Многоугольники и их свойства

В выпуклом четырехугольнике ABCD точка Е - точка пересечения диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DCE равна 1.

а) Докажите, что ABCD - трапеция

б) Найдите ВС, если площадь всего четырехугольника не превосходит 4, и AD = 3.

Биссектрисы углов С и D четырехугольника ABCD пересекаются в точке К. Диагональ BD разбивает отрезок КС в отношении 2:1, считая от вершины С. При этом площадь треугольника ACD в два раза больше площади треугольника AKD.

а) Докажите, что угол CKD прямой

б) Найдите ВК, если ВС=6

Точка Е - середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки ВЕ и СК пересекаются в точке L.

а) Докажите, что EL - медиана треугольника КСЕ

б) Найдите отношение площади треугольника ВLC к площади четырехугольника AKCD, если площадь трапеции ABCD равна 100, а $$BC:AD=2:3$$.

Хорды АС и BD пересекаются в точке Т. На хорде ВС отложен отрезок СР, равный AD. Точки Р и D равноудалены от хорды АС, а отрезок ТР перпендикулярен хорде ВС.

а) Докажите, что площади четырехугольников ABPD и APCD равны.

б) Найдите эти площади, если площадь треугольника ATD равна трем.

На стороне АВ выпуклого четырехугольника АВCD выбрана точка М так, что $$\angle AMD$$=$$\angle ADB $$ и $$\angle ACM$$=$$\angle ABC $$. Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки С до прямой AD равен 2, СD=20.

На стороне АВ треугольника АВС взята точка Е, а на стороне ВС ‐ точка D так, что АЕ=2, CD=1. Прямые AD и СЕ пересекаются в точке О. Известно, что АВ=ВС=8, АС=6.

Дан АВС с тупым углом С и со стороной АВ=21. К прямым ВС и АС проведены высоты АН₁и ВН₂. Известно, что 17АН = 30R, 5ВН = 6R, где Н – точка пересечения прямых АН₁и ВН₂, R – радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Диагонали $$AC$$ и $$CE$$ правильного шестиугольника $$ABCDEF$$ разделены точками $$M$$ и $$N$$ так, что $$AM:AC=CN:CE$$ и точки $$B$$, $$M$$ и $$N$$ лежат на одной прямой.

В параллелограмме $$ABCD$$ угол $$BAC$$ вдвое больше угла $$CAD$$. Биссектриса угла $$BAC$$ пересекает отрезок $$BC$$ в точке $$L$$. На продолжении стороны $$CD$$ за точку $$D$$ выбрана такая точка $$Е$$, что $$AE=CE$$.

Точка М лежит на стороне ВС выпуклого четырехугольника ABCD, AB=BM, MC=CD. Биссектрисы углов АВС и BCD пересекаются в точке Р, лежащей на стороне AD.

А) Докажите, что четырехугольник ABCD - трапеция

Б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что BM:CM=1:3 и площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АМ, DM, BP и СР, равна 18.

В трапеции KLMN основания LM и KN равны 2 и 8 соответственно. Из точки Е, лежащей на стороне MN, опущен перпендикуляр EF на сторону KL. Известно, что F -середина стороны KL, FM = 3 и что площадь четырехугольника KFEN в четыре раза больше площади четырехугольника LFEM

а) Докажите, что FN || LE.

б) Найдите длину отрезка FN.

В выпуклом четырехугольнике KLMN точки Р и Q - середины сторон NK и LM соответственно. Диагональ КМ делит точкой пересечения отрезок PQ пополам.

а) Докажите, что площадь четырехугольника KLMN в 4 раза больше площади треугольника PMN.

б) Найдите синус угла между диагоналями четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон четырехугольника KLMN, если площадь PMN равна $$6\sqrt{3}$$, КМ = 12, NL = 8.

Прямая, перпендикулярная стороне $$B C$$ ромба $$A B C D$$, пересекает его диагональ $$A C$$ в точке $$M$$, а диагональ $$B D$$ в точке $$N$$, причём $$A M: M C=1: 2, B N: N D=1: 3$$.

Прямая, перпендикулярная стороне $$AB$$ ромба $$ABCD$$ пересекает его диагональ $$AC$$ в точке $$K$$, а диагональ $$BD$$ в точке $$L$$, причём $$AK:KC=1:3, BL:LD=2:1$$.