ЕГЭ Профиль
Задание 6921
Товарный поезд движется со скоростью 35 км/ч. По соседним путям его обгоняет электричка, идущая со скоростью 95 км/ч. Длина товарного поезда равна 780 м. Найдите длину электрички (в метрах), если известно, что мимо товарного поезда она прошла за 54 секунды.
Пусть x км. - длина электрички , тогда $$t=\frac{S}{v}$$, где S км.- сумма длин поездов ,v км\ч. –разность скоростей, t ч. –время обгона.
$$\frac{54}{3600}=\frac{0,78+x}{95-35}\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{200}=\frac{0,78+x}{60}\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{20}=\frac{0,78+x}{6}\Leftrightarrow$$ $$15,6+20x=18\Leftrightarrow$$ $$20x=2,4\Leftrightarrow$$ $$x=0,12$$ км. $$\Rightarrow$$ 120 метров
Задание 6969
Из пункта F круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 15 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Пусть x км\ч– скорость велосипедиста , y км\ч – скорость мотоциклиста. Раз выехал через 30 минут (0,5 часа) и догнал через 15 минут (0,25 часа) , то: $$(0,5+0,25)x=0,25y\Leftrightarrow$$$$y=3x$$. Раз второй раз догнал (опередил на 30 км.) через 30 минут (0,5 часа) , то: $$0,5y-0,5x=30\Leftrightarrow$$$$y-x=60$$. Тогда : $$3x-x=60\Rightarrow$$ $$x=30\Rightarrow$$ $$y=90$$
Задание 7016
Катер и плот одновременно отплыли вниз по реке. Пройдя 16 км, катер развернулся и пошел вверх по реке. Пройдя 12 км, он встретился с плотом. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч? Ответ выразите в км/ч.
Так как катер проплыл вниз по течению 16 км, а вверх -12 км, то они встретились с плотом в 4 км. от старта. Т.к. скорость плота равна скорости течения , то время плота : $$t=\frac{4}{4}=1$$ час( как и время катера) .Пусть x км\ч –собственная скорость катера, тогда:
$$\frac{16}{x+4}+\frac{12}{x-4}=1 \Leftrightarrow$$ $$16x-64+12x+48=x^{2}-16\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-28x=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0\\x=28\end{matrix}\right.$$
Скорость не может быть нулевой $$\Rightarrow$$ 28 км\ч
Задание 7036
Товарный поезд каждую минуту проезжает на 500 метров меньше, чем скорый, и на путь в 120 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.
За минуту на 500м =0,5 км. , следовательно, за час: 0,5*60=30км. Пусть x км\ч – скорость товарного, тогда x+30 км\ч – скорость скорого. $$\frac{120}{x}$$ - время товарного , $$\frac{120}{x+30}$$ – время скорого.
$$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+30}=2\Leftrightarrow$$ $$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+30}=1\Leftrightarrow$$$$60x+1800-60x=x^{2}+30x\Leftrightarrow$$ $$x^{2}+30x-1800=0$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-30\\x_{1}*x_{2}=-1800\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=-60\\x_{2}=30\end{matrix}\right.$$.
Скорость не может быть отрицательной $$\Rightarrow$$ 30 км/ч
Задание 7057
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 120 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Пусть x км\ч –скорость второго. Тогда время в часах , за которое первый опережает второго на S км. :$$ t=\frac{S}{120-x}$$, следовательно, $$\frac{10}{120-x}=\frac{20}{60}\Leftrightarrow$$ $$\frac{10}{120-x}=\frac{10}{30}\Leftrightarrow$$ $$120-x=30\Leftrightarrow$$ $$x=90$$
Задание 7104
Три числа составляют арифметическую прогрессию. Если первые два оставить, а к третьему прибавить сумму двух первых, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
Пусть первое число – x, третье - y, тогда по свойству арифметической прогрессии, второе: $$\frac{x+y}{2}$$
Прибавим к третьему сумму первых двух, тогда она составит : $$y+x+\frac{x+y}{2}=\frac{3(x+y)}{2}$$
Знаменатель геометрической прогрессии- отношение последующего члена к предыдущему (третьего ко второму) : $$q=\frac{3(x+y)}{2} \frac{x+y}{2}=3$$
Задание 7177
Сцепленные зубчатые колеса вместе в сумме делают 240 оборотов в минуту. Найдите количество зубьев у второго колеса, если у первого их 100, и делает оно на 80 оборотов в минуту больше, чем второе колесо.
Пусть x-количество оборотов второго колеса, тогда $$x+80$$ - первого и $$x+x+80=240\Leftrightarrow$$ $$2x=160$$$$\Leftrightarrow$$ $$x=80$$ - второе колесо, 160-первое.
Первое колесо за 160 оборотов пройдет $$160*100=16000$$ зубьев. Второе пройдет столько же, но за 80 оборотов, следовательно , у него $$\frac{16000}{80}=200$$ зубьев.
Задание 7197
От пристани одновременно отправились катер и плот. Через 9 км катер развернулся и, пройдя еще 13 км, догнал плот. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 22 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Сначала катер поплыл вниз по течению. Пусть скорость течения составляет х км\ч , тогда катер до момента разворота потратил $$\frac{9}{22+x}$$ часов, затем $$\frac{13}{22+x}$$ часов. При этом плот уплыл на 13-9=4 км от пристани и потратил $$\frac{4}{x}$$ часа $$\Rightarrow$$ $$\frac{9}{22-x}+\frac{13}{22+x}=\frac{4}{x}\Leftrightarrow$$ $$x(9(22+x)+13(22-x))=4(484-x^{2})\Leftrightarrow$$ $$x(484-4x)=4(484-x^{2})|:4\Leftrightarrow$$ $$121x-x^{2}=484-x^{2}\Leftrightarrow$$ $$121x=484\Leftrightarrow$$ $$x=4$$ км\ч
Задание 7218
Сколько литров воды необходимо добавить к 0,5л 96%‐го раствора спирта, чтобы получить 40%‐й раствор спирта?
Количество спирта в 96% растворе:
$$x=\frac{0,5*96}{100}=0,48$$ л.
При этом это количество составляет 40%
$$y=\frac{0,48*100}{40}=1,2$$ л
Следовательно, необходимо добавить 1,2-0,5=0,7 л. воды
Задание 7320
Для консервирования 10 кг баклажан необходимо 0,5 л столового уксуса (10%‐й раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80%‐й раствор уксусной кислоты). Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобится хозяйке для консервирования 20 кг баклажан?
Для консервирования 20 кг понадобится 1 л 10 % раствора. В данном растворе содержится 1*0,1=0,1 л уксусной кислоты . При этом в эссенции ее 80% тогда:
$$x=\frac{0,1*100}{80}=0,125$$ л необходимо 80% раствора или 125 мл
Задание 7360
Бригада, состоящая из двух рабочих 4‐го разряда и трёх рабочих 5‐го разряда, выполняет работу за два часа. Если к этой бригаде добавить ещё двух рабочих 4‐го разряда, то работа будет выполнена за полтора часа. Сколько рабочих 4‐го разряда нужно добавить к этой бригаде, чтобы работа была выполнена за 1 час?
Задание 7409
Из городов A и B навстречу друг другу одновременно выехали с постоянными скоростями два автомобиля. Скорость первого автомобиля была в полтора раза больше скорости второго. Второй автомобиль прибыл в A на 5 часов позже, чем первый прибыл в B. На сколько минут раньше произошла бы встреча автомобилей, если бы второй автомобиль ехал с той же скоростью, что и первый?
Задание 7511
Собственная скорость теплохода равна 20 км/ч, скорость течения реки равна 4 км/ч. Теплоход проплыл от одной пристани до другой и вернулся обратно. Найдите среднюю скорость теплохода на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Пусть S км - расстояние, пройденное в одну сторону, тогда время движения по течению: $$t_{1}=\frac{S}{20+4}$$, против течения: $$t_{2}=\frac{S}{20-4}$$. Тогда средняя скорость составит: $$v=\frac{S+S}{t_{1}+t_{2}}=\frac{2S}{\frac{S}{24}+\frac{S}{16}}=19,2$$
