Многоугольники и их свойства

Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

В прямоугольнике ABCD AB = 2, $$BC=\sqrt{3}$$. Точка E на прямой AB выбрана так, что ∠AED = ∠DEC. Найдите AE.

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и $$\sin \angle AOB =\frac{3}{5}$$

Через середину стороны AB квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образующая с прямой AB угол α, tg α = 3. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 4.

Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100; AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D так, что BD : DC = 1 : 2. Медиана CE пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника ABC составляет площадь треугольника AEF?

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если AC = 6, AE = 2, CD = 3.

Площадь трапеции ABCD равна 560. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции в полтора раза больше другого.

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 34, AC = 65 и BC = 93. На стороне BC взята точка M, причём AM = 20. Найдите площадь треугольника AMB.

Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника ABE, если известно, что ∠ABE = ∠CBD = α и $$\tan \alpha = \frac{4}{3}$$

В прямоугольнике ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 10 на стороне AD расположены точки M и N таким образом, что DM = 4, при этом P — точка пересечения прямых BN и CM. Площадь треугольника MNP равна 1. Найдите длину отрезка, соединяющего точки M и N.

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Найдите BC если AB = 12.

Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен $$\frac{15}{17}$$. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удаленная от вершины A на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника BCE, если BC = 6, AC = 4.

Расстояния от точки M, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку M проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри угла.