ЕГЭ Профиль
Задание 14401
Решите неравенство $$\frac{4^{x-0,5}+1}{9\cdot4^{x}-16^{x+0,5}-2}\leq0,5$$
Ответ: $$(—оо;—1); 0; (0,5;+оо)$$
Скрыть
$$\frac{4^{x-0,5}+1}{9\cdot4^{x}-16^{x+0,5}-2}\leq0,5$$
Пусть $$4^x=t>0$$
Получим: $$\frac{\frac{t}{2}+1}{9t-4t^2-2}\leq\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{t+2}{2\cdot(-4)(t-\frac{1}{4})(t-2)}-\frac{1}{2}\leq0\Leftrightarrow\frac{t+2+4t^2-9t+2}{-8(t-\frac{1}{4})(t-2)}\geq0\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} t=1\\ t\leq\frac{1}{4}\\ t\geq2 \end{matrix}\right.$$
С учётом $$t>0: \left[\begin{matrix} t\in (0;\frac{1}{4}]\\ t=1\\ t\geq2 \end{matrix}\right.$$
Обратная замена: $$\left[\begin{matrix} 4^x\leq\frac{1}{4}\\ 4^x=1\\ 4^x\geq2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x\leq-1\\ x=0\\ x\geq\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in(-\infty;-1];0;[\frac{1}{2};+\infty)$$