ЕГЭ Профиль
Задание 6227
Иван и Алексей договорились встретиться в Н‐ске. Они едут к Н‐ску разными дорогами. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в 168 км от Н‐ска и едет с постоянной скоростью 72 км/ч. Иван в момент звонка находится в 165 км от Н‐ска и ещё должен по дороге сделать 30‐минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в Н‐ск одновременно с Алексеем?
Время Алексея: $$t_{1}=\frac{168}{72}=\frac{7}{3}$$. Т.к. Иван делает остановку $$\frac{1}{2}$$ часа, то время его движения : $$\frac{7}{3}-\frac{1}{2}=\frac{11}{6}$$(часа) Получаем $$\frac{165}{x}=\frac{11}{6}$$,где x(км\ч)-скорость Ивана $$x=\frac{168*6}{11}=90$$(км\ч)
Задание 6275
Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 12 рабочих, а во второй – 21 рабочий. Через 10 дней после начала работы в первую бригаду перешли 12 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.
Пусть x-производительность одного рабочего, 1-объем работы, y- количество дней работы после перехода: $$\left\{\begin{matrix}21x*10+9x*y=1|*8 & & \\12x*10+24xy=1 |*3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1680x+72xy=8\\360x+72xy=3\end{matrix}\right.$$ Вычтем из первого уравнения второе $$1320x=5$$ $$x=\frac{5}{1320}=\frac{1}{164}$$ $$120*\frac{1}{264}+\frac{24}{264}y=1$$ $$\frac{y}{11}=\frac{144}{264}=\frac{6}{11}$$ $$y=6$$ Общее количество дней 10+6=16
Задание 6323
Две точки равномерно вращаются по окружности. Первая совершает оборот на 5 секунд быстрее второй и делает за минуту на 2 оборота больше, чем вторая. Сколько оборотов в минуту совершает вторая точка?
Пусть x-количество оборотов в минуту первой, y- количество оборотов в минуту второй, тогда если оборот принять за 1:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{5}{60} \\1*x-1*y=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{12} \\x=2+y(2)\end{matrix}\right.$$
Подставим (2) в первое уравнение:
$$\frac{1}{y}-\frac{1}{2+y}=\frac{1}{12}\Leftrightarrow$$ $$12(2+y-y)=2y+y^{2}\Leftrightarrow$$$$y^{2}+2y-24=0$$
$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=-2 \\y_{1}*y_{2}=-24 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=-6 \\y_{2}=4 \end{matrix}\right.$$
Отрицательной скорость быть не может, следовательно, второе тело совершает 4 оборота в минуту
Задание 6370
Из города A в город B одновременно выехали два автомобиля: первый со скоростью 80 км/ч, а второй—со скоростью 60 км/ч. Через полчаса следом за ними выехал третий автомобиль. Найдите скорость третьего автомобиля, если известно, что с момента, когда он догнал второй автомобиль, до момента, когда он догнал первый автомобиль, прошёл 1 час 15 минут. Ответ дайте в км/ч.
За полчаса первый проедет 40 км., второй 30 км. Тогда время , за которое догонит третий второго: $$t_{2}=\frac{30}{x-60}$$, первого: $$t_{1}=\frac{40}{x-80}$$, где x-км\ч скорость третьего
$$\frac{40}{x-80}-\frac{30}{x-60}=$$$$1\frac{15}{60}=\frac{5}{4}| : \frac{5}{4}$$
$$\frac{32}{x-80}-\frac{24}{x-60}=1\Leftrightarrow$$$$32x-60*32-24x+24*80=x^{2}-140x+4800\Leftrightarrow$$$$x^{2}-140x -8x+4800=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-148x+4800=0\Leftrightarrow$$
D=21904-19200=2704
$$x_{1}=\frac{148+52}{2}=48<80$$
$$x_{2}=\frac{148+52}{2}=100$$ км/ч - скорость 3го
Задание 6417
Лида спустилась по движущемуся эскалатору за 24 секунды. По неподвижному эскалатору с той же скоростью относительно него она спустится 42 секунды. За сколько секунд она спустится, стоя на ступеньках движущегося эскалатора?
Пусть x (частей эскалатора в секунду)-скорость Лиды , y –скорость эскалатора . Тогда , если эскалатор взять за 1:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=24\\\frac{1}{x}=42\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}24x+24y=1\\x=\frac{1}{42}\end{matrix}\right.$$
$$24*\frac{1}{42}+y*24=1\Leftrightarrow$$$$24y=1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}\Leftrightarrow$$$$y=\frac{3}{7*24}=\frac{1}{56}$$
$$t_{y}=\frac{1}{\frac{1}{56}}=56$$ секунд
Задание 6465
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.
Представим круг в виде отрезка с концами A и B. Пусть S –расстояние от B до места встречи, тогда S+0,1 км - из A. Пусть x км\ч –скорость тела из A, y км\ч из B. Первое тело до B доедет через 9 минут после встречи ,т.е. $$\frac{S}{x}=\frac{9}{60}(1)$$, второе до A через 16,т.е. $$\frac{S+0,1}{y}=\frac{16}{60}(2)$$
При этом , раз они встретились , то $$\frac{S+0,1}{x}=\frac{S}{y}(3)$$
Выразим в (1) и (2) x и y:
$$(1): x=\frac{60S}{9}=\frac{20 S}{3}$$
$$(2) :y=\frac{15(S+0,1)}{4}$$
Представим в (3) :$$\frac{3(S+0,1)}{20S}=\frac{4S}{15(S+0,1)}$$
$$45(S+0,1)^{2}=80S^{2}|*5$$
$$9(S+0,1)^{2}=16S^{2}$$
$$\left\{\begin{matrix}3(S+0,1)=4S\\3(S+0,1)=-4S\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3S+0,3=4S\\ \varnothing\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow S=0,3$$
Тогда вся трасса 0,3+0,1+0,3=0,7 км. Или 700 метров.
Задание 6519
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Пусть x- кол-во вопросов в тесте. Тогда : время Пети : $$t_{2}=\frac{x}{8}$$; Вани : $$t_{2}=\frac{x}{9}$$. При этом $$t_{1}-t_{2}=20$$ минут $$=\frac{1}{3}$$ часа.
$$\frac{x}{8}-\frac{x}{9}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x-8x}{8*9}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x}{8*9}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{8*9}{3}=24$$ вопроса
Задание 6566
По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
Пусть x км\ч –разница скоростей сухогрузов. Тогда, точка на носу второго сухогруза пройдет расстояние : 400+120+80+600 метров=1,2 км.( нагнал(400), поравнялись носы (120), опередил (80), удалился (600) ) за 12 минут ($$\frac{12}{60}*\frac{1}{5}$$ часа ):$$\frac{1,2}{\frac{1}{5}}=6$$ км\ч –разница
Задание 6613
Секретарю фирмы поручили разослать письма адресатам по списку. Секретарь, отдав своему помощнику часть списка, содержащую 80% адресатов, взял оставшуюся часть себе и разослал письма по своей части списка за время, в 6 раз меньшее, чем помощник – по своей. Сколько процентов списка адресатов секретарь должен был сразу отдать помощнику (взяв себе остальные), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время?
Пусть S-кол-во адресатов, x-число адресатов в час секретарем , y-помощником . Тогда
$$\frac{0,2S}{x}$$-время секретаря ,
$$\frac{0,8S}{y}$$-время помощника.
$$6*\frac{0,2S}{x}=\frac{0,8S}{y}|:S\Leftrightarrow$$ $$\frac{1,2}{x}=\frac{0,8}{y}|:0,4\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{x}=\frac{2}{y}\Leftrightarrow$$ $$2x=3y\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{3y}{2}$$
То есть скорость секретаря в полтора раза выше $$\Rightarrow$$ объем должна взять в полтора раза больше. Пусть V - объем работы помощника: $$1,5V+V\Rightarrow 2,5V=100$$%$$\Rightarrow$$ $$V=0,4 (2,5V) \Rightarrow 40$$% помощнику надо отдать
Задание 6661
Подарочный набор состоит трех сортов конфет. Массы конфет первого, второго и третьего сорта в этом наборе относятся как 1:2:8. Массу конфет первого сорта увеличили на 20% ,а второго – на 6%. На сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса набора не изменилась?
Пусть x - масса первого сорта, тогда 2x - второго, 8x - третьего. Общая : 11x.
После увеличения: $$x\rightarrow 1,2x$$; $$2x\rightarrow 2,12x$$.
Тогда масса третьих должна быть: $$11x-1,2x-2,12x=7,68x.$$
Получим , что новая масса составляет :$$\frac{7,68x}{8x}*100=96$$%. Следовательно, надо уменьшить на 4%
Задание 6696
Компания "Альфа" начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания "Бета" начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Раз прибыль составляет 200% (400%) от предыдущего капитала, то сам капитал увеличивался в 3 (5) раз в соответствии с предыдущим годом . Т.е. имеем геометрические прогрессии с $$q_{1} =3$$; $$q_{2}=5$$; $$n_{1}=2006-2000=6$$; $$n_{2 }=2006-2002=4$$ .(вычитается на 1 год раньше , так как первый год учитывался и является первым членом геометрической прогрессии)
Тогда: $$b_{6}=5000*3^{6-1}=1215000$$(Альфа)
$$b_{4}=1000*5^{4-1}=1250000$$(Бета)
Разница в капитале : $$1250000-1215000=35000$$
Задание 6755
Игорь и Паша могут покрасить забор за 9 часов. Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?
Пусть x - производительность Игоря, y - Паши, z - Володи(в частях забора в час) . Весь забор примем за 1.
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=9\\\frac{1}{y+z}=12\\\frac{1}{x+z}=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=\frac{1}{9}\\y+z=\frac{1}{12}\\x+z=\frac{1}{18}\end{matrix}\right.$$
Сложим уравнения:
$$2(x+y+z)=\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow$$ $$x+y+z=\frac{1}{8}\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{x+y+z}=8$$ часов
Задание 6802
Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
$$t_{1}=\frac{190}{50}=\frac{19}{5}$$ часа
$$t_{2}=\frac{180}{90}=2$$ часа
$$t_{3}=\frac{170}{100}=\frac{17}{10}$$ часа
$$S=190+180+170=540$$ км.
$$v=\frac{S}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}=\frac{540}{3,8+2+1,7}=72$$ км\ч
Задание 6822
Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час после этого—третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.
Пусть x км\ч –скорость третьего . К моменту его выезда, первый ехал 2 часа, и проехал 15*2=30км , второй- 1 час $$\Rightarrow$$ 10*1=10 км. Тогда:
$$t_{2}=\frac{10}{x-10}$$ - время , через которое третий догонит второго.
$$t_{1}=\frac{30}{x-15}$$ - первого.
$$t_{1}-t_{2}=2\frac{20}{60}\Leftrightarrow$$ $$\frac{30}{x-15}-\frac{10}{x-10}=\frac{7}{3}\Leftrightarrow$$ $$3(30x-300-10x+150)=7(x^{2}-25x+150)\Leftrightarrow$$ $$60x-450=7x^{2}-175x+1050\Leftrightarrow$$ $$7x^{2}-235x+1500=0$$
$$D=55225-42000=13225=115^{2}$$
$$x_{1}=\frac{235+115}{14}=25$$
$$x_{2}=\frac{235-115}{14}=\frac{60}{7}$$ < скорости первого, не подходит
Задание 6873
Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй − 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Пусть x кг –масса первого сплава, y кг - масса второго. В первом никеля 0,1 x кг, во втором : 0,3y кг. Тогда:
$$\left\{\begin{matrix}x+y=200\\0,1x+0,3y=0,25*200\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=200\\0,1x+0,3y=50|*10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=200\\x+3y=500\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$3y-y=500-200\Leftrightarrow$$ $$y=150\Rightarrow$$ $$x=50$$
Тогда 150-50=100 кг-разница