ЕГЭ Профиль
Задание 4771
Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?
Задание 4772
Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
Задание 4773
1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?
Задание 4775
В пчелиной семье, зимующей в помещении, в день последней весенней подкормки было 9 тысяч пчел. К концу k ‐го дня ( k = ,2,1 ,...3 ) после дня подкормки численность пчелиной семьи, зимующей в помещении, становится равной тысяч пчел. Далее, при перевозке пчел на летнюю стоянку, численность пчелиной семьи в каждый последующий день возрастает на 25% по сравнению с предыдущим днем. В конце какого дня после весенней подкормки нужно перевезти пчел на летнюю стоянку, чтобы через 38 дней после подкормки численность пчелиной семьи стала наибольшей? Известно, что у фермера нет возможности поместить пчел на летнюю стоянку сразу же после подкормки.
Задание 4822
Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн руб. Вася может купить её в кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Васе придётся 20 лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придётся выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого Вася может какое‐то время снимать квартиру (стоимость аренды—15 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты арендной платы за съёмную квартиру. За сколько лет в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если считать, что её стоимость не изменится?
Квартира стоит 3 (млн. рублей )=3000 (тыс. рублей), кредит берется на 20 (лет)=240 (месяцев). Задачу решим по действиям :
1) 3000*2,8=8400 (тыс. руб.)-общая сумма выплат банку;
2) 8400:240=35(тыс. руб.)-ежемесячный платеж банку;
3) 35-15=20(тыс. руб.)-сумма , которую Вася сможет откладывать каждый месяц после уплаты аренды;
4) 3000:20=150(месяцев)=12,5(лет)-потребуется Васе, чтобы накопить на квартиру .
Задание 4866
Руслан вложил 1 млн. в банк под 14% годовых (начисление в конце года на общую сумму). При этом каждый месяц он снимает по Х тыс. рублей на проживание (начиная со 2 года) в течении 4 лет, и в конце 5 года после начисления процентов сумма оказалась не менее 1 млн. Определите какую максимальную сумму он мог снимать ежемесячно. В ответе укажите целочисленное значение в тысячах рублей?
Пусть начальная сумма $$S=10^{6}$$, процент $$a=14% , b =1 +\frac{a}{100}=\frac{57}{50}$$, M - сумма, которую снимал.
После 1го года на счет: Sb.
После 2го: Sb-12M - до начисления процента; (Sb-12M)b - после начисления процента.
После 3го: (Sb-12M)b-12M - до начисления процента; ((Sb-12M)b-12M)b - после начисления процента.
После 4го: ((Sb-12M)b-12M)b-12M - до начисления процента; (((Sb-12M)b-12M)b-12M)b - после начисления процента.
После 5го: (((Sb-12M)b-12M)b-12M)b-12M - до начисления процента; ((((Sb-12M)b-12M)b-12M)b-12M)b - после начисления процента.
Раскроем скобки и сделаем группировку слагаемых с 12M и запишем условие, сумма на счету больше первоначальной:
$$Sb^{5}-12M(b^{4}+b^{3}+b^{2}+b)> S$$
Вынесем еще b за скобки, и воспользуемся формулой:
$$b^{n-1}+b^{n-2}+b^{n-3}+....+1=\frac{b^{n}-1}{b-1}$$ $$Sb^{5}-12Mb(\frac{b^{4}-1}{b-1})> S$$
Подставим наши данные:
$$10^{6}(\frac{57}{50})^{5}-12M*\frac{57}{50}*(\frac{(\frac{57}{50})^{4}-1}{\frac{57}{50}-1})> 10^{6}$$
$$M< \frac{10^{6}*7(57^{5}-50^{5})}{12*15*50(57^{4}-50^{4})}$$
$$M< 13746,25...$$ Так как требуется наибольшее целое, то получаем M=13
Задание 4917
Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тысяч рублей до 20 тысяч рублей, а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тысяч рублей и не больше 60 тысяч рублей. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
| № полета | 1 | 2 | 3 |
| Цена одной, тыс. руб. | x | $$\frac{4x}{l}$$ | $$\frac{5x}{l+1}$$ |
| Кол-во акций, шт. | y | $$ly$$ | $$y(l+1)$$ |
| Цена пакета, тыс. руб. | xy | $$4xy$$ | $$5xy$$ |
Цена второй: $$\frac{4xy}{ly}=\frac{4x}{l}$$
Кол-во акций в третьем: $$y+ly=y(l+1)$$
Цена третьей: $$\frac{5xy}{y(l+1)}=\frac{5x}{l+1}$$
Всего акций: $$y+ly+y(l+1)=2y(l+1)$$
Найти: $$\frac{y}{2y(l+1)}=\frac{1}{2(l+1)}$$
Имеем условия: $$\left\{\begin{matrix}16\leq\frac{4x}{l}-x\leq20\\42\leq\frac{5x}{l+1}\leq60\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}16\leq\frac{x(4-l}{l}\leq20\\42\leq\frac{5x}{l+1}\leq60\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{16l}{4-l}\leq x\leq \frac{10l}{4-l}\\\frac{42}{5}(l+1)\leq x\leq12(l+1)\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}a_{1}\leq x\leq b_{1}\\a_{2}\leq x\leq b_{2}\end{matrix}\right.$$ Пересения будут, если: $$\left\{\begin{matrix}a_{1}\leq b_{2}\\a_{2}\leq b_{1}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{16l}{4-l}\leq 12(l+1)\\\frac{42}{5}(l+1)\leq\frac{10l}{4-l}\end{matrix}\right.$$
Задание 4964
Ученики второго, третьего четвертого классов собирали макулатуру. Каждый второклассник работал по 3 дня, третьеклассник – по 12 дней, четвероклассник – по 16 дней. При этом каждый второклассник собрал 30 кг макулатуры, каждый третьеклассник – 130 кг, а каждый четвероклассник – 170 кг. Все дети вместе отработали 95 дней. Сколько учеников каждого класса участвовало в работе, если общее количество макулатуры оказалось максимальным?
Обозначим через х количество второклассников, через y – третьеклассников, через z – четвероклассников. Тогда 3 x + 12 y + 16 z = 95 . (1)
Количество собранной макулатуры равно 30 x + 130 y + 170 z = 10(3 x + 13 y + 17 z).
Максимальным должно быть значение функции: F = 3 x + 13 y + 17 z = 95 + ( y + z), а значит, суммы y + z.
Из равенства (1) будем иметь: 12( y + z) = 95 - 3 x - 4 z. (2)
Отсюда 12( y + z) < 96 $$\Rightarrow$$ y + z < 8. Далее, если y + z = 7, из (2) получаем: 3 x + 4 z = 11. (3) Так как $$x \leq 3$$ и x - нечетное, единственное решение уравнения (3) x = 1, z = 2 (при x = 3 z = 0,5) $$\Rightarrow$$ y= 7 - 2 = 5.
Задание 5013
Олигарх Аристарх Луков‐Арбалетов имеет в собственности три частных банка. Активы первого банка состоят на 70% из рублей и на 30% из долларов. Во втором банке 80% активов составляют рубли и 20% – евро; в третьем банке 50% активов в рублях, 10% – в долларах и 40% – в евро. Аристарх планирует открыть 4‐й банк, направив туда часть активов из каждого банка так, чтобы доля каждой валюты в каждом из них сохранилась, а активы нового банка состояли бы ровно на 15% в долларах. Какой наименьший процент рублей могут содержать активы нового банка?
Пусть х - объем денег с первого, тогда рубли $$0,7x$$; доллары - $$0,3x$$. Второй - $$y$$; тогда рубли - $$0,8y$$; $$0,2y$$ - евро, третий - $$z$$, тогда $$0,5z$$ - рубли, доллары - $$0,1z$$, евро - $$0,4z$$. Т.к. во втором долларов нет, то при внесении денег оттуда добавятся только рубли и евро, а т.к. процент рублей больше, чем евро, то по отношению к общей массе денег в четвертом процент рублей увеличится. Тогда из 2го лучше не брать, раз надо минимальный процент рублей в четвертом:
Всего: $$x+y+z$$
Рубли: $$0,7x+0,8y+0,5z$$
Доллары: $$0,3x+0,1z$$
Евро: $$0,2y+0,4z$$
$$\frac{0,3x+0,1z}{x+y+z}=0,15$$ - (15% долларов); $$x+y+z=\frac{0,3x+0,1z}{0,15}$$; $$x+y+z=2x+\frac{2}{3}z$$; $$z=3x-3y$$ $$\Rightarrow$$ $$x>y$$
Функция процента рублей: $$f(x;y;z)=\frac{0,7x+0,8y+0,5z}{x+y+z}=\frac{(0,7x+0,8y+0,5z)\cdot0,15}{0,3x+0,1z}=$$ $$\frac{0,15(0,7x+0,8y+1,5x-1,5y)}{0,3x+0,1(3x-3y)}=\frac{0,15(2,2x-0,7y)}{0,3x+0,3x-0,3y}=$$ $$\frac{2,2x-0,7y}{4x-2y}=0,55+\frac{0,4y}{4x-2y}$$
Задание 5060
На счет, который вкладчик имел в начале первого квартала, начисляется в конце этого квартала$$r_{1}$$%, а на счет, который вкладчик имел в начале второго квартала, начисляется в конце этого квартала $$r_{2}$$%, причем $$r_{1}+r_{2}=150$$%. Вкладчик положил на счет в начале первого квартала некоторую сумму и снял в конце того же квартала половину этой суммы. При каком значении $$r_{1}$$ счет вкладчика в конце второго квартала окажется максимально возможным?
Пусть $$S_{0}$$ - первоначальная сумма на счет, $$r_{1}=x$$, тогда $$r_{2}=150-x$$.
После начисления % у конце 1-го квартала на счету окажется : $$S_{0}+0,01 xS_{0}$$. После снятия половины первоначальной суммы: $$S_{0}+0,01xS_{0}-0,5S_{0}=S_{0}90,5+0,01x=S_{1}$$
После начисления %ов конце 2-го квартала на счету окажется: $$S_{1}+0,01(150-z)S_{1}=S_{1}(1+1,5-0,01x)=$$$$S_{0}(0,5+0,01x)(2,5-0,01x)=$$$$\frac{S_{0}}{10000}(50+x)(250-x)$$
Так как $$\frac{S_{0}}{10000}=const$$, задача сводится к тому ,чтобы найти , при каком значении переменной x функция $$S(x)=(50+x)(250-x)$$ доститгает своего наибольшего значения на отрезке [0 ;150]
Графиком функции является параболам, ветви направлены вниз, вершина параболы $$x_{0}=\frac{250-50}{2}=100\in [0 150]\Rightarrow$$ наибольшее значение на указанном отрезке достигается в вершине (единственная точка экстремума и это точка максимума) $$\Rightarrow$$ $$t_{1}=100$$
Ответ:100
Задание 5144
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:
Найдите $$r$$%, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,16 млн рублей, а наименьший — не менее 0,476 млн рублей.
Поскольку долг уменьшается на одну и ту же сумму ежегодно, то уменьшене долга за год составит 400 тыс. рублей .Следовательно: $$\left\{\begin{matrix}\frac{r}{100}*4000+400\leq 1160\\\frac{r}{100}400+400\geq 476\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}4r+40\leq 116\\4r+400\geq 476\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}r\leq 19\\r\geq 19\end{matrix}\right.$$. Следовательно, r=19
Задание 5197
Аристарх Луков‐Арбалетов хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Аристарха совсем не было денег, а пакет стоил 100 000 рублей. В середине каждого месяца Аристарх откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце каждого месяца пакет дорожает на 20%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Аристарху каждый месяц, чтобы через некоторое время купить вожделенный пакет акций?
Пусть x–сумма , которую откладывает , n- число месяцев, через которое отложенная сумма станет не меньше стоимости пакета: $$10^{5}*1,2^{n-1}\leq xn$$ $$n-1$$ Т.к. сначала он отложит и только потом зачислится процент $$x\geq \frac{10^{5}*1,2^{n-1}}{n}$$ Найдем минимум этой функции относительно n : $$(\frac{10^{5}*1,2^{n-1}}{n})^{1}=10^{5}\frac{n*1,2^{n-1}*\ln1,2-1,2^{n-1}}{n^{2}}=0\Leftrightarrow$$$$1,2^{n-1}(n*\ln1,2-1)=0\Leftrightarrow$$$$\ln 1,2^{n}=1\Leftrightarrow$$$$\ln 1,2^{n}=\ln e\Leftrightarrow$$$$1,2^{n}=e$$, следовательно, $$n \in [5; 6]$$. Найдем значения на концах данного промежутка: $$x(5)=\frac{10^{5}*1,2^{4}}{5}=41472$$ $$x(6)=\frac{10^{5}*1,2^{5}}{6}=41472$$
Задание 5244
Иван Иванович попросил у своего соседа Ивана Никифоровича взаймы на несколько дней 648 тысяч рублей, пообещав вернуть долг с процентами. Иван Никифорович заявил, что если он даст в долг на п дней S рублей, то сосед должен будет вернуть сумму, равную $$S(1+\frac{n}{300})+\frac{S}{n^{2}}$$. После недолгих раздумий Иван Иванович согласился на предложенные условия. Через сколько дней Ивану Ивановичу следует рассчитаться с долгом, чтобы выплаты оказались наименьшими? Сколько в этом случае составит переплата сверх взятой в долг суммы?
$$S(1+\frac{n}{300})+\frac{S}n^{2}=S(1+\frac{n}{300}+\frac{1}{n^{2}})$$
Пусть $$f(n)=1+\frac{n}{300}+\frac{1}{n^{2}}$$, найдем производную данной функции:
$${f}'(n)=\frac{1}{300}+\frac{-2}{n^{3}}=\frac{}{300}-\frac{2}{n^{3}}=0\Leftrightarrow$$$$\frac{n^{3}-600}{n^{3}}=0\Leftrightarrow$$$$n=\sqrt[3]{600}$$
Так как $$8<\sqrt[3]{600}<9$$, и при этом n - число целое, то рассмотрим значение функции в границах:
$$f(8)=1+\frac{8}{300}+\frac{1}{64}=\frac{65}{64}+\frac{2}{75}=$$$$\frac{4875+128}{4800}=\frac{5003}{4800}=1,0422$$
$$f(9)=1+\frac{9}{300}+\frac{1}{81}=\frac{82}{81}+\frac{3}{100}=$$$$\frac{8200+24}{8100}=\frac{8443}{4800}=1,0423$$
Как видим, наименьшее значение будет при n=8:
$$648(\frac{8}{300}+\frac{1}{64})=648(\frac{2}{75}+\frac{1}{64})=$$$$\frac{648(128+75)}{75*64}=\frac{648*203}{75*64}=27,405$$
Отвеь:8; 27,405.
Задание 5292
В 2016 году в НИИ «Наномир» работали 20 сотрудников: директор, пять его заместителей, 12 инженеров и две уборщицы. Среднемесячная зарплата директора составляла 500 тыс. руб., зама – 200 тыс. руб., инженера 50 тыс. руб., уборщицы – 25 тыс. руб.
С 1 января 2017 года 4 инженера ушли на заслуженный отдых. Чтобы сохранить среднюю зарплату по НИИ на уровне прошлого года, директор решил изменить зарплату только у своих замов.
В конце 2017 года неожиданно выяснилось, что годовой фонд заработной платы НИИ, сформированный в объеме прошлого года, оказался выбран не полностью. В связи с этим все оставшиеся на счету фонда деньги директор перечислил себе в качестве премии.
Определите:
а) среднюю зарплату по НИИ в 2017 году;
б) на сколько % изменилась (увеличилась или уменьшилась) зарплата заместителей директора НИИ в 2017 году;
в) размер премии, полученной директором НИИ в конце 2017 года
Средняя зарплата в 2016: $$\frac{500+5*200+12*50+2+25}{20}=107,5$$ тысяч. Данная зарплата сохраняется и в 2017, только меняется количество людей и зарплата замов. Пусть она составляет х тысяч рублей, тогда:
$$\frac{500+5*x+8*50*2*25}{16}=107,5|*16$$
$$950+5x=1720$$
$$x=\frac{1720-950}{5}=154$$ тысячи рублей.
То есть их зарплата уменьшилась на $$200-154=46$$ тысяч рублей, что составляет : $$\frac{46}{200}*100=23$$ процента от первоначальной.
В 2016 году в месяц общая зарплата составляла 2150 тысяч, в 2017 стала 1720 тысяч. То есть экономия в месяц $$2150-1720=430$$ тысяч. В таком случае после распила бюджета годовая премия составила: $$430*12=5160$$ тысяч (как у наших неуважаемых госдеятелей)