ЕГЭ Профиль
Задание 14498
а) Дана трапеция $$ABCD,$$ в которой $$M$$ – середина $$BC,$$ а $$N$$ – середина $$AD$$ (см. рисунок ниже). Следовательно,
$$BM=MC$$ и $$AN=ND$$ (1).
По условию задания в трапецию $$ABMN$$ можно вписать окружность, значит, суммы ее противоположных сторон равны:
$$AB+MN=BM+AN,$$
откуда
$$MN=BM+AN-AB.$$
Аналогично для трапеции $$MCDN:$$
$$CD+MN=MC+ND$$
$$MN=MC+ND-CD$$
Приравниваем два выражения для $$MN,$$ имеем:
$$BM+AN-AB=MC+ND-CD$$
и, учитывая равенство (1), получаем:
$$-AB=-CD$$
$$AB=CD$$
Получаем равенство боковых сторон, значит, трапеция $$ABCD$$ – равнобедренная.
б) Так как радиус вписанных окружностей равен $$4,$$ значит, высота трапеции $$MN=2\cdot4=8.$$ Также по условию дана длина $$BC=14$$ и, следовательно, $$BM=\frac{BC}{2}=\frac{14}{2}=7.$$ Обозначим $$BF$$ через $$x$$ (см. рисунок ниже). Тогда $$BM_1=x$$ как отрезки касательных.
Получаем, что $$M_1M=7-x,$$ поэтому и $$MZ=7-x,$$
$$NZ=MN-MZ=8-(7-x)=x+1,$$
следовательно, $$N_1N=x+1$$ (так как соответствующие отрезки касательных равны). Так как $$MZ=ZN$$ (радиус $$O_1Z$$ вписанной окружности будет параллелен основаниям трапеции), имеем:
$$7-x=x+1$$
$$2x=6$$
$$x=3$$
Значит, $$BF=BM_1=3.$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BO_1A$$ (он прямоугольный, так как $$AO_1$$ и $$BO_1$$ – биссектрисы,
а $$\angle A+\angle B=180^{\circ},$$ поэтому $$\angle BO_1A=90^{\circ}$$).$$ Квадрат высоты $$OF_1,$$ проведенной из прямого угла, равен:
$$O_1F^2=BF\cdot FA$$
$$4^2=3\cdot FA$$
$$FA=\frac{16}{3}$$
и по теореме Пифагора
$$O_1A=\sqrt{O_1F^2+FA^2}$$
$$O_1A=\sqrt{16+\frac{16^2}{9}}=\frac{20}{3}$$
Обозначим радиус малой окружности $$AO=y,$$ тогда
$$OA=O_1A-OO_1=O_1A-(4+y)$$
$$OA=\frac{20}{3}-4-y=\frac{8}{y}-y$$
Учитывая, что треугольники $$AFO_1$$ и $$AYO$$ подобны по двум углам, можем записать отношение:
$$\frac{y}{4}=\frac{AO}{AO_1}$$
$$\frac{y}{4}=\frac{\frac{8}{3}-y}{\frac{20}{3}}$$
$$32-12y=20y$$
$$y=1$$
Задание 14882
Задание 16091
Задание 16111
Задание 16495
В трапеции $$ABCD$$ с меньшим основанием $$BC$$ точки $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AD$$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $$ABEF$$ и $$ECDF$$ можно вписать окружность.
Задание 16538
В трапеции $$ABCD$$ с меньшим основанием $$ВС$$ точки $$Е$$ и $$F$$ — середины сторон $$ВС$$ и $$AD$$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $$ABEF$$ и $$ECDF$$ можно вписать окружность.
Задание 16559
В трапеции $$ABCD$$ с меньшим основанием $$BC$$ точки $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AD$$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $$ABEF$$ и $$ECDF$$ можно вписать окружность.
Задание 16775
На сторонах $$AB$$ и $$CD$$ четырёхугольника $$ABCD$$, около которого можно описать окружность, отмечены точки $$K$$ и $$N$$ соответственно. Около четырёхугольников $$AKND$$ и $$BCNK$$ также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника $$ABCD$$ равен 0,25.
Задание 16793
На сторонах $$AB$$ и $$CD$$ четырёхугольника $$ABCD$$, около которого можно описать окружность, отмечены точки $$K$$ и $$N$$ соответственно. Около четырёхугольников $$AKND$$ и $$BCNK$$ также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника $$ABCD$$ равен 0,2.
Задание 17884
В равнобедренной трапеции $$ABCD$$ боковая сторона $$AB$$ равна $$a$$, а основание $$AD=c$$ больше основания $$BC=b$$. Построена окружность, касающаяся сторон $AB$, $$CD$$ и $$AD$$.