линейку , тогда: $$3x+2y\leq 140$$. Раз в линейку как можно меньше, то и считается количество не более, чем на 9, то $$\left | x-y \right |\leq 9$$. При этом $$y\rightarrow min$$ и $$x+y\rightarrow max$$
Получим систему: $$\left\{\begin{matrix}3x+2y\leq 140\\\left | x-y \right |\leq 9\\x+y\rightarrow max\\y\rightarrow min\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y\leq 70-\frac{3x}{2}\\\left | x-y \right |\leq 9\\x+y\rightarrow max\\y\rightarrow min\end{matrix}\right.$$
Так как $$x,y \in N$$ и $$x+y\rightarrow max$$ , то $$\frac{3x}{2} \in N$$ и x – число четное .
Рассмотрим графическое решение:
Видим, что целые значения (26;31) ; (28;28) и (30;25) , в сумме дают 57;56 и 55 соответственно $$\Rightarrow$$ т .к. $$x+y\rightarrow max$$, то купим 26 в клетку и 31 линейку.
Задание 7326
Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 9 часов работы станка А и 11 часов работы станка Б. Для изготовления изделия второго типа требуется 13 часов работы станка А и 3 часа работы станка Б (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок А может работать не более 130 часов в месяц, а станок Б—не более 88 часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 22 000 д. е. прибыли, а каждое изделие второго типа—26 000 д. е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.
Пусть выпускается xизделий 1-го типа и y изделий второго типа ($$x , y \in Z$$ и $$x, y >0$$). Составим таблицу:
Получим систему : $$\left\{\begin{matrix}9x+13y\leq 30\\11x+3y\leq 88\\1000(22x+26y)\rightarrow max\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y\leq \frac{130-9x}{13}(1)\\y\leq \frac{88-11y}{3}(2)\\2000 (11x+13y)\rightarrow max\end{matrix}\right.$$
Построим график (решение ) для (1) и (2)
Получим заштрихованную плоскость . При этом необходимо рассматривать точки ближе к прямым (1) и (2) и с целыми координатами. Так же учтем, что изделие 2 выгоднее: (1;10; (1;9); (2;8); (4;7); (5;6); (6;5);(7;3) .
Видим , что $$x+y\rightarrow max$$ при (4;7) ; (5;6) и (6;5) .Т.к. второе выгоднее то берем с большей ординатой $$\Rightarrow (4;7)$$ . То есть 4 изделия 1,7 изделие 2 и прибыль : $$2000(11*4+13*7)=270000$$.
Задание 7368
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 600 тыс. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
- 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.
На сколько рублей увеличится сумма выплат, если взять кредит с такими же условиями на 30 месяцев?
Задание 7415
Предприятие непрерывного цикла занимается испытанием готовых изделий двух типов. Ежемесячно предприятие получает для испытаний не более 300 изделий первого типа и не более 600 изделий второго типа. Качество каждого изделия проверяется на двух стендах А и Б (стенды могут использоваться для испытания каждого изделия в любой последовательности). Для проверки одного изделия первого типа требуется 36 минут испытаний на стенде А и 30 минут испытаний на стенде Б; для проверки одного изделия второго типа требуется 30 минут испытаний на стенде А и 9 минут испытаний на стенде Б. По техническим причинам стенд А может работать не более 360 часов в месяц, а стенд Б—не более 180 часов в месяц. Проверка одного изделия первого типа приносит предприятию 135 д. е. прибыли, а проверка одного изделия второго типа— 75 д.е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует ежемесячно проверять для получения этой прибыли.
Составим таблицу:
| количество единиц | стенд А (часов) | Стенд В (часов) | выручка | |
| изделие 1 | x | 0.6x | 0.5x | 135x |
| изделие 2 | y | 0.5y | 0.15y | 78y |
| суммарное количество | x+y | 0.6x+0.5y | 0.5x+0.15y | 135x+78y |
Получим систему:
$$\left\{\begin{matrix}0.6x+0.5y\leq 360\\0.5x+0.15y\leq 180\\135x+75y=S\\x\leq 300\\y\leq 600\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}6x+5y\leq 3600(1)\\10x+3y\leq 3600(2)\\9x+5y=\frac{S}{15}=a(3)\\x\leq 300\\y\leq 600\end{matrix}\right.$$
Из (3): $$y=\frac{a-9x}{5}$$. Подставим в (1) и (2):
$$\left\{\begin{matrix}6x+4-9x\leq 3600\\10x+\frac{a-9x}{5}*3\leq 3600\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\leq 3600+3x\\a\leq 6000-7\frac{2}{3}x\end{matrix}\right.$$
Вычтем из второго неравенства первое: $$0\leq 2400-10\frac{2}{3}x\Leftrightarrow$$$$x\leq 225$$. Подставим в (1): $$6*225+5y\leq 3600\Leftrightarrow$$$$y\leq 450$$. Очевидно, что S будет максимальным в том случае, если будут максимальны х и у, то есть х=225 и у=450. Тогда $$S=135*225+75*450=64125$$
Задание 7425
Строительство нового завода стоит 220 млн. рублей. Затраты на производство x тыс единиц продукции на таком заводе равны $$0,5x^{2}+x+7$$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс.рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $$px-(0,5x^{2}+x+7)$$ . Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки завода цена продукции p = 9 тыс.руб. за единицу, каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс.руб. за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?
Задание 7444
В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 26 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных городах. Если на строительстве первого дома работает t человек, то их суточная зарплата составляет 3t2 д. е. Если на строительстве второго дома работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 д. е. Дополнительные суточные накладные расходы (транспорт, питание и т. п.) обходятся в 4 д. е. в расчёте на одного рабочего при строительстве первого дома и в 3 д. е. при строительстве второго дома. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы все выплаты на их суточное содержание (т. е. суточная зарплата и суточные накладные расходы) оказались наименьшими? Сколько д. е. в сумме при таком распределении составят все суточные затраты (на зарплату и накладные расходы)?
Задание 7517
Вкладчик разместил в банке 32 тысячи рублей. Несколько лет он получал то 5%, то 10% годовых, а за последний год получил 25% годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад стал равен 53361 рублю. Сколько лет пролежал вклад?
Задание 7564
Фермер, занимающийся производством ягод, посадил кусты крыжовника и смородины. Количество кустов крыжовника превышает количество кустов смородины менее чем на 4. Если число кустов смородины увеличить на 42, то оно превысит число кустов крыжовника, но не более чем в 3 раза. Если число кустов смородины увеличить впятеро и прибавить удвоенное число кустов крыжовника, то результат не превысит 126. Найдите, сколько кустов крыжовника и сколько кустов смородины посадил фермер.
Задание 7639
Иван Васильевич по случаю рождения сына открыл 1 апреля 2000 года счёт в банке, на который он ежегодно вносит 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 10% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у Ивана Васильевича родилась дочь, и 1 апреля 2006 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно вносит по 2100 рублей, а банк начисляет 21% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравнялись, если деньги со счетов не снимались?
Задание 7686
Два участника создали общество с ограниченной ответственностью, при этом каждый внёс определенную сумму денег в уставный капитал общества. Через некоторое время один из участников внёс дополнительно в уставный капитал 4 млн. рублей, в результате его доля возросла на 6%. А когда он внёс в уставный капитал ещё 4 млн. рублей, его доля возросла ещё на 2%. Какую сумму ему нужно внести, чтобы увеличить свою долю ещё на 3%?
Задание 7734
В январе 2005 года ставка по депозитам в банке «Фантазия» составила годовых, тогда как в январе 2006 года – y% годовых, причем известно, что x+y=30 . В январе 2005 года вкладчик открыл депозитный счёт в банке «Фантазия», положив на него некоторую сумму. В январе 2006 года, по прошествии года со дня открытия счёта, вкладчик снял со счёта пятую часть этой суммы. Укажите значение x , при котором сумма на счёте вкладчика в январе 2007 года станет максимально возможной.
Пусть первоначальный вклад составил $$5S$$, тогда через год (после начисления процентов) величина вклада составит $$5S(1+\frac{x}{100})$$ . После снятия со счёта пятой части первоначальной суммы величина вклада составит $$5S(1+\frac{x}{100})-S$$. Ещё через год (после начисления процентов) величина вклада составит $$(5S(1+\frac{x}{100})-S)(1+\frac{30-x}{100})=\frac{S(80+x)(130-x)}{2000}$$ Наибольшее значение этого выражения достигается в той же точке, что и наибольшее значение квадратичной функции $$f(x)=(80+x)(130-x)$$ на интервале $$(0;30)$$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вниз, вершина параболы равна среднему арифметическому абсцисс точек пересечения параболы с осью абсцисс: $$x_{0}=\frac{-80+130}{2}=25$$. Значит, наибольшее значение $$f(x)$$ на интервале $$(0;30)$$ достигается в точке $$x_0=25$$.
Задание 7785
Александр Сергеевич взял ипотечный кредит суммой 2 млн. рублей на 20 лет. Условия выплаты кредита таковы:
После 8‐й выплаты Александру Сергеевичу удалось произвести реструктуризацию кредита, в результате чего процент, начисляемый в последующие годы, уменьшился до 8%. Какую сумму сэкономил Александр Сергеевич?
Задание 7878
В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере 880 000 рублей. Условия его возврата таковы:
Найдите S.
Задание 7897
В июле 2019 года планируется взять кредит на 1 000 000 рублей. Условия возврата таковы:
Какую сумму необходимо выплатить банку в течение всего срока кредитования?
По условию задания уменьшается долг на 100 тыс. или на сумму $$x$$ (которая понижается затем на 50 тыс. в год платежа). Т.е. сумма каждого платежа включает не только сумму в 100 или $$x$$ тыс, но и начисленные проценты за текущий год. Составим таблицу (лучше сначала заполнить "долг на начало")
| Год | Долг на начало (тыс.руб.) | Начисленный % | Итого выплачено |
| 2020 | 1000 | 50 | 100+(50) |
| 2021 | 900 | 45 | 45+($$x$$) |
| 2022 | $$900-x$$ | $$45-0,05x$$ | $$100+(45-0,05x)$$ |
| 2023 | $$800-x$$ | $$40-0,05x$$ | $$x-50+(40-0,05x)$$ |
| 2024 | $$850-2x$$ | $$4,25-0,1x$$ | $$100+(4,25-0,1x)$$ |
| 2025 | $$750-2x$$ | $$37,5-0,1x$$ | $$x-100+(37,5-0,1x)$$ |
| 2026 | $$850-3x$$ | $$42,5-0,15x$$ | $$100+(42,5-0,15x)$$ |
| 2027 | $$750-3x$$ | $$37,5-0,15x$$ | $$x-150+(37,5-0,15x)$$ |
| июль 2027 | 0 |
Получим,что $$750-3x=x-150$$ $$\Rightarrow$$ $$x=225$$. Сложим все суммы платежа: $$440+3,4x=440+3,4\cdot225=1205$$ тыс. было выплачено
Задание 7946
В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4 200 000 рублей. Условия его возврата таковы:
Найдите r , если долг выплачен полностью в 2021 году и общие выплаты составили 6 100 000 рублей.
