ЕГЭ Профиль
Задание 3201
Известно, что ботинки на 40 % дешевле, чем куртка, и на 50 % дороже, чем шапка. Определите, на сколько процентов куртка дороже, чем шапка?
|
1) $$y-100$$ % $$x-60$$ % |
$$y=\frac{100x}{60}=\frac{5x}{3}$$ |
|
2) $$z-100$$ % $$x-150$$ % |
$$z=\frac{100x}{150}=\frac{2x}{3}$$ |
|
3) $$y-a$$ % $$z-100$$ % |
$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{5x}{3}-a$$ % $$\frac{5x}{3}-100$$ % |
$$a=\frac{\frac{5x}{3}\cdot100}{\frac{2x}{3}}=$$
$$=\frac{5x\cdot100}{3}\cdot\frac{3}{2x}=250$$ %
$$250-100=150$$ % - разница
Задание 3246
Расстояние между пристанями A и B равно 105 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 40 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
tплота$$=\frac{40}{4}=10$$ (ч) - время плота
$$10-1=9$$ (ч) - время яхты
Пусть х - собственная скорость яхты
$$\frac{105}{x+4}+\frac{105}{x-4}=9$$
$$105x-420+105x+420=9(x^{2}-16)$$
$$9x^{2}-210x-144=0$$
$$3x^{2}-70x-48=0$$
$$D=4900+576=5476=74^{2}$$
$$x_{1}=\frac{70+74}{6}=24$$
$$x_{2}<0$$
Задание 3287
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?
Пусть х - цена одной рубашки, а у - цена одной куртки. Тогда, раз четыре рубашки на 8 процентов дешевле, то их стоимость составляет 92 процента от стоимости куртки. Тогда стоимость одной рубашки составляет 92/4=23 процента от стоимости куртки. Следовательно, пять рубашек стоят 5*23=115 процентов от стоимости куртки или на 115-100=15 процентов дороже
Задание 3327
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.
Так как поезда двигаются в одном направлении, то мы можем рассматривать ситуацию, когда один поезд стоит, а второй двигается относительно первого со скоростью, равной разности их первоначальных скоростей, то есть товарный у нас стоит, а пассажирский двигается со скоростью 90 - 30 = 60 км/ч В таком случае передняя точка пассажирского поезда проходит сначала длину товарного, а затем собственную длину пассажирского, так как он прошел мимо товарного. То есть расстояние, если длину пассажирского принять за х км, будет равно х + 0,6 (0,6 - это 600 метров, выраженное в километрах), за время 1/60 часа ( это 1 минута ). Тогда: $$\frac{x+0,6}{60} = \frac{1}{60} $$ $$x+0.6 = 1$$ $$x = 0.4$$ - длина пассажирского в км. Тогда в метрах 0,4*1000=400 метров
Задание 3374
90% рабочих предприятия стали работать на 50% производительней, а производительность остальных рабочих снизилась на 10%. На сколько процентов возросло производство продукции на предприятии?
Пусть х - число рабочих, у - производительность одного ху - была производительность общая $$0,9x\cdot1,5y+0,1x\cdot0,9y=1,44xy$$ - стала $$xy-100$$ % $$1,44xy-a$$ % $$a=\frac{1,44xy\cdot100}{xy}=144$$ % $$144-100=44$$ %
Задание 3422
Двое рабочих получили задание сделать 72 детали. Первый рабочий сделал за 3 часа часть задания, а затем второй рабочий сделал за 4 часа оставшуюся часть задания. Сколько деталей делает за час первый рабочий, если 18 деталей он сделает на полчаса быстрее, чем второй рабочий?
Пусть х -количество дет/час 1ым
у - 2ым
$$\frac{18}{y}-\frac{18}{x}=\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{36}$$
$$\frac{1}{y}=\frac{1}{36}+\frac{1}{x}=\frac{x+36}{36x}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{72-3x}{\frac{36x}{x+36}}=4$$
$$(72-3x)(x+36)=4\cdot36x$$
$$72x+72\cdot36-3x^{2}-108x-144x=0$$
$$-3x^{2}-180x+72\cdot36=0$$
$$x^{2}+60x-864=0$$
$$D=3600+3456=7056=84^{2}$$
$$x_{1}=\frac{-60+84}{2}=12$$
Задание 3659
Теплоход прошел путь от пункта А до пункта В за 6 часов. В некоторый момент плавания с борта теплохода на воду была спущена моторная шлюпка, которая вернулась в пункт А и без задержки направилась в пункт В, прибыв туда одновременно с теплоходом. Теплоход и шлюпка двигались равномерно и без остановок, причём скорость шлюпки вдвое превышала скорость теплохода. Определите, через какое время после отплытия теплохода из пункта А на воду была спущена шлюпка? Ответ дайте в часах.
Пусть $$S=1$$ - расстояние от А до В. Раз теплоход плыл 6 часов, то $$\frac{1}{6}$$ - скорость теплохода. Тогда $$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$ - скорость шлюпки. Пусть х - расстояние от места спуска до А; $$\frac{1+x}{\frac{1}{3}}$$ - время шлюпки; $$\frac{1-x}{\frac{1}{6}}$$ - время теплохода
$$3(1+x)=6(1-x)$$
$$3+3x=6-6x$$ $$\Leftrightarrow$$
$$9x=3$$
$$x=\frac{1}{3}$$
$$t=\frac{1-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{1}=4$$ часа
$$\Rightarrow$$ $$6-4=2$$
Задание 3858
Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали с постоянными скоростями два автомобиля. Скорость первого автомобиля была в два раза больше скорости второго. Второй автомобиль прибыл в A на 1 час позже, чем первый прибыл в B. На сколько минут раньше произошла бы встреча автомобилей, если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью, что и первый?
Пусть $$2x-v_{1}$$; $$x-v_{2}$$; $$S_{AB}=1$$
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{2x}=1$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2x}=1$$ $$\Leftrightarrow x=0,5$$
Пусть $$t_{1}$$ - время встречи в первом случае:
$$t_{1}=\frac{1}{0,5+2\cdot0,5}=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}$$
Пусть $$t_{2}$$ - во втором:
$$t_{2}=\frac{1}{2\cdot0,5+2\cdot0,5}=\frac{1}{2}$$
$$t_{1}-t_{2}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$ (ч) - разница
$$\frac{1}{6}\cdot60=10$$ минут
Задание 4015
Из города A в город B одновременно выехали два автомобиля: первый со скоростью 65 км/ч, а второй—со скоростью 60 км/ч. Через 4 минуты следом за ними выехал третий автомобиль. Найдите скорость третьего автомобиля, если известно, что с момента, когда он догнал второй автомобиль, до момента, когда он догнал первый автомобиль, прошло 40 минут. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х - скорость 3го. К моменту выезда 3го первый прошел $$S_{1}=65\cdot\frac{24}{60}=26$$ км
Второй : $$S_{2}=65\cdot\frac{24}{60}=24$$
Время за которое догнал второго $$t_{2}=\frac{24}{x-60}$$
Первого: $$t_{1}=\frac{26}{x-65}$$
$$\frac{26}{x-65}-\frac{24}{x-60}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$$
$$\frac{26(x-60)-20(x-65)}{(x-65)(x-60)}=\frac{2}{3}$$
$$3(26x-1560-24x+1560)=2x^{2}-250x+7800$$
$$2x^{2}-256x+7800=0$$
$$x^{2}-128x+3900=0$$
$$D=16384-15600=784=28^{2}$$
$$x_{1}=\frac{128+28}{2}=78$$
$$x_{2}=\frac{128-28}{50}=50$$ - не может быть
Задание 4185
Петя сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 70 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?
Пусть $$S=1$$ - длина эскалатора; $$x$$ - скорость Пети в ступеньках, $$y$$ - скорость эскалатора
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=30\\\frac{1}{x-y}=70\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=\frac{1}{30}\\x-y=\frac{1}{70}\end{matrix}\right.$$
Сложим уравнения: $$2x=\frac{1}{30}+\frac{1}{70}=\frac{10}{210}=\frac{1}{21}$$; $$x=\frac{1}{42}$$
Тогда насчитал бы: $$\frac{1}{\frac{1}{42}}=42$$
Задание 4393
Имеются два сосуда с растворами кислоты различной концентрации. Первый содержит 5 кг раствора, а второй— 10 кг раствора. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 35%кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Пусть х - концентрация 1го , у - 2го, тогда: $$5x+10y=0,4\cdot15$$. Пусть взяли по 10 кг оба раствора, тогда: $$10x+10y=0,35\cdot20$$.
$$\left\{\begin{matrix}5x+10y=6\\10x+10y=7\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$5x=1$$; $$x=0,2$$. Кислоты в 1ом: $$5\cdot0,2=1$$
Задание 4570
Бригада маляров красит забор длиной 300 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за второй и предпоследний день в сумме бригада покрасила 50 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Пусть $$a_{1}$$ - число метров в первый день, $$n$$ - число дней, $$d$$ - увеличение ежедневное: $$a_{2}=a_{1}+d$$; $$a_{n-1}=a_{1}+d(n-2)$$; $$a_{2}+a_{n-1}=a_{1}+d+d_{n}-2d+a_{1}=$$ $$2a_{1}+d_{n}-d=2a_{1}+d(n-1)=50$$; $$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$; $$300=\frac{50}{2}\cdot n$$; $$n=\frac{300}{25}=12$$
Задание 4666
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 58%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вчетверо, общий доход семьи сократился бы на 6%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Пусть x - зарплата отца. Она увеличилась вдвое, то есть на х. При этом общий доход увеличился на 58%. То есть этот самый х и есть 58 процентов от общего дохода. Пусть y - стипендия дочери. Она уменьшилась в 4 раза, то есть на 3/4y. При этом общий доход упал на 6 процентов. То есть 3/4 у составляет 6 процентов от общего дохода, тогда y составляет 8 процентов от общего. Тогда зарплата матери будет составлять 100 - 58 - 8 =34 процента
Задание 4816
Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть—со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть—со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Пусть 3S - полное расстояние. Тогда время на первом участке : $$t_{1}=\frac{S}{12}$$. На втором участке: $$t_{2}=\frac{S}{16}$$. На третьем участке время: $$t_{3}=\frac{S}{24}$$ Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени: $$v=\frac{3S}{\frac{S}{12}+\frac{S}{16}+\frac{S}{24}}=$$$$\frac{3S}{\frac{9S}{48}}=\frac{3S*48}{9S}=16$$
Задание 4860
По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй ‐ длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго сухогруза составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
Необходимо понять, как протекает данный процесс. За точку, которая передвигается, принимается нос второго сухогруза. В таком случае он проходит сначала расстояние 400 метров, потом длину первого 120 метров, потом свою длину 80 метров, и только с этого момента начинает его опережать, то есть проходит еще 600 метров. В таком случае общий путь S=1200 метров = 1,2 км. Далее можно рассмотреть эту задачу немного иначе. Раз один догоняет другого, мы можем представить, что первый стоит, а второй двигается к нему со скоростью, равной разности их скоростей, то есть то, что мы ищем. Время представляем в часах: 0,2 часа. И далее применяем стандартную формулу нахождения скорости через расстояние и время. Получаем: $$v=\frac{1,2}{0,2}=6$$