ЕГЭ Профиль
Задание 11126
Решите неравенство $${{\log }_{\frac{3x-1}{x+2}} (2x^2+x-1)\ }\ge {{\log }_{\frac{3x-1}{x+2}} (11x-6-3x^2)\ }$$
1. ОДЗ: $$\left\{ \begin{array}{c} 2x^2+x-1>0 \\ 11x-6-3x^2>0 \\ \frac{3x-1}{x+2}>0 \\ \frac{3x-1}{x+2}\ne 1 \end{array} \right.$$
2. Рассмотрим по отдельности каждое неравенство из ОДЗ:
а) неравенство $$2x^2+x-1>0$$ имеет корни: $$x_1=-1\ ;x_2=\frac{1}{2}\ ;$$
б) неравенство $$11x-6-3x^2$$$$>0$$ имеет корни: $$x_1=\frac{2}{3};x_2=\ 3;$$
в) неравенство $$\frac{3x-1}{x+2}>0$$ имеет корни: $$x_1=\frac{1}{3};x_2=-2;$$
г) неравенство $$\frac{3x-1}{x+2}\ne 1\to 3x-1\ne x+2$$ и $$x\ne 1,5$$
3. Объединяя все четыре решения, получаем: $$x\in (\frac{2}{3};1,5)\cup (1,5;3)$$
4. Возвращаемся к исходному неравенству и воспользуемся методом рационализации: $${{\log }_n f\ }-{{\log }_n g\ }\to \left(n-1\right)\left(f-g\right).$$
Таким образом, на заданном ОДЗ можем записать: $$(\frac{3x-1}{x+2}-1)(2x^2+x-1-11x+6+3x^2)\ge 0.$$ Упрощаем выражение, получаем: $$\left(\frac{2x-3}{x+2}\right)\left(5x^2-10x+5\right)\ge 0\to \left(\frac{2x-3}{x+2}\right){\left(x-1\right)}^2\ge 0.$$
Получаем решения: $$\left\{ \begin{array}{c} x\ne 1,5 \\ x=1 \\ x\ne -2 \end{array} \right.\to x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup [1]\cup (1,5;+\infty )$$.
5. Пересекаем ОДЗ с полученным решением, окончательно получаем: $$x\in [1]\cup (1,5;3)$$
Задание 11145
Решите неравенство $$-2{{\log }_{\frac{x}{3}} 27\ }\ge {{\log }_3 27x+1\ }.$$
1. Запишем ОДЗ: $$\left\{ \begin{array}{c} x>0 \\ \frac{x}{3}\ne 1 \end{array} \right.\to \left\{ \begin{array}{c} x>0 \\ x\ne 3 \end{array} \right.\to x\in \left(0;3\right)\cup \left(3;+\infty \right).$$
2. Упростим неравенство, получим: $$-6{{\log }_{\frac{x}{3}} 3\ }-3-{{\log }_3 x\ }-1\ge 0\to \frac{6}{{{\log }_{\frac{x}{3}} 3\ }}+{{\log }_3 x\ }+4\le 0\to $$ $$\to \frac{6}{{{\log }_3 x\ }-1}+{{\log }_3 x\ }+4\le 0$$.
3. Сделаем замену: $${{\log }_3 x\ }=t$$, получим: $$\frac{6}{t-1}+t+4\le 0\to \frac{t^2+3t+2}{t-1}\le 0.$$
4. Получаем точки, делящие числовую прямую: $$\left\{ \begin{array}{c} t^2+3t+2=0 \\ t-1\ne 0 \end{array} \right.$$$$\to \left\{ \begin{array}{c} t=-1 \\ t=-2 \\ t\ne 1 \end{array} \right..$$
5. Имеем следующие решения неравенства: Для $$t\le -2$$: $${{\log }_3 x\ }\le {{\log }_3 \frac{1}{9}\ }\to 0<x\le \frac{1}{9}\to x\in (0;\frac{1}{9}]\in $$ ОДЗ.
Для $$-1\le t<1:$$ $${{\log }_3 \frac{1}{3}\le {{\log }_3 x\ }\ }<{{\log }_3 3\ }\to \frac{1}{3}\le x<3\to x\in [\frac{1}{3};3)\in $$ ОДЗ.