Окружности и четырёхугольники

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

а) Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$COD$$: углы $$ABD$$ и $$BDC$$ при секущей $$BD$$ не равны. Тогда, так как треугольники $$ABO$$ и $$COD$$ подобны, углы $$ABO$$ и $$DCO$$, а также $$BAO$$ и $$CDO$$ равны. Аналогично для треугольников $$AOD$$ и $$BDC$$. Сумма углов $$ABO$$ и $$OBC$$ не равна $$90^{\circ}$$, следовательно, конфигурацию можно представить приведенным рисунком. Заметим, что $$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$$, cледовательно, вокруг четырехугольника $$ABCD$$ можно описать окружность.

б) Пусть $$BO = a, OC = b$$, тогда: $$OD=OC\cdot\frac{b}{a}=\frac{b^{2}}{a}$$, $$BO=OA\cdot \frac{AO}{OD}\Leftrightarrow a=\frac{AO^{2}}{b^{2}}\Leftrightarrow AO=b$$

Из этого следует, что стороны AO и OC равны: $$AO=OC=5.$$

Пусть $$OB=x$$, тогда $$OD=\frac{25}{x}=26-x$$ Тогда: $$x^{2}-26x+25=0$$ 

$$x=1$$, $$x=25$$.

С учетом симметрии, можно выбрать любое из найденных значений x.

Пусть длина $$OB$$ равна 1, длина $$OD$$ равна 25, тогда:

$$AB=BC=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$$, $$AD=DC=\sqrt{25+625}=\sqrt{650}=5\sqrt{26}$$.

Найдем полупериметр четырехугольника:

$$ABCD$$: $$p_{ABCD}=\frac{2\cdot \sqrt{26}+2\cdot 5\sqrt{26}}{2}=6\sqrt{26}$$.

Найдем площадь четырехугольника $$ABCD$$:

$$S_{ABCD}=2S_{BAD}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot AO\cdot BD=5\cdot 26=130$$.

Вычислим искомый радиус:

$$r=\frac{S_{ABCD}}{p_{ABCD}}=\frac{130}{6\sqrt{26}}=\frac{62\sqrt{26}}{3\cdot 26}=\frac{5\sqrt{26}}{6}$$.

Осталось отметить, что диагональ $$АС$$ может является другой диагональю дельтоида и биссектрисой его углов. В этом случае аналогичное приведенному выше квадратное уравнение имеет вид $$x^{2}-5x+169=0$$, и не имеет корней. Следовательно, такая конфигураций невозможна.

а) Треугольники AOB и BOC подобны, поэтому угол BAO равен либо углу BCO, либо углу CBO. Пусть BAO=BCO, тогда треугольник ABC равнобедренный, AB=BC. Рассмотрим треугольник DCO. Угол DCO не может быть равен углу BAO, поскольку стороны AB и DC не параллельны, следовательно, DCO=ABO. Аналогично DAO=CBO=ABO, следовательно, треугольник ​ADC равнобедренный и AD = DC. Тогда AB+DC=AD+BC, следовательно, в четырехугольник ABCD можно вписать окружность, что и требовалось доказать.

Пусть BAO=CBO, тогда, рассуждая аналогично, получим AB=AD и BC=CD, следовательно, AB+CD=AD+ВC и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим угол BCD:

$$\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=\alpha+\beta$$,

так как все треугольники прямоугольные. Следовательно,

$$\alpha+\beta=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$$.

$$\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=90^{\circ}$$,

а потому четырехугольник ABCD является вписанным. Тогда диагональ ​​​​​​​BD — диаметр окружности.

Получаем: $$CO=\frac{CA}{2}=6$$, а $$BO\cdot OD=CO^2$$, откуда

$$x(13-x)=36\Leftrightarrow x^2-13x+36=0$$

$$x=4$$

$$x=9$$

Не нарушая общности, положим длину BO равной 4, а длину OD равной 9, тогда в треугольнике BOC:

$$BC=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$,

$$CD=\sqrt{OD^2+CO^2}=\sqrt{81+36}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$$.

Далее найдем полупериметр и площадь четырехугольника и радиус вписанной окружности:

$$p=2\sqrt{13}+3\sqrt{13}=5\sqrt{13}$$,

$$S=\frac{12\cdot13}{2}=78$$,

$$S=r\cdot p\Leftrightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{78}{5\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{5}$$.

Осталось отметить, что диагональ ​​АС может является другой диагональю четырехугольника и биссектрисой его углов. В этом случае аналогичное приведенному выше квадратное уравнение не имеет корней. Следовательно, такая конфигураций невозможна.