Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C3) Неравенства

Неравенства с логарифмами по переменному основанию

 

Задание 6925

Решите неравенство $$\log_{2}(x+1)>\log_{x+1}16$$

Ответ: $$(-\frac{3}{4};0)\cup (3;+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

      ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+1>0\\x+1\neq 1\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>-1\\x\neq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in (-1;0)\cup (0; +\infty )$$

      Решение: $$\log_{2}(x+1)>4\log_{(x+1)}2$$$$\Leftrightarrow$$ $$\log_{2}(x+1)>\frac{4}{\log_{2}(x+1)}$$

      Пусть $$\log_{2}(x+1)=y$$: $$y>\frac{4}{y}\Leftrightarrow$$ $$y-\frac{4}{y}>0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-4}{y}>0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y-2)(y+2)}{y}>0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y>2\\\left\{\begin{matrix}y>-2\\y<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\log_{2}(x+1)>2\\\left\{\begin{matrix}\log_{2}(x+1)>-2\\\log_{2}(x+1)<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x+1>4\\\left\{\begin{matrix}x+1>\frac{1}{4}\\x+1<1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x>3\\\left\{\begin{matrix}x>-\frac{3}{4}\\x<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

      С учетом ОДЗ: $$x \in (-\frac{3}{4};0)\cup (3;+\infty )$$

 

Задание 6973

Решите неравенство: $$(\log_{x+2} 4)(\log_{4}(x^{2}+x-2))\leq 1$$

Ответ: $$\in (1; 2]$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x+2>0\\x+2\neq 1\\x^{2}+x-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+2>0\\x+2\neq 1\\(x+2)(x-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x>-2\\x\neq -1\\x>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x>1$$

     Решение: $$(\log_{x+2}4)(\log_{4}(x+2)(x-1))\leq 1\Leftrightarrow$$ $$(\log_{x+2}4)(\log_{4}(x+2)+\log_{4}(x-1))\leq 1\Leftrightarrow$$ $$\frac{\log_{4}(x+2)}{\log_{4}(x+2)}+\frac{\log_{4}(x-1)}{\log_{4}(x+2)}\leq 1\Leftrightarrow$$ $$1+\log_{(x+2)}(x-1)\leq 1\Leftrightarrow$$ $$\log_{(x+2)}(x-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(x-1-1)(x+2-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(x-2)(x+1)\leq 0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x\geq -1\\x\leq 2\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ: x $$\in (1; 2]$$

 

Задание 7020

Решите неравенство $$\log_{\frac{x-1}{2x-8}} (\frac{x+7}{6})\leq 1$$

Ответ: $$[-5; 1)\cup (4 ;5]\cup (7; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x-1}{2x-8}>0\\\frac{x-1}{2x-8}\neq 1\\\frac{x+7}{6}>0\\2x-8\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x-1}{x-4}>0\\x-1\neq 2x-8\\x+7>0\\2x\neq 8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>4\\x<1\\x\neq 7\\x>-7\\x\neq 4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (-7 ;1)\cup (4 ;7)\cup (7;+\infty )$$

     Решение: $$\log_{\frac{x-1}{2x-8}}\frac{x+7}{6}\leq \log_{\frac{x-1}{2x-8}}(\frac{x-1}{2x-8})\Leftrightarrow$$ $$(\frac{x+7}{6}-\frac{x-1}{2x-8})(\frac{x-1}{2x-8}-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{2x^{2}-50}{6(2x-8)}*\frac{-x+7}{2x-8}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-5)(x+5)(x-7)}{(2x-8)}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-5)(x+5)(x-7)\geq 0\\2x-8\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq -5\\x\leq 5\end{matrix}\right.\\x\geq 7\end{matrix}\right.\\x\neq 4\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in [-5; 1)\cup (4 ;5]\cup (7; +\infty )$$

 

Задание 7040

Решите неравенство $$\log_{(x+1)^{2}}8+3\log_{4}(x+1)\geq \frac{37}{4}$$

Ответ: $$(0; \sqrt[6]{2}-1]\cup [63; +\infty )$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}(x+1)^{2}>0\\(x+1)^{2}\neq 1\\x+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+1\neq 0\\x+1\neq 1\\x\neq 1=-1\\x>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq -1\\x\neq 0\\x\neq -2\\x>-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$x \in (-1; 0)\cup (0; +\infty )$$

     Решение: $$\log_{(x+1)^{2}}2^{3}+3\log_{2^{2}}(x+1)\geq \frac{37}{4}\Leftrightarrow$$$$\frac{3}{2}\log_{\left | x+1 \right |}2+\frac{3}{2}\log_{2}(x+1)\geq \frac{37}{4}$$

     С учетом, что $$x+1>0$$: $$\left | x+1 \right |=x+1$$: $$\frac{1}{\log_{2}(x+1)}+\log_{2}(x+1)\geq \frac{37}{6}$$

     Пусть $$\log_{2}(x+1)=y$$: $$\frac{1}{y}+y-\frac{37}{6}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{6y^{2}-37y+6}{y}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{6(y-6)(y-\frac{1}{6})}{y}\geq 0$$

     $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y>0\\x\leq \frac{1}{6}\end{matrix}\right.\\y\geq 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\log_{2}(x+1)>0\\\log_{2}(x+1)\leq \frac{1}{6}\end{matrix}\right.\\\log_{2}(x+1)\geq 6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x+1>1\\x+1\leq \sqrt[6]{2}\end{matrix}\right.\\x+1\geq 64\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x>0\\x\leq \sqrt[6]{2}-1\end{matrix}\right.\\x\geq 63\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in (0; \sqrt[6]{2}-1]\cup [63; +\infty )$$

 

Задание 7181

Решите неравенство $$(\log_{3+x} (1-2x))(\log_{1-2x} x^{2})\leq (\log_{3+x} (1-3x))(\log_{1-3x} (2-x))$$

Ответ: $$(-3; -2) \cup (-2; 0)\cup (0; \frac{1}{3})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$(\log_{3+x}(1-2x))(\log_{1-2x}x^{2})\leq (\log_{3+x}(1-3x))(\log_{1-3x}(2-x))$$

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}1-2x>0\\3+x>0\\3+x\neq 1\\1-2x\neq 1\\x^{2}>0\\1-3x>0\\2-x>0\\1-3x\neq 1\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<0,5\\x>-3\\x\neq -2\\x\neq 0\\x<\frac{1}{3}\\x<2\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in (-3; -2)\cup (-2; 0)\cup (0; \frac{1}{3})$$

     Решение: $$\frac{1}{\log_{1-2x}(3+x)}*\log_{1-2x}x^{2}\leq \frac{1}{\log_{1-3x}(3+x)}*\log_{1-3x}(2-x)\Leftrightarrow$$ $$\log_{3+x}x^{2}\leq \log_{3+x}(2-x)\Leftrightarrow$$ $$(3+x-1)(x^{2}-2+x)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(x+2)(x+2)(x-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x+2=0\\x\leq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=-2\\x\leq 1\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in (-3; -2) \cup (-2; 0)\cup (0; \frac{1}{3})$$

 

Задание 7222

Решите неравенство $$\frac{1}{2}\log_{x-1}(x^{2}-8x+16)+\log_{4-x} (-x^{2}+5x-4)>3$$

Ответ: $$(2 ;2,5)\cup (2,5; 3)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-8x+16>0\\x-1>0\\x-1\neq 1\\-x^{2}+5x-4>0\\4-x>0\\4-x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x-4)^{2}>0\\x>1\\x\neq 2\\x>1\\x<4\\x\neq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (1;2)\cup (2;3) \cup (3;4)$$

     Решение: $$\frac{1}{2} \log_{x-1}(x-4)^{2}+\log_{(4-x)}(-(x-1)(x-4))>3$$ $$\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{2} *2 \log_{x-1}\left | x-4 \right |+\log_{4-x}(4-x)+\log_{4-x}(x-1)>3$$$$\Leftrightarrow$$ С учетом , что $$x<4$$ : $$\left | x-4 \right |=4-x$$ . Тогда: $$\log_{x-1}(4-x) +1+\log_{4-x} (x-1)-3>0\Leftrightarrow$$ $$\log_{x-1}(4-x)+\frac{1}{\log_{x-1}(4-x)}-2>0$$

     Пусть $$\log_{x-1}(4-x)=y$$, тогда : $$y+\frac{1}{y}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-2y+1}{y}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y-1)^{2}}{y}>0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y>0\\y-1\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{x-1}(4-x)>0\\\log_{x-1}(4-x) \neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>2\\x<3\\x\neq 2,5\end{matrix}\right.$$

   С учетом ОДЗ: $$x \in (2 ;2,5)\cup (2,5; 3)$$

 

Задание 7324

Решите неравенство $$\log_{5-4x-x^{2}}(5-9x-2x^{2})\leq \log_{1-x}(1-2x)$$

Ответ: $$(-5; -2-2\sqrt{2})\cup [-4 ;\frac{1}{2})$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}5-9x-2x^{2}>0\\1-2x>0\\5-4x-x^{2}>0\\5-4x-x^{2}\neq 1\\1-x >0\\1-x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>-5\\x<\frac{1}{2}\\x>-5\\x<1\\x\neq -2 \pm 2\sqrt{2}\\x<1\\x\neq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in (-5; -2 -2\sqrt{2})\cup (-2-2\sqrt{2}; 0)\cup (0 ;\frac{1}{2})$$

     Учтем, что $$5-9x-2x^{2}=(x+5)(1-2x)$$; $$5-4x-x^{2}=(x+5)(1-x)$$. Пусть $$x+5=a$$ , $$1-2x=b$$, $$1-x=c$$

  $$\log_{ac}ab\leq \log_{c}b\Leftrightarrow$$ $$\frac{\ln ab}{\ln ac}\leq \frac{\ln b}{\ln c}\Leftrightarrow$$ $$\frac{\ln a+\ln b}{\ln a+\ln c}-\frac{\ln b}{\ln c}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{\ln a \ln c+\ln b \ln c-\ln a \ln b -\ln b \ln c}{\ln c (\ln a+\ln c)}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{\ln a(\ln c-\ln b)}{\ln c(\ln a+\ln c)}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{c}a \frac{\ln \frac{c}{b}}{\ln ac}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{c}a \log_{ac}\frac{c}{b}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(a-1)(c-1)(\frac{c}{b}-1)(ac-1)\leq 0$$

     Обратная замена: $$(x+5-1)(1-x-1)(\frac{1-x}{1-2x}-1)((x+5)(1-x)-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(x+4)(-x)(\frac{x}{1-2x})*(-x^{2}-4x+4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x^{2} \frac{x+4}{1-2x}*(x-(-2+2\sqrt{2}))(x-(-2-2\sqrt{2}))\leq 0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=0\\\frac{(x+4)(x-(-2+2\sqrt{2}))(x-(-2-2\sqrt{2}))}{1-2x}\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$x \in (-\infty; -2-2\sqrt{2}]\cup [-4 ;\frac{1}{2})\cup [-2 +2\sqrt{2} ;+\infty )$$

     С учетом ОДЗ: $$(-5; -2-2\sqrt{2})\cup [-4 ;\frac{1}{2})$$

 

Задание 7442

Решите неравенство $$(x^{2}+3x+2)\log_{x+3} (x+2)\cdot \log_{3} (x-1)^{2}\leq 0$$

Ответ: {-1},[0;1),(1;2]
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7562

Решите неравенство $$\log_{\frac{3x-4}{x+1}}(2x^{2}-3x)\geq \log_{\frac{3x-4}{x+1}}(17x-20-3x^{2})$$

Ответ: {2},(2,5;4)
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 7783

Решите неравенство $$\log_{\log_{\frac{1}{2}}x}(\log_{\frac{1}{7}}x)>0$$

Ответ: $$(0;\frac{1}{7}),(\frac{1}{2};1)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8344

Решите неравенство $$2\log_{\log_{2}x^{2}}2<1$$

Ответ: $$(-\infty; -4),(-\sqrt{2};1),(1;\sqrt{2}),(4;\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{2}x^{2}>0&\\\log_{2}x^{2}\neq1&\\x^{2}>0&\\\log_{\log_{2}x^{2}}2<\frac{1}{2}&\end{matrix}\right.$$

1) $$\log_{2}x^{2}>0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}>1$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$

2) $$\log_{2}x^{2}\neq1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}\neq1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq\pm\sqrt{2}$$

3) $$x^{2}>0$$ $$\Rightarrow$$ $$x\neq0$$

С учетом (1); (2); (3): $$x\in(-\infty;-\sqrt{2})\cup(-\sqrt{2};-1)\cup(1;\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty)$$

4) $$\log_{\log_{2}x^{2}}2-\frac{1}{2}<0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{\log_{2}x^{2}}2-\log_{\log_{2}x^{2}}(\log_{2}x^{2})^{\frac{1}{2}}<0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{\log_{2}x^{2}}\frac{2}{\sqrt{\log_{2}x^{2}}}<0$$

Пусть $$\sqrt{\log_{2}x^{2}}=y\geq0$$ $$\Rightarrow$$ $$(y^{2}-1)(\frac{2}{y}-1)<0$$ $$\Rightarrow$$ $$(y-1)(y+1)(\frac{2-y}{y})<0$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{(y-1)(y+1)(y-2)}{y}\geq0$$

Т.к. $$y\geq0$$, то $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y>0&\\y\leq1&\end{matrix}\right.&\\y\geq2&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\sqrt{\log_{2}x^{2}}>0&\\\sqrt{\log_{2}x^{2}}\leq1&\end{matrix}\right.&\\\sqrt{\log_{2}x^{2}}\geq2&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}>1&\\x^2\leq2&\end{matrix}\right.&\\x^2\geq16&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\in[-\sqrt{2};-1)\cup(1;\sqrt{2}]&\\x\leq-4&\\x\geq4&\end{matrix}\right.$$

Итог: $$x\in(-\infty;-4)\cup(-\sqrt{2};-1)\cup(1;\sqrt{2})\cup[4;+\infty)$$

 

Задание 8682

Решите неравенство: $$\log_{3}(x-1)\cdot \log_{3}(3^{x-1}+3)\cdot \log_{x-1}(3^{x}+1)\geq 6$$
Ответ: $$[log{_{3}}8;2)(2;\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 10392

Решите неравенство: $$\log_{\sqrt[3]{9x}}\sqrt{\frac{x^{3}}{3}}+\log_{\sqrt[3]{3x^{2}}}\sqrt{27x}\leq 3$$

Ответ: $$(\frac{1}{9};\frac{\sqrt{3}}{3})\cup[\sqrt[3]{3};3]$$
 

Задание 10637

Решите неравенство: $$\frac{{{{{\rm (log}}_{2x-1} (9x^2-12x+4)\ })}^2-10{{\log }_{2x-1} \left(3x-2\right)\ }+18}{3{{\log }_{2x-1} (6x^2-7x+2)\ }-2}\le 2$$

Ответ: 0,75
 

Задание 11001

Решите неравенство: $${{\log }_{0,25} (1-6x)\ }\cdot {{\log }_{\left(1-x\right)} \left(\frac{1}{2}\right)\ }>1$$

Ответ: $$x\in (-4;0)\cup (0;\frac{1}{6})$$
Скрыть

$${{\log }_{0,25} (1-6x)\ }\cdot {{\log }_{\left(1-x\right)} \left(\frac{1}{2}\right)\ }>1\leftrightarrow {{\log }_{{0,5}^{-2}} \left(1-6x\right)\ }\cdot \frac{1}{{{\log }_{0,5} \left(1-x\right)\ }}>1\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \frac{\frac{1}{2}{{\log }_{0,5} \left(1-6x\right)\ }}{{{\log }_{0,5} \left(1-x\right)\ }}\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} {{\log }_{\left(1-x\right)} \left(1-6x\right)\ }>2 \\ 1-6x>0 \\ 1-x>0 \\ 1-x\ne 1 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \left(1-6x-{\left(1-x\right)}^2\right)\left(1-x-1\right)>0(1) \\ x<\frac{1}{6} \\ x<1 \\ x\ne 0 \end{array} \right.$$ 

$$(1): \left(1-6x-1+2x-x^2\right)\left(-x\right)>0\leftrightarrow \left(-x^2-4x\right)\left(-x\right)>0\leftrightarrow x^2\left(x+4\right)>0\leftrightarrow $$ $$\leftrightarrow x>-4.$$ Тогда: $$x\in (-4;0)\cup (0;\frac{1}{6})$$.