Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем ОДЗ:$$\left\{\begin{matrix}x-1> 0\\ x-1 \neq 1\\ x+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$ x\in (1;2)\cup (2;+\infty )$$

Далее преобразуем неравенство используя свойства логарифмов:

$$\frac{1}{\log_{(x-1)} (4)} * \log_{x-1} (x+2)-\log_{4}^{2} (x+2)> 0\Leftrightarrow $$$$\frac{ \log_{x-1} (x+2)}{\log_{(x-1)} (4)}-\log_{4}^{2} (x+2)> 0 \Leftrightarrow $$$$\log_{4} (x+2)-\log_{4}^{2} (x+2)> 0 \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}\log_{4} (x+2)> 0\\ \log_{4} (x+2)< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x> -1\\x< 2\end{matrix}\right.$$

С учетом ОДЗ получаем: $$\left\{\begin{matrix}x> 1\\x< 2\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Область допустимых значений неравенства задается системой:

$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x^{2}-3>0\\x^{2}-3\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\\left[\begin{matrix}x>\sqrt{3}\\x<-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\x\neq \pm 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (\sqrt{3}2)\cup (2+\infty )$$

     Решение: $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq \log_{x^{2}-3}7+\log_{x^{2}-3}x\Leftrightarrow$$ $$\log_{x^{2}-3}(x^{2}+6)\geq \log_{x^{3}-3}(7x)\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}-3>1\\x^{2}+6\geq 7x\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}0<x^{2}-3<1\\x^{2}+6\leq 7x\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}-4>0\\x^{2}-7x+6\geq 0(1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x^{2}-3>0\\x^{2}-4<0\\x^{2}-7x+6\leq 0(2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

     Решим каждую из систем (1) ,(2) в отдельности:

(1): $$\left\{\begin{matrix}(x-2)(x+2)>0\\(x-1)(x-6)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x>2\\x<-2\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x\geq 6\\x\leq 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x<-2\\x\geq 6\end{matrix}\right.$$

(2): $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x>\sqrt{3}\\x<-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\-2<x<2\\1\leq x\leq 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{3}<x<2$$

     В итоге решением будет ялвяться: $$\left[\begin{matrix}x<-2\\x\geq 6\\\sqrt{3}<x<2\end{matrix}\right.$$

     С учетом области допустимых значений неравенства окончательно получим : $$x \in (\sqrt{3}; 2)\cup [6;+\infty )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\log_{64x}4*\log_{0,5}^{2}(8x)\leq 3$$

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}64x>0\\64x\neq 1\\8x>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x \neq \frac{1}{64}\\\end{matrix}\right.$$$$x\in (10 \frac{1}{64})\cup (\frac{1}{64}+\infty)$$

$$\frac{1}{\log_{4}64} +\log_{2}^{2}(8x)\leq 3\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{\log_{4}64+\log_{4}x}*(\log_{2}8+\log_{2}x)^{2}\leq 3\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{3+\frac{1}{2}\log_{2}x}*(3+\log_{2}x)^{2}\leq 3$$

Замена $$\log_{2}x=y$$

$$\frac{1}{3+0,5 y}(3+y)^{2}-3\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{9+6y+y^{2}-9-1,5y}{3+0,5 y}\leq 0\Leftrightarrow \frac{y^{2}+4,5 y}{0,5y+3}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{y(y+4,5)}{0,5y+3}\leq 0\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}y<-6\\\left\{\begin{matrix}y\geq -4,5\\y\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}\log_{2}x<-6\\\left\{\begin{matrix}\log_{2}x\geq -4,5\\log_{2}x\leq 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x<\frac{1}{64}\\\left\{\begin{matrix}x\geq \frac{1}{\sqrt{512}}\\x\leq 1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

С учетом ОДЗ:

$$x\in (0 ;\frac{1}{64})\cup [\frac{1}{16\sqrt{2}};1]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\log _{x^{2}}(3-x)\leq \log_{x+2}(3-x)$$

Найдем область определения функции:

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}>0 \\x^{2}\neq1 \\3-x>0\\x+2>0\\x+2 \neq1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x\neq 0 \\x \neq \pm 1 \\x<3 \\x>-2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$x \in (-2-;1)\cup (-1;0)\cup (0;1)\cup (1;3)$$

$$\frac{1}{\log _{3-x}x^{2}}-\frac{1}{\log_{3-x}(x+2)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{3-x}(x+2)-\log_{3-x}x^{2}}{\log_{3-x}x^{2}*\log_{3-x}(x+2)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{3-x}\frac{x+2}{x^{2}}}{\log_{3-x}x^{2}*\log_{3-x}(x+2)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{x^{2}} \frac{x+2}{x^{2}}}{\log_{3-x}(x+2)}\leq 0$$

Воспользуемся методом рационализации:

$$(\frac{x+2}{x^{2}}-1)(x^{2}-1)(3-x-1)(x+2-1)\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x+2-x^{2}-1}{x^{2}}*(x-1)(x+1)(2-x)(x+1)\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{-(x+1)(x-2)}{x^{2}}*(x-1)(x+1)^{2}(2-x)\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{(x+1)^{3}(x-2)^{2}(x-1)}{x^{2}}\leq 0$$

С учетом области определения: $$x \in (-1;0)\cup (0;1)\cup 2$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x> 0\\ x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ x \in (0;1)\cup (1;+\infty )$$

Выполним преобразования, используя формулы: $$\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} ; log_{c} ab = \log_{c}a + \log_{c} b$$ $$(\frac{1}{\log_{2}x}-1)(\log_{2}2+\log_{2}x)\leq \frac{3}{2}$$

Введем замену $$\log_{2}x=y$$

$$(\frac{1}{y}-1)(1+y)\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow$$$$ \frac{2(1-y)(y+1)-3y}{2y}\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{-2y^{2}-3y+2}{2y}\leq 0 |\cdot (-1) \Leftrightarrow$$$$ \frac{2y^{2}+3y-2}{y}\geq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{2(y-0,5)(y+2)}{y}\geq 0\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y\geq -2\\ y< 0\end{matrix}\right.\\ y\geq 0,5\end{matrix}\right.$$

Найдем промежутки, на которых будут положительные значения:

Выполним обратную замену:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\log_{2}x\geq -2\\ \log_{2}x< 0\end{matrix}\right.\\ \log_{2}x\geq 0,5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq \frac{1}{4}\\x< 1\end{matrix}\right.\\x\geq \sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$

С учетом ОДЗ получим: $$x \in \left [\frac{1}{4};1 \right )\cup \left [ \sqrt{2};+\infty \right )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$log_{\frac{1}{3}}\frac{x-4}{x+4}-log_{\frac{x+4}{x-4}}3> 0$$

ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}\frac{x-4}{x+4} > 0& & \\\frac{x-4}{x+4}\neq 1 & &\end{matrix}\right.x\in (-\infty ;-4)\cup (4; +\infty )$$

$$log_{3}\frac{x+4}{x-4}-\frac{1}{log_{3}\frac{x+4}{x-4}}> 0$$

Введем замену:

$$log_{3}\frac{x+4}{x-4}=a$$

Получим:

$$a-\frac{1}{a}> 0\Rightarrow \frac{a^{2}-1}{a}> 0$$

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>-1\\ a<0\end{matrix}\right.\\ a>1\end{matrix}\right.$$

Тогда:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\log_{3} \frac{x+4}{x-4}>-1\\ log_{3}\frac{x+4}{x-4}<0\end{matrix}\right.\\ log_{3}\frac{x+4}{x-4}>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\frac{x+4}{x-4}>\frac{1}{3}\\ \frac{x+4}{x-4}<1\end{matrix}\right.\\ \frac{x+4}{x-4}>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\frac{2x+16}{x-4}>0\\ \frac{8}{x-4}<0\end{matrix}\right.\\ \frac{-2x+16}{x-4}>0\end{matrix}\right.$$

Отметим решение внутренней системы (первые два неравенства):

Отметим решение третьего неравенства:

Отметим решение всей совокупности:

С учетом ОДЗ видим, что конечное решение будет: $$(-\infty ; -8)\cup (4;8)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\log_{8}(\frac{1}{3}-x)\log_{12x+\frac{1}{3}}(\frac{1}{3}-x)>\log_{2}\frac{(\frac{1}{3}-x)}{\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^{2}}}$$

     С учетом того, что $$\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^{2}} \geq 0$$ получаем следующую область определения $$D(x)$$:

$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{3}-x>0\\ |2x+\frac{1}{3}|>0\\ |2x+\frac{1}{3}|\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x<\frac{1}{3}\\ 2x+\frac{1}{3}\neq 0\\ 2x+\frac{1}{3}\neq 1\\ 2x+\frac{1}{3}\neq -1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x<\frac{1}{3}\\ x\neq -\frac{1}{6}\\ x\neq -\frac{1}{3}\\ x\neq -\frac{2}{3}\end{matrix}\right.$$

     Преобразуем правую часть неравенства: $$\log_{2}\frac{(\frac{1}{3}-x)}{\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^{2}}}=$$$$\log_{2}(\frac{1}{3}-x)-\log_{2}\sqrt[3]{(2x+\frac{1}{3})^{2}}=$$$$\log_{2}(\frac{1}{3}-x)-\frac{2}{3}\log_{2}|2x+\frac{1}{3}|$$

     Пусть $$a=\frac{1}{3}-x$$ и $$b=|2x+\frac{1}{3}|$$, тогда:

$$\frac{1}{3}\log_{2}a\log_{b}a-\log_{2}a+\frac{2}{3}\log_{2}b>0\Leftrightarrow$$$$\log_{2}a\log _{b}a(1-\frac{3}{\log_{b}a}+\frac{2 \log_{2}b}{\log_{2}a \log_{b}a})>0\Leftrightarrow$$$$\log_{2}a \log_{b}a(\frac{\log_{b}^{2}a-3\log_{b}a+2}{\log_{b}^{2}a})>0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{2}a}{\log_{b}a}(\log_{b}^{2}a-3\log_{b}a+2)>0\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{a}b}{\log_{a}2}(\log_{b}a-2)(\log_{b}a-1)>0\Leftrightarrow$$$$\log_{2}b(\log_{b}a-\log_{b}b^{2})(\log_{b}a-\log_{b}b)>0\Leftrightarrow$$

     Воспользуемся методами рационализации для логарифмов:

$$(b-1)(a-b^{2})(b-1)(a-b)(b-1)>0\Leftrightarrow$$$$(b-1)(a-b^{2})(a-b)>0$$

     Вернемся обратно к заменам:

$$(\left | 2x+\frac{1}{3} \right |-1)(\frac{1}{3}-x-(2x+\frac{1}{3})^{2})(\frac{1}{3}-x-\left | 2x+\frac{1}{3} \right |)\Leftrightarrow$$$$(\left | 2x+\frac{1}{3} \right |-1)(36x^{2}+21x-2)(\left | 2x+\frac{1}{3} \right |-\left | \frac{1}{3}-x \right |)>0$$

     С учетом D(f): $$\frac{1}{3}-x>0$$, при всех Х. Тогда $$\frac{1}{3}-x$$ мы можем представить, как $$|\frac{1}{3}-x|$$, а так же $$1=|1|$$ и воспользоваться методами рационализации для модулей:

$$(2x+\frac{1}{3}-1)(2x+\frac{1}{3}+1)(x-\frac{1}{12})(x+\frac{2}{3})(2x+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+x)(2x+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-x)>0\Leftrightarrow$$$$(2x-\frac{2}{3})(2x+\frac{4}{3})(x-\frac{1}{2})(x+\frac{2}{3})(3x)(x+\frac{2}{3})>0\Leftrightarrow$$$$(x+\frac{2}{3})(x-\frac{1}{3})(x-\frac{1}{12})x>0$$

     Получаем, что (промежутки выделены синим цветом): $$\left[\begin{matrix}x< -\frac{2}{3}\\ \left\{\begin{matrix}x> 0\\ x<\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\\ x> \frac{1}{3}\end{matrix}\right.$$

     С учетом $$D(x)$$: $$\left[\begin{matrix}x< -\frac{2}{3}\\\left\{\begin{matrix}x>0\\x<\frac{1}{12} \end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Область определения D(x):

$$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\\frac{x+1}{12x}>0\\\frac{x+1}{12}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\x+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\x>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x\in (0;1)\cup (1;+\infty )$$

     Разложим данные логарифмы:

$$\log_{x}(x+1)-(\log_{x}12+\log_{x}x)-\frac{2}{\log_{x}\frac{x+1}{12}}>0$$

$$\log_{x}(x+1)-\log_{x}12-1-\frac{2}{\log_{x}}\frac{x+1}{12}>0$$

$$\log_{x}\frac{x+1}{12}-\frac{2}{\log\frac{x+1}{12}}-1>0$$

$$\frac{\log_{x}^{2}\frac{+1}{12}-\log_{x}\frac{x+1}{12}-2}{\log_{x}\frac{x+1}{12}}>0$$

$$\frac{(\log_{x}\frac{+1}{12}-2)(\log_{x}\frac{x+1}{12}-1)}{\log_{x}\frac{x+1}{12}}>0$$

     Воспользуемся методом рационализации:

$$\frac{(x-1)(x+1-12x^{2})(x^{2}+x-12)}{(x+1-12)}>0$$

$$\frac{(x-1)(x-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{4})(x-2)(x+4)}{x-11}<0$$

     С учетом области определения:

$$x \in (\frac{1}{3};1)\cup (3 ;11)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\\frac{\sqrt{x}}{2}>0\\x\neq 1\\\log_{x}\frac{\sqrt{x}}{2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\(x-1)(\frac{\sqrt{x}}{2}-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\x \in (-\infty;1]\cup [4; +\infty )\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (0;1)\cup [4; +\infty )$$

     Решение: $$\log_{2}x\sqrt{\log_{x}\sqrt{x}-\log_{x}2}\leq 1\Leftrightarrow$$$$\log_{2}x\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{\log_{2}x}}\leq 1$$

     1) При $$x\in (0;1)$$: $$\log_{2}x<0\Rightarrow \log_{2}x\sqrt{\log_{x}\frac{\sqrt{x}}{2}}\leq 1$$ при всех x

     2) При $$x [4; +\infty )$$: $$\log_{2}x \geq 2$$. Замена $$\log_{2}x=y\geq 2$$. Получим: $$y\sqrt{\frac{y-2}{2y}}\leq 1$$. С учетом того, что $$y\geq 2$$ поделим обе части на $$y$$: $$\sqrt{\frac{y-2}{2y}}\leq \frac{1}{y}$$

     При $$y\geq 2$$, $$\frac{y-2}{2y}\geq 0$$ и $$\frac{1}{y}>0$$ при всех y,тогда: $$\frac{y-2}{2y}\leq \frac{1}{y^{2}}\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-2y-2}{2y^{2}}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$y^{2}-2y-2\leq 0\Leftrightarrow$$ $$y\in [1-\sqrt{3};1+\sqrt{3}]$$. С учетом $$y\geq 2$$: $$y\in [2;1+\sqrt{3}]$$

      Обратная замена: $$\left\{\begin{matrix}y\geq 2\\y\leq 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{2}x\geq 2\\\log_{2}x\leq 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq 4\\x\leq 2^{1+\sqrt{3}}\end{matrix}\right.$$

     Итого, объеденив решения (1) и (2): $$x \in (0;1)\cup [4;2^{1+\sqrt{3}}]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Обозначим $$y=(2x+3)^{3}>0$$. Тогда исходное неравенство примет вид: $$\lg y +\frac{2}{\lg y}<3$$

     Снова заменим переменную: $$\lg y=t$$. Тогда $$y+\frac{2}{5}-3<0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(t-1)(y-2)}{t}<0$$

     Отберем решения последнего неравенства с помощью метода интервалов. Получаем: $$\left\{\begin{matrix}t<0\\1<t<2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}lg y<0\\1<lg y <2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}0<y<1\\10<y<100\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}0<(2x+3)^{3}<1\\10<(2x+3)^{3}<100\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}0<2x+3<1\\\sqrt[3]{10}<2x+3<\sqrt[3]{100}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{3}{2}<x<-1\\\frac{\sqrt[3]{10}-3}{2}<x<\frac{\sqrt[3]{100}-3}{2}\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x+4}{x+1}>0\\x^{2}-2x-3>0\\x^{2}-2x-3\neq 1\\x^{2}-2x-2\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in(-\infty ;-4)\cup (-1;+\infty )\\x \in (-\infty ; -1)\cup (3;+\infty )\\x \neq 1\pm \sqrt{3}\\x \neq 1\pm \sqrt{5}\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow x \in (-\infty ;-4)\cup (3;1+\sqrt{5})\cup(1+\sqrt{5};+\infty )$$

     При данном ОДЗ: $$2+2\log_{x^{2}-2x-3}\frac{x+4}{x+1}\geq \log_{x^{2}-2x-3}(x^{2}-2x-2)$$

$$\log_{x^{2}-2x-3} (x^{2}-2x-3)*(\frac{x+4}{x+1})\geq \log_{x^{2}-2x-3}(x-2x-2)$$

$$(x^{2}-2x-3-1)((x^{2}-2x-3)*\frac{x+4}{x+1}-(x^{2}-2x-2))\geq 0$$

$$(x^{2}-2x-4)(\frac{(x+1)(x-3)(x+4)}{x+1}-x^{2}+2x+2)\geq 0$$

$$(x^{2}-2x-4)(x^{2}+x-12-x^{2}+2x+2)\geq 0$$

$$(x^{2}-2x-4)(x-\frac{10}{3})\geq 0\Leftrightarrow$$ $$x \in [1-\sqrt{5}; 1+\sqrt{5}]\cup [\frac{10}{3};+\infty ]$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in (3; 1+\sqrt{5})\cup [\frac{10}{3};+\infty ]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+1>0\\x+1\neq 1\\1-2x>0\\x+3>0\\x^{2}+7x+12>0\\1-4x+4x^{2}\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>-1\\x\neq 0\\x<\frac{1}{2}\\x>-3\\x\in (-\infty ,-4)\cup (-3,+\infty )\\x\neq 0, x\neq 1\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow x \in (-1,0)\cup (0, \frac{1}{2})$$

     На данном ОДЗ: $$2\log_{x+1} (1-2x)=$$$$\log_{(x+1)^{2}} (1-2x)=$$$$\frac{1}{\log_{(1-2x)^{2}}(x+1)}$$ и $$\log_{\frac{1}{x+1}} (x^{2}+7x+12)=-\log_{x+1} (x^{2}+7x+12)$$

     $$\frac{1}{\log_{(1-2x)^{2}}(x+1)}*\log_{(1-2x)^{2}}(x+3)-\log_{x+1}(x+3)(x+4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{x+1}(x+3)\leq \log_{x+1}(x+3)(x+4)\Leftrightarrow$$ $$(x+1-1)((x+3)-(x+3)(x+4))\leq 0\Leftrightarrow$$

     $$x(x+3)(1-x-4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x(x+3)^{2}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\geq 0\\x=-3\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ : $$(0; \frac{1}{2})$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

          ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}5-x>0\\x+1>0\\x+1\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<5\\x>-1\\x\neq 0\end{matrix}\right.$$

          Решение:

$$\log_{2}(5-x)*(-3)*\log_{x+1}2\geq -6\Leftrightarrow$$ $$\log_{2}(5-x)*\frac{1}{\log_{2}(x+1)}\leq 2\Leftrightarrow$$ $$\log_{(x+1)}(5-x)\leq 2\Leftrightarrow$$ $$\log_{(x+1)}(5-x)\leq \log_{(x+1)}(x+1)^{2}\Leftrightarrow$$ $$(5-x-(x+1))((x+1)-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(-x^{2}-3x+4)*x\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x(x+4)(x-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq -4\\x\leq 0 \end{matrix}\right.\\ x\geq 1\end{matrix}\right..$$

          С учетом ОДЗ: $$x \in (-1;0)\cup [1;5)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\log_{x} (x+\frac{1}{3})\leq \log_{\sqrt{2x+3}}(x+\frac{1}{3})$$

        ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+\frac{1}{3}>0\\x>0\\2x+3>0\\x\neq 1\\2x+3\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>-\frac{1}{3}\\x>0\\x>-1,5\\x\neq 1\\x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (0;1)\cup (1; +\infty )$$

Решение : воспользуемся формулой : $$\log_{g}f=\frac{1}{\log_{f}g}$$

$$\frac{1}{\log_{(x+\frac{1}{3})}x}\leq \frac{1}{\log_{(x+\frac{1}{3})\sqrt{2x+3}}}$$$$\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{(x+\frac{1}{3})}\sqrt{2x+3}-\log_{(x+\frac{1}{3})}x}{\log_{(x+\frac{1}{3})}x*\log_{(x+\frac{1}{3})}\sqrt{2x+3}}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$$$\frac{\log_{(x+\frac{1}{3})}\frac{\sqrt{2x+3}}{x}}{\log_{(x+\frac{1}{3})}x*\log_{(x+\frac{1}{3})}\sqrt{2x+3}}\leq 0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{x} \frac{\sqrt{2x+3}}{x}*\log_{\sqrt{2x+3}}(x+\frac{1}{3})\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$(\frac{\sqrt{2x+3}}{x}-1)(x-1)(x+\frac{1}{3}-1)(\sqrt{2x+3}-1)\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt{2x+3}-x}{x}(x-1)(x-\frac{2}{3})(2x+3-1)\leq 0$$

        Рассмотрим $$\sqrt{2x+3}-x$$. С учетом ОДЗ: $$\sqrt{2x+3}-x$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x+3-x^{2}$$$$\Leftrightarrow$$ $$-(x-3)(x+1)$$. Получим : $$\frac{-(x-3)(x+1)(x-1)(x-\frac{2}{3})(2x+2)}{x}\leq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x+1)^{2}(x-1)(x-\frac{2}{3})(x-3)}{x}\geq 0$$

        С учетом ОДЗ : $$(x+1)^{2}$$ можно убрать (поделить на него): $$\frac{(x-1)(x-\frac{2}{3})(x-3)}{x}\geq 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\geq 3\\\left\{\begin{matrix}x\geq \frac{2}{3}\\x<1\end{matrix}\right.\\x<0\end{matrix}\right.$$

        Но т.к. $$x>0$$ , то $$x \in [\frac{2}{3};1)\cup [3; +\infty )$$